2017-2018年江苏省盐城中学高三(上)期末数学试卷及参考答案

2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是．7．（5分）已知，，则tanx=．8．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为．10．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=2a n+n2﹣4n+1．（1）若a1=3，求证：存在f（n）=an2+bn+c（a，b，c为常数），使数列{a n+f（n）}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）若a n是一个等差数列{b n}的前n项和，求首项a1的值与数列{b n}的通项公式．20．（16分）已知a，b为常数，a≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，0} ．【解答】解：∵A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，∴A∩B={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=4﹣2i．【解答】解：（1+2i）（1﹣i）2=（1+2i）（1﹣2i+i2）=（1+2i）（﹣2i）=﹣2i﹣4i2=4﹣2i．故答案为：4﹣2i．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+θ）的图象关于直线x=对称，∴+θ=kπ+，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，又0＜θ＜，∴θ=，故答案为：．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=14．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，S5=5，S9=27，∴，解得．∴S7==﹣7+21=14．故答案为：14．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×=π，故答案为：π．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是[﹣1，4] ．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当﹣2≤x＜0时，函数为减函数，∴0＜y≤4；当0≤x≤2时，函数y=x（x﹣2），∴﹣1≤y≤0．综上y的取值范围是[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．7．（5分）已知，，则tanx=﹣7．【解答】解：∵，，∴，两式相比得，即4sinx+4cosx=3sinx﹣3cosx，∴sinx=﹣7cosx，∴tanx=﹣7，故答案为：﹣78．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为[2，+∞）．【解答】解：定义域为（0，+∞），=，当时y′＜0，当时，y′＞0，所以函数在区间（0，）上单调递减，在区间（）上单调递增，所以f （x）≥，所以函数的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为2．【解答】解：由题意可得，=||||cos60°=，∵，∴=t+（1﹣t）==1﹣=0，∴t=2，故答案为：210．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．【解答】解：由mx+ny+1=0得y=，要使直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限，则或者，即或，∴n=1，m=﹣1或n=1，m=0共有2个结果．∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，∴m，n的选择共有3×2=6个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率P=，故答案为：11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是（﹣1，2）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数．令x2+x=12，求得x=3 或x=﹣4（舍去）．∴由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为2．【解答】解：设P（x，y），∵A（﹣1，0），B（0，1），由PA2﹣PB2=4，得（x+1）2+y2﹣x2﹣（y﹣1）2=4．整理得：x+y=2．联立，解得：或．∴P点坐标为（0，2）或（2，0）．即满足条件的P点的个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，x1=，x2=﹣，若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则m＜0，当﹣1≤m＜0时，≥﹣，则＜4，解得﹣1≤m＜﹣，当m＜﹣1时，＜﹣，则﹣＜4，解得m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣）．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）利用正弦定理化简acosC+c=b，得：sinAcosC+sinC=sinB，…（2分）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，…（3分）∴sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC，即sinC=cosAsinC，…（4分）∵sinC≠0，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；…（6分）（Ⅱ）∵a=，b=4，cosA=，…（8分）∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，15=16+c2﹣4c，即c2﹣4c+1=0，…（10分）解得：c==2±．…（12分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=，即y=1000（），定义域为（0，80]，（2）依题意知a，v都为正数，故有1000（）≥1000，当且仅当，即v=2时，等号成立，①若2≤80，即0＜a≤1600时，则当v=2时，时，全程运输成本y最小．②若2＞80，即a＞1600时，则当v∈（0，80]时，有y′=1000（）＜0．∴函数在v∈（0，80]上单调递减，也即当v=80时，全程运输成本y最小，综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤1600时行驶速度应为v=2时千米/时；当a＞1600时行驶速度应为v=80千米/时．18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．【解答】解：（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，∵点P（2e，）在椭圆上，∴，∵a2=4，，a2=b2+c2，∴b2=1，c2=3，∴椭圆的方程为．（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，代入椭圆方程，即x2+4y2=4，得（1+4k2）x2=4，∴，∴C（，），又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，∵x A=2，∴x B=，∵=0，∴+=0，∴，∵C 在第一象限，∴k ＞0，∴k=，∵=（），=（2﹣，0﹣）=（，），由=，得，∴k=，∴．19．（16分）设数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1．（1）若a 1=3，求证：存在f （n ）=an 2+bn +c （a ，b ，c 为常数），使数列{a n +f （n ）}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【解答】解：（1）∵数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1，设a n +1 +a （n +1）2+b （n +1）+c=2（a n +an 2+bn +c ），即 a n +1=2a n +an 2+（b ﹣2a ）n +c ﹣a ﹣b ， ∴，即．∵a 1+1﹣2=2，∴存在f （n ）=n 2﹣2n ，使数列{a n +f （n ）}是等比数列， ∴a n +n 2﹣2n=2×2n ﹣1， ∴a n =2n ﹣n 2+2n ．（2）∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1， 即 a n +1 +（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣n ）， 即a n +1+（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣2n ），∴（a n +n 2﹣2n ）=（a 1﹣1）•2n ﹣1，故a n =﹣n 2+2n +（a 1﹣1）•2n ﹣1， ∴b n =．再根据{b n }是等差数列，可得b n 的通项公式是关于n 的一次函数， ∴a 1=1，a n =﹣2n +3．20．（16分）已知a ，b 为常数，a ≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．【解答】解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+）e x，则f′（x）=（x+1）（2x﹣1），由f′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，则当x=时，f（x）取得极小值，f（）=4．（2）f′（x）=（ax2+bx﹣b），设g（x）=ax2+bx﹣b，①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=﹣＜0，且g（1）=a＞0，∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，又，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，则，即，（•），∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即，（••），在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜≤2，且g（）=恒成立，综上求由所有点（a ，b ）满足的约束条件为，则不等式组对应的平面区域为△OAB ，其中A （），B （），C （1，0），则形成的平面区域的面积S=S △OAC ﹣S △OBC =．即△OAB 的面积为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

江苏省盐城市黄尖中学2018年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式（﹣x）（+x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）参考答案：A【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式解法，进行求解；【解答】解：不等式（﹣x）（+x）＜0，即不等式（x﹣）（x+）＞0解得x＜﹣或x＞，故不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选：A．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，及其应用，是一道基础题．2. 已知函数是奇函数，那么a等于（）A. 1B.2 C. D.参考答案：A3. 已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15 B．10 C．9 D．8参考答案：B4. 已知向量a，b不共线，设向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（A）10 （B）2（C）－2 （D）－10参考答案：B略5. 设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（?U A）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出?U A，再根据（?U A）∪B=R，求出a【解答】解：集合A={x|x＞1}，?U A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，若（?U A）∪B=R，则a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故选C6. 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）A.B.C. D.参考答案：D7. 右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为（）A．16 B．16C．64+16 D． 16+参考答案：D8. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B.C. D.参考答案：C9. （5分）已知函数f（x）=2sin（），则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A． l B． 1 C． D． 0参考答案：C【考点】：三角函数的周期性及其求法；函数的值．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：利用三角函数求出函数的周期，求出已改周期内的函数值，然后求解所求表达式的函数值即可．解：函数f（x）=2sin（），所以函数的周期为：=4．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2sin（）+2sin（）+2sin（）+2sin（）=2×（）=0，f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+503（f（1）+f（2）+f（3）+f （4））=2×（）=﹣．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的周期的求法，函数的周期性的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．10. 双曲线：的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为A． B．2 C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则．参考答案：12. 设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f(x+3)=，且当x∈时，f（x）=2x，则f的值是．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），将x换为x+3，可得f（x+6）=f（x），可得函数为6为周期的函数，f=f（0.5）=﹣，由解析式即可得到．【解答】解：∵，∵f（x）的周期为6，∴f=f（19×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=f（0.5）=f（﹣2.5+3）=．故答案为：．13. 设函数，若对任意实数，直线都不是曲线的切线，则的取值范围是。

2018年江苏省盐城市东台农场中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是（）A. O是△AEF的垂心B. O是△AEF的内心C. O是△AEF的外心D. O是△AEF的重心参考答案：A易知、、两两垂直，平面，从而，而平面，则，所以平面，所以，同理可知，所以为的垂心，故应选.2. 已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A．B．C．D．参考答案：B3. 直线平行的一个充分条件是A.都平行于同一个平面B.与同一个平面所成的角相等C.所在的平面D.都垂直于同一个平面参考答案：D略4. 已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 ( )A．5 B．4 C．2D．1参考答案：C略5. 若，则下列不等式成立的是（）A． B． C．D．参考答案：B略6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B.C. D.参考答案：C7. 是虚数单位，A．B．C．D．参考答案：C略8. 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有(A)12种 (B)10种 (C)8种 (D)6种参考答案：D9. 设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．10. 已知,,若，则的值不可能是… ………（）（A）. （B）. （C）. （D）.参考答案：D若，则，若，则，因为，所以，所以的值不可能是10，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为．参考答案：3612. 点P在椭圆C1：上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2+y2+6x-8y+21＝0上，则|PQ|-|PF|的最小值为▲．参考答案：13.已知的最大值为。

2017-2018学年江苏省盐城市亭湖高中高三（上））段考数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=．2．cos600°的值为．3．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位．4．若函数f（x）=x3+3x﹣1在区间[n，n+1）（n∈Z）上有零点，则n=．5．函数y=lnx﹣x的单调增区间为．6．（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=．7．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．8．若a+a﹣1=3，则的值为．9．定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣的值域是．10．若tan（α+β）tanα=﹣5，则2cos（2α+β）+3cosβ=．11．已知tanα=，cosβ=，且α，β都是锐角，则α+2β=．12．△ABC中，D为BC边的中点，tan∠BAD•tan∠C=1，则△ABC是三角形．13．∀x∈（0，+∞），不等式a x＞log a x（a＞0，a≠1）恒成立，则a的取值范围是．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α+）=﹣3．（1）求tan（α﹣π）的值；（2）求sinαcosα的值．16．已知命题p：函数y=mx2﹣6x+2有零点；命题q：函数f（x）=x2+2mx+1在[﹣2，5]上是单调函数；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．已知斜三角形ABC（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）又若tanA+tanB+tanC＞0，设f（x）=，记m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA，n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB，求2f（m）+f（n）的值．18．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？19．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省盐城市亭湖高中高三（上））段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=[1，3）．【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的定义可知，A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=[1，3），故答案为：[1，3）2．cos600°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用余弦函数的诱导公式cos（k•360°﹣α）=cosα即可求得cos600°的值．【解答】解：cos600°=cos=cos（2×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣，故答案为：﹣．3．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，故答案为：．4．若函数f（x）=x3+3x﹣1在区间[n，n+1）（n∈Z）上有零点，则n=0．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．【解答】解：由f（0）=0+0﹣1=﹣1＜0，f（1）=1+3﹣1=3＞0及零点定理知，f（x）的零点在区间（0，1）上，两端点为连续整数∴零点所在的一个区间[n，n+1）（k∈Z）是（0，1）∴n=0，5．函数y=lnx﹣x的单调增区间为（0，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）y′=﹣1=，由≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]．6．（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=1．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=（log ab a）2+2（log ab b）•（log ab a）+（log ab b）2=（log ab a+log ab b）2=（log ab ab）2=1．故答案为：1．7．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）8．若a+a﹣1=3，则的值为．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据有理数幂的运算法则计算即可．【解答】解：（）2===5，故原式=，9．定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣的值域是．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域．【分析】利用奇函数的定义取得c，a，然后求解函数的值域．【解答】解：定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣，可得：2﹣c2=﹣c，解得c=2，f（0）=0，可得a﹣=0，解得a=．x∈[﹣2，2]，4x+1∈[，17]．﹣∈．故答案为：．10．若tan（α+β）tanα=﹣5，则2cos（2α+β）+3cosβ=0．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由tan（α+β）tanα=﹣5，可得sin（α+β）sinα=﹣5cos（α+β）cosα，可得2cos（2α+β）+3cosβ=2cos[（α+β）+α]+3cos[（α+β）﹣α]=5cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．【解答】解：∵tan（α+β）tanα=﹣5，∴sin（α+β）sinα=﹣5cos（α+β）cosα，∴2cos（2α+β）+3cosβ=2cos[（α+β）+α]+3cos[（α+β）﹣α]=5cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=0，故答案为：0．11．已知tanα=，cosβ=，且α，β都是锐角，则α+2β=arctan．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】依题意，可求得tan2β=，0＜2α＜；利用两角和的正切与正切函数的单调性即可求得2α+β的值．【解答】解：∵cosβ=，可得：tanβ==，∴tan2β==＜1=tan，又β是锐角，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜2β＜；又∵tanα=，α∈（0，），∴tan（α+2β）===．∴α+2β∈（0，），∴2α+β=arctan．故答案为：arctan．12．△ABC中，D为BC边的中点，tan∠BAD•tan∠C=1，则△ABC是等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】由tan∠BAD•tan∠C=1，可得∠DAC+∠ABD=．在△ADC中，=，在△ABD中，=，可得sin2C=sin2∠ABD，∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=，即可得解．【解答】解：由tan∠BAD•tan∠C=1，∴∠BAD+∠C=，∴∠DAC+∠ABD=．在△ADC中，=，在△ABD中，=，可得sin2C=sin2∠ABD，∴∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角．13．∀x∈（0，+∞），不等式a x＞log a x（a＞0，a≠1）恒成立，则a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，当a＞1时，问题等价于a x≥x在区间（0，+∞）上恒成立，构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，可求得x=时函数f（x）取到最小值，从而可得a的取值范围；再分析0＜a＜1时的情形，即可得答案．【解答】解：当a＞1，由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，故问题等价于a x≥x（a＞0，a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，令f′（x）=0，得x=，且此时函数f（x）取到最小值，故有＞≥0，解得a≥；当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，故a的取值范围是：a≥；故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α+）=﹣3．（1）求tan（α﹣π）的值；（2）求sinαcosα的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数公式求得tanα的值，然后利用诱导公式得到tan（α﹣π）=tanα．（2）将所求关系式转化为，再将tanα=2代入计算即可．【解答】解：（1）由，得：，解得tanα=2，所以tan（α﹣π）=tanα=2；（2）．16．已知命题p：函数y=mx2﹣6x+2有零点；命题q：函数f（x）=x2+2mx+1在[﹣2，5]上是单调函数；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意知p，q一真一假，根据二次函数的性质求出命题p、命题q为真时的m的范围即可；【解答】解：若函数y=mx2﹣6x+2有零点，当m=0时，显然有零点；当m≠0时，△=36=8m≥0⇒m≤，综上∴p真，p假；q真⇔﹣m≤﹣2或﹣m≥5即m≤﹣5或m≥2，∴q假⇔﹣5＜m＜2由题意知p，q一真一假∴所以m的范围是17．已知斜三角形ABC（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）又若tanA+tanB+tanC＞0，设f（x）=，记m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA，n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB，求2f（m）+f（n）的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）由tanC=﹣tan（A+B），展开两角和的正切化简得答案；（2）由tanA+tanB+tanC＞0结合（1）可知△ABC为锐角三角形，得到，进一步得，可得，分析得到m，n的符号，结合已知分段函数求得2f（m）+f（n）的值．【解答】（1）证明：由，得：tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanA﹣tanB，即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）解：由tanA+tanB+tanC＞0及第一问知△ABC为锐角三角形，∴，则，∴，∴m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA＞0，又n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinA﹣sinB＜0．∴2f（m）+f（n）=2×1+（﹣1）=1．18．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．【解答】解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．AD﹣AB=DB，故得﹣=，得：H===124．因此，算出的电视塔的高度H是124m．（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，tan（α﹣β）====d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）故当d=55时，tan（α﹣β）最大．因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．故所求的d是55m．19．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．【分析】（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b 的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x ﹣m|，结合函数的性质可求【解答】解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤420．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．2016年12月29日。

平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________． 【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________． 【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为 ．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是 ． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

高三年级第三次模拟检测数学Ⅰ试卷参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上） 1. 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}1|≥=x xB ，则AB = ▲ ．2. 已知复数()(1)z a i i =-+（a R ∈，i 是虚数单位）是实数，则a = ▲ ．3. “0=a ”是“函数)()(23R x ax x x f ∈+=为奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．4. 一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，有1只黑球的概率是 ▲．5. 根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，输出的S 值为 ▲ ．6. 有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为 ▲ ．7. 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 ▲ ．8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内第5题第8题墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ▲ 斛．9. 已知0αβπ<<<，且1cos cos 6αβ=，1sin sin 3αβ=，则tan()βα-= ▲ ． 10. 各项为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a =，56710a a a =，则91011a a a = ▲ ． 11. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若s i n A C =，30B =，2b =，则ABC ∆的面积是 ▲ ．12. 已知半径为22的动圆2C 经过圆8)1()1(:221=-+-y x C 的圆心，且与直线08:=-+y x l 相交，则直线l 被圆2C 截得的弦长最大值是 ▲ ．13. 已知向量a ，b 满足||3b =，||2||a b a =-，若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为 ▲ ．14. 设)(x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，2()(31)f x x a x =+-，若函数()|1|x y f x e =--有两个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，8AB AC ⋅=，设BAC θ∠=，ABC ∆的面积是SS ≤≤（1）求θ的取值范围；（2）求函数2()2sin 2f θθθ=的最大值和最小值．16.（本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是边BC 的中点． （1）求证：A 1C //平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 1上的点，且满足BM ⊥B 1D ．求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ． 17.（本小题满分14分）ADMC1A 1B 1C 第16题已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是1F 和2F ，点A 、B 分别是椭圆的上、下顶点，四边形12AF BF 是正方形． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点是椭圆C 上一点． ①求椭圆C 的方程；②若动点P 在直线2y a =-上（不在y 轴上），直线PB 与椭圆交于另一个点M ． 证明：直线AM 和直线AP 的斜率之积为定值．18.（本小题满分16分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40,16,AB BC O ==为AB 上一点，且8,BO =线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置（M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好．（1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．OBC第18题第17题19.（本小题满分16分）已知函数()1xe f x x =+.（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若关于x 的不等式21(1)()2x f x x x a +≥++在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设函数(1)()()ln x x m g x x-+=，其定义域是D ，若关于x 的不等式(1)()()x f x g x +<在D 上有解，求整数m 的最小值． 1.65=，ln 20.69=）20.（本小题满分16分）已知数列}{n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =，1n n n rS a a b +=-，*n N ∈．（1）求2a 和3a （结果用a ，r ，b 表示）；（2）若存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，求T 的最小值；（3）定义：对于n N *∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“Y 数列”．已知首项为b （b 为正奇数），公比q 为正整数的等比数列{}n b 是“Y 数列”，数列{}2nb 不是“Y 数列”，当0r >时，{}n a 是各项都为有理数的等差数列，求n n a b .高三年级第三次模拟检测数学Ⅱ试卷21．【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） A ．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =． 求证：PDE POC ∠=∠．B ．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量． （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值．C ．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值．AD ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设0,0,0,1x y z xyz >>>=，求证：333111111.x y y z z x x y z++≥++ 【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. 某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p q >)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； （2）求p ，q 的值； （3）求数学期望E ξ．23. 有三种卡片分别写有数字1，10，100，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片之和为m （m 为正整数）．考虑不同的选法种数，例如m =11时有两种选法：“一张卡片写有1，另一张写有10”或“11张写有1的卡片”． （1）若m =100，直接写出选法种数；（2）设n 为正整数，记所选卡片的数字和为100n 的选法种数为n a ，当n ≥2时，求数列}{n a 的通项公式．高三年级第三次模拟检测数学Ⅰ答案一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上） 1. {3} 2. 1 3.充要 4. 235. 96. 317. 48. 12.59.10. 2011.12. 13. 1(,3][,)3-∞-+∞ 14.2(0,]3二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：（1）在ABC ∆中，8AB AC ⋅=，cos 8bc θ∴=，8cos bc θ∴= 又ABC ∆的面积1sin 4tan 2S bc θθ==tan 3θ≤≤ 又(0,)θπ∈，[,]63ππθ∴∈ ……………………..…….7分 （2）2()2sin 2fθθθ=112(cos 22)2θθ=-12(sincos 2cossin 2)66ππθθ=-+12sin(2)6πθ=-+ ……….10分由（1）知，当6πθ=时，min ()1f θ=-；当3πθ=时，max ()0f θ=………14分（未指出θ值各扣1分）16.证明：（1）连接1A B ，与1AB 交于点E ，连接DE正三棱柱111ABC A B C - 11//AA BB ∴ ∴四边形11AA B B 是平行四边形 1A B ∴与1AB 互相平分 E ∴是1A B 的中点在1A BC ∆中，D 是BC 中点，E 是1A B 的中点 DE ∴是1A BC ∆的中位线 1//DE AC ∴ 又DE ⊂平面AB 1D ，1AC ⊄平面AB 1D ，1//DE AC ∴A 1C //平面AB 1D . …………7分（2）正三棱柱111ABC A B C - 1BB ∴⊥平面ABC又1BB ⊂平面11BCC B ∴平面11BCC B ⊥平面ABC 平面11BCC B 平面ABDMC1A 1B 1C 第16题ABC BC =在正ABC ∆中，D 是BC 中点 A D B C∴⊥又AD ⊂平面ABC AD ∴⊥平面11BCC B又BM ⊂平面11BCC B A D B M∴⊥ 又1BM B D ⊥，1B D AD D =AD ⊂平面1AB D 1B D ⊂平面1AB D BM ∴⊥1A B D 又BM ⊂平面ABM 平面AB 1D ⊥平面ABM …………………14分17.解：（1）四边形12AF BF 是正方形是正方形2b c ∴==，2e ∴=………………………4分 （2）①由（1）设椭圆2222:112x y C a a +=，代入，得2226:1C a a += 28a ∴= ∴椭圆22:184x y C +=………………….8分 ②设点()0,8P x -，其中00x ≠ 设()11,M x y (0,2)A ，(0,2)B - ,,M B P 三点共线 ∴11026y x x +=- （*） 又110210AM AP y k k x x -==-110210()AM AP y k k x x -∴=⋅- 由（*）可知 2121453A M A P y k k x -∴=（**）()11,M x y 在椭圆22:184x y C +=上 22114(1)8x y ∴=- 代入（**）得56AM AP k k =-为定值.…………………….14分 18.解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则)4,4(),0,8(),16,8(-P B C ，∴:2OC y x = 1:2OD y x =-∴OC OD ⊥设)0,0(),2,(),,2(>>-n m n n N m m M∵P 为MN 的中点∴ ⎩⎨⎧=+-=+-8282n m n m ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==58524n m此时),524,548(-M ;5524=d …………….7分（建系2分） （2） ∵PN PM k k = ∴442424+-=+--n n m m ∴mn n m 5124=+∵OC OD ⊥ ∴1522OMN S OM ON mn ∆=⋅=∵mn mn n m 385124≥=+ 当且仅当5243==n m 时取等号，∴25192≥mn . ∴59625OMN S mn ∆=≥， 此时.5524=d答：（1）当5524=d 时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M 满足5524=d 时，观赏效果最好.………………………………….16分（答1分） 19.解：（1）2'()(1)xxe f x x =+，'(1)4e f ∴= 且(1)2e f = ()y f x ∴=在(1,(1))f 处切线方程是：(1)24e e y x -=-，整理得：44e ey x =+.………4分 （2）由题设不等式：212x e x x a ≥++ 212xa e x x ∴≤--.设21()2xh x e x x =-- '()1x h x e x ∴=-- 设()'()1x p x h x e x ==--(0)0p ∴='()10x p x e =-≥ ()p x ∴在[0,)+∞上单调递增 ()0p x ∴≥ '()0h x ∴≥ ()h x ∴在[0,)+∞上单调递增 又(0)1h = min ()(0)1h x h ∴== 1a ∴≤………10分（3）(0,1)(1,)D =+∞OBC第18题(1)()ln xx x m e x -+∴<在D 上有解等价于(1)()1(1)ln x e x x m x x x-+<++在D 上有解. 先证：(1)14x e e x x ≥++在D 上恒成立，即证：(1)014x e e x x -+≥+恒成立， 只要证2(1)04xee x -+≥在D 上恒成立 设2()(1)4x e H x e x =-+，其中[0,)x ∈+∞ (1)0H = '()(1)2x e H x e x =-+，'(0)102eH =-<，'(1)0H =''()2x e H x e =-在[0,)+∞上单调递增 令''()0H x =，得ln (0,1)2ex =∈当(0,ln )2ex ∈时 ''()0H x < '()H x ↓当(ln ,)2ex ∈+∞时 ''()0H x > '()H x ↑min '()'(ln )ln 0222e e eH x H ∴==-<当(0,1)x ∈时 '()0H x < ()H x ↓ 当(1,)x ∈+∞时 '()0H x > ()H x ↑min ()(1)0H x H ∴== ()0H x ∴≥恒成立 (1)14x e ex x ∴≥++在D 上恒成立 ①再证：1(1)4ln e x x x-+>在D 上恒成立 当(1,)x ∈+∞时，即证：41ln 01x x e x --⋅>+恒成立 （*） 设41()ln 1x F x x e x -=-⋅+ 其中[1,)x ∈+∞，(1)0F ∴=22(28)'()(1)ex e x e F x ex x +-+=+ 设2()(28)t x ex e x e =+-+，其中64320e ∆=-< ()0t x ∴>恒成立 '()0F x ∴>恒成立 ()F x ∴在(1,)+∞上单调递增 ()(1)0F x F ∴>=∴（*）成立当(0,1)x ∈时，即证41ln 01x x e x --⋅<+ 由上证可知，不等式成立1(1)4ln e x x x-∴+>在D 上恒成立 ② 由①②可知，11ln x e x x x->+在D 上恒成立 (1)(1)ln xx x e x -+∴>恒成立∴当1m ≤时，(1)()(1)(1)ln ln x x x m x x e x x-+-+≤<在D 上恒成立∴令2m = (1)(2)()ln x x g x x -+∴=，151() 1.8124ln 2g ∴=⋅≈，又12 1.65 1.81e ≈<， ()x e g x ∴<在D 上有解.综上，m 的最小整数值是2. ………16分（得到结果未证明得2分）20.解：(1)1=n 时,b aa ra -=2,∴abra a +=2 2=n 时,b a a bra a b ra a r -+=++3)(,∴r a a +=3 1a a ∴=，2ba r a =+，3a a r =+…………………….4分（各2分）(2) ∵b a a rS n n n -=+1 ① ∴b a a rS n n n -=+++211 ② ②-①得)(2111n n n n n n a a a rS rS ra -=-=++++ ∵01>+n a ,∴r a a n n =-+2)}({},{212*-∈N k a a k k 都是公差为r 的等差数列.写出数列的前几项：,a r ab +,r a +,r a 2+,r ab2+… ∴r >0时, k k a a 212,-都是单调递增的,不合题意,同理r <0时也不成立 ∴r =0则数列为,a a b ,a ,ab … ∴ 当ab a =即2a b =时，min T =1， 当2a b ≠时，min T =2 综上，min 1T =或min 2T =…………….8分（各2分）(2) ∵{n b }是首项为b （b 为正奇数）公比q 为正整数的等比数列 ∴n b >0∵{n b }是“Y 数列”,∴01)1(1>>-=-+q b b b n n n ∴01>-q 即1>q ,∴111)(--+->-=-n n n n n n b b b b q b b 所以在n n b b -+1{}中,12b b -为最小项 同理}2121{1n n b b -+中122121b b -为最小项由{}n b 是“Y 数列”，所以112>-b b ,即1)1(>-q b 数列{}2n b 不是“Y 数列”所以1212112≤-b b ,即2)1(≤-q b ∴2)1(=-q b .∵b 为正奇数 ∴b =1, 3=q ∴13-=n n b ………………12分. 由(2)有数列}{n a 的前三项是：,a r a+1,r a + ∵}{n a 是各项都为有理数的等差数列∴)1(2r a r a a +=++ 整理得0222=--ar a 4r a ∴=（04r a =<舍去）r a +=是有理数216r ∴+是一个完全平方数 设*k N =∈，2216k r ∴-=由r >0得116k r k r -=⎧⎨+=⎩（无整数解，舍去）或⎩⎨⎧=+=-82r k r k 解得⎩⎨⎧==53k r 此时，2a =，312n n a +∴=所以，*(31)3()6nn n n a b n N +=∈………………………..16分高三年级第三次模拟检测数学Ⅱ答案21．B ．解：（1）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，1a ∴=………5分 （2）12()(1)(2)6032f λλλλλ-==---=- 14λ∴=，21λ=-………10分C ．解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)即=0a >，所以2a =.………10分（多一解扣2分）22.解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知 14()5P A =，2()P A p =，3()P A q =（1）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 61191(0)1125125P ξ-==-=，………3分 （2）由题意知12316(0)()(1)(1)5125P P A A A p q ξ===--= 123424(3)()5125P P A A A pq ξ====整理得 6125pq =，1p q +=由p q >，可得35p =，25q =.………6分（3）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++=411(1)(1)(1)(1)555p q p q p q --+-+-37125= (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==58125 0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==95 (10)分23. 解:(1) m =100时选法种数为12. ………4分(2)由(1)知121=a ,当n ≥2时,若至少选一张100的卡片,则除去一张100的卡片,其余数字之和为100(n -1),有1-n a 种选法, 若不选含有100的卡片,则有(10n +1)种选法.所以n a =1-n a +10n +1从而n a =(n a -1-n a )+(1-n a -2-n a )+…+(-2a )1a +1a =10n +1+10(n -1)+1+…+10×2+1+12 =)2(1651212)1)(2(102≥++=+-+-+⋅n n n n n n ………10分。

高三年级第三次模拟检测数学Ⅰ答案一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上） 1. {3} 2. 1 3.充要 4. 235. 96. 317. 48. 12.59.10. 2011.12. 13. 1(,3][,)3-∞-+∞ 14. 2(0,]3二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（1）在ABC ∆中，8AB AC ⋅=，cos 8bc θ∴=，8cos bc θ∴=又ABC ∆的面积1sin 4tan 2S bc θθ==tan θ≤≤ 又(0,)θπ∈，[,]63ππθ∴∈ ……………………..…….7分（2）2()2sin 2f θθθ=112(cos 22)22θθ=-+12(sincos 2cossin 2)66ππθθ=-+12sin(2)6πθ=-+ ……….10分 由（1）知，当6πθ=时，min ()1f θ=-；当3πθ=时，max ()0f θ=………14分（未指出θ值各扣1分）16.证明：（1）连接1A B ，与1AB 交于点E ，连接DE正三棱柱111ABC A B C - 11//AA BB ∴ ∴四边形11AA B B 是平行四边形 1A B ∴与1AB 互相平分 E ∴是1A B 的中点在1A BC ∆中，D 是BC 中点，E 是1A B 的中点 DE ∴是1A BC ∆的中位线 1//DE AC ∴ 又DE ⊂平面AB 1D ，1AC ⊄平面AB 1D ，1//DE AC ∴A 1C //平面AB 1D . …………7分（2） 正三棱柱111ABC A B C - 1BB ∴⊥平面ABC又1BB ⊂平面11BCC B ∴平面11BCC B ⊥平面ABC 平面11BCC B 平面ABC BC =在正ABC ∆中，D 是BC 中点 A D B C∴⊥ 又AD ⊂平面ABC AD ∴⊥平面11BCC B 又BM ⊂平面11BCC B A D B M∴⊥ 又1BM B D ⊥，1B D AD D = AD ⊂平面1AB D 1B D ⊂平面1AB D BM ∴⊥1A B D 又BM ⊂平面ABM 平面AB 1D ⊥平面ABM …………………14分17.解：（1）四边形12AF BF 是正方形是正方形2b c ∴==，2e ∴=………………………4分 （2）①由（1）设椭圆2222:112x y C a a +=，代入，得2226:1C a a += 28a ∴= ∴椭圆22:184x y C +=………………….8分 ②设点()0,8P x -，其中00x ≠ 设()11,M x y (0,2)A ，(0,2)B -,,M B P 三点共线 ∴11026y x x +=- （*） 又110210AM AP y k k x x -==-110210()AM AP y k k x x -∴=⋅- 由（*）可知 2121453A M A P y k k x -∴=（**） ()11,M x y 在椭圆22:184x y C +=上 22114(1)8x y ∴=- 代入（**）得56AM AP k k =-为定值.…………………….14分 18.解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则)4,4(),0,8(),16,8(-P B C ，ABDMC1A 1B 1C 第16题∴:2OC y x = 1:2OD y x =-∴OC OD ⊥∵P设)0,0(),2,(),,2(>>-n m n n N m m M为MN 的中点∴ ⎩⎨⎧=+-=+-8282n m n m ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==58524n m此时),524,548(-M ;5524=d …………….7分（建系2分） （2） ∵PN PM k k = ∴442424+-=+--n n m m ∴mn n m 5124=+∵OC OD ⊥ ∴1522OMN S OM ON mn ∆=⋅=∵mn mn n m 385124≥=+ 当且仅当5243==n m 时取等号，∴25192≥mn . ∴59625OMN S mn ∆=≥， 此时.5524=d答：（1）当5524=d 时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M 满足5524=d 时，观赏效果最好.………………………………….16分（答1分）19.解：（1）2'()(1)xxe f x x =+，'(1)4e f ∴= 且(1)2e f = ()y f x ∴=在(1,(1))f 处切线方程是：(1)24e e y x -=-，整理得：44e ey x =+.………4分 （2）由题设不等式：212x e x x a ≥++ 212xa e x x ∴≤--.设21()2x h x e x x =-- '()1x h x e x ∴=-- 设()'()1xp x h x e x ==-- (0)0p ∴= '()10x p x e =-≥ ()p x ∴在[0,)+∞上单调递增 ()0p x ∴≥ '()0h x ∴≥ ()h x ∴在[0,)+∞上单调递增 又(0)1h = m i n ()(0)1h x h ∴== 1a ∴≤………10分 （3）(0,1)(1,)D =+∞(1)()ln xx x m e x -+∴<在D 上有解等价于(1)()1(1)ln x e x x m x x x-+<++在D 上有解. 先证：(1)14x e e x x ≥++在D 上恒成立，即证：(1)014x e e x x -+≥+恒成立， 只要证2(1)04xee x -+≥在D 上恒成立 设2()(1)4x e H x e x =-+，其中[0,)x ∈+∞ (1)0H = '()(1)2x e H x e x =-+，'(0)102eH =-<，'(1)0H =''()2x e H x e =-在[0,)+∞上单调递增 令''()0H x =，得ln (0,1)2ex =∈当(0,ln )2ex ∈时 ''()0H x < '()H x ↓当(ln ,)2ex ∈+∞时 ''()0H x > '()H x ↑min '()'(ln )ln 0222e e eH x H ∴==-<当(0,1)x ∈时 '()0H x < ()H x ↓ 当(1,)x ∈+∞时 '()0H x > ()H x ↑min ()(1)0H x H ∴== ()0H x ∴≥恒成立 (1)14x e ex x ∴≥++在D 上恒成立 ① 再证：1(1)4ln e x x x-+>在D 上恒成立 当(1,)x ∈+∞时，即证：41ln 01x x e x --⋅>+恒成立 （*） 设41()ln 1x F x x e x -=-⋅+ 其中[1,)x ∈+∞，(1)0F ∴=22(28)'()(1)ex e x e F x ex x +-+=+ 设2()(28)t x ex e x e =+-+，其中64320e ∆=-< ()0t x ∴>恒成立 '()0F x ∴>恒成立 ()F x ∴在(1,)+∞上单调递增 ()(1)0F x F ∴>=∴（*）成立当(0,1)x ∈时，即证41ln 01x x e x --⋅<+ 由上证可知，不等式成立 OBC第18题1(1)4ln e x x x-∴+>在D 上恒成立 ② 由①②可知，11ln x e x x x->+在D 上恒成立 (1)(1)ln xx x e x -+∴>恒成立 ∴当1m ≤时，(1)()(1)(1)ln ln x x x m x x e x x-+-+≤<在D 上恒成立∴令2m = (1)(2)()ln x x g x x -+∴=，151() 1.8124ln 2g ∴=⋅≈，又12 1.65 1.81e ≈<， ()x e g x ∴<在D 上有解.综上，m 的最小整数值是2. ………16分（得到结果未证明得2分）20.解：(1)1=n 时,b aa ra -=2,∴abra a +=2 2=n 时,b a a bra a b ra a r -+=++3)(,∴r a a +=3 1a a ∴=，2ba r a =+，3a a r =+…………………….4分（各2分）(2) ∵b a a rS n n n -=+1 ① ∴b a a rS n n n -=+++211 ② ②-①得)(2111n n n n n n a a a rS rS ra -=-=++++ ∵01>+n a ,∴r a a n n =-+2)}({},{212*-∈N k a a k k 都是公差为r 的等差数列.写出数列的前几项：,a r ab +,r a +,r a 2+,r ab2+… ∴r >0时, k k a a 212,-都是单调递增的,不合题意,同理r <0时也不成立 ∴r =0则数列为,a a b ,a ,ab … ∴ 当ab a =即2a b =时，min T =1， 当2a b ≠时，min T =2 综上，min 1T =或min 2T =…………….8分（各2分）(2) ∵{n b }是首项为b （b 为正奇数）公比q 为正整数的等比数列 ∴n b >0∵{n b }是“Y 数列”,∴01)1(1>>-=-+q b b b n n n ∴01>-q 即1>q ,∴111)(--+->-=-n n n n n n b b b b q b b所以在n n b b -+1{}中,12b b -为最小项 同理}2121{1n n b b -+中122121b b -为最小项 由{}n b 是“Y 数列”，所以112>-b b ,即1)1(>-q b 数列{}2n b 不是“Y 数列”所以1212112≤-b b ,即2)1(≤-q b∴2)1(=-q b .∵b 为正奇数 ∴b =1, 3=q ∴13-=n n b ………………12分. 由(2)有数列}{n a 的前三项是：,a r a+1,r a + ∵}{n a 是各项都为有理数的等差数列 ∴)1(2r a r a a +=++ 整理得0222=--ar aa ∴=0a =<舍去）4r a =是有理数216r ∴+是一个完全平方数*k N =∈，2216k r ∴-= 由r >0得116k r k r -=⎧⎨+=⎩（无整数解，舍去）或⎩⎨⎧=+=-82r k r k 解得⎩⎨⎧==53k r 此时，2a =，312n n a +∴=所以，*(31)3()6nn n n a b n N +=∈………………………..16分高三年级第三次模拟检测数学Ⅱ答案21．B ．解：（1）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，1a ∴=………5分 （2）12()(1)(2)6032f λλλλλ-==---=- 14λ∴=，21λ=-………10分C ．解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)0a >，所以2a =.………10分（多一解扣2分）22.解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知 14()5P A =，2()P A p =，3()P A q =（1）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 61191(0)1125125P ξ-==-=，………3分（2）由题意知12316(0)()(1)(1)5125P P A A A p q ξ===--= 123424(3)()5125P P A A A pq ξ====整理得 6125pq =，1p q +=由p q >，可得35p =，25q =.………6分（3）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++ =411(1)(1)(1)(1)555p q p q p q --+-+-37125= (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==58125 0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==95………10分23. 解:(1) m =100时选法种数为12. ………4分(2)由(1)知121=a ,当n ≥2时,若至少选一张100的卡片,则除去一张100的卡片,其余数字之和为100(n -1),有1-n a 种选法, 若不选含有100的卡片,则有(10n +1)种选法.所以n a =1-n a +10n +1从而n a =(n a -1-n a )+(1-n a -2-n a )+…+(-2a )1a +1a =10n +1+10(n -1)+1+…+10×2+1+12 =)2(1651212)1)(2(102≥++=+-+-+⋅n n n n n n ………10分。

高三年级模拟检测数学Ⅰ试卷命题人：胥容华刘进范进审题：高三数学组参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高.一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.设集合，，则▲．2.已知复数（，是虚数单位）是实数，则▲．3. “”是“函数为奇函数”的▲　条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．4.一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，有1只黑球的概率是▲．5.根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为▲　．6. 有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为▲．7. 已知满足约束条件，则的最大值为▲．8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为 1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有▲斛．9.已知，且，，则▲．10.各项为正数的等比数列中，，，则▲．11.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积是▲．12.已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，则直线被圆截得的弦长最大值是▲．13.已知向量，满足，，若恒成立，则实数的取值范围为▲．14.设是上的奇函数，当时，，若函数有两个零点，则实数的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）在中，，设，的面积是，且满足.（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值．。