函数零点问题典例(含答案)

ng at a time and All things in their being are good for somethin1 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）xx41y2⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）例1题图图1OAByxOAByx图2

ng at a time and All things in their being are good for somethin2yxEQPCBOA交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线经过及原点．2yaxbxc53(33)02PE，，，(00)O，（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为）225333yxx（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线PxPCyCPC上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线QQQAyxAPCBQA及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的PCOABCQOPC△PQB△Q坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形QxOQOABC之间存在怎样的关系？为什么？OPCPQBOQPOQA，，，△△△△练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角

高考函数导数： 复合函数的零点

复合函数的零点就是我们常说的复合方程的解，把它分为外方程和内方程，

借助数形结合思想，划归为图像的交点，进而研究复合方程的解；今天我们来

研究复合函数的零点问题：

一 理论基础·解题原理

1．复合函数定义：设函数y=f(u)的定义域是D

f，函数u=g(x)的值域是Zg，若

Zg∩Df

，则将y=f(g(x))称为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函

数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.

2．复合函数函数值计算的步骤：求

ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，

一层层求出函数值．

3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”

的顺序，一层层拆解直到求出x的值．例如：已知fxx2

，gxxx22

，

若

gfx0

，求x．

由上例可得，要想求出

gfx0

的根，则需要先将fx

视为整体，先求

出fx

的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先

回顾零点的定义．

4．函数的零点：设fx

的定义域为D，若存在xD

0，使得fx0

0

，则称xx

0

为fx

的一个零点．

5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程

gfx0

根的个数，在解此

类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx

的方程，观察有几个fx

的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx

的值求出每一个fx

被几个

x对应，将x的个数汇总后即为

gfx0

的根的个数．

二 题型攻略·深度挖掘

1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出

现，一般综合性强，难度大．

2.【技能方法】求解复合函数

ygfx

零点问题的技巧：

（1）借助数形结合思想，处理问题作出fxyguu,

的图像

（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx

一次函數面積問題

1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。

—

2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。

：

￥

3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，

（1）用m、n表示A、B、P的坐标

#

（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标

`

4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值

、

5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标。

/

'

6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC面积相等，求a的值.

*

'

7、如图，已知两直线y=+和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直

线的交点为P

（1）求点P的坐标

（2）求△PAB的面积

，

8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求

（1）这两条直线的函数关系式

（2）它们与x轴围成的三角形面积

{

#

9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x

（1）求出它们的交点A的坐标

（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积

?

10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。

:

11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B

专题二 “构造函数”，巧求参数范围

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问题，构造函数，例题说法，高效训练.

【典型例题】

第一招 参变分离，构造函数

例1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )

A． B．（） C． D．（）

【答案】D

【解析】

当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，

根据图可得故选D.

第二招 根据方程做差，构造函数

例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知

函数（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）当时，，，

令 则 列表如下：

1

单调递减

极小值

单调递增

所以.

（2）设，

，

设，，

由得，

，，在单调递增，

即在单调递增，，

①当，即时，时，，在单调递增,

又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.

②当，即时，由（1）可知，

所以，又

故，当时，，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于的方程有一个实数解1.

又时，，单调递增，

且，令，

,,故在单调递增，又

在单调递增，故，故，