函数零点练习题

专题09 分段函数零点问题

一、单选题

1．（2021·山东青岛·高一期末）已知函数2|ln(1),1()(2),1xxfxxx，若方程()0fxm有4个不相同的解，则实数m的取值范围为（ ）

A．(0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．[0,1]

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2log,1()11,14xxfxxx，()()gxfxkx，若函数()gx有两个零点，则k的取值范围是（ ）

A．10,4 B．10,ln2e C．10,e D．11,42eln

3．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22,0()log,0xxfxxx，函数()()gxfxxm，若()gx有两个零点，则m的取值范围是（ ）．

A．[1,) B．(,1] C．[0,) D．[1,0)

4．（2020·全国全国·模拟预测（理））已知函数22,0,log,0,xxxfxxxx若函数2yfxxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．,2 B．,1 C．,1 D．1,

5．（2021·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数131,0ln,0xxfxxx，若函数gxfxm有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）

A．(,2] B．(,2) C．(1,2] D．(1,2)

6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数1,13ln,393xxfxxx，若函数gxfxax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．21,32 B．ln311,932e C．1ln312,,3923e D．ln31210,,9332e

《函数零点》专项突破

高考定位

函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.

考点解析

（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理

题型解析

类型一、转化为二次函数的零点分布

例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）

A．14 B．18 C．78 D．38

练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2afxxax在区间(1,1)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．2(2,)3 B．2(0,)3 C．(2,) D．(0,2)

例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数2xfxxae在R上存在最小值(其中e为自然对数的底数，aR)，则函数2gxxxa的零点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．无法确定

类型二、区间零点存在性定理

例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数ln1fxxx，则fx的零点所在的区间是（ ） A．0,1 B．1,2

C．2,3 D．3,4

练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数2xfxx的零点所在的区间为（ ）

A．2,1 B．1,0 C．0,1 D．1,2

类型三、利用两图像交点判断函数零点个数

例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg,0xxxfxxx，则函数()1yfx的零点个数为（ ）

专题七 复合函数的零点问题

一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数

【例题选讲】

[例1] (1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )

A．3 B．7 C．10 D．14

答案 C 解析 由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g±32＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，fg±32＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C．

(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．8

答案 C 解析 可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．

(3)已知f(x)＝|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．

答案 5 解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．

x2t=2t=1－111tO(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ 2|x－1|－1，02，则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为( )

1 函数的零点、函数与方程

一、选择题：

1．若实数a，b，c，d满足222(3ln)(2)0baacd，则22()()acbd的最小值为（ ）

A．2 B．8 C．22 D．2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用;对数运算法则的应用.

【答案解析】B 解析 ：解：∵实数a、b、c、d满足：

（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，

∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，

∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，

对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=3x-2x，

与y=x+2平行的切线斜率k=1=3x-2x，解得：x=1或x=-32（舍），

把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），

切点到直线y=x+2的距离：1122=22，

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8． 故选：B．

2．设32()fxxbxcxd，又k是一个常数，已知当0k或4k时，()0fxk只有一个实根；当04k时，()0fxk有三个相异实根，现给出下列命题：

（1）()40fx和()0fx有一个相同的实根，

（2）()0fx和()0fx有一个相同的实根

（3）()30fx的任一实根大于()10fx的任一实根

2 （4）()50fx的任一实根小于()20fx的任一实根

其中错误命题的个数是 A、 4 B、 3 C、 2 D、 1

3．方程12221log2xxx的解所在的区间是

A. 1(0,)3 B. 11(,)32 C. 12(,)22 D. 2(,1)2