初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 用“换元法”分解因式
我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法． 一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．
李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法． 李老师把换元法分解因式分成了三种情况．
一、换单项式
例1 分解因式x6+16x3y+64y2．
析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为
m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．
二、换多项式
例2 分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．
析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为
（m+4x）（m+6x）+x2
=m2+10mx+24x2+x2
=m2+10mx+25x2
=（m+5x）2
=（x2+6+5x）2
=2
=（x+2）2（x+3）2．
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m（m+2x）+x2
=m2+2mx+x2
=（m+x）2
=（x2+4x+6+x）2
=（x2+5x+6）2
=2
=（x+2）2（x+3）2．
三、换系数
例3 分解因式x3+x2-2004×2005x．
析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为
14.3 因式分解（第1课时）
【教材分析】
教
学
目
标 知识
技能 1.让学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法的关系.
2.能利用提取公因式法对简单的多项式进行因式分解.
过程
方法 通过观察发现因式分解与整式乘法的关系和探索提取公因式的过程，培养学生观察能力与逆向思维能力.
情感
态度 在探索提取公因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法.
重点 会用提公因式法分解因式.
难点 确定公因式及提出公因式后的另一个因式的确定.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情
境
引
入 【问题1】
1.计算：
（1）x(x＋1)；
（2）(x＋1)(x－1).
2. 思考：630能被哪些数整除？
引入新课：
在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这就是本大节所探究的内容——14.3因式分解
教师提出问题，引导学生思考，教师提示点拨，导入本节课题
学生思考讨论，教师点拨：需要把630分解成几个质数积的形式（630=2×32×5×7）
自
主
探
究
合
作
交
流
【问题2】
参考【问题1】中1题计算，把下列多项式写成整式积的形式.
(1) x2 ＋x =__________________；
(2) x2－1=_____________.
总结概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把多项式因式分解（或叫做分解因式）.
注意： 因式分解不是运算，只是恒等变形 .
因式分解
多项式整式积
整式乘法
【问题3】
你会把ma+mb+mc因式分解吗？
由m (a＋b＋c)= ma＋mb＋mc ，可得ma＋mb＋mc= m (a＋b＋c).这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形教师出示问题2.
通过问题1学生容易得出问题2结果.
x2 ＋x = x(x＋1)
x2－1= (x＋1)(x－1)
- 1 - 【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
xabxabxaxb2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项axbxc2（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数acac1122，，，满足aaaccc1212，，并且acacb1221，那么二次三项式axbxc2即aaxacacxcc122122112可以分解为axcaxc1122。这里要确定四个常数acac1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：xx211240，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：xx211240
xxxxxxxx3803080308083或或
例2. 如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x4分成xx22，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为xaxxbx2212，其中a、b为整数，去括号，得：
xabxxabx43222
将它与原式的各项系数进行对比，得：
abmabm1122，，
解得：abm101，，
此时，原式xxx2221
整式的乘法与因式分解
一、选择题：（每题2分，共20分）
1．计算32()a的结果是（ ）
A．5a B．6a C．8a D．9a
2．下列运算正确的是（ ）
A．6318aaa B．639aaa C．632aaa D．639aaa
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．236xxx B．222235xxx C．328xx D．222xyxy
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．29)3)(3(xxx B．))((2233nmnmnmnm
C．)1)(3()3)(1(yyyy D．zyzzyzzyyz)2(2242
5．下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）
A．)32)(32(baba B．)32)(32(baba
C．)32)(32(baba D．)32)(32(baba
6．2x2x2x4的计算结果是（ ）
A. 4x16 B. 416x C. 4x16 D. 416x
7．把多项式2288xx分解因式，结果正确的是（ ）
A．224x B．224x C．222x D．222x
8．若22169ymxyx是完全平方式，则m=（ ）
A．12 B．24 C．±12 D．±24
9．一个长方体的长、宽、高分别为3x－4，2x和x，则它的体积等于（ ）
A． 313x42x=3x4x2 B． 21x2x=x2
