调和级数发散的证明方法

欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。

我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。

戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。

为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。

调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。

但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。

但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。

中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。

他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。

我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。

好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。

下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。

奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。

哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。

后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。

[编辑本段]形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是p=1 的p级数。

调和级数是发散级数。

在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。

很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。

他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。

调和级数的推导[编辑本段]随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调合级数，直到无穷级数理论逐步成熟。

1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。

结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.577218。

调和级数敛散性判断
调和级数的证明方法至少有20种左右，在此不一一列举，根据多年探索，我认为下面方法比较简单：
证明
其中：
易证：
事实上，
显然，数列s中，有无穷多个至少大于
S发散
结论：调和级数
可以组合成无穷多个大于某个数的上述括号项的子列，这是它发散的本质原因。

提示：aj理解时相对有点难度，从中往两边读就较易理解。

8.所以我们在考察级数时，其通项虽然趋于0，但由于其子列的组成元素可以任意多，子列的个数也是无穷多的。

9.我们在考察研究级数时，子列可刻划出它的某些性质。

10.我们拆散或组合子列会给我们研究带来某些方便
11.8中的两个无穷是值得我们深思的，提醒我们不能轻易通过通项的值作出结论
12.级数的这些无穷使它魅力无限，吸引着无数的数学工作者耕耘其中。

建议：若证明无误，且若尚无别人作过这样的证明，高校教材若采用此种证明会更有助于学生对调和级数的的理解和掌握。

126更正
二、因排版失误,误将本刊2009年4月第四期总第74期,第038页,作者:孙毅，标题应为《余庆县小腮镇水利建设中的问题及对策》。

特此更正，并向作者致歉。

魅力中国杂志社
2009年5月22日。

调和级数发散性的一个简单证明
王连昌;李文潮;张养利;赵丽娟;张改英
【期刊名称】《医学争鸣》
【年(卷),期】2001(0)S1
【总页数】2页(P173-174)
【关键词】级数;证明;发散
【作者】王连昌;李文潮;张养利;赵丽娟;张改英
【作者单位】第四军医大学生物医学工程系数学教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O173
【相关文献】
1.调和级数∑∞n=11/n发散性的几种简单证明方法 [J], 陈祥云
2.调和级数∞n=1∑1n发散性的证明 [J], 段佩
3.关于调和级数(∞∑n=11/n)的发散性的几种简单证明 [J], 乐春红
4.调和级数敛散性判断——一个明了易懂且能深刻揭示级数发散的本质原因的证明[J], 杜开益
5.调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明 [J], 段佩
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无穷级数中的几何级数无穷级数中，几何级数又称为等比级数。

几何级数（即等比级数）的和为：当︱q︱<1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=a/(1-q)当︱q︱≥1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=+∞几何级数的敛散性当〡q〡<1时，级数收敛；当〡q〡≥1时级数发散。

调和级数和几何级数的收敛证明先看调和级数：证明如下:由于ln(1+1/n)<1/n（n=1,2,3,…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.所以Sn的极限不存在,调和级数发散.置于几何级数看图片吧,太难输了.p级数形如(p为实数)的级数称为p级数。

当p=1时，得到著名的调和级数：。

当p=2时，值收敛于。

p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。

p级数的敛散性如下：当时，p级数收敛；当时，p级数发散。

交错p级数形如（p>0）的级数称为交错p级数。

交错p级数是重要的交错级数。

交错p级数的敛散性如下：当时，交错p级数绝对收敛；0<时，交错p级数条件收敛。

p<=0时，交错p级数发散例如，交错调和级数条件收敛，其和为。

调和级数∞∑n=11＼n发散性证明及讨论
于文恺
【期刊名称】《天津轻工业学院学报》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】调和级数发散性证明及讨论于文恺（基础科学系）调和级数是级数理论中一个较为重要的发散级数。

许多级数的敛散性需借助于它来讨论。

对于调和级数发散性的证明，往往采用较繁琐的传统证明方法。

本文将给出证明调和级数发散的另外两种方法，并对与之相关的几个命题...
【总页数】3页(P91-93)
【作者】于文恺
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的证明及讨论 [J], 关泽满;
2.关于调和级数(∞∑n=11/n)的发散性的几种简单证明 [J], 乐春红
3.调和级数(∞∑n=1)1/n发散性的两种证明方法 [J], 洛桑
4.调和级数sub from n=1 to ∞ 1/n发散性证明及讨论 [J], 田桂林
5.调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明 [J], 段佩
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调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。

其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。

关键词：调和级数发散性部分和收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract:Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数11n n∞=∑的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。

他的方法很简单：111111112345678++++++++L11111111()()22448888++++++++L级数的括号中的数值和都为12，这样的12有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。

他的证明是以莱布尼茨的收敛级数111112612(1)n n+++++=+L L为基础的。

以下是他的证明。

证明：11122=-，111623=-，1111234=-L，111(1)1n n n n=-++L所以11111111 112233411 nsn n n=-+-+-++-=-++L.则1lim lim(1)11nn ns sn→∞→∞==-=+.接着设11123An=++++L L，则1234261220(1)nAn n=+++++++L L；111111261220(1)Cn n=++++++=+L L；11111161220(1)22D Cn n=+++++=-=+L L；111111122030(1)63E Dn n=+++++=-=+L L；111111203042(1)124F En n=+++++=-=+L L；111111304256(1)205G Fn n=+++++=-=+L L；L L123451112612203023C D E F G+++++=+++++=+++L L L.即1A A=+.没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。

邯郸学院本科毕业论文高昌摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同．关键词调和级数发散性判别收敛Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the originallicense different.Key words Harmonics Series Divergency Discriminate Convergency目录摘要 (I)外文页 (II)1 引言 (1)2 调和级数发散性的证明方法 (1)2.1 比较类 (1)2.2 柯西类 (3)2.3 积分类 (4)2.4 和为无穷大类 (5)3 总结 (7)参考文献 (8)致谢.............................................................. 错误！未定义书签。