《常微分方程》答案 习题3.3
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习题3.3
1．Proof 若（1）成立则0ε∀>及00x x >，0(,)x δδε∃=，使当 000|||(,,)|y y x x y δ=≤
时，初值问题 0000(,)()(,,)
dy
f x y dx
y x y y x x y ⎧=⎪
⎨⎪==⎩
的解00(,,)y y x x y =满足对一切0x x ≥有00|(,,)|y x x y ε<,
由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,,)y y x x y =及00(,,)y y x x y =都过点
00(,)x y ，由解的存在唯一性
0000(,,)(,,)y x x y y x x y =，当0x x ≥时
故000|(,,)|,y x x y x x ε<≥
若（2）成立，取定00x x >，则0ε∀>，10(,)()x δδεδε∃==，使当 001|(,,)|y x x y δ≤ 时,对一切0x x ≥有
00|(,,)|y x x y ε
<
因初值问题0(,)()0
dy
f x y dx
y x ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
的解为0y =，由解对初值的连续依赖性， 对以上0ε>，000(,,)(,)x x x δδεδε∃==，使当
0||y δ
≤时
对一切00(,]x x x ∈有
001|(,,)|m in{,}y x x y εδε
<<
而当0x x ≥时，因
0011|(,,)|min{,}y x x y εδδ≤<
故00|(,,)|y x x y ε<
这样证明了对一切0x x ≥有
00|(,,)|y x x y ε
<
2．Proof ：因(,)f x y 及
f y
∂∂都在G 内连续，从而(,)f x y 在G 内关于y 满足局部
Lipschitz 条件，因此解00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的。
设由初值00(,)x y 和000(,)x y y +∆0(||,y αα∆≤足够小）所确定的方程解分别为
00(,,)y x x y ϕϕ
=≡，000(,,)y x x y y ψψ=+∆≡
即0
0(,)x
x y f x dx ϕϕ≡+⎰，0
00(,)x x y y f x dx ψψ≡+∆+⎰
于是
00((,)(,))x
x y f x f x dx ψϕϕψ-≡∆+-⎰
0(,())
()01x x f x y dx
y
ϕθψϕψϕθ∂+-=∆+
-<<∂⎰
因
f y
∂∂及ϕ、ψ连续，因此
1(,())
(,)f x f x r y
y
ϕθψϕϕ∂+-∂=
+∂∂
这里1r 具有性质：当00y ∆→时，；10r →且当00y ∆=时10r =，因此对00y ∆≠有
10
(,)1(
)
x x f x r dx
y y
y ψϕ
ϕψϕ
-∂-≡+
+∆∂∆⎰
即0
z y ψϕ
-=
∆
是初值问题
100(,)[]()1dz
f x r z dy
y z x z
ϕ∂⎧=+⎪
∂⎨⎪==⎩
的解，在这里00y ∆≠看成参数0显然，当00y ∆=时，上述初值问题仍然有解。
根据解对初值和参数的连续性定理，知0
y ψϕ
-∆是000,,,x x z y ∆的连续函数，从而存
在
00
lim
y y y ψϕ
ϕ∆→-∂=
∆∂
而
f y ∂∂是初值问题
0(,)()1
dz f x z dx
y z x ϕ∂⎧=⎪
∂⎨⎪=⎩
的解，不难求解
exp
f y ∂=∂0
(,)x x f x dx
y
ϕ∂∂⎰
它显然是00,,x x y 的连续函数。
3．解：这里(,)()()f x y p x y x ψ=+满足解对初值的可微性定理条件 故：
000
(,)exp
f x y x ϕ∂=-∂0
(,)x x f x dx y
ϕ∂∂⎰
000(()())exp ()x x p x y Q x p x dx
=-+⎰
0y ϕ∂∂0
(,)exp exp ()x x x x f x dx p x dx
y
ϕ∂==∂⎰
⎰
0000(,(,,))()(,,)()f x x x y p x x x y Q x x ϕϕϕ∂==+∂
()()dy p x y Q x dx
=+满足00
()y x y =的解为
000
()()0(())x
x
x x p x dx
p x dx
x
x y e
Q x e
dx y -
⎰⎰=+⎰
故
exp ()x x p x dx
y ϕ∂=∂⎰
000
()exp ()(()(exp(())))x x x x x x p x p x dx Q x p x dx dx y x ϕ∂=--+∂⎰
⎰⎰
00exp ()(()()()x
x
x x p x dx Q x p x Q x +-+⎰⎰0
[exp(())])x
x p x dx dx -⎰
0000(()())exp ()x x p x y Q x p x dx =-+⎰
0()exp ()(()(exp(())))
x x
x x x x p x p x dx Q x p x dx dx y x
ϕ∂=-+∂⎰
⎰⎰
exp ()(()exp(()))x
x
x x p x dx Q x p x dx +-⎰⎰
00()(,,)()p x x x y Q x ϕ=+
4．解：这是(,)sin()y
f x y x =在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，
由公式
00(1,0)
00(1,0)
(,,)
(,)(,)exp()
0x x y x x y f x y f x y dx x y
∂∂=-=∂∂⎰
00(1,0)(1,0)
(1,0)
(,,)
(,)1exp()
exp cos
x x x x y x x y f x y y dx dx
x y x
x
∂∂==∂∂⎰
⎰
1
1(,1,0)
exp cos
x
y x dx
x
x
=⎰
易见0y =是原方程满足初始条件(1)0y =的解
(,1,0)
(,1,0)0
cos
cos 01y x y x x
=∴==
故
00011
(,,)
1exp ||x x y y x x y dx x y x
==∂==∂⎰。
