函数的零点问题

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【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数()yfx（xD），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数()yfx（xD）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.

（2）函数零点的意义：函数()yfx的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()yfx的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数()yfx在区间(,)ab内至少有一个零点，即存在(,cab）使得()0fc，这个c也就是方程的根.

函数()yfx在区间[,]ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf是函数()yfx在区间(,)ab内至少有一个零点的一个充分不必要条件.

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.

二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[,]ab上连续不断，且满足0)()(bfaf的函数()yfx，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.

（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

第一步：确定区间[,]ab，验证0)()(bfaf，给定精确度.

第二步：求区间(,)ab的中点1x.

第三步：计算1()fx：①若1()fx=0，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令1bx （此时零点01(,)xax）③若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,)xxb）

第 2 页 共 8 页 第四步：判断是否达到精确度即若ab，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步.

函数的共零点问题

浙大附中---叶保松

37.

1设aR

,若0x

时均有2

[(1)1](1)0axxax,则a

______.

解：设

11xaxf，

12

axxxg. 则对任意的0x

，

0xgxf恒成立。

我们知道

10,10gf

.且1a

如图：

可以知道

xgxf,两个函数有共同的零点，即0

11









ag，代入计算得

23

a

.



2

设Rba,，若0x

时恒有

2

234

10xbaxxx

，则ab

=______.

解：因为0x

时，不等式恒成立，不妨令1x

，得到0ba

，则代入ba

得

到：

013

bxx

对任意的0x

恒成立。设

1xxf

，

bxxg3

，如图：

可以知道

xgxf,两个函数有共同的零点，即

01g，计算得1b

.1ab

点评：此两道题分别是浙江2013,2014的两道高考真题，他们具有相同的数学本质，体现了

分离函数的思想，也能把数形结合运用的出神入化，不愧是一道好题。

源与流：

我们定义：

0xf

的解区间为正区间，

0xf

的解区间为负区间。



1

假设

0xgxf

对任意的x

恒成立，说明

xgxf与

有相同的正负区间，即

他们需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点必须是共有的。



2

假设

0xgxf

对任意的x

恒成立，说明

xf

的正区间是

xg

的负区间或者



xf

的负区间是

xg

的正区间，此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这

两个函数的零点也必须是共有的。

拓展1：若不等式

011312

mxmmx

对任意 的

,0m

恒成立，则x

的值

为______.

拓展2：已知函数

eebaxxxfx

2

，当0x

时，

0xf

恒成立，则a

的取

值范围是（ ）

A.0a

1 “零点”问题总结

函数的零点是高考的热点之一，但从学生们平时的做题来看，往往感觉无从下手.本文结合高考真题来阐述一下高考中零点问题常见的解题方法.

一.利用函数零点存在的充分不必要条件

定理：“如果函数)(xfy在区间ba,上的图象不间断，并且在它的两个端点处

的函数值异号，即0)()(bfaf，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点),(0bax，使0)(0xf”，此定理在高考中考察的较为频繁，比如：

1.（2013年重庆理）若abc,则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间( )

A.,ab和,bc内 B.,a和,ab内 C.,bc和,c内 D.,a和,c内

分析：faabac，fbbcba，fccacb，又abc，所以()0,()0,()0fafbfc，即函数()fx的两个零点分别在,ab和,bc内，选A.

二．利用数形结合思想

数形结合思想是一种十分重要的解题思想，特别在近几年的高考选择题中都有其的身影，比如：

2.（2013年天津理）函数1log2)(5.0xxfx的零点个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

分析：本题问的是零点的个数且题目所给的函数中既有指数型的又有对数型的函数，所

以第一感觉就应该是数形结合思想，在同一坐标系中作出函数1()2xy与0.5|log|yx的图象，所以由函数的图象知：零点的个数为2个，选B.

三．利用导数

导数是研究函数性质的有力工具，所以一些与零点有关的解答题要注意导数的应用，比如： 2 3.（2013年山东理）设函数2()xxfxce(e=2.71828是自然对数的底数,cR).

专题七 复合函数的零点问题

一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数

【例题选讲】

[例1] (1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )

A．3 B．7 C．10 D．14

答案 C 解析 由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g±32＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，fg±32＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C．

(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．8

答案 C 解析 可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．

(3)已知f(x)＝|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．

答案 5 解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．

x2t=2t=1－111tO(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ 2|x－1|－1，02，则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为( )