高考数学复习点拨 反证法要点解密

第19讲正难则反与反证法正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。

正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套.中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题，在数学学习中应加强逆向思维的训练，注意以下几点：(1)数学命题中，定理不一定可逆，但定义总是可逆的，应当学会从正反两个方面运用定义，提升数学思维的灵活性的水平.(2)注意公式的逆用.逆用公式与顺用公式同等重要，有时将公式反用或适当改变公式形式再用，往往能收到化繁为简的效果.(3)对数学常规问题提法与推断进行逆向思考.(4)注意解题中的可逆性原则.正难则反分析体现得最完美的是反证法，证明一个数学命题，当直接证法难以实施时，则可考虑用反证法这一间接证法.但话说回来，何谓反证法?一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法.反证法是一种最常见的证明方法，成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法。

七、反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有 了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！ ”
路边苦李
王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？
反证法
反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在 同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
反证法：假设命题结论的反面成立, 经过正确的推理,引出矛盾，因此说 明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法.（归谬法）
❖ “小试身手”三： ❖ 会议期间，姬鹏
飞外长会见了加拿大 外长夏普，拜会了法 国外长舒曼，与美国 国务卿罗杰斯见了面。 ❖ 这三个词用得好不好， 有什么区别吗？
❖ 朱自清的《背影》：
《背影》在三个地方分别用了“嘱 咐”“嘱”“嘱托”三个同义词，第一 次父亲因为事忙，本已说定不送我，叫 旅馆的一个熟识的茶房陪我同去。他再 三嘱咐茶房，甚是仔细。第二次，（当 父亲给“我”“拣定了靠车门的一张椅 子”）嘱我路上小心，夜里警醒些，不 要受凉。第三次，（在父亲嘱“我”路 上要小心之后）他又嘱托茶房好好照应 我。
❖ （①表示并列关系。一般不译，有时可译为“又”。②表 示递进关系。可译为“并且”或“而且”。④表示承接关 系。可译为“就”、“接着”，或不译。⑤表示转折关系。 可译为“但是”、“却”。⑥表示假设关系。可译为“如 果”、“假如”。⑦表示修饰关系，即连接状语。可不译。 ⑧用作代词。只用作第二人称，一般作定语，译为“你 的”；偶尔也作主语，译为“你”。）

【高二学习指导】高二数学解题技巧：反证法讲解
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学习有所帮助！
高二数学解题技巧：反证法讲解
反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。

(一)反证法是一种重要的证明方法。

这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适
用范围。

反证法的解题步骤：
第一步：反设。

假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。

第二步：归谬。

由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。

这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知
条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。

第三步：存真。

由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

反证法的三个步骤是互相联系的。

反设是前提，归谬是关键，存真是目的。

只有正确
地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。

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高二
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