高等数学专升本专题一极限3

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专题一极限

知识框架

极

限类型在其他章节中的使用

极限的

基本类型

“”型单一成分和混合成分第五章：反常积分敛散性的判定

第十章：比值审敛法；收敛半径/区间/域数列的极限

“00”型普通“00”

含有上限函数型

含有“”型

幂指函数型 “1”型第十章：根值审敛法

“00” 型

“0” 型

“”型 1100



“0”型含有倒数

第一章：渐近线

不含有倒数

“sin;cos”（含有有界函数）型可分离型

不可分离型抽象函数

的极限导数定义第三章：切线方程

★★（五）“0”型 1. “0”型常见的运算方法

★★首先考虑“0”的部分是否能等价无穷小带换

例如：（1）25lim(1cos)xxx （2）212lim(1)xxxe （3）1limsinxxx

类型方法效果例题

没有倒数 “下翻” 转化为00或转化为 0limlnxxx

有倒数倒数代换法转化为00或转化为 21lim[ln(1)]xxxx

例9. 计算下列极限

（1）0limlnxxx （2）01limln(1)xxx （3）11+lim()xxxxab

（4）2120limxxex （5）21lim[ln(1)]xxxx （6）2lim[arctan(1)arctan]xxxx

小结：注意区分以下三道“0”型的区别

① 0limlnxxx ② 01limln(1)xxx ③ +1limln(1)xxx

★注意：

倒带换是一种特别重要的做题思想，有些题目即便不属于0，见到倒数形式，也可以尝试倒带换。

（1）1limln(1)xxxx （2）1101lim1xxxee

2. “0”型在各个章节知识点的应用

例10. 计算下列函数的渐近线

（1）计算1ln(1)yxx的渐近线（2）计算1(21)xyxe的渐近线。

分析：

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（1）

水平渐近线：000011ln(1)limln(1)limln(1)limlim1xtttttxtxttt，1y是水平渐近线。

也可以等价代换：11limln(1)lim1xxxxxx

垂直渐近线：验证0x和1x

0x：0011ln(1)1limln(1)limln(1)limlim01xttttxtxttt，0x不是垂直渐近线。

1x：11limln(1)(1)xxx，1x是垂直渐近线。

斜渐近线：1ln(1)1limlimln(1)ln10xxxxxx，没有斜渐近线。

（2）

水平渐近线：1lim(21)1xxxe，没有水平渐近线。

垂直渐近线：验证0x

+10lim(21)(1)xxxe；10lim(21)(1)00xxxe，0x是垂直渐近线。

斜渐近线：11(21)lim2lim2xxxxxeex

100022(2)2lim(21)2lim()limlim()(2)1ttttxxtttttexexeetettt

21yx是斜渐近线。

★★★小结：一些相加/减型极限的常见处理方法相减型的极限，很多情况下需要转换成分式．．。

化为分式

常用方法适

用情况例子

通分常见分式

相加减（1）220011ln(1)limln(1)limxxxxxxxx

（2）1111ln1lim()lim1ln(1)lnxxxxxxxx

（3）2112121lim()lim11(1)(1)xxxxxxx

（4）20011lim()lim()11xxxxxxxxxexexexeeexxe

（5）2201lim[()ln(1)]xaaaxxx

有理化常见根号

相减（1）2222(21)(21)lim21lim21xxxxxxxxxx

（2）2222(1)(1)lim(1)lim1xxxxxxxxxxxx

（3）lim[123...12...(2)]nnn

倒代换非分式相减，

且含有“ax” （1）22200111ln(1)lim[ln(1)]lim[ln(1)]limxttttxxtxttt

（2）00111ln()1limln()limln()limxttetxexetxttt

★★★再次强调，倒带换是一种特别重要的做题思想，是将“相加减”的式子化为“分式”的一种重要思维方式。考试中，倒代换考过许多次。

例如：计算1(21)xyxe的斜渐近线。

11(21)lim2lim2xxxxxeex

100022(2)2lim(21)2lim()limlim()(2)1ttttxxtttttexexeetettt

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21yx是斜渐近线。

（六）“sin;cos”（含有有界函数）型

类型方法

例题

有界函数可以单独分离出来

0limsin/cosxxa 一般情况下，判断是否为0即可 235limsin253xxxx；2(1)sin(1)limnnnn；

有界函数在分式中，

且不可单独分离出来必须想办法寻找．．另外的一个“无穷．．小．（0）”。方法是“上下同除．．．．x”。 sin2lim2sinxxxxx；222sinlimcosxxxxx；22sin2lim2sin3xxxxxxx

如果题目中同时含有x的不同次幂．．．．，例如同时含有x和2x等。此时，上下同时除x的最高次．．．

例11. 计算下列极限

（1）235limsin253xxxx （2）2(1)sin(1)limxxxx （3）sin2lim2sinxxxxx （4）222sinlimcosxxxxx

例12. 计算下列极限

极限 0sinlimxxx sinlimxxx 1limsinxxx 01limsinxxx 11limsinxxx

类型

结果

高等数学I II(本科类)1~3阶段(专升本带答案)

江南大学现代远程教育2015年上半年第一阶段测试卷

考试科目:《高等数学》专升本第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟

__________学习中心（教学点）批次：层次：

专业：学号：身份证号：

姓名：

得分：

一、选择题 (每题4分)

1. 函数 ln(2)6xyx 的定义域是 ( a ).

(a) (2,6) (b) (2,6] (c)[2,6)

(d)[2,6]

2. 10lim(13)xxx ( c )

(a) e (b) 1 (c) 3e (d)



3. 要使函数55()xxfxx在0x处连续, 应给(0)f补充定义的数值是( d ).

(a) 1 (b) 2 (c) 5 (d)

4. 设 sin3xy, 则 y 等于 ( b ).

(a)sin3(ln3)cosxx (b) sin3(ln3)cosxx (c) sin3cosxx (d)

sin3(ln3)sinxx

5. 设函数 ()fx 在点 0x 处可导, 则 000(3)()limhfxhfxh等于

( b ).

(a) 03()fx (b) 03()fx (c) 02()fx

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3

(总分：54.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：10，分数：20.00)

1.设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则

（分数：2.00）

A.f(0)=0且f －

' (0)存在

B.f(0)=1且f － ' (0)存在

C.f(0)=0且f

＋ ' (0)存在

√

D.f(0)=1且f

＋ ' (0)存在

解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且

=1，所以f(0)=0．从而有 =f

＋ ' (0)，

故选C．

2.设f(x)=e

2 + ，则f ' (x)= ( )

（分数：2.00）

B. √

解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) ' + ．

3.设函数f(x)=xsinx，则f ' ( )= ( )

（分数：2.00）

B.1 √

D.2π

解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以 =1．

4.函数f(x)=在x=0处 ( )

（分数：2.00）

A.连续且可导

B.连续且不可导 √

C.不连续

D.不仅可导，导数也连续

解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．

5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是 ( )

（分数：2.00）

A. √

B. C.

解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ ' (2)=

，故选A．

6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x) ( )

（分数：2.00）

A.不可导

B.可导且f(0)≠0

C.取得极大值

D.取得极小值 √

解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．

高等数学(专升本)第3阶段测试题

1 江南大学现代远程教育2012年上半年第三阶段测试卷

一．选择题(每题4分)

1. 设22(,)xfyxyxy, 则(,)fxy ( D ).

(a) 2(1)1yxx (b) 2(1)1yxx (c) 2(1)1xxx (d) 2(1)1xyy

2. 设函数 (,)zfxy 在点 00(,)xy 的某邻域内有定义, 且存在一阶偏导数, 则00xxyyzy( B )

(a) 00000(,)(,)limyfxxyyfxyy (b) 00000(,)(,)limyfxyyfxyy

3. 若D是平面区域22{19}xy, 则Ddxdy=( B )

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10

4. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( B )

(a) 32xyy (b) 2cosyxyx (c) 2yyx (d) 21yxy

5. 微分方程 ()0xyyxy 的通解是 ( D ).

(a) 221arctanln()2yxyCx (b) 22arctanln()yxyCx

二.填空题(每题4分)

6. 设 3zxy, 则 13xyzx____332____