西安市高考数学一轮复习：08 指数函数C卷

2008年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A．B．2 C．D．4．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．1205．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或 C．或 D．或6．（5分）“a=1”是“对任意的正数x，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=2x+3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，若mn=16（m，n ∈R+），则f﹣1（m）+f﹣1（n）的值为（）A．10 B．4 C．1 D．﹣28．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n10．（5分）已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（）A．0 B．6 C．7 D．811．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）等于（）A．2 B．3 C．6 D．912．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分），则a=．14．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB：AD：AA1=1：1：．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，则的值为．15．（4分）关于平面向量，，，有下列三个命题：①若•=•，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．（4分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．18．（12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．（12分）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A﹣CC1﹣B的大小．20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=﹣c．（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M﹣m≥1时k的取值范围．22．（14分）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，…．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：．2008年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•陕西）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】将复数分子、分母同乘i即可得到结果．【解答】解：或者故选D．2．（5分）（2008•陕西）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】用列举法表示出A、B，求解即可．【解答】解：A={1，2}，B={2，4}，A∪B={1，2，4}，∴C U（A∪B）={3，5}，故选B3．（5分）（2008•陕西）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A．B．2 C．D．【分析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．【解答】解：由正弦定理，∴故选D．4．（5分）（2008•陕西）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．120【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设公差为d，则由已知得，故选B．5．（5分）（2008•陕西）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m 等于（）A．或B．或 C．或 D．或【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选C．6．（5分）（2008•陕西）“a=1”是“对任意的正数x，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】把a=1代入，不等式成立，当a=2时也成立，可推出其关系．【解答】解：a=1，显然a=2也能推出，所以“a=1”是“对任意的正数x，”的充分不必要条件．故选A．7．（5分）（2008•陕西）已知函数f（x）=2x+3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，若mn=16（m，n∈R+），则f﹣1（m）+f﹣1（n）的值为（）A．10 B．4 C．1 D．﹣2【分析】求出函数f（x）=2x+3的反函数f﹣1（x），化简f﹣1（m）+f﹣1（n）的表达式，代入mn=16即可求值．【解答】解：f（x）=2x+3⇒f﹣1（x）=log2x﹣3；于是f﹣1（m）+f﹣1（n）=log2m﹣3+log2n﹣3=log2mn﹣6=log216﹣6=4﹣6=﹣2故选D．8．（5分）（2008•陕西）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．9．（5分）（2008•陕西）如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m 和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n 【分析】在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．【解答】解：由题意可得，即有，故选D．10．（5分）（2008•陕西）已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（）A．0 B．6 C．7 D．8【分析】由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，故，解得，代入x﹣y=﹣2得故选：D11．（5分）（2008•陕西）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【分析】根据关系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f（2），同样的道理求出f（3），最终求出f（﹣3）的值．【解答】解：令x=y=0⇒f（0）=0，令x=y=1⇒f（2）=2f（1）+2=6；令x=2，y=1⇒f（3）=f（2）+f（1）+4=12，再令x=3，y=﹣3得0=f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）﹣18⇒f（﹣3）=18﹣f（3）=6故选C．12．（5分）（2008•陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•陕西），则a=1．【分析】先把分子和分母同时除以n，然后由题意可知，1+a=2，由此能够求出a 的值．【解答】解：．答案：1．14．（4分）（2008•陕西）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB：AD：AA1=1：1：．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，则的值为．【分析】设出AB，求出球的半径，解出A、B两点和A、D1两点的球心角，分别求出球面距离即可；【解答】解：设AB=a，则AD=a，⇒球的直径2R=，即R=a则△OAB是等边三角形，，在△AOD 1中，故故答案为：15．（4分）（2008•陕西）关于平面向量，，，有下列三个命题：①若•=•，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为②．（写出所有真命题的序号）【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量，，的关系；②中，由∥，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若||=||=|﹣|，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；【解答】解：①若•=•，则•（﹣）=0，此时⊥（﹣），而不一定=，①为假．②由两向量∥的充要条件，知1×6﹣k•（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．③如图，在△ABC中，设，，，由||=||=|﹣|，可知△ABC为等边三角形．由平行四边形法则作出向量+=，此时与+成的角为30°．③为假．综上，只有②是真命题．答案：②16．（4分）（2008•陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有96种．（用数字作答）．【分析】根据题意，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分为两类，分别计算其情况数目，结合分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：分两类：第一棒是丙有C11•C21•A44=48，第一棒是甲、乙中一人有C21•C11•A44=48因此共有方案48+48=96种；故答案为96．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•陕西）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin•cos+cos，为y=2sin，（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．（2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可．【解答】解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，∴f（x）的最小正周期T==4π．当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；当sin=1时，f（x）取得最大值2．（2）g（x）是偶函数．理由如下：由（1）知f（x）=2sin，又g（x）=f，∴g（x）=2sin=2sin=2cos．∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），∴函数g（x）是偶函数．18．（12分）（2008•陕西）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】对于（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率，因为击中目标即终止射击，则该射手必第一次没有射中第二次射中，根据相互独立事件的概率乘法公式即可直接求得答案．对于（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求ξ的分布列及数学期望，因为第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，故ξ可能取的值为0，1，2，3．分别求出每个值的概率，填入分布列表，然后根据期望公式求得期望即可．【解答】解：（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为A i（i=1，2，3），则，．故该射手恰好射击两次的概率为0.16．（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．ξ的分布列为ξ0123P0.0080.80.160.032Eξ=0×0.008+1×0.8+2×0.16+3×0.032=1.216．19．（12分）（2008•陕西）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC ，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A﹣CC1﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直，根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，满足定理所需条件；（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB 为二面角A﹣CC1﹣B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A﹣CC1﹣B的平面角即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC．在Rt△ABC中，，∴，∵BD：DC=1：2，∴，又，∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A﹣CC1﹣B的平面角．过C1作C1F⊥AC交AC于F点，则CF=AC﹣AF=1，，∴∠C 1CF=60°．在Rt△AEC中，．在Rt△BAE中，．∴，即二面角A﹣CC1﹣B为．20．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB．（2）假设存在实数k，使成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入求得k．【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，由韦达定理得，x1x2=﹣1，∴，∴N点的坐标为．设抛物线在点N处的切线l的方程为，将y=2x2代入上式得，∵直线l与抛物线C相切，∴，∴m=k，即l∥AB．（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，∴．由（Ⅰ）知=．∵MN⊥x轴，∴．又=．∴，解得k=±2．即存在k=±2，使．21．（12分）（2008•陕西）已知函数（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=﹣c．（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M﹣m≥1时k的取值范围．【分析】（Ⅰ）原函数恰有一个极大值点和一个极小值点就是导函数恰有两个不等实根，利用根与系数的关系求出另一根即可．（Ⅱ）根据开口向上和向下两种情况分别找到M﹣m，再解M﹣m≥1即可．【解答】解：（Ⅰ），由题意知f'（﹣c）=0，即得c2k﹣2c﹣ck=0，（*）∵c≠0，∴k≠0．由f'（x）=0得﹣kx2﹣2x+ck=0，由韦达定理知另一个极值点为x=1（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜﹣2．（i）当k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣c）和（1，+∞）内是减函数，在（﹣c，1）内是增函数．∴，，由及k＞0，解得．（ii）当k＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，﹣c）和（1，+∞）内是增函数，在（﹣c，1）内是减函数．∴，恒成立．综上可知，所求k的取值范围为．22．（14分）（2008•陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，…．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：．【分析】（Ⅰ）由题设条件知，再由，知是以为首项，为公比的等比数列．由此可知．（Ⅱ）由题意知，==≤a n，所以对任意的x＞0，，n=1，2，…．（Ⅲ）由题意知，对任意的x＞0，有=．由此入手能够求出．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，====≤a n，∴原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有=．∴取，则．∴原不等式成立．。

课时作业8　指数与指数函数一、选择题1．化简4a ·b ÷的结果为(　C )－(－23ab )A ．－B ．－2a 3b 8a b C ．－D ．－6ab6ab 2．设函数f (x )＝Error!若f (a )<1，则实数a 的取值范围是(　C )A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为a－7<1，(12)即a <8，即a <－3，(12)(12)(12)因为0<<1，所以a >－3，12此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为<1，所以0≤a <1.a 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝xD ．y ＝log 2x(12)解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝x 是非奇非偶(12)函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝x的图象的交(12)点个数是(　C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2(12)－4x (x >－2)与y ＝x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象(12)的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝0.3，b ＝log 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c(12)12的大小关系是(　B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 0.3>log ＝1>a ＝0.3，c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.121212(12)6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则(　C )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，x>1.(a b)∴>1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.ab7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为(　A )A. B.23C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝.2故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是.(0，12)解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <；12同理，当a >1时，解得0<a <，与a >1矛盾．12综上，a 的取值范围是.(0，12)10．已知函数f (x )＝2x －，函数g (x )＝Error!则函数g (x )的最小12x 值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －为单调增函数，所以g (x )≥g (0)12x ＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －为单调减函数，所以g (x )>g (0)12－x ＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝(a ∈R )的图象关2x1＋a ·2x 于点对称，则a ＝1.(0，12)解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即＋＝1，2x 1＋a ·2x 2－x1＋a ·2－x 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈，此时f (t )在上为[a ，1a ][a ，1a]增函数．所以f (t )max ＝f ＝2－2＝14.所以2＝16，解得a ＝(1a )(1a ＋1)(1a＋1)－15(舍去)或a ＝.13②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈，此时f (t )在上是增[1a ，a ][1a，a ]函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝或3.1313．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝0.1的大小关系是(　D )(1a)A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝0.1<1，所(1a)以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)且f (0)＝0.42a x ＋a (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)对于函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－＝42a x ＋a 42＋a 0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－＝1－.42·2x ＋222x ＋1因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－>m ·2x －222x ＋1恒成立，亦即m <－恒成立，32x 22x (2x ＋1)令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <－＝＝＋.3t 2t (t ＋1)3t ＋1t (t ＋1)1t 2t ＋1由于y ＝＋在t ∈(1,2)上单调递减，1t 2t ＋1∴＋>＋＝，∴m ≤.1t 2t ＋11222＋17676尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知实数a ，b 满足>a >b >，则(　B )12(12)(22)14A ．b <2B ．b >2b －a b －aC ．a <D ．a >b －a b －a解析：由>a ，得a >1，由a >b，得2a >b ，故2a <b ，12(12)(12)(22)(22)(22)由b >，得b >4，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <<2，(22)14(22)(22)b2∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋2－，12(b ＋14)由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝Error!当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学（必修+选修I）、选择题：在每小题给出的四个选项中,每小〕、题5分，共60 分）.1.sin330 等于（B ）A.1B .1C .—2 2 2解:si n330 = -sin30 二1 22.已知全集U 二{1,2,3,4,5}，集合A 二{1,3} , B 二{3,4,5},则集合包（人门B）二（D ）A . {3} B. {4,5} C. {3,4,5} D . {1,2,4,5}解：A={1,3} , B ={3,4,5} = A" B ={3}所以e/Afl B）二{1,2,4,5}3•某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵•为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ）A. 30B. 25C. 20D. 15150 x解：设样本中松树苗的数量为X，则X = 2030000 40004. 已知{a n}是等差数列，印飞2 =4 , a7 a^ ^28 ,则该数列前10项和S。

等于（B ）A . 64 B. 100 C. 110 D. 120X23] d=4 —i at = 1 10 9解：设公差为d，则由已知得= 1= S10=1O 1 2=100I2a1+13d=28 Id =2 25. 直线、.3x -y • m = 0与圆X2y2-2x-2=0相切，则实数m等于（C ）A. .3 或-B . -.3 或33 C . -3 • 3 或.3 D . -3、、3 或3- 3 解：圆的方程（x-1）2• y2 =3 ,圆心（1 ,倒直线的距离等于半径二|V3 m \=运二十讨=2 J3 n m = J3 或者二m = -3 J3a6. “ a =1 ”是“对任意的正数x , 2x > 1 ”的（A ）xA .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题,解：a /= 2x a-2x - _2 2x 1-2.2 1，显然a = 2 也能推出，所以“ a" ”x x Y Xa是“对任意的正数X , 2x > 1 ”的充分不必要条件。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．sin330︒等于（ B ） A．B ．12-C ．12D解：1sin 330sin 302︒=-=-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()UA B =（ D ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，解：{1,3}A =，{3,4,5}B ={3}A B ⇒=所以()UA B ={1245}，，，3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 解：设样本中松树苗的数量为x ，则15020300004000xx =⇒=4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64B ．100C ．110D ．120解：设公差为d ，则由已知得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101109101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩ 50y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）A或 B．或C．-D．-解：圆的方程22(1)3x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离等于半径m⇒==m ⇒=m ⇒=-6．“1a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ A ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：1a=1221a x x x x ⇒+=+≥=>，显然2a =也能推出，所以“1a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的充分不必要条件。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．复数(2)12i i i+-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1D ．1-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B ð中元素的个数为（ ） A ．1B ．23．ABC △的内角A B ，，120=，则a等于（ ）AB ．24．已知{}n a 是等差数列，a 10S 等于（ ） A ．64B ．10050y m -+= ）A B ．”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则 ）C ．4D ．108．双曲线221a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD9．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-于（ ） A ．7 B ．5C ．4D ．311．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．000114小题，每小题4分，共a = ．1111A BC D 的各顶点都在球O 的球面上，其中A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．A 1 AC 1B 1BDC21．（本小题满分12分） 已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项135a =，n a （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，a ，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．1215．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =+-sin 22x x =+=()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣ ()2cos 2x g x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭(123)i Ai =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，0.80.16⨯=．，2，3． ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：（Ⅰ） 1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴，，:1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD AB AB BC==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠= ，即AD BC ⊥．又1A A AD A = ，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂ 平面11BCC B ，∴平面（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C 由已知得AB⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 则1CF AC AF =-=，1C F =160C CF ∴∠= ．在Rt AEC △中，sin AE AC =3AB AE ===． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC = ，13BD BC ∴= ．（第19题，解法二）D ∴点坐标为03⎪⎪⎝⎭，，．∴2033AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，1(0)(00BC AA ==，，．10BC AA =，0BC AD = ，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A = ， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥ 平面11ACC A，取0)AB ==，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC == ，n n ．2m m ⎧+⎪∴⎨-+=⎪⎩如图，可取m =cos <>=，m n 即二面角1A -5（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得121x x =-， ∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，222282()048m m mk k m k ∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．222 解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x = ，4y x '∴=， 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． 0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭0=，21016k --< 即存在2k =±21．解：（Ⅰ）()f x '=()0f c '-=， 即得220c k c ck --=由()0f x '=得220kx x ck --+=，1=（或2x c k=-）． 21c k=+． 时，2k <-．)c -和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k的取值范围为(2))-∞-+∞ ，． 22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+ ，112133n n a a +∴=+，11113n a +∴-=又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴112121333n n n a --==，n a ∴=（Ⅱ）由（Ⅰ）知332nn na =>+21121(1)3nx x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭111)x ⎡⎤⎢⎥⎦n a ，∴原不等式成立．0x >，有1222221121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ≥21121(1)3nx x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 则2212111111133n nn n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭ ≥．∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 则21()(1)f x x '=-+0x > ，∴当23n x <时，(f x '∴当23n x =时，()f x ∴原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B 卷选择题答案：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D8．C 9．C 10．B 11．B 12．D。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．复数(2)12i i i+-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a 等于（ ）AB ．2 CD4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．12050y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）AB．C．-D．-6．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．108．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD．39．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，A B a bl αβ10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．311．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．912．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a = ．14．长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O的球面上，其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A AAB ，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-． （Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．参考答案1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．CA 1 A C 1B 1BDC13．1 14．1215．② 16．96 17．解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =+-sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：（Ⅰ） 1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC =∴=，:1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD AB AB BC==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠= ，即AD BC ⊥．又1A A AD A = ，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂ 平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影． 由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角． 过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则1CF AC AF =-=，11C F A A ==160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯=在Rt BAE △中，tan AB AEB AE ===．AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --为 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC = ，13BD BC ∴= ．D ∴点坐标为203⎫⎪⎪⎝⎭，，． ∴203AD ⎫=⎪⎪⎝⎭，，，1(20)(00BC AA == ，，． 10BC AA =，0BC AD = ，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A = ， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥ 平面11ACC A，取0)AB ==，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC == ，n n ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，，l n ∴==，，如图，可取1m =，则=⎭n ， A 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）（第19题，解法二）010cos5⨯+<>==，m n，即二面角1A CC B--为arccos5．20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x，，222(2)B x x，，把2y kx=+代入22y x=得2220x kx--=，由韦达定理得122kx x+=，121x x=-，∴1224N Mx x kx x+===，∴N点的坐标为248k k⎛⎫⎪⎝⎭，．设抛物线在点N处的切线l的方程为284k ky m x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，将22y x=代入上式得222048mk kx mx-+-=，直线l与抛物线C相切，2222282()048mk km m mk k m k⎛⎫∴∆=--=-+=-=⎪⎝⎭，m k∴=．即l AB∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NA NB=，则NA NB⊥，又M是AB的中点，1||||2MN AB∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222My y y kx kx k x x=+=+++=++22142224k k⎛⎫=+=+⎪⎝⎭．MN⊥x轴，22216||||2488M Nk k kMN y y+∴=-=+-=．又12||||AB x x=-=)6==2168k+∴=2k=±．即存在2k=±，使0NA NB=．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x xB x x，，，，把2y kx=+代入22y x=得2220x kx--=．由韦达定理得121212kx x x x+==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x = ，4y x '∴=， ∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --< ，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB = ．21．解：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得220c k c ck --=，（*）0c ≠ ，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012k k M f c +∴===>+，221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k的取值范围为(2))-∞-+∞ ，． 22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+ ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴112121333n n n a --== ，332n n na ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 21121(1)3n x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦2112(1)1n a x x =-+++ 2111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ≥21121(1)3nx x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭． ∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，则2212111111133n nn n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭≥． ∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++0x > ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+．原不等式成立． （Ⅲ）同解法一．。

2025届陕西省西安市第八中学高考冲刺模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．842．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） A ．11B ．37C ．210D ．434．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．437．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos 10BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或79．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．5610．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25m =（ ） A ．1B ．2C 5D ．312．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。