最小二乘问题公式(一)

最小2乘法公式
最小二乘法是一种数学方法，可以用来解决线性回归问题。

线性回归问题是指在给定一堆数据的情况下，寻找一个函数，使得这个函数能够最好地拟合这堆数据。

最小二乘法的目标是使得这个函数的预测值与实际值之间的误差平方和最小。

最小二乘法最早由法国数学家勒让德在19世纪提出，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。

通常，最小二乘法的公式可以用矩阵与向量的乘积来表示。

在这个公式中，我们需要用到一些符号：Y：实际值的向量（n行1列）
X：预测值的矩阵（n行p列）
b：回归系数的向量（p行1列）
e：误差的向量（n行1列）
其中，n表示数据的数量，p表示回归系数的数量。

最小二乘法的公式是：
b = (X^TX)^(-1)X^TY
在这个公式中，^T表示转置，^(-1)表示矩阵求逆。

这个公式的核心是矩阵求逆。

如果矩阵没有逆矩阵，我们就无法使用最小二乘法来解决线性回归问题。

此外，如果数据量很大，矩阵
的求逆操作也会变得非常耗时。

因此，在实际应用中，我们需要采用一些基于最小二乘法的变种算法来加速计算。

总体而言，最小二乘法是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们解决许多实际问题。

当然，在使用最小二乘法的时候，我们需要注意数据的质量和数量，以及算法的适用范围和参数调整等问题，才能取得最好的效果。

最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。

它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。

最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。

对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。

那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。

最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。

对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。

我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。

然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。

在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。

一种常用的迭代方法是梯度下降法。

梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。

具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。

迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。

学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。

最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。

在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。

同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。

除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。

必修三中的最小二乘法必修三中的最小二乘法这种使用均方误差作为损失，并求得损失最小值的方法就叫做最小二乘法线性模型相信很多人遇到最小二乘法是在高中数学必修三里，那么让店铺来为大家介绍一下什么最小二乘法以及二乘法的运用和案例。

什么是最小二乘法最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法原理最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

示例：数据点(红色)、使用最小二乘法求得的最佳解(蓝色)、误差(绿色)。

某次实验得到了四个数据点：...(右图中红色的点)。

我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组的和：最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得到。

如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：也就是说直线是最佳的。

人们对由某一变量或多个变量……构成的相关变量感兴趣。

如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。

为了得到这些变量同之间的关系，便用不相关变量去构建，使用如下函数模型，个独立变量或个系数去拟合。

通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型称作函数模型(如抛物线函数或指数函数)。

参数b是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。

最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数，使其在给定的数据集上的误差平方和最小。

这种方法可以用于解决各种问题，例如线性回归、曲线拟合等。

在最小二乘拟合法中，我们希望找到一个函数或曲线，使其能够最好地拟合给定的数据点。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)，使得对于每个数据点(xi, yi)，f(xi)的值与yi的值之间的差异最小。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来确定最佳的拟合函数。

最小二乘法通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数的系数。

误差平方和定义为每个数据点的预测值与实际值之差的平方之和。

最小二乘拟合法的公式如下所示：β = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y其中，β是一个包含拟合函数的系数的向量，X是一个包含数据点的矩阵，Y是一个包含对应的实际值的向量，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。

通过求解上述公式，我们可以得到最佳的拟合函数的系数。

然后，我们可以使用这些系数来计算拟合函数在其他输入值上的预测值。

最小二乘拟合法在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的直线，以描述自变量和因变量之间的关系。

在曲线拟合中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的曲线，以逼近给定的数据点。

需要注意的是，最小二乘拟合法在某些情况下可能会出现问题。

例如，当数据点存在较大的误差或离群值时，最小二乘法可能会受到影响。

此外，最小二乘法只能用于找到最佳的拟合函数，而不能确定拟合函数的可靠性或显著性。

总结起来，最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数。

通过最小化误差平方和，最小二乘法可以确定拟合函数的系数，从而实现对给定数据的最佳拟合。

然而，最小二乘法也有一些限制，需要在实际应用中进行注意。

第十一章 最小二乘问题一、内容提要§11.1最小二乘问题1． 定义 给定矩阵nm RA ×∈，向量m b R ∈，求nR x ∈0，使得0||||min ||||nx Rb Ax b Ax ∈−=−, 称上述问题为线性最小二乘问题，简称为最小二乘问题；称解0x 为最小二乘解。

最小二乘问题也可以看作是线性方程组,m n Ax b A R ×=∈的最小二乘问题，相应地最小二乘解0x 称为线性方程组的最小二乘解。

2． 数学性质定理1 最小二乘问题的解恒存在；且解唯一的充分必要条件是 n A rank =)(。

定理2 最小二乘解满足方程组T T A Ax A b =，反之，若x 是上述方程组的解，则其是最小二乘解。

称上述方程为最小二乘问题的正规方程组（或法方程组或Euler 方程）。

3． QR 分解定理3 设矩阵nm R A ×∈列满秩，即n A rank =)(。

则存在列标准正交矩阵nm RQ ×∈及非奇上三角矩阵nn RR ×∈，使得QR A =，且在约定R 的对角元素0>ii r 情形下，上述分解唯一, 称之为矩阵A 的QR 分解。

所谓列标准正交矩阵 ()n q q Q L 1=，指的是列向量组标准正交，也即E Q Q T =。

利用QR 分解，可计算出最小二乘解：1） 作矩阵A 的QR 分解，QR A =； 2） 求解上三角方程组，TRx Q b =。

4． 相关概念设1(,,)m nn A a a R×=∈L ，定义矩阵A 的值域为，},|{)(n R x Ax y y A R ∈==1(,,)n L a a =L ；矩阵A 的零空间定义为. },0|{)(nR x Ax x A N ∈==，定理 4 )()(TA N A R =⊥， )()(A N A R T=⊥。

§11.2 奇异值分解1． 定义与结论 设矩阵nm RA ×∈，则A A T的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L ，称n i i i ,,1,L ==λσ为矩阵A 的奇异值；并称1,r σσ为A 的最大奇异值和最小奇异值。

最小二乘法ab计算公式最小二乘法呀，这可是数学里一个挺有意思的工具呢！咱们先来说说啥是最小二乘法。

简单来讲，就是在一堆数据点中找到一条最能代表这些点趋势的直线或者曲线。

那怎么找呢？这就得用到咱们要说的 ab 计算公式啦。

比如说，咱们有这么一组数据，记录了不同时间点温度的变化。

时间分别是 1 小时、2 小时、3 小时、4 小时、5 小时，对应的温度是 15 度、18 度、20 度、22 度、25 度。

那咱们就想用最小二乘法找出能最好地描述这个温度随时间变化的直线。

这时候，ab 计算公式就派上用场啦。

这里的 a 呢，代表直线的斜率，b 呢，代表直线在 y 轴上的截距。

计算 a 和 b 可不像做普通的加减法那么简单。

咱们得先算一些中间值。

比如说，要算这些时间的平均值，还有温度的平均值。

然后再通过一些复杂点儿的式子去算出 a 和 b。

我记得之前教学生的时候，有个学生怎么都理解不了这个公式。

我就给他举了个特别形象的例子。

咱们把这些数据点想象成一群小朋友，他们在操场上乱跑，咱们要找一条绳子把他们尽量都“拢”在一起。

这条绳子就是咱们通过最小二乘法算出来的直线。

那个学生一下子就好像明白了，眼睛都亮了起来。

那具体的计算公式是啥呢？假设咱们有 n 个数据点 (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (xₙ, yₙ) 。

首先，咱们要算出 x 的平均值和 y 的平均值。

然后，a 的计算公式是，b 的计算公式就是。

可别被这些式子吓到，咱们一步一步来。

比如说，咱们还是拿刚才温度随时间变化的例子。

先把每个时间和对应的温度都列出来，然后按照公式一步一步算。

这中间可不能马虎，一个数算错了，结果就全不对啦。

在实际应用中，最小二乘法用处可大了。

比如在经济学里，分析成本和产量的关系；在物理学里，研究力和位移的关系；在医学里，探究药物剂量和效果的关系。

可以说，只要是涉及到数据拟合和趋势预测的地方，都可能会用到最小二乘法。

再举个例子，假如咱们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。

最小二乘法b的计算公式最小二乘法在数学领域，尤其是统计学中，那可是相当重要的一个工具。

咱今儿就来好好唠唠它里面关于 b 的计算公式。

先给您举个小例子哈。

比如说，咱要研究学生每天学习时间和考试成绩之间的关系。

我们找了一堆学生，记录了他们每天学习的时间和对应的考试成绩。

这时候，就可以用最小二乘法来找出这两者之间的规律。

那最小二乘法里 b 的计算公式到底是啥呢？它是：b = [nΣ(xy) - ΣxΣy] / [nΣ(x^2) - (Σx)^2]这里面的 n 表示数据的数量，x 是自变量，y 是因变量。

可别被这一堆符号给吓住了，咱慢慢捋一捋。

比如说，在刚刚说的学习时间和考试成绩的例子里，学习时间就是x，考试成绩就是 y。

假设我们有 5 个学生的数据，分别是（1，50），（2，60），（3，70），（4，80），（5，90）。

那咱们先算算Σx，就是把所有的 x 加起来，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。

Σy 呢，就是把所有的 y 加起来，50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 350。

Σ(xy) 就是把每个 x 和对应的 y 相乘再相加，1×50 + 2×60 + 3×70 + 4×80 + 5×90 = 1350。

Σ(x^2) 就是把每个 x 的平方加起来，1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。

然后把这些数代到公式里，n = 5，b = [5×1350 - 15×350] / [5×55 - 15^2] ，经过一番计算，就能得出 b 的值啦。

有了这个 b 值，我们就能得到一个大致的线性关系，比如说 y = bx + a 里的这个直线方程，从而能对未来的情况做一些预测。

再比如说，您要是开个小店，想研究商品价格和销量之间的关系，也能用这个方法。

您看，最小二乘法的 b 计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多找些实际的例子练练手，其实也没那么难。

高中数学最小二乘法最小二乘法是一种常用的统计学方法，通常应用于数据拟合。

在高中数学中，最小二乘法主要用于线性回归分析，即寻找一条直线来拟合一组数据点。

假设有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条直线 $y = ax + b$，使得这条直线与这些数据点的误差平方和最小。

换句话说，就是让这条直线尽可能地接近这些数据点。

假设直线 $y = ax + b$ 与数据点 $(x_i,y_i)$ 的误差为 $e_i$，则有：$$e_i = y_i - (ax_i + b)$$将所有数据点的误差平方和表示出来，可以得到：$$sum_{i=1}^n e_i^2 = sum_{i=1}^n(y_i - (ax_i + b))^2$$ 我们的目标是使得上式的值最小，因此需要对 $a$ 和 $b$ 分别求偏导数并令其为0，得到：$$begin{cases}frac{partial}{partial a}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0 frac{partial}{partial b}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0end{cases}$$ 将上式展开并整理可得到：$$begin{cases}displaystylesum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b) = 0displaystylesum_{i=1}^n(y_i - ax_i - b) = 0end{cases}$$ 解出 $a$ 和 $b$ 即可得到最小二乘法的结果，即：$$a = frac{displaystyle nsum_{i=1}^nx_iy_i -sum_{i=1}^nx_isum_{i=1}^ny_i}{displaystyle nsum_{i=1}^nx_i^2 - (sum_{i=1}^nx_i)^2}$$$$b = frac{displaystyle sum_{i=1}^ny_i - asum_{i=1}^nx_i}{n}$$这就是高中数学中最小二乘法的基本原理和公式。

最小二乘法编辑本段最小二乘法（least square）历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普•皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希•奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。

（来自于wikipedia）编辑本段最小二乘法原理在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。

Y计= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计=a0+a1X）的离差（Yi-Y计）的平方和〔∑（Yi - Y计）2〕最小为“优化判据”。

令：φ = ∑（Yi - Y计）2 （式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：φ = ∑（Yi - a0 - a1 Xi)2 （式1-3)当∑（Yi-Y计）平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

（式1-4)（式1-5)亦即：m a0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)（∑Xi ) a0 + （∑Xi2 ) a1 = ∑（Xi,Yi) （式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （∑Yi) / m - a1（∑Xi) / m （式1-8)a1 = [m∑Xi Yi - （∑Xi ∑Yi)] / [m∑Xi2 - （∑Xi)2 )] （式1-9) 这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的(式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

最小二乘法求b的两个公式数学问题一直以来都是人类追求的重点，而在数学中，最小二乘法是一种经典而重要的方法，可广泛应用于统计和计算机科学等领域，特别是在回归分析中。

在这种方法中，我们通常要用到两个公式来求 b，下面我们将分别介绍这两个公式。

最小二乘法的定义最小二乘法是一种寻找一条直线的方法，该直线的方程为 y = bx + a，使得所有数据点到这条直线的距离之和最小。

所谓所有数据点，指的是给定数据集中的所有点，距离是指点到直线的垂直距离。

在该方法中，b 定义为直线的斜率，a 定义为直线的截距。

公式一最小二乘法的第一个公式是这样定义的：b = (NΣxy - ΣxΣy) / (NΣx² - (Σx)²)其中，x 和 y 是我们要拟合的数据集，Σ 表示求和符号，N 是数据集的长度。

这个公式的用途是计算最小二乘法拟合直线的斜率 b。

可以看到，斜率b 受数据集的 x 值和 y 值影响，同时也受到数据集长度 N 的影响。

更具体而言，当数据点越多、数据值偏离越大时，b 的结果越显著。

公式二最小二乘法的第二个公式是这样定义的：b = Σ(x - ̄x)(y - ̄y) / Σ(x - ̄x)²其中，x 和 y 是要拟合的数据集， ̄x和 ̄y分别是 x 和 y 的平均值。

这个公式的作用是通过计算每个数据点和平均值的偏差来计算斜率 b。

这个公式的一个重要特点是不需要计算数据集的长度 N，因此使用该公式可以避免一些繁琐的计算。

不过需要注意的是，当数据点数量较少时，公式二的结果有时会比公式一的结果更加不稳定，也就是误差会更大。

最小二乘法的应用及局限性最小二乘法被广泛地应用于数据分析、建模和预测，因为它是一种简单而有效的方法，能够帮助我们从数据中获取重要的信息。

然而，最小二乘法也有其局限性。

首先，最小二乘法要求数据点服从线性分布，即要求数据点之间存在线性关系。

如果数据点间的关系是非线性的，则最小二乘法的拟合结果可能不准确。

最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）：a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2 (x)m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和〔∑(Y i -Y计)2〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Y i -Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i -a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Y i-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi )a1 = ∑Y i (式1-6)(∑Xi )a0 + (∑Xi2 )a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Y i)/ m -a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Y i - (∑Xi ∑Y i)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

最小二乘法公式例题在我们学习数学的过程中，有一个非常实用的工具叫做最小二乘法。

这玩意儿听起来可能有点高大上，但其实没那么可怕，咱们通过一些例题来好好瞅瞅它。

我记得有一次给学生们讲最小二乘法的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥呀？”我笑着回答：“别着急，咱们一步步来。

”咱们先来说说最小二乘法的公式：对于给定的一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要找到一条直线 y = a + bx 来拟合这些数据，使得误差的平方和最小。

这里误差就是实际的 y 值减去通过直线计算得到的 y 值。

那误差的平方和 S 就可以表示为：S = Σ（yᵢ - （a + bxᵢ））²。

为了找到使 S 最小的 a 和 b 的值，我们需要对 S 分别关于 a 和 b 求偏导数，并令它们等于 0。

经过一系列计算（这个过程咱就不细说了，不然脑袋得晕），最终可以得到求解 a 和 b 的公式：b = [Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）] / [Σ（xᵢ - x）²] ，a = ȳ - b x。

这里x是 x 的平均值，ȳ是 y 的平均值。

咱们来看个例题哈。

假设我们有一组数据：（1，2），（2，3），（3，5），（4，6），（5，7）。

首先，咱们来计算一下 x 的平均值x和 y 的平均值ȳ 。

x = （1 + 2 + 3 + 4 + 5）/ 5 = 3 ，ȳ = （2 + 3 + 5 + 6 + 7）/ 5 = 4.6 。

然后计算Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）和Σ（xᵢ - x）²。

（1 - 3）×（2 - 4.6） + （2 - 3）×（3 - 4.6） + （3 - 3）×（5 - 4.6）+ （4 - 3）×（6 - 4.6） + （5 - 3）×（7 - 4.6），（1 - 3）² + （2 - 3）² + （3 - 3）² + （4 - 3）² + （5 - 3）²。

最小二乘法拟合曲线公式
最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用来拟合一条曲线，使得曲线上的点与实际观测值的误差最小化。

最小二乘法拟合曲线的公式为：
y = a + bx
其中，y 是因变量，x 是自变量，a 和 b 是拟合曲线的系数。

最小二乘法通过最小化误差平方和来确定 a 和 b 的值，即：
b = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x^2 - (∑x)^2)
a = (∑y - b∑x) / n
其中，n 是数据点的个数，∑表示求和符号，x 和 y 分别表示自变量和因变量的值。

拟合曲线的误差可以通过计算残差平方和来评估，即：
SSR = ∑(y - )^2
其中，y 是实际观测值，是拟合曲线的预测值。

最小二乘法拟合曲线的优点在于可以用简单的数学公式表示，易于理解和应用。

- 1 -。

最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

1 最小二乘法2历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。

（来自于wikipedia）3原理在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。

Yj= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Yj=a0+a1X）的离差（Yi-Yj）的平方和〔∑（Yi - Yj）2〕最小为“优化判据”。

令：φ = ∑（Yi - Yj）2 （式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：φ = ∑（Yi - a0 - a1 *Xi)2 （式1-3)当∑（Yi-Yj）平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。