第3章 中值定理与导数的应用 内容概要
名称 主要内容（3.1、3.2）
3.1
中值
定理 名称 条件 结论
罗尔
中值
定理 )(xfy
：（1）在][a,b
上连续；（2）在)(a,b
内可导；（3）)()(bfaf
至少存在一点)(a,bξ
使得
0)(/ξf
拉格
朗日
中值
定理 )(xfy
：（1）在][a,b
上连续；（2）在)(a,b
内可导 至少存在一点)b,a(
使得
)(/ξf
abafbf
)()(
柯西
中值
定理 )(xf
、)(xg
：（1）在][a,b
上连续，在)(a,b
内可导；（2）在)(a,b
内每点处0)(/xg
至少存在一点)(a,bξ
使得
abafbf
ξgξf
)()(
)()(
//
3.2
洛必
达
法则 基本形式
00
型与
型未定式
通分或取倒数化为
基本形式 1）
型：常用通分的手段化为
00
型或
型；
2）0
型：常用取倒数的手段化为
00
型或
型，即：
00
0
1/0
或0
1/0
；
取对数化为
基本形式 1）00
型：取对数得00ln00e
，其中00
0ln00
1/0
或0ln00
1/0
；
2）1
型：取对数得ln11e
，
其中00
ln10
1/0
或ln10
1/0
；
3）0
型：取对数得ln00e
，
其中00
0ln0
1/0
或0ln0
1/0
。
课后习题全解
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值
。
（1）]511[32)(2.,,xxxf
； （2
）]30[3)(,,xxxf
。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf
，得到的根ξ
便为所求。
解：（1）∵32)(2xxxf
在]511[.,
上连续，在)5.1,1(
内可导，且0)51()1(.ff
1 江南大学现代远程教育2012年上半年第三阶段测试卷
一．选择题(每题4分)
1. 设22(,)xfyxyxy, 则(,)fxy ( D ).
(a) 2(1)1yxx (b) 2(1)1yxx (c) 2(1)1xxx (d) 2(1)1xyy
2. 设函数 (,)zfxy 在点 00(,)xy 的某邻域内有定义, 且存在一阶偏导数, 则00xxyyzy( B )
(a) 00000(,)(,)limyfxxyyfxyy (b) 00000(,)(,)limyfxyyfxyy
(c) 000()()limyfyyfyy (d) 0000(,)(,)limyfxxfxyy
3. 若D是平面区域22{19}xy, 则Ddxdy=( B )
(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10
4. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( B )
(a) 32xyy (b) 2cosyxyx (c) 2yyx (d) 21yxy
5. 微分方程 ()0xyyxy 的通解是 ( D ).
(a) 221arctanln()2yxyCx (b) 22arctanln()yxyCx
(c) 22arctanln()yxyCx (d) 221arctanln()2yxyCx
二.填空题(每题4分)
6. 设 3zxy, 则 13xyzx____332____
- 1 -
专 题 一 极 限
知 识 框 架
极
限 类 型 在 其 他 章 节 中 的 使 用
极限的
基本类型
“”型 单一成分和混合成分 第五章：反常积分敛散性的判定
第十章：比值审敛法；收敛半径/区间/域 数列的极限
“00”型 普通“00”
含有上限函数型
含有“”型
幂指函数型 “1”型 第十章：根值审敛法
“00” 型
“0” 型
“”型 1100
“0”型 含有倒数
第一章：渐近线
不含有倒数
“sin;cos”（含有有界函数）型 可分离型
不可分离型 抽象函数
的极限 导数定义 第三章：切线方程
★★（五）“0”型 1. “0”型常见的运算方法
★★首先考虑“0”的部分是否能等价无穷小带换
例如：（1）25lim(1cos)xxx （2）212lim(1)xxxe （3）1limsinxxx
类 型 方 法 效 果 例 题
没有倒数 “下翻” 转化为00或转化为 0limlnxxx
有倒数 倒数代换法 转化为00或转化为 21lim[ln(1)]xxxx
例9. 计算下列极限
（1）0limlnxxx （2）01limln(1)xxx （3）11+lim()xxxxab
（4）2120limxxex （5）21lim[ln(1)]xxxx （6）2lim[arctan(1)arctan]xxxx
小结：注意区分以下三道“0”型的区别
① 0limlnxxx ② 01limln(1)xxx ③ +1limln(1)xxx
★注意：
倒带换是一种特别重要的做题思想，有些题目即便不属于0，见到倒数形式，也可以尝试倒带换。
（1）1limln(1)xxxx （2）1101lim1xxxee
北京专升本高等数学一教材
在编写标题为“北京专升本高等数学一教材”的文章时，我将按照教材的格式进行撰写。以下是文章的正文内容：
——————————————————————————————————————————
北京专升本高等数学一教材
——————————————————————————————————————————
第一章：数列与极限
1.1 数列的概念与性质
1.2 数列极限的定义与性质
1.3 数列极限的计算方法
第二章：函数与极限
2.1 函数的概念与性质
2.2 函数的极限与连续性
2.3 函数的间断点及其分类
第三章：导数与微分
3.1 导数的定义与性质 3.2 常用函数导数的计算方法
3.3 微分的概念与性质
第四章：一元函数的性质与应用
4.1 函数的单调性与极值
4.2 函数的凹凸性与拐点
4.3函数的应用：最优化问题
第五章：定积分与不定积分
5.1 定积分的定义与性质
5.2 不定积分的定义与性质
5.3 定积分与不定积分的计算方法
第六章：微分方程
6.1 微分方程的概念与基本形式
6.2 一阶常微分方程的解法
6.3 高阶常微分方程的解法
第七章：数学建模
7.1 建模的基本思路与步骤
7.2 问题求解的数学模型建立 7.3 建模实例及其解析
第八章：多元函数与偏导数
8.1 多元函数的概念与性质
8.2 偏导数的定义与计算方法
8.3 多元函数的极值及其应用
第九章：多元函数的积分
9.1 二重积分的定义与性质
9.2 三重积分的定义与性质
9.3 多元积分的计算方法及其应用
第十章：无穷级数与幂级数
10.1 数项级数的概念与性质
10.2 幂级数的收敛与展开
10.3 幂级数的应用及其收敛域
结束语：
通过学习本教材，希望能够加深对高等数学一的理解和掌握，并为应对北京专升本考试做好充分准备。同时，通过理论与实践相结合的讲解方式，本教材旨在帮助学生更好地应用数学知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。 ——————————————————————————————————————————
