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整式的乘除与因式分解、分式

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1 新人教2014学年初二数学《整式的乘除与因式分解》

知识点一：幂的四个运算法则

① am·an=am+n(m,n都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

② （am）n=amn(m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③ (ab)n=anbn(n是正整数) 积德的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④ am÷an=am-n(m,n都是正整数) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

典例剖析

例1已知ma+b·ma-b=m12,求a的值。

变式训练（1）若644×83=2x,则x= （2）若x 2n=4，则x6n=

（3）已知am=2，an=3，则am+n=

例2 计算（-3）2004·(31)2005 例3 已知2x=3,2y=5,2z=15.求证：x+y=z

例4 如果（x+q）(x+51)的积中不含x项，那么q=

知识点二：三个公式

①平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2 “两数和两数差等于两数平方差”

②完全平方公式（a+b）2= a2+2ab+ b2 (a-b)2= a2-2ab+ b2

③ （x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab

2 典例剖析

例5 运用乘法公式计算

（1）102×98； （2）1022； （3）992

例6 计算19982-1997×1999 例7 计算（2+1）（22+1）（24+1）„(22n+1)

例8 已知（a+b）2=7，(a-b)2=4，求a2+ b2，ab的值。

变式练习：已知x+x1=2，求x2+ (x1)2

例9 已知x+y=1,那么21x2+xy+21y2的值为

知识点三：因式分解（三种方法）

① 提公因式法

② 公式法（平方差公式 完全平方公式）

③ x2+(p+q)x+pq=（x+p）(x+q)型二次三项式

例10 若a,b,c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0试判断这个三角形的形状。

3 分式

知识点一：分式的定义

例1 x为何值时，下列分式：（1）43x有意义？ （2）2xx无意义? (3)112xx 的值为零？

知识点二：分式的基本性质 （主要用于通分、约分）

① 约分：约去分子、分母中相同因式的最低次幂（即公因式）。

注意：若分子分母都是单项式，直接约去分子、分母中的公因式即可；若分子或分母是多项式要先因式分解，然后再将公因式约去。

例2 约分：（1）xyx20162 （2）aaa2422 (3)2122aaa

② 通分：把几个异分母的分式化成同分母的过程

最简公分母：分子分母中所有因式的最高次幂的乘积

注意：若分子分母都是单项式，直接通分；若分子或分母是多项式要先因式分解，然后再通分。

例3 通分：（1）241a，acb2 （2）a392,912aa

知识点三：分式的运算（分式的乘除、分式的加减、分式的乘方）

① 分式的乘法：ba.dc=bdac

② 分式的除法:ba÷dc=ba.cd=bcad

③ 分式的加减：同分母直接相加减，异分母先通分再加减

④ 负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，an=na1(a≠0)

⑤ 混合运算的顺序是：先乘除，后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号，先算括号内的。

4 例3 先化简代数式：baba2÷222244bababa-1，然后选择一个使原式有意义的a,b的值代入求值。

知识点四：分式方程

步骤：（1）确定最简公分母

（2）去分母

（3）解这个整式方程

（4）检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是增跟，应舍去，使最简公分母不为零的根才是原方程的根。

例4 解方程 2xx-1=412x

注意：造成分式方程无解的原因有两个，可能是原分式方程去分母后，所得的整式方程无解，也可能是所得整式方程的解是原方程的增跟，因此要分情况求解。

例 若关于x的分式方程1xax-x3=1无解，则a=

例5 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。

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《整式的乘除与因式分解》提高训练

《整式的乘除与因式分解》提高训练

1 整式的乘除与因式分解

一、选择题

1、下列运算正确的是（ ）

A、954aaa B、33333aaaa C、954632aaa D、743)(aa

2、•nmaa5)(（ ）

A、ma5 B、ma5 C、 nma5 D、nma5

3、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）

A、22)(ba B、mnm2052 C、22yx D、92x

4、如果2592kxx是一个完全平方式，那么k的值是（ ）

A、 15 B、 ±5 C、 30

D 、±30

5、用科学记数方法表示0000907.0,得（ ）

A、41007.9 B、51007.9 C、6107.90 D、7107.90

6、计算结果是187xx的是（ ）

A、(x-1)(x+18) B、(x+2)(x+9) C、(x-3)(x+6) D、(x-2)(x+9)

7、baba2310953，，( )

A、50 B、-5 C、15 D、ba27

8、下列各单项式中，与2x4y是同类项的为（ ）

A、2x4 B、2xy C、x4y D、2x2y3

9、下列分解因式正确的是（ ）

A.x3－x＝x(x2－1) B.m2＋m－6＝(m＋3)(m－2)

C.(a＋4)(a－4)＝a2－16 D.x2+y2＝(x－y)(x＋y)

《整式的乘除与因式分解》技巧性习题训练

《整式的乘除与因式分解》技巧性习题训练

1 《整式的乘除与因式分解》

一、逆用幂的运算性质

1．2005200440.25 .

2．( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。

3．若23nx，则6nx .

4．已知：2,3nmxx，求nmx23、nmx23的值。

5．已知：am2，bn32，则nm1032=________。

二、式子变形求值

1．若10mn，24mn，则22mn .

2．已知9ab，3ab，求223aabb的值.

3．已知0132xx，求221xx的值。

4．已知：212yxxx，则xyyx222= .

5．24(21)(21)(21)的结果为 .

6．如果（2a＋2b＋1）(2a＋2b－1)=63，那么a＋b的值为_______________。

7．已知：20072008xa，20082008xb，20092008xc，

求acbcabcba222的值。

8．若210,nn则3222008_______.nn

9．已知：0106222yyxx，则x_________，y_________。

10．已知0258622baba，则代数式baab的值是_______________。

三、式子变形判断三角形的形状

1．已知：a、b、c是三角形的三边，且满足0222acbcabcba，则该三角形的形状是_________________________.

2．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足03222bcbcaba，则这个三角形是___________________。

3．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式222222bacabca，试判断△ABC的形状。 2 四、分组分解因式

(%好用)整式的乘法与因式分解专题训练

(%好用)整式的乘法与因式分解专题训练

整式的乘法和因式分解

一、整式的运算

1、已知am=2，an=3，求am+2n的值；

2、若32na，则na6= .

3、若125512x，求xx2009)2(的值。

4、已知2x+13x1=144，求x；

5．2005200440.25 .

6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。

7、如果(x+q)(3x4)的结果中不含x项（q为常数），求结果中的常数项

8、设m2+m1=0，求m3+2m2+2010的值

二、乘法公式的变式运用

1、位置变化，xyyx

2、符号变化，xyxy

3、指数变化，x2y2x2y24

4、系数变化，2ab2ab

5、换式变化，xyzmxyzm

6、增项变化，xyzxyz

7、连用公式变化，xyxyx2y2

8、逆用公式变化，xyz2xyz2

三、乘法公式基础训练:

1、计算 （1）1032 （2）1982

2、计算 （1）abc2 （2）3xyz2

3、计算 （1）a4b3ca4b3c （2）3xy23xy2

4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）22007200720082006．

四、乘法公式常用技巧

1、已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。

变式练习：已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。

2、已知2ba，1ab，求22ba的值。

变式练习：已知8ba，2ab，求2)(ba的值。

3、已知a－a1=3，求a2+21a的值。

整式乘除与因式分解经典易错题集锦

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整式乘除与因式分解经典易错题

一.填空题

1.已知31aa，则221aa的值是 。

2．分解因式：2212abab .

3. 若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_____。

4.22)3(__6xxx， 22)3(9___xx。

5. 若229ykx是完全平方式，则k=_______。

6.若6,422yxyx则xy___。

二.选择题

1.在△ABC中，三边a、b、c满足010616222bcabcba，求证：a+c=2b

代数式a3b2－21a2b3, 21a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（ ）

A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3

2.把16－x4分解因式，其结果是（ ）

A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2)

C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x)

3.若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ）

A、±4 B、±2 C、3 D、4或2

4.把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）。

A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)

C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)

5.分解因式：222xxyyxy的结果是（ ）

Ａ．1xyxy Ｂ．1xyxy

Ｃ．1xyxy Ｄ．1xyxy

6.若22)32(9xkxmx，则m，k的值分别是（ ） A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12