湖南省岳阳县第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题及答案

2019届高三上学期十月知识总结一一理科数学、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1 •复数z 满足Z 1 -i = 1 i ，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B•第二象限 C •第三象限 D •第四象限X —122. 已知集合 A = {x | 0}, B ={ x | y = lg( -x4x 5)}，则 A 「(C R B)=()x +2A. (-2,—1]B • [-2,一1]C • (-1,1]D • [-1,1]3. 给出下列四个命题： ① 若A^B ，贝U A 或B ；② -[2 * ,都有 x 2 2x ；12 2③ "a”是函数“ y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为 二”的充要条件;2④ “ x^ R, x 02 2 3x )” 的否定是“ R, x 2 2 乞 3x ”；其中真命题的个数是(立，则f (2018)的值为(A. 1A. 1A. 14.已知函数f(x)是定义在 B. 2 C. 3R 上的偶函数，且f (0) = -1，且对任意D .二-f (2-x)成5.如果实数 x - y 1 — 0,x, y,满足条件2x ，y 「2_0,，贝V z =1 x 十0,2x 3y的最大值为(6.在平行四边形A.ABCDKAD=1,. BAD =60 ,E为CD的中点•若AC BE = 1，则AB的长为(D. 22 2 27.已知数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且S n ^2a n ，则使不等式a • a ? V a . :: 86成立的n 的最大值为（）9.若将函数f （x ） =sin （2x •「）「、3cos （2x •「）（0”「r ）的图象向左平移 1个单位长度，平移4后的图象关于点（一,0）对称，则函数g （x ） =cos （x •：:）在［ / ］上的最小值2 2 6、• 3C2cosB 」3sinB =2，则a c 的取值范围是（）H n =2n 1，记数列｛a n -20｝的前n 项和为&，则&最小值为（12.对于函数f x 和g x ,设二三：x f x = 0』，—：xg x =0』，若存在:J ,使得8.两个正实数 x, y 满足A.(-1,4)B.1 4 一 y 21，且不等式x m —3m 有解，则实数m 的取值范围是（x y 4（一①-1） （4, ：：） C.(_4,1) D. (_：：,0) (3,：：)1 A.210.在锐角 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若凹bA. 3,2'B. C.一2汁3D.11.对于数列{a n },定义H n=a1+2a2川2 an为的{a n }“优值”，现已知某数列的“优值”A. —70C . -64D . -68则称f X 与g x 互为“零点相邻函数” •若函数f x 二 e x4 x - 2 与g x 二 x 2 _ ax _ a 3 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ A. 2,41 B.汀7C.D.2,3】 二.填空题（本大题共4小题，每题5分.共20 分）13•已知数列Q =1,a n=a n,+3n (n^2,,则数列牯」的通项公式a n= .?■=•T B■“Y R. =•«14. 已知向量|a—b|=|b|, |a—2b冃b|，则向量a，b的夹角为 _____________________________15. 已知关于x的不等式2x -1 mx2 -1 ,若对于xd, •::不等式恒成立，则实数m的取值范围是In x 1 16•已知函数f x是可导函数，其导函数为 f x，且满足xf (x) • f (x)，且f (e)=-x e，则不等式f (x +1) - f (e +1) AX—e的解集为 ___________________三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, C=60； . 2^ . 3b.(1)求角代B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a = 4 , BCD的面积为.3，求BD的长.18. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x2-12x • 27 = 0的两个实数根，数列｛bJ满足j 1 b n二na n1 -(n-1)a n(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)设T n为数列｛b n｝的前n项和，求T n.2 1 19.(本小题满分12 分)已知向量m = (.3cosx,1) ,n = (si nx,cos x-1)，函数f(x)=m・ n -(1)若x 0, , f x 3，求cos2x 的值；IL 4 3(2)在ABC中，角A,B,C对边分别是a, b,c，且满足2bcosA乞2c-■■一3a，当B取最大值时,-3 a 亠ca=1“ABC面积为，求的值.sin A +sin C420.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列｛耳｝的前四项和S4 =14,且a,,a3,a7成等比.(1)求数列｛耳｝的通项公式;1(2)设T n为数列｛ -------- ｝的前n项和，若’T n _ a n勺对一切n三a n a n ■+N*恒成立，求实数■的最大值.2x —121.(本小题满分12分)已知fx二ax-l nx .x(1)若函数f x在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线程；(2)讨论f x的单调性•y = f x在1, f 1处的切线方22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x, g(x) =£ ax2-bx , (1)当a 0，且a为常数时，若函数h(x^x lg(x) 1对任意的成立，试用a表示出b的取值范围；(2)当 a 时，若f(x V)_2 g(x)对x € [0 ,+s)恒成立，其中a,b・R\ x2 _ 4,总有. 0X1 —X2求a的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD3n+ -713. a n 2兀14.614. m _015. -1,e17. (1 ) 18. (1 )A = 75 , B = 45 (2) BD - 13a n =2n -1,6 二4n-1 3nJ⑵ T n = 5 4n-5 2n.319.(1)6(2) 220.(1)O n =n 1(2)' max = 1611 21. a 二y = x —一2222.(1)由题意，得1 3h(x)二xg(x) x 二㊁ax2-bx x在x・[4,；)上单调递增二h'(x)二ax2-2bx 1 _0 在x [4,：：)上恒成立22b乞童-=ax -在x・[4,；)上恒成立x x构造函数F(x) =ax 1 (a 0), x (0,：：)x2 .贝V F '(x)二a -吉二ax2Tx x••• F(x)在(0, a)上单调递减，在(a,；)上单调递增a a(i) 当4，即0 ::：a ：：：去时，F(x)在[4,―彳)上单调递减，在(一乩，；)上单调递增a 16 a a•〔F(x) Lin =F(严)=2 a• 2b岂I.F(x) m in，从而 (」：，• a](ii) 当—-4，即a 一±时，F(x)在(4 ,+s )上单调递增a 162b <F (4) =4a 1，从而b (_：：,2a Q] 8 分4 8综上，当0 :：:a ::: 16 时，b (_：：, a] , a 时，b (_：：, 2a ；]；(2)当b=-|a时，构造函数G(x) =f (x 1) —3g(x) =(x 1)ln(x 1)—*ax2—ax, x [0,：：)由题意，有G(x)乞0对x・[0, •：:)恒成立T G '(x) =ln(x 1) 1 _ax -a, x 二[0,：：)(i) 当a ^0 时，G'(x)=ln(x 1) 1 —a(x 1) 0••• G(x)在[0,;)上单调递增••• G(x) G(0) =0在(0,；)上成立，与题意矛盾.(ii) 当a 0 时，令(x) =G '(x), x [0,二)则：'(x) 斗-a，由于斗(0,1)x +1 x +1①当a _1时，'(X)二丄—a：：：0 , (x)在X [0,二)上单调递减x +1•(X)乞(0) =1 —a 乞0，即G'(x)E0在X [0,：：)上成立• G(x)在x三[0,亠)上单调递减• G(x)乞G(0)=0在[0,；)上成立，符合题意7伙一(1一1)]②当0 ：：a ：：1 时，：'(x)a a,x：=[0,；)x +1 x +1•- (x)在x [0, 1 -1)上单调递增，在x ({ -1,=)上单调递减T (0) =1 -a 0•- (x) 0在x [0, 1 -1)成立，即G '(x) 0 在x [0, 1 -1)成立a a• G(x)在x [0,丄一1)上单调递增a• G(x) G(0) =0在x (0,丄-1)上成立，与题意矛盾a综上，a的最小值为1。

湖南省岳阳县一中2019届高三10月第二次月考数 学(文科)一、选择题（下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的，请将正确答案填入答题纸的表格中，每小题5分，50分）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()U A B ð为 （ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C. {}0,2,3,4D. {}0,2,4 2. 函数()sin(2)3f x x π=+的一个对称中心是 ( )A.(,0)3πB. (,0)12πC. (,0)6πD. (,0)12π-3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．函数()log 1(01)a f x x a =+<<的图像大致为 （ ）6．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=则x =1”的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件A. B. C.D.C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题22:10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则均有7. 已知一元二次函数2()f x x bx c =++，且不等式20x bx c ++>的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为 （ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内至少有一个极值点，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2) [32，2)9.锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，且2B A =，则ba的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．2)D ．10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足条件(2)2()f x f x =，且当(1,2]x ∈时，()2f x x =-，若12,x x 是方程() (01)f x a a =<≤的两个实根，则12x x -不可能是（ ）A ．30B ．56C ．80D ．112二．填空题：(共35分把答案填在答题纸相应题号后的横线上) 11．函数ln (0)y x x =->的单调增区间为________________．12.已知函数()ln(1)f x x =+的定义域为M ，则M=13．命题p:x R ∃∈，使2(1)10x a x +++<,若p ⌝为假命题，则实数a 的取值范围是14．函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示,则函数的解析式为15．对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)()0(≠a ，给出定义：）（x f /是函数)(x f 的导函数，)(//x f 是）（x f /的导函数，若方程0)(//=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”。

2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2+3x−4≥0}，则( )A. A ∩B =⌀ B. A ∪B =RC. A ⊆BD. B ⊆A2.已知复数z =2+i 20231+i，则z 的共轭复数−z 在复平面中对应的点在第( )象限A. 一B. 二C. 三D. 四3.关于三个不同平面α，β，γ与直线l ，下列命题中的假命题是( )A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β4.已知奇函数f(x)在R 上可导，g(x)=f′(x)，若g(x)在(0,1)是增函数，在(1,+∞)是减函数，则( )A. g(x)在(−∞,−1)是增函数，在(−1,0)是减函数 B. g(x)在(−∞,−1)是减函数，在(−1,0)是增函数C. g(x)在(−∞,−1)，(−1,0)都是增函数 D. g(x)在(−∞,−1)，(−1,0)都是减函数5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−3,4),∠BOx =π4，记∠AOB =θ，则cos (θ−π4)=( )A. −35 B. 35 C. −45 D. 456.如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表(如图)，视力值从4.0到5.3，每行相差0.1，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣(1914−2005)在1959年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，1986年，《对数视力表》在第25届国际眼科大会(罗马)宣读，引起轰动，1990年《标准对数视力表》被制定为国家标准(GB11533−89)，并在全国实施.已知在五分记录法中，规定视力值L=5−lgα，其中α为人眼的视角，单位为分(1度=60分)，视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心(眼球大小忽略不计)，视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长.如果某人的一只眼睛的视力值为4.7，那么这只眼睛能看到距离5米外的最小物体的长度约为(参考数据：100.3≈2，π≈3.14)( )A. 1.5毫米B. 2.9毫米C. 4.4毫米D. 5.8毫米7.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72,4)，则|PA|+|PM|的最小值是( )A. 5B. 92C. 4 D. 328.已知过点(a,b)可以作函数f(x)=x3−x的三条切线，如果a>0，则a和b应该满足的关系是( )A. 0<b<a3B. −239<b<a3−aC. −a<b<a3D. −a<b<a3−a二、多选题：本题共4小题，共20分。

岳阳县一中2019届高三第一次月考数学试卷（理）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.函数y =的定义域是（ ）A. [0,2)B. [0,1)(1,2) C. (1,2) D. [0,1)2. “1a =”是“函数2()2f x x ax b =-+在区间[)+∞,1上为增函数”的 ( )A ．既不充分也不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件 3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180 件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x ，设此次抽样中，某件产品A 被抽到的概率为y ，则x ，y 的值分别为（ ）.A 25，16 .B 20，16 .C 25，1600 .D 25，144. 设向量(1,cos )a θ=，b =（1-， 2cos θ），且a b ⊥， 则cos2θ等于 （ ）A ．2 B. 12C . 0 D. 1-5 . 若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何 体的体积为（ ） A ．63cm B ．123cm C ． 183cm D ．363cm6. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增7．若函数()1sin f x x x =+-在区间[6,6]-上的值域是[,]n m ，则n m +＝（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 68．函数||2x y =的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象是（ ）（第5题）图图1 俯视图23⎦⎣6，值范围是 ( )A ．[3,6]B ．[3,4+C ．[46]D ．]34,34[+-．10．已知R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x -=-, 且[0,1]x ∈时，()21xf x x =+-. 若方程()1f x =在区间[6,4]-上有m 个不同的根12,,,m x x x ，则1mi i x ==∑( )A ． 6-B ． 6C ． 0D ．4-11. 定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈, 存在常数0M >, 都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的界. 已知函数()f x =124x x a --+⋅+在区间[]0,1上是以3为界的有界函数，则实数a 的范围( )A ． []5,1-B ．75,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]4,1-D ．17,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()xf x e =，1()ln 22xg x =+的图象分别与直线y m =交于,A B 两点， 则AB 的最小值为 （ ） A ．2B ．32ln2e - C ．212e + D ．2ln 2+ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数2log log )(32++=x b x a xf ，且1(42016f =， 则(2016)f 的值为 ．14. 执行右图所示的程序框图，输出结果S 的值是 ． 15. 设ABC ∆中，3B =π，AC =则ABC ∆的面积的最 大值为 ．AC B D16. 已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，（1）a 的取值范围是 ；（2）若关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值． 18.（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足43x -<.（Ⅰ）若1,a = 且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：332n n S a n =+-. （Ⅰ）求证：数列{}1n a -是等比数列； （Ⅱ）令31323log (1)log (1)log (1)n n c a a a =-+-++-，对任意*n N ∈，是否存在正整数m ，使121113n mc c c +++≥都成立？ 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分12分）已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（Ⅰ）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.21．（本小题满分12分）已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数1()ln()f x x ax a=+-, 其中a R ∈且0a ≠. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）若方程()0f x =存在两个异号实根12,x x ，求证：120x x +>. 参考答案BDAC BBCB ADAD1312313.0;14.30;15.16.(1),;(2),34334⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭(3分) 17.解:（1） 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< 当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<. 由43x -<, 得17x <<若p q ∧为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是13x <<.(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p 是q 的充分不必要条件，当0a >时，:(,3)P a a ，1a ≥且37a ≤，713a ≤≤ 当0a =时，不等式的解为空集，符合题意； 当0a <时，不合题意。

湖南省岳阳县第一中学2019届高三数学上学期期中试题 理满分：150分 时间：120分钟，一. 选择题：（每小题5分，共60分） 1.已知集合2M {x |x x 20}=--<，2N {y |y x 1,x R}==-+∈，则MN =（ ）A.{x |2x 1}-≤<B.{x |1x 2}<<C.{x |1x 1}-<≤D. {x |1x 2}≤< 2.在复平面内，复数i(2i)-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．阅读右面的程序框图，则输出的k 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D.74.已知命题p :x R,x 2lg x,∃∈->命题2q :x R,x 0,∀∈>则( ) A.命题p q ∨是真命题 B.命题p q ∧是真命题 C.命题p (q )∧⌝是假命题 D.命题p (q )∨⌝是假命题5.函数x y sin()23π=+在x [2,2]∈-ππ上的单调递增区间是（ ） A.5[,]33ππ-B. 5[2,]3π-πC. [,2]3ππD. 5[2,]3π-π和[,2]3ππ ※6.已知19x 0,y 0,1,x y>>+=且，则x y +的最小值是( ) A.4 B.12 C.16 D.24 ※7.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2α+α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.16258.函数y cos(x )(0,0)=ω+φω><φ<π为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A,B 分别为最高点与最低点,且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为( ) A.2x =π B.x 2π= C.x 1= D.x 2=※9.观察2/(x )2x =,4/3(x )4x =,/(cos x)sin x.=-由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x)满足f (x)f (x)-=，记g(x)为f (x)的导函数，则g(x)-=（ ）A. f (x)B.f (x)-C.g(x)D.g(x)-※10.已知球O 的半径为R ，A ,B ,C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 距离为1R 2，AB AC 2==,BAC 120∠=,则球O 的表面积为( ) A.169π B.163π C.649π D.643π11.某几何体的三视图如图所示，则该集合体中，面积最大的侧面的面积是（ ）A.2B.2C.2D.3 12. 在数列{}n a 中，1n n 1a 0,a a 52(n 2)(nN ,n 2)*-=-+=+∈≥，若数列{}n b 满足n n 8b 1()11=，则数列{}n b 的最大项为（ ）A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点P(x,y)在不等式组2x y 0x y 0y 20-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域上运动，则z=x+y 的最大值是14.设1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，12OP 2e 3e =+，则OP = ※15.数列{}n a 满足：n n 6(3a)n 3,n 7,a (n N ,a 0a 1)a ,n 7,*---≤⎧=∈>≠⎨>⎩且,且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围为 .16. 对于函数y f (x)=，若存在0x ，使00f (x )f (x )0+-=，则称点00(x ,f (x ))是曲线f (x)的“优美点”，已知2x 2x,x 0,f (x)kx 2,x 0,⎧+<=⎨+≥⎩若曲线f (x)存在“优美点”，则实数k 的取值范围为三．解答题（17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 3=且n 1n a 2S 3+=+，数列{}n b 为等差数列，且公差d 0>，123b b b 15++=(1).求数列{}n a 的通项公式； (2).若312123a a ab ,b ,b 333+++成等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T18.在ABC ∆中，a,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边，且满足cos B 2a b0cos C c-++=。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学10月月考试题 理一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1、已知集合(){}(){}11lg 1,042<+<-==-=x x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A {}2,0B {}2,0,2-C {}0D {}22、若1sin 3α=，则cos 2α= （ ）A 89B 79C 79-D 89- 3、已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= （ ） A 1- B 1 C21 D 21- 4、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A 2πB 3πC 4πD 6π 5、定积分()=-⎰xxde x 12 （ ）A e 2B e +2C eD e -26、若函数()()2ln 4,2--==x x x h x x g ，则函数()()()x h x g x f -=的所有零点之和为（ ）A 0B 2C 4D 8 7、已知πα<<0，51cos sin =+αα，则=α2tan ( ) A. 43-B. 43C. 724D. 724- 8、已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 （ ） A ()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ()f x 的最小正周期为2π，最大值为49、已知函数()x f 是定义域为R 上的奇函数，且()x f 的图像关于直线1-=x 对称，当10≤≤x 时，()23x x x f -=，则()=2019f （ ）A 2-B 2C 0D 310、若函数()xxax x f 4143++=，如果()65=f ，则()=-5f （ ） A 6- B 5- C 4- D 011、若直线b ax y +=与曲线()1ln -=x x f 相切，则=+b a 2ln 2 （ ）A 4 B41C 4-D 2- 12、已知()()()x x x g ax x e x f x +-=++=-ln ,2，若对于任意0<x ，不等式()()x g x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A (]e ,∞- B (]1,+∞-e C [)+∞+,2e D (]2,+∞-e二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、求值:020sin 135cos 20cos -=_____________14、已知函数()xe xf x-=1，给出下列命题：①()x f 没有零点；②()x f 在()1,0上单调递增； ③()x f 的图象关于原点对称； ④()x f 没有极值其中正确的命题的序号是_____________ 15、若函数()32232--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x ax x f 在R 上的最小值为49，则函数()x f 的单调递减区间为_____16、已知定义域为R 的函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()x f x f 2>'，如果e f =⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则不等式()2ln x x f <的解集为_________三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17、（本小题满分12分）已知命题p ：()aa x x f 2122+-=的定义域为R ；命题q ：函数()122++=x ax x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上单调递减；命题r ：函数()()a kx x x h -+=2lg 的值域为R ． （I ）若命题p 是假命题，q 是真命题，求实数a 的取值范围；（II ）若“命题q 是假命题”是“命题r 为真命题”的必要不充分条件，求实数k 的取值范围．18、（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b＝2. （I ）求c ；（II ）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．19、（本小题满分12分）已知∆ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a (sin A-sin B )=(c-b )(sin C+sinB ).（I ）求角C ；（II ）若c=7，∆ABC 的面积为233，求△ABC 的周长.20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(5π6－2x )－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4).（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；（II ）若x ∈[π12，π3]，且F (x )＝－4λf (x )－cos(4x －π3)的最小值是－32，求实数λ的值．21、（本小题满分12分）设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.（I）求f(x)的单调区间;（II）若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22、[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,x tαy tα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）．（I）求C和l的直角坐标方程；（II）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()5|||2|f x x a x=-+--．（I）当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；（II）若()1f x≤，求a的取值范围．高三年级月考考试数学试题(理科)答案16、选择题：ABDCDC CBABCD二、填空题：13、2- 14、①④ 15、(]1,-∞- 16、 ()e ,0三、解答题 17、23、解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，得c ＝－6(舍去)或c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.19、解:(1)由a (sin A-sin B )=(c-b )(sin C+sin B )及正弦定理,得a (a-b )=(c-b )(c+b ),即a 2+b 2-c 2=ab. 所以cos C==,又C ∈(0,π),所以C=.(2)由(1)知a 2+b 2-c 2=ab ,所以(a+b )2-3ab=c 2=7.又S=21ab sin C=43ab=233,所以ab=6,所以(a+b )2=7+3ab=25,即a+b=5.所以△ABC 周长为a+b+c=5+7.20、解(1)∵f (x )＝sin5π6－2x －2sin x －π4cos x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin2x－π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2) F (x )＝－4λf (x )－cos4x －π3＝－4λsin2x －π6－1－2sin 22x －π6＝2sin 22x －π6－4λsin2x －π6－1＝2sin2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin2x －π6≤1.①当λ<0时，当且仅当sin2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.21、解:(1)由f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:(i)当a ≤0时,有f'(x )=3(x-1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞). (ii)当a>0时,令f'(x )=0,解得x=1+33a 或x=1-33a .当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化如下-∞,1- 1-,1+ 1+,+∞+所以f (x )的单调递减区间为1-,1+,单调递增区间为-∞,1-,1+,+∞.(2) 证明:因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠1.由题意,得f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2=3a ,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=-32a x 0-3a -b.又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b=38a (1-x 0)+2ax 0-3a-b=-32a x 0-3a -b=f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0, 所以x 1+2x 0=3.22、[选修4－4：坐标系与参数方程]解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．无解故舍去．②当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．23．[选修4－5：不等式选讲]解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．。

2020届高三月考试题（三）数学（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4.本试题卷共4页。

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5.时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A. 0、1或3B. 1或3C. 1D. 0或3【答案】D 【解析】 【分析】集合AB 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =可得0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3．【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A. 复数z 的实部为3B. 复数z 的共轭复数为：342525i +C. 复数z 部虚部为：425i - D. 复数z 的模为5【答案】B 【解析】 【分析】将复数化为z a bi =+形式，则实部为a ，虚部为b ，共轭复数为z a bi =-，模为z =．【详解】()()1343434343434252525i i z i i i i --====-++-，则实部为325，虚部为425，共轭复数为：342525i +，模为15．选B.【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题．3.若向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ） A. 4π-B.6π C.4π D.34π 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标表示出2a b +和a b -，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果. 【详解】由题意得：()23,3a b +=，()0,3a b -=()()2cos 2,2992a b a b a b a b a b a b+⋅-∴<+->===++⋅- 又[]2,0,a b a b π<+->∈ 2,4a b a b π∴<+->=本题正确选项：C【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.4.下列命题中，真命题是（） A. 0a b +=的充要条件是1ab=- B. 1a >，1b >是1ab >的充分条件 C. 00,0xx R e ∃∈… D. 2,2xx R x ∀∈>【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可．【详解】A 中， 00a b b +=⎧⎨≠⎩的充要条件是1ab =-．A 错B 中， 1a >，1b >可以得到1ab >，当1ab >时，不一定可以得到1,1a b >>．故正确C 中，,0x x R e ∀∈>．C 错D 中，2x ∃=，4x =，22x x =．D 错，所以选B.【点睛】本题考查充要条件以及全称命题与特称命题的真假，属于简单题．5.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】()()1tan171tan28++00000000001tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}2log n a 的前11项和等于（ ）A. 1023B. 55C. 45D. 35【答案】B 【解析】【详解】因为等比数列{n a }的前n 项和21nn S =-，11211a s ==-=所以当2n …时，112n n n n a s s --=-=， 11a =也适合上式,即n a =12n -，所以2log n a =()12log 2n -=n −1，故所求值为()11010552+=，故选B.7.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A. 1B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值．【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．8.已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A.54π B.34π C.2π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()1? {0? x f x x =，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1ff x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点()()()()()()112233A x f xB x f xC x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】试题分析：如x 为有理数，则(())(1)1f f x f ==；如x 为无理数，(())(0)1f f x f ==，故①正确；如x为有理数，则x -为有理数，则()1()f x f x -==，如x 无有理数，则x -为无理数，则()0()f x f x -==，故②正确；如x 为有理数，则T x +为有理数，则()1()f T x f x +==，如x 无有理数，则T x +为无理数，则()1()f T x f x +==，故③正确；令1230x x x ===，则123()()0,()1f x f x f x ===，此时三角形ABC 为等边三角形，所以④正确；故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(2)0f x f x +-=．若当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则12log 6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A. 12-B. 52-C. 5-D. 6-【答案】A 【解析】 【分析】判断()f x 的周期为2，判断12log 6的范围，利用周期性和奇偶性得出答案．【详解】由()(2)0f x f x +-=可得()(2)f x f x =--，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(2)f x f x =-，所以函数的最小正周期为2．又因为111222log log 64log 8<<，即1262log 3-<-<，所以122lo 1g 60+-<<，即1220log 13-<<，则1122233log 6log log 22f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为函数是奇函数，所以22331log log 222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选A 【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于一般题．11.已知角3(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，且满足tan cos 1sin αββ=+，则β=（）（用α表示）．A. 122απ-B. 522πα-C. 522απ-D. 322απ-【答案】C 【解析】 【分析】 由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，整理得sin()cos αβα-=，结合题意与诱导公式 可得3(,)22ππαβ-∈，(,)22ππαπ-∈--，sin()sin[2()]2παβπα-=+-，进而得出答案．【详解】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=， 所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=． 结合诱导公式得sin()sin()2παβα-=-．因为3(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，所以3(,)22ππαβ-∈，(,)22ππαπ-∈--．由诱导公式可得sin()sin[2()]2παβπα-=+-，易知32()(,)22ππαππ+-∈．因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即522βαπ=-．【点睛】本题主要考查三角函数的公式的应用以及求角的范围问题，属于一般题．12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,+∞ D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意设()()xf xg x e=，则()()1()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x -=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()xf xg x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且3a ，512a ，4a 成等差数列，则4635a a a a ++的值是________．．【分析】设等比数列的公比为q ，且0q >，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，再由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【详解】设等比数列的公比为q ，且0q >，因为3a ，512a ，4a 成等差数列，所以354a a a =+，则2333q a a a q =+，化简得210q q --=，解得q =，所以45563353a a a a q a a q q a a ++===++【点睛】本题主要考查等差中项的性质以及等比数列的通项公式，属于一般题．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)2x y a b a b -=>>的焦点相同，则双曲线渐近线方程为：____________．【答案】3y x =±． 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，由题可得22221122a b a b -=+，即223a b ==线方程．【详解】依题意椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)2x y a b a b -=>>的焦点相同，即与22221(0,0)22x y a b a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b =，∴b a ==,x y y x ==．【点睛】本题考查双曲线与椭圆的标准方程以及求双曲线的渐近线方程，属于一般题．15.2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.【答案】30 【解析】【详解】设旗杆的高度为x 米，如图，可知1806015105ABC ∠=--=，301545CAB ∠=+=，所以1801054530ACB ∠=--=，根据正弦定理可知sin 45sin 30BC AB=，即BC =所以sin 60x BC ==，所以30x ==米.点睛：1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答． 2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值． 3．解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．16.已知函数12()12f x =⎨⎪⎪⎩的图像与函数31()2g x kx =+的图像有三个交点A 、B 、C ，且0AB CB +=，记三个交点的横坐标之和为a ，纵坐标之和为b ，则1()2ba f x dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰________．【答案】3π+． 【解析】 【分析】由题可知两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，又由A 、B 、C 三点的关系得：点A 、C 关于点B对称，而点B 就是两个函数的公共对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0a =，32b =，进而得出积分． 【详解】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，又由0AB CB +=得AB CB =-，即点A 、C 关于点B 对称，而点B 就是两个函数的公共对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0a =，32b =，))02()20x f x x ≤≤=-≤<⎪⎩，图形为圆心是()1,0，半径是1的圆的上半部分与圆心为()1,0-，半径是1的圆的下半部分，可得32011()()22ba f x dx f x dx ⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所求的积分为圆心是()1,0，半径是1的圆的上半部分与直线32x =，x 轴所围面积，如图所示其中1AB AD ==，12AC =，所以22,33BAD CAD ππ∠=∠=，CD =，所以扇形BAD 的面积21121233S ππ=⨯⨯=，三角形ACD 的面积为2112228S =⨯⨯=，故所求的积分值为3π+． 【点睛】本题考查定积分，解题的关键是得出两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，属于一般题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分.17.已知向量(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+，记函数()f x m n =⋅． （1）求不等式1()4f x >的解集； （2）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3()24A f =且sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，1b =，求ABC ∆的面积S 的值．【答案】（1）2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2【解析】【分析】（1）由题可得11()sin(2)262f x m n x π=⋅=-+，所以不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，进而得出答案．（2））由（1）知：3()24A f =，解得3A π=，由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A+==⎧⎨+-=⎩，从而得出1a c ==，再求出ABC ∆的面积S 的值． 【详解】（1）由(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+得：2()(3sin ,cos())(cos ,cos())cos cos ()333f x m n x xx x x x x πππ=⋅=+⋅+=++1cos2()1111322cos22sin(2)222442262x x x x x x ππ++=+=--+=-+． ∴不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，∴7222666k x k πππππ-<-<+，k Z ∈．即：2,3k x k k Z πππ<<+∈，∴不等式的解集为：2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知：113()sin()22624A f A π=-+=，∴1sin()62A π-=， 又∵02A π<<，∴663A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=因为sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，所以2sin sin sin B A C =+ 再由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A+==⎧⎨+-=⎩，∴21()()a c c a c a c+=⎧⎨++-=⎩，∴1a c ==所以ABC ∆是正三角形，故S =【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．18.如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AB 与AC 的交点为O ，M 、P 分别为AB 、EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ． （2）求三棱锥O PCM -的高． 【答案】（1）详见解析（2【解析】 【分析】（1）先由题证得PO ⊥平面ABCD ，再由数量关系得出PM PC ⊥，PM PD ⊥，进而证得平面PCD ⊥ PM ，最后根据面面垂直判定定理证明平面PCD ⊥平面PCM ．（2）利用等体积转化O PCM P COM V V --=即可求出答案．【详解】（1）在正方形ABCD 中，∴O 是AC 的中点， 又P 是EF 的中点，而正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在平面，∴PO ⊥平面ABCD由已知2AB =，1AF =得PC PD ==CM DM ==PM =∴222CM PC PM =+，222DM PD PM =+ ∴PM PC ⊥，PM PD ⊥，又PC PD P ⋂= 所以平面PCD ⊥ PM ，因为PM ⊂平面PCM 故平面PCD ⊥平面PCM（2）设三棱锥O PCM -的高为h ， 由（1）可得，11111113326P COM COM V S PO -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=，∴16O PCM P COM V V --==的又在PCM ∆中∴PM PC ⊥，PC =，PM =12PCM S ∆==∴1113326O PCM PCM V S h h -∆==⋅⋅=，故6h = 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用等体积转化法求锥体的高，属于一般题．19.时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。

2019届湖南省岳阳市第一中学高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.2．已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D【解析】求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】集合A ＝{y |y =}＝{y |y ≥0}＝[0，+∞）； B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x |x ﹣2x 2＞0}＝{x |0＜x 12＜}＝（0，12）， ∴A ∩B ＝（0，12）， ∴∁R （A ∩B ）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）. 故选：D . 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A【解析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】分析：根据流程图中的2aa a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）.5．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1 B ．2C ．22D 2【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．6．已知函数()22018tan 1x x m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．0【答案】D【解析】分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.详解：由题设有()2212018tan 2018tan 11x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，故有()()212f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=，从而()10f -=，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．8．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．153C ．163D ．3【答案】A【解析】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y x x y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解，所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为P 到直线34120x y ++=的距离3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 10．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B【解析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++ )sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u uv u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C ．2D 2【答案】D【解析】 由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +，代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①与点D 的点P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P形成以1D 14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为⎣； ③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号. 故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．二、填空题13．()()521a b c --的展开式中，32a b c 的系数是______. 【答案】40-【解析】先将原式展开成()()5522a b c a b ---，发现()52a b -中不含32a b c ，故只研究后面一项即可得解. 【详解】()()()()5552122a b c a b c a b --=---，依题意，只需求()52c a b -⋅-中32a b c 的系数，是()225C 240-⋅-=-.故答案为：-40 【点睛】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.14．若x ，y 满足223x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最小值为________.【答案】5【解析】先作出可行域，再做直线1:2l y x =-，平移l ，找到使直线在y 轴上截距最小的点，代入即得。

2019-2020学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（下）开学数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2（a+1），a ∈A}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{5，6} C．{4，5，6} D．{4，5，6，7}2．（5分）已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）设的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）函数f（x）=sinωx（ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，则实数ω的值为（）A．B．C．2 D．6．（5分）已知﹣1，a1，a2，﹣9成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）的值为（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．7．（5分）已知实数x，y满足，其中a=（x2﹣1）dx，则实数的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．31010．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．411．（5分）已知椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣）∪（0，）B ．（﹣∞，0）∪（0，）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣∞，0）∪（0，1）12．（5分）若关于x 的不等式xe x ﹣2ax+a ＜0的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[，） B ．[，） C ．[，e] D ．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f （x ）=（e x +ae ﹣x ）sinx 为奇函数，则a= ． 14．（5分）在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC 上的一点，且•=•，则•的值等于 ．15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 与直线x=1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=πx 2dx=x 3|=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ． 16．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n+1cos （n+1）π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小； （Ⅱ）若f （x ）=sin •cos +cos 2，求f （B ）的取值范围．18．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人． （1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M ；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x ，y ．若|x ﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P 1；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m使得恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．2019-2020学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（下）开学数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log（a+1），a2∈A}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{5，6} C．{4，5，6} D．{4，5，6，7}【分析】求解B，再由交集的定义即可求出．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，（a+1），a∈A}，集合B={|x=log2（2+1）=1，当a=1时，B={x|x=log2（3+1）=2，当a=3时，B={x|x=log2（7+1）=3，当a=7时，B={x|x=log2∴集合B={1，2，3}，∴A∩B={1，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，则p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．3．（5分）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．B．C．D．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用条件概率计算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P（B/A）===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．4．（5分）设的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】分别考查指数函数及幂函数在实数集R上单调性，即可得出答案．【解答】解：∵，由幂函数在实数集R上单调递增的性质得＞，∴a ＞c．又由指数函数在实数集R上单调递减的性质得＜，∴c＞b．∴a＞c＞b．故选A．【点评】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．5．（5分）函数f （x ）=sin ωx （ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到函数y=g （x ）的图象，并且函数g （x ）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，则实数ω的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】根据平移变换的规律求解出g （x ），根据函数g （x ）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g （x ）取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f （x ）=sin ωx （ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到g （x ）=sin[ω（x）]=sin （ωx ﹣），函数g （x ）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g （x ）取得最大值， 即（ω×﹣）=，k ∈Z ，ϖ＞0．当k=0时，解得：ω=2． 故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于基础题．6．（5分）已知﹣1，a 1，a 2，﹣9成等差数列，﹣9，b 1，b 2，b 3，﹣1成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）的值为（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式能求出公差d 的值；设等比数列的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式能求出公比q 的值．由此能够求出b 2（a 2﹣a 1）的值． 【解答】解：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则有，解得d=﹣，q=±，∴b 2（a 2﹣a 1）=﹣9××（﹣）=8．故选：A ．【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质和应用，注意等比数列和等差数列的通项公式的合理运用，是基础题．7．（5分）已知实数x，y满足，其中a=（x2﹣1）dx，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的积分公式求出a的值，然后作出不等式组对应的平面区域，根据直线斜率的公式进行求解即可．【解答】解：a=（x2﹣1）dx=（x3﹣x）|=33﹣3=9﹣3=6，则不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（2，4），此时AD的斜率k==，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据积分公式先求出a的值，利用数形结合以及直线的斜率公式进行求解是解决本题的关键．8．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由条件可得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．310【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+C101，k=2，满足进行循环的条件，v=22+2C101+C102，∴v=210+29C101+…+C1010=310，故输出的v值为：310，故选D．【点评】本题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．10．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD==．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（0，）B．（﹣∞，0）∪（0，） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【分析】取特殊点P（0，2），P（0，﹣2），求出，利用排除法，可得结论．【解答】解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q（﹣，），∴kPB =﹣1，kQF==﹣，∴=．同理取P（0，﹣2），=﹣．根据选项，排除A，B，C，故选D．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．12．（5分）若关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，e] D．[，e]【分析】设g（x）=xe x，f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于（m，n），求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a的范围．【解答】解：设g（x）=xe x，f（x）=2ax﹣a，由题意可得g（x）=xe x在直线f（x）=2ax﹣a下方，g′（x）=（x+1）e x，f（x）=2ax﹣a恒过定点（，0），设直线与曲线相切于（m，n），可得2a=（m+1）e m，me m=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣，则切线的斜率为2a=（﹣+1）e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g（﹣1）=﹣e﹣1，f（﹣1）=﹣3a，由f（﹣1）=g（﹣1），可得a=，由直线绕着点（，0）旋转，可得≤a＜，故选：B．【点评】本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）=（e x+ae﹣x）sinx为奇函数，则a= 1 ．【分析】由题意得（e x+ae﹣x）sinx=﹣sin（﹣x）（e﹣x+ae x），从而化简求得．【解答】解：∵函数f（x）=（e x+ae﹣x）sinx为奇函数，∴（e x+ae﹣x）sinx=﹣sin（﹣x）（e﹣x+ae x），∴e x+ae﹣x=e﹣x+ae x，故a=1．故答案为：1【点评】本题考查了函数的奇偶性的判断与应用，属于基础题．14．（5分）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边BC上的一点，且•=•，则•的值等于 4 ．【分析】根据•=•，可推得AD⊥CB，通过解直角三角形可得AD=2及∠BAD=60°，由数量积定义可求答案．【解答】解：由•=•，得•（﹣）=0，即•=0，∴⊥，即AD⊥CB，又AB=4，∠ABC=30°，∴AD=AB×sin30°=2，∠BAD=60°，∴•=AD×ABcos∠BAD=2×4×cos60°=4，故答案为：4．【点评】本题考查平面向量数量积的运算及其定义，属基础题．熟练掌握数量积的运算性质是解决相关问题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V=πx2dx=x3|=．据此类比：将曲线y=2lnx圆锥与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= π（e﹣1）．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：由曲线y=2lnx ，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π（e ﹣1），故答案为：π（e ﹣1）．【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．16．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n+1cos （n+1）π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，则实数t 的取值范围是 （﹣∞，﹣5] ．【分析】n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n =2n+1．b n =a n a n+1cos （n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos （n+1）π，n 为奇数时，cos （n+1）π=1；n 为偶数时，cos （n+1）π=﹣1．对n 分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出．【解答】解：n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+2n ﹣[（n ﹣1）2+2（n ﹣1）]=2n+1．n=1时也成立，∴a n =2n+1．∴b n =a n a n+1cos （n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos （n+1）π， n 为奇数时，cos （n+1）π=1；n 为偶数时，cos （n+1）π=﹣1．因此n 为奇数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）=3×5+4×（7+11+…+2n+1）=15+4×=2n 2+6n+7．T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴2n 2+6n+7≥tn 2，t ≤++2=，∴t ＜2．n 为偶数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）=﹣4×（5+9+11+…+2n+1）=﹣2n 2﹣6n ．∴T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴﹣2n 2﹣6n ≥tn 2，t ≤﹣2﹣，∴t ≤﹣5． 综上可得：t ≤﹣5． 故答案为：（﹣∞，﹣5]．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c ﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P；1（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．=．（2）依题意可得：第四组人数为：=12，可得P1（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，即可得出．【解答】解：（1）频率分布直方图见解析，M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；（2）依题意可得：第四组人数为：=12，故P==；1（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下ξ0123P故Eξ==．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故 AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…（5分）（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，λ，），=（﹣1，，0），=．取平面EAD的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由=0，•=0得：，取y=1，可得=（）．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），即有△=4t 2﹣4（2t 2﹣4）＞0，解得﹣2＜t ＜2， x 1+x 2=﹣2t ，x 1x 2=2t 2﹣4， 设直线PD ，PE 的斜率为k 1，k 2， 则k 1+k 2=+=，要证直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证k 1+k 2=0，即（2﹣x 1）（y 2﹣1）﹣（2+x 2）（y 1+1）=0， 由y 1=x 1+t ，y 2=x 2+t ，可得（2﹣x 1）（y 2﹣1）﹣（2+x 2）（y 1+1）=2（y 2﹣y 1）﹣（x 1y 2+x 2y 1）+x 1﹣x 2﹣4 =x 2﹣x 1﹣（x 1x 2+tx 1+tx 2）+x 1﹣x 2﹣4=﹣x 1x 2﹣t （x 1+x 2）﹣4 =﹣（2t 2﹣4）+2t 2﹣4=0，则直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知a ∈R ，函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x ，曲线y=f （x ）与x 轴相切． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数m 使得恒成立？若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，由即可求得a 值，把a 值代入函数解析式，得到当x 变化时，f ′（x ）与f （x ）的变化情况表，由图表可得f （x ）的单调区间； （Ⅱ）等价于，或，令g （x ）=f （x ）﹣mx （1﹣e x ）=ln （x+1）﹣x ﹣mx （1﹣e x ），x ∈（﹣1，+∞），求其二阶导数，然后对m 分类讨论得答案．【解答】解：（Ⅰ）设切点为（x 0，0），则f ′（x ）=，依题意，即，解得．∴f（x）=ln（x+1）﹣x，f′（x）=．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x（﹣1，0） 0（0，+∞）f′（x）+ 0﹣f（x）单调递增极大值单调递减∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）存在m=，理由如下：等价于，或．令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣e x）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣e x），x∈（﹣1，+∞），则g′（x）=，g″（x）=，①若m=，当﹣1＜x＜0时，﹣＜﹣1，m（x+2）e x＜1，∴g″（x）＜0；当x＞0时，﹣＞﹣1，m（x+2）e x＞1，∴g″（x）＞0，∴g′（x）在单调递减区间为（﹣1，0），单调递增为（0，+∞），又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，当且仅当x=0时，g′（x）=0，从而g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又g（0）=0，∴或，即＞m（1﹣e x）成立．②若m，∵g″（0）=2m﹣1＞0，g″（）=＜﹣4m2+m（）＜0，∴存在x 1∈（，0），使得g ″（x 1）=0，∵g ″（x ）在（﹣1，0）上单调递增，∴当x ∈（x 1，0）时，g ″（x ）＞0，g ′（x ）在（x 1，0）上递增， 又g ′（0）=0，∴当x ∈（x 1，0）时，g ′（x ）＜0， 从而g （x ）在（x 1，0）上递减，又g （0）=0， ∴当x ∈（x 1，0）时，g （x ）＞0， 此时＞m （1﹣e x ）不恒成立；③若m ＜，同理可得＞m （1﹣e x）不恒成立．综上所述，存在实数m=．【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，是压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可． （Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为（θ为参数），所以圆C 的普通方程为（x ﹣3）2+（y+4）2=4．…（2分） 由得ρcos θ+ρsin θ=2，∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程x+y ﹣2=0…（4分）（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…（6分）由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…（10分）【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．【分析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．（Ⅱ）构造柯西不等式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值为1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．由柯西不等式：（++1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．。

绝密★启用前湖南省岳阳市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ={0，1，2}，A 的非空子集个数为（ ） A.5B.6C.7D.82．已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，(2a +i )(1+3i )=3+bi ，则a +b =（ ） A.22B.-16C.9D.-93．已知具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i ，y i )(i =1，2.....，6)，回归直线方程为3xy b =+，若126...OA OA OA +++=(9，6)(O 为坐标原点)，则b =（ ） A.3B.43-C.12D.-124．已知平面向量a ，b 满足1a b ==r r，若37a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.120°5．黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m =2cos 72°，若n = cos 36°cos 72°cos 144°，则mn =（ ） A.-1B.18C.-18D.16．已知{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若53S S =，则4a =（ ） A.-4B.-3C.-2D.-1○…………装……订…………○…………线※※请※※不※※要※※内※※答※※题※※○…………装……订…………○…………线7．在四面体SABC 中若三条侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，且SA =1，SB ，SC 则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A.8πB.6πC.4πD.2π8．函数2ln x y x x=+的图象大致为( )A. B. C. D.9．已知满足条件∠ABC=30°，AB =12，AC =x 的ΔABC 有两个，则x 的取值范围是（ ） A.x =6B.6<x <12C.x ≥12D.x ≥12或x =610．环境指数是“宜居城市”评比的重要指标.根据以下环境指数的数据，对名列前20名的“宜居城市”的环境指数进行分组统计，结果如表所示，现从环境指数在[4，5)和[7，8]内的“宜居城市”中随机抽取2个市进行调研，则至少有1个市的环境指数在[7，8]的概率为（ ）A.34B.35C.23D.91011．在数列{}n a 中，11a =，当n ≥2时，其前n 项和n S 满足2(1)n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足n T ≥5的最小正整数n 是（ ） A.10B.9C.8D.712．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈[0，433π]，若函数F (x )=f (x )-3的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋯，且123n x x x x ＜＜＜…＜，则1231+2+2+n n x x x x x -+=…+2（ ）A.11903πB.11923πC.398πD.11963π…………订……订※※线※※内※※答※…………订……第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数()f x=__________.14．若函数21()ln2xf x x x e=++，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为____.15．2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.16．已知函数()f x满足1()1(1)f xf x+=+，当0≤x≤1时，f(x)=x，若方程f(x)-mx-m=0(x∈(-1，1])有两个不同实数根，则实数m的最大值是_______.三、解答题17．已知函数()221()cos sin cos()2f x x x x x x R=+-∈.(1)求()f x的单调递增区间.(2)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=10，cosB=17，求ΔABC的中线AD的长.18．已知{}n a的前n项和243nS n n=-+，(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求数列162nna+-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和nT.19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=3π，平面ACFE⊥平线…………○…线…………○…面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=AD ，点M 在线段EF 上。