辽宁省铁岭市高二下学期期中数学试卷(理科)
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第 1 页 共 15 页 辽宁省铁岭市高二下学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
选择题 (共12题；共24分)
1.
（2分） (2018高二下·孝感期中)
如图，在空间四边形 中，点 为 中点，点 在 上，且 , 则 等于（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） 若当 =1，则f′（x0）等于（ ）
A .
B .
C . ﹣
D . ﹣
3. （2分） (2013·湖北理) 直线a、b、c及平面α、β,下列命题正确的是（ ）
A . 若aα，bα,c⊥a, c⊥b 则c⊥α
B . 若bα, a//b则 a//α 第 2 页 共 15 页 C .
若a//α,α∩β=b则a//
D .
若a⊥α, b⊥α 则a//
4.
（2分） (2019高三上·宝坻期中)
已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时， ，若 ，则 的大小关系正确的是（ ）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） 长方体中， ， ， E为的中点，则异面直线与AE所成角的余弦值为（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式 的解集是（ ）
A .
B .
C . 或
D . 或 第 3 页 共 15 页 7.
（2分）
(2017·湖北模拟)
如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（
）
A .
B .
C . 16π
D . 21π
8. （2分） (2019高一上·分宜月考) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2 ， 对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么实数t的取值范围是（ ）
A . [ ，+∞）
B . [2，+∞）
C . （0，
D . [0， ]
9. （2分） 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1 ， D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1 ， 过EH的平面与棱BB1 ， CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1 ， BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为（ ） 第 4 页 共 15 页
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角 的平面角为锐角，记二面角 的平面角为 ，直线EC与平面ABFE所成角为 ，直线EC与直线FB所成角为
，则（ ）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
11. （2分） 设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：,取函数f(x)=2-x-e-x ， 若对任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有fk(x)＝f(x)，则（ ）
A . k的最大值为2
B . k的最小值为2 第 5 页 共 15 页 C . k的最大值为1
D . k的最小值为1
12.
（2分） (2020高三上·泸县期末)
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点 、
的张角为 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 、 ，则（ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高二下·思南期中) 计算 =________．
14. （1分） (2018高二下·佛山期中) 过椭圆 （ ）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若 ,则椭圆的离心率为________
15. （1分） 在正三棱柱△ABC﹣△A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，若BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________
16. （1分） 设 与 是函数 的两个极值点.则常数 =________ .
三、 解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2020·福建模拟) 在四棱柱 中，底面 为正方形， ，
平面 ． 第 6 页 共 15 页
（1） 证明： 平面 ；
（2） 若 ，求二面角 的余弦值．
18. （15分） (2019高二上·鄂州期中) 某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1） 求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2） 用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；
（3） 若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在 的学生至少有1人被抽到的概率.
19. （15分） (2019高三上·太和月考) 已知函数 .
（1） 求函数 的图象在点 处切线的方程；
（2） 讨论函数 的极值；
（3） 若 对任意的 成立，求实数 的取值范围.
20. （10分） (2019·广东模拟) 如图，直三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，点D， 第 7 页 共 15 页 E分别是
的中点.
（1）
证明：
平面
；
（2） 若 ,证明： 平面
21. （10分） (2019高二上·应县月考) 已知椭圆C： 的离心率为 ，左焦点为
，过点 且斜率为 的直线 交椭圆于A，B两点．
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 在y轴上，是否存在定点E，使 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
22. （10分） (2020高三上·湖北期中) 已知函数 ， .
（1） 若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 ， ，记 为 从小到大的零点，当
时，讨论 的零点个数及大小. 第 8 页 共 15 页 参考答案
一、
选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、 第 9 页 共 15 页 16-1、
三、 解答题 (共6题；共70分)
17-1、 第 10 页 共 15 页 17-2、
18-1、 第 11 页 共 15 页 18-2、
18-3、
19-1、
19-2、 第 12 页 共 15 页 19-3、 第 13 页 共 15 页 20-1、
20-2、 第 14 页 共 15 页 21-1、
21-2、
22-1、 第 15 页 共 15 页 22-2、
