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第九讲 圆锥曲线的综合问题(理)第八讲 圆锥曲线的综合问题(文) 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac ．当Δ__＞__0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝__0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜__0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 知识点二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝__1＋k 2·|x 1－x 2|__或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|__．(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 知识点三 圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0．归纳拓展1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系． 2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系．3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行．4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．双基自测1．(2021·某某模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D )A ．14B ．12C ．2D ．4[解析]因为双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ．2．(2021·某某模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8．又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x ．故选B ．3．(2021·某某某某调研)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值X 围是( A )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞) [解析]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率b a，所以b a≥1，e 2＝c 2a2＝a 2＋b 2a 2≥2，∴e ≥2．故选A ．4．(2021·某某市质量监测)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A ，B 两点，若△FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为( C )A ．12B ．22C ．33D ．32[解析]如图，由|AB |＝2b 2a，△FAB 是正三角形，得32×2b 2a ＝2c ，化简可得(2a 2－3b 2)(2a 2＋b 2)＝0， 所以2a 2－3b 2＝0，所以b 2a 2＝23，所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a2＝33．故选C ．5．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |．[解析]设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32．又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4t －13．从而－4t －13＝52，得t ＝－78．所以l 的方程为y ＝32x －78．(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3．代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1．故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－132＋3＋12＝4133．考点突破·互动探究考点一 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2021·某某检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2021·某某某某调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(3)(2021·某某某某二中月考)直线l ：y ＝k (x －2)与曲线x 2－y 2＝1(x ＞0)相交于A ，B两点，则直线l 倾斜角α的取值X 围是( B )A ．[0，π)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4[解析](1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4．∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B ．(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p3，所以直线OB的斜率为k OB＝－2p32p9＝－3．故选D．(3)直线l过定点(2，0)，曲线x2－y2＝1(x＞0)的渐近线的倾斜角分别为π4，3π4，又直线的斜率存在，结合图形可知选B．名师点拨研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．考点二直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究角度1 弦长问题例2 (2021·某某质检)已知M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－12．设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点O 为坐标原点，OA →·OB →＝0，求|AB |．[解析](1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)， 则k PM ＝yx ＋2，k PN ＝y x －2． 因为k PM k PN ＝－12，所以y x ＋2·y x －2＝－12，即y 2x 2－2＝－12，即x 22＋y 2＝1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时与题设矛盾，故直线l 的斜率存在． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：y ＝kx ＋t ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝kx ＋t ，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0． 所以x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2．Δ＝8(2k 2－t 2＋1)＞0⇒2k 2－t 2＋1＞0．设A ，B 的中点为D (m ，n )， 则m ＝x 1＋x 22＝－2kt 1＋2k 2，n ＝km ＋t ＝t 1＋2k 2． 故线段AB 的中垂线方程为y －n ＝－1k(x －m )．当x ＝0时，y ＝mk ＋n ＝12，所以－2kt 1＋2k 2k＋t1＋2k 2＝12，化简得1＋2k 2＝－2t ． 因为OA →·OB →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0．又y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝2t 2－1k 2＋11＋2k 2－4k 2t 21＋2k 2＋t 2＝0， 化简得2k 2＋2＝3t 2．又1＋2k 2＝－2t ， 得t ＝－1或t ＝13(舍去)，所以k 2＝12．所以|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x1x 2]＝1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 22－4 2t 2－21＋2k 2 ＝81＋k 22k 2－t 2＋11＋2k 2＝3．名师点拨处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕(2021·四省八校质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线m ：x ＝－2，过F 作垂直于l 的直线与直线m 交于点T ，求|TF ||AB |的最小值和此时l 的方程． [解析](1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a 2＝b 2＋c21a 2＋12b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以椭圆的方程为：x 22＋y 2＝1．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－1，T (－2,0)，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－22，此时|TF ||AB |＝22， 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＋2y 2－2＝0⇒(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，Δ＝8(k 2＋1)＞0， 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22k 2＋11＋2k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋1x ＝－2⇒T ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1k ，∴|TF |＝1＋k 2k 2，所以|TF ||AB |＝1＋2k 222·k 2k 2＋1＝1＋k 2＋k 222·k 2k 2＋1＞21＋k 2·k 222·k 2k 2＋1＝22 (∵1＋k 2≠k 2，所以无法取等号)所以|TF ||AB |的最小值为22，此时l 的方程为：x ＝－1．角度2 中点弦问题例3 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A ．32B ．52C ．2D ．3[解析]由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2．因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ．名师点拨处理中点弦问题常用的求解方法根与系数的关系→即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解点差法→即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率〔变式训练2〕已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值X围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0__．[解析]设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12＜x G ＜0，即点G 横坐标的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．角度3 求直线的方程例4 (2021·某某某某质检)已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程． [解析](1)由题意，可得F (0,1)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －8＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8， 又由|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝x 1＋x 22－2x 1x 24＋2．显然当k ＝1时，|FA |＋|FB |＝10．(2)由题意可知，FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214－1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224－1，FC →＝(－3，－3)，由∠CFA ＝∠CFB ，可得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC→|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，又|FA|＝x214＋1，|FB|＝x224＋1，|FC|＝32，整理得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0，解得k＝－32，所以直线l的方程为3x＋2y－4＝0．名师点拨设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a．〔变式训练3〕(2021·某某某某、崇左模拟)椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，过点A(－a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为63．(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当CEDE＝3时，求直线l的方程．[解析](1)据题知，直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab a2＋b2＝63e＝a2－b2a2＝22．解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M 的方程为x22＋y2＝1．(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2＞0，y2＞0)，设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．代入椭圆方程整理得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0．Δ＝8m2＋8＞0，∴y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2．①由CEDE＝3，依题意可得：y1＝－3y2，②结合①②得⎩⎪⎨⎪⎧y2＝m m2＋23y22＝1m2＋2，消去y2解得m＝1，m＝－1(不合题意)．所以直线l的方程为y＝x－1．名师讲坛·素养提升“设而不求，整体代换”解决圆锥曲线问题例5 (2021·某某某某模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E．(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km＜0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且OA→·OB→＝5，证明：直线l经过一个定点．[解析](1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴p2＝1，∴p ＝2， ∴曲线E 的方程为y 2＝4x ． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2， Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )＞0．∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4kmk 2＝5，∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k ．∵km ＜0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )＞0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)， ∴直线l 必经过定点(5,0)．名师点拨对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果．〔变式训练4〕(2021·某某某某质检)已知椭圆E 的方程为x 2a2＋y 2＝1，点A 为长轴的右端点．B ，C 为椭圆E 上关于原点对称的两点．直线AB 与直线AC 的斜率k AB 和k AC 满足：k AB ·k AC ＝－12．(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋t 与圆x 2＋y 2＝23相切，且与椭圆E 相交于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原点．[解析](1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)由x 20a 2＋y 20＝1得，y 20＝1－x 20a2＝a 2－x 20a 2，由k AB ·k AC ＝－12，即y 0x 0－a ·－y 0－x 0－a ＝－12得，y 20＝a 2－x 202，所以a 2－x 20a 2＝a 2－x 202，所以a 2＝2，即椭圆E 的标准方程为：x 22＋y 2＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t得：(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2．y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝k 22t 2－21＋2k 2＋－4k 2t 21＋2k 2＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2， 又l 与圆C 相切，所以63＝|t |1＋k 2即23＝t 21＋k 2， 所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2t 2－2＋t 2－2k 21＋2k 2＝3t2－21＋k21＋2k2＝21＋k2－21＋k21＋2k2＝0，所以，OM→⊥ON→，即∠MON＝90°，所以，以线段MN为直径的圆经过原点．。
直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.∵k 2≠0，∴x 1+x 2=22)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8，∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为x =3021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－2422121y y x x +⋅+ =－244⨯=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.答案：x +2y －8=0●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况. 【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）； （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ， y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．消去x 后，整理得∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =214)1(2+k. ∵S △OAB =10， ∴10=21412+k.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，而直线BC 与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k 的范围.解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0， 即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =||||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)2()222(222y x x +----， 整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.则 ∴解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），∵P 为BF 中点，∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，∵（－c ）－（－ca 2）=2， ∴cc a 22-=2， 即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.x +y =m ， y 2=x －2m ＞47. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，∴所求m 的取值范围是（47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.d =2||b a -=2，∴|a －b |=2.又P 点在右支上，则有a >b ，（2）解：由 （y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得∴a －b =2.∴|a +b |×2=1，a +b =21. 答案：B2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率k AB =2121x x y y --=2121)(3y y x x ++ =2232121y y x x ++⨯=123⨯=6. 答案：64.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.解析：设过F （2p ，0）的直线为y =k （x －2p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.答案：21p - α2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.解：设椭圆方程22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝23，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22by ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51（4－4b 2）. 从参数方程 （k ＜－26或k ＞26），∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝51（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝85，a 2＝25. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.y =（a +1）x －1， y 2=ax ，x =1，y =0.（2）当a ≠0时，方程组化为aa 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·aa 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，y =－2.综上所述，可知当a =0，－1，－54时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥使其恰有一组解.（1）当a =0时，此方程组恰有一组解 若aa 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解 解析：联立方程组 一解曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d =2212))(1(x x k -+＝2212))(11(y y k -+. 再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.5.求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.3，与直线x+y－1=0相交6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为2于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.7.已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.。
2022版新高考数学总复习--§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系— 五年高考 —考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D2.(2021浙江,16,6分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c >0).若过F 1的直线和圆(x -12c)2+y 2=c 2相切,与椭圆在第一象限交于点P ,且PF 2⊥x 轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 . 答案2√55;√553.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB |= . 答案1634.(2019浙江,15,4分)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 . 答案 √155.(2021全国乙理,21,12分)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,且F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p ;(2)若点P 在M 上,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.解题指导 (1)利用圆心到焦点F 的距离减去半径等于4构造关于p 的方程,解方程即可;(2)设出点A ,B ,P 的坐标,利用导数的几何意义得到切线斜率,写出两切线PA ,PB 的方程,利用点P 与切线的关系写出直线AB 的方程,从而求得弦长AB 与点P 到直线AB 的距离,进而结合函数的相关知识表示并求出△PAB 面积的最大值.6.(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点在x 轴上,直线l :x =1交C 于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ.已知点M (2,0),且☉M 与l 相切.(1)求C ,☉M 的方程;(2)设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点,直线A 1A 2,A 1A 3均与☉M 相切.判断直线A 2A 3与☉M 的位置关系,并说明理由. 解析 (1)由题意可设抛物线C 的方程为y 2=2px (p >0),则P ,Q 的坐标为(1,±√2p ),∵OP ⊥OQ ,∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1-2p =0, ∴p =12,∴抛物线C 的方程为y 2=x.∵☉M 的圆心为(2,0),☉M 与直线x =1相切, ∴☉M 的半径为1,∴☉M 的方程为(x -2)2+y 2=1. (2)直线A 2A 3与☉M 相切.理由如下:设A 1(y 02,y 0),A 2(y 12,y 1),A 3(y 22,y 2),∵直线A 1A 2,A 1A 3均与☉M 相切, ∴y 0≠±1,y 1≠±1,y 2≠±1,由A 1,A 2的坐标可得直线A 1A 2的方程为y -y 0=y 0-y 1y 02-y 12(x -y 02),整理,得x -(y 0+y 1)y +y 0y 1=0,由于直线A 1A 2与☉M 相切, ∴M 到直线A 1A 2的距离d =|2+y 01|√1+(y 0+y 1)2=1,整理得(y 02-1)y 12+2y 0y 1+3-y 02=0,①同理可得,(y 02-1)y 22+2y 0y 2+3-y 02=0,②观察①②,得y 1,y 2是关于x 的一元二次方程(y 02-1)x 2+2y 0x +3-y 02=0的两根,∴{y 1+y 2=-2y0y 02-1,y 1y 2=3-y 02y 02-1.(*) 同理,得直线A 2A 3的方程为x -(y 1+y 2)y +y 1y 2=0,则点M (2,0)到直线A 2A 3的距离d'=|2+y 12|√1+(y 1+y 2),把(*)代入,得d'=|2+3-y 0202-1|√1+(-2y0y 02-1)=|2(y 02-1)+3-y 02|√(y 0-1)2+(-2y 0)2=|y 02√y 0+2y 0+1=|y 02+1||y 02+1|=1.∴直线A 2A 3与☉M 相切.解后反思 本题第(1)问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第(2)问涉及的条件较多,其中直线A 1A 2与圆相切,是最重要的一个条件,由此条件可求出直线A 1A 2的方程,进而直线A 1A 3,A 2A 3的方程就可同理求得,可大大简化运算过程,而由①②归纳出y 1,y 2是方程(y 02-1)x 2+2y 0x +3-y 02=0的两根,则需要有较深的数学功底和知识储备,需要同学们平时不断积累.7.(2020天津,18,15分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,-3),右焦点为F ,且|OA |=|OF |,其中O 为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.解析 (1)由已知可得b =3.记半焦距为c ,由|OF |=|OA |可得c =b =3.又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=18.所以,椭圆的方程为x 218+y 29=1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以AB ⊥CP.依题意,直线AB 和直线CP 的斜率均存在.设直线AB 的方程为y =kx -3.由方程组{y =kx -3,x 218+y 29=1,消去y ,可得(2k 2+1)·x 2-12kx =0,解得x =0或x =12k 2k 2+1.依题意,可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2-32k 2+1).因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,-3),所以点P 的坐标为(6k2k 2+1,-32k 2+1).由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为-32k 2+1-06k 2k 2+1-1,即32k 2-6k+1.又因为AB ⊥CP ,所以k ·32k 2-6k+1=-1,整理得2k 2-3k +1=0,解得k =12或k =1.所以,直线AB 的方程为y =12x -3或y =x -3.8.(2020浙江,21,15分)如图,已知椭圆C 1:x 22+y 2=1,抛物线C 2:y 2=2px (p >0),点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点,过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ,交抛物线C 2于点M (B ,M 不同于A ).(1)若p =116,求抛物线C 2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.解析 (1)由p =116得C 2的焦点坐标是(132,0). (2)由题意可设直线l :x =my +t (m ≠0,t ≠0),点A (x 0,y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1:x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0,所以点M 的纵坐标y M =-mtm 2+2, 将直线l 的方程代入抛物线C 2:y 2=2px 得y 2-2pmy -2pt =0,所以y 0y M =-2pt ,解得y 0=2p (m 2+2)m ,因此x 0=2p (m 2+2)2m 2.由x 022+y 02=1得1p2=4(m +2m)2+2(m +2m)4≥160, 所以当m =√2,t =√105时,p 取到最大值√1040.9.(2020北京,20,15分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1过点A (-2,-1),且a =2b.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点B (-4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ,N ,直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q.求|PB ||BQ |的值. 解析 (1)由已知条件可列方程组{a =2b ,(-2)2a 2+(-1)2b2=1,解得{a =2√2,b =√2,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(2)解法一:由题意知,直线l 的斜率存在,设l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k (x +4). 当k ≠0时,直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立{y =k (x +4),x 28+y 22=1,化简得(4k 2+1)x 2+32k 2x +(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1,Δ=(32k 2)2-4×(4k 2+1)×(64k 2-8)=32(1-4k 2)>0,解得-12<k <12. 直线MA 的方程为y =y 1+1x 1+2(x +2)-1,令x =-4,得到y P =-2(y 1+1)x 1+2-1,即P (-4,-(2k+1)(x 1+4)x 1+2), 同理直线NA 的方程为y =y 2+1x 2+2(x +2)-1,令x =-4,得到y Q =-2(y 2+1)x 2+2-1,即Q (-4,-(2k+1)(x 2+4)x 2+2), y P +y Q =-(2k +1)(x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2)=-2(2k+1)(x1+2)(x 2+2)[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8],因为x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=64k 2-84k 2+1-3×32k 24k 2+1+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,即y P =-y Q ,所以|PB ||BQ |=|y P ||y Q|=1.当k =0时,易得直线l 与椭圆C 的两个交点分别为(-2√2,0)和(2√2,0),不妨设M (-2√2,0),N (2√2,0), 则直线MA 的方程为y =-√2+12(x +2√2),直线NA 的方程为y =√2-12(x -2√2),令x =-4,则y P =√2,y Q =-√2, 此时也满足|PB ||BQ |=1. 综上所述,|PB ||BQ |=1.解法二:由题意得直线l 的斜率存在,设l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k (x +4),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立{y =k (x +4),x 28+y 22=1,化简得(4k 2+1)x 2+32k 2x +(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1,Δ=(32k 2)2-4×(4k 2+1)×(64k 2-8)=32(1-4k 2)>0,解得-12<k <12.直线MA 的方程为y =y 1+1x 1+2(x +2)-1,直线NA 的方程为y =y 2+1x 2+2(x +2)-1,令x =-4,则y P =-x 1-2y 1-4x 1+2,y Q =-x 2-2y 2-4x 2+2, 所以P (-4,-x 1-2y 1-4x 1+2),Q (-4,-x 2-2y 2-4x 2+2),所以|PB ||BQ |=|y P ||y Q|=|-x 1-2y 1-4x 1+2-x 2-2y 2-4x 2+2| =|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|=|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|,将x 1+x 2和x 1x 2代入上式,整理得|PB ||BQ |=|(2k+1)(32k24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k24k 2+1+2x 1)|=|-(x 1+x 2)+2x 2-(x 1+x 2)+2x 1|=1. 解法三:易知当l 的斜率为0时,|PB ||BQ |=1. 当l 的斜率不为0时,设直线l :x =my -4,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由{x =my -4,x 28+y 22=1,得(m 2+4)y 2-8my +8=0,由Δ=64m 2-4×8×(m 2+4)>0,解得m 2>4,且y 1+y 2=8m m 2+4,y 1y 2=8m 2+4, 此时l MA :y +1=y 1+1x 1+2(x +2),令x =-4,得y P =-2(y 1+1)x 1+2-1,同理可得y Q =-2(y 2+1)x 2+2-1,则y P +y Q =-2(y 1+1)x 1+2+-2(y 2+1)x 2+2-2=-2(y 1+1x 1+2+y 2+1x 2+2+1)=-2×(y 1+1)(x 2+2)+(y 2+1)(x 1+2)+(x 1+2)(x 2+2)(x 1+2)(x 2+2),因为(y 1+1)(x 2+2)+(y 2+1)(x 1+2)+(x 1+2)(x 2+2) =(y 1+1)(my 2-2)+(y 2+1)(my 1-2)+(my 1-2)(my 2-2) =m (m +2)y 1y 2-(m +2)(y 1+y 2)=m (m +2)8m 2+4-(m +2)8mm 2+4 =0,所以y P +y Q =0,所以|PB |=|BQ |, 所以|PB ||BQ |=1. 综上,|PB ||BQ |=1.易错警示 解决直线与圆锥曲线位置关系问题时,若要设直线方程时,需对该直线的不同特殊位置进行讨论. 10.(2017课标Ⅰ理,20,12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 解析 (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点. 又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1.故C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知t ≠0,且|t |<2,可得A ,B 的坐标分别为(t ,√4-t 22),(t ,-√4-t 22).则k 1+k 2=√4-t 2-22t-√4-t 2+22t=-1,得t =2,不符合题设.从而可设l :y =kx +m (m ≠1).将y =kx +m 代入x 24+y 2=1得 (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0.由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2,由题设k 1+k 2=-1,故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0. 即(2k +1)·4m 2-44k 2+1+(m -1)·-8km4k 2+1=0.解得k =-m+12. 当且仅当m >-1时,Δ>0,于是l :y =-m+12x +m , 即y +1=-m+12(x -2),所以l 过定点(2,-1).方法总结 1.求解轨迹方程的步骤:①建系、设点→②列式(列出动点所满足的几何等量关系式)→③坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)→④化简(注意化简前后的等价性)→⑤检验(去伪存真). 2.用直线系思想求直线过定点问题的一般步骤: ①先设出双参数的直线方程;②根据题意通过一系列计算消去一个参数(或用一个参数表示另一参数); ③代回所设方程,得单参数直线方程; ④令参数各次幂的系数均为0,得定点坐标.3.若题设条件中涉及两直线斜率的和或积,可以采用齐次化处理,大大降低运算量.这种处理方式对所有的二次曲线均适用.以下为教师用书专用(1—22)1.(2013课标Ⅰ理,10,5分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为 ( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1答案 D 直线AB 的斜率k =0+13-1=12, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 12a 2+y 12b 2=1, ①x 22a 2+y 22b 2=1, ②①-②得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a2·x 1+x 2y 1+y 2. 即k =-b 2a 2×2-2,∴b 2a 2=12.③又a 2-b 2=c 2=9, ④ 由③④得a 2=18,b 2=9.所以椭圆E 的方程为x 218+y 29=1,故选D .评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用根与系数的关系解决中点问题.2.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 ( )A.16B.14C.12D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF |=|AA 1|,|BF |=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG ,得|AG ||AF |=|AF |-p|AF |=cos θ, 则|AF |=p 1-cosθ,同理,|BF |=p1+cosθ, 则|AB |=|AF |+|BF |=2p sin 2θ,即|AB |=4sin 2θ,因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE |=4cos 2θ,则|AB |+|DE |=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ,则易知|AB |+|DE |的最小值为16.故选A .方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px (p >0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF =|AE ||AF |=|AF |-p|AF |, 则可得到焦半径|AF |=p 1-cosθ,同理,|BF |=p1+cosθ, 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF |+1|BF |=2p 等的帮助很大. 3.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x -5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r <5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C (5,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 224-y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x0-5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r >2.另一方面,由AB 的中点为M 知B (6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B ,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,②由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12.∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r <4.综上,r ∈(2,4),故选D .4.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则|AB |= ( )A .√303B .6C .12D .7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y =√33(x -34),即y =√33x -√34,代入y 2=3x ,得13x 2-72x +316=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=212,所以|AB |=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C .5.(2014江西理,15,5分)过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 答案√22解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12a 2+y 12b2=1①, x 22a 2+y 22b 2=1②. ①、②两式相减并整理得y 1-y2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x2y 1+y 2.把已知条件代入上式得,-12=-b 2a 2×22, ∴b 2a 2=12,故椭圆的离心率e =√1-b 2a 2=√22.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也可以利用韦达定理求解.6.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 答案 2解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x =y k+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k+1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x ,整理得y 2-4k y -4=0,从而得y 1+y 2=4k ,y 1·y 2=-4.∵M (-1,1),∠AMB =90°,∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y1k +2)·(y2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k +4=0,解得k =2. 解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k =y 2-y 1x 2-x 1=4y 1+y 2.设AB 的中点为M',连接MM'. ∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l :x =-1相切. ∵M (-1,1),∠AMB =90°,∴点M 在准线l :x =-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M ,且M'M ⊥l , 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2,故k =4y1+y 2=42=2.疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.7.(2013浙江理,15,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.答案±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2-1-1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).8.(2019天津文,19,14分)设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有√3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=(√32a)2+c2,解得c a=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=√3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.由题意,F (-c ,0),则直线l 的方程为y =34(x +c ). 点P的坐标满足{x 24c2+y 23c 2=1,y =34(x +c ),消去y 并化简,得到7x 2+6cx -13c 2=0,解得x 1=c ,x 2=-13c7. 代入到l 的方程,解得y 1=32c ,y 2=-914c. 因为点P 在x 轴上方,所以P (c ,32c). 由圆心C 在直线x =4上,可设C (4,t ). 因为OC ∥AP ,且由(1)知A (-2c ,0),故t 4=32cc+2c ,解得t =2.则C (4,2).因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l 相切,得|34(4+c )-2|√1+(34)2=2,可得c =2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.思路分析 (1)由已知条件,得a 与b 的比例关系,代入a 2=b 2+c 2,得a 与c 的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出直线方程(含参数c ),联立直线与椭圆方程(含参数c ),得交点P 的坐标(含参数c ),由k AP =k OC ,求得C 点坐标以及圆的半径r ,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c 的方程,求得c 的值,最终确定椭圆方程.9.(2018课标Ⅲ理,20,12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列,并求该数列的公差. 解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算. (1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1. 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m , 于是k =-34m . ① 由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0. 又点P 在C 上, 所以m =34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12.同理,|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x 22. 所以|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 即|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d |=||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12|x 1-x 2|=12√(x 1+x 2)2-4x 1x 2. ②将m =34代入①得k =-1.所以l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或-3√2128. 思路分析 (1)利用“点差法”建立k 与m 的关系式,由m 的范围得到k 的范围.(2)根据题设FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及点P 在C 上,确定m 的值.进一步得出|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的关系,再求公差. 解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题.(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A 、B 的坐标,分别代入圆锥曲线方程并作差,变形后可出现弦AB 的中点坐标和直线AB 的斜率.10.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆M 的方程; (2)若k =1,求|AB |的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k.解析 (1)由题意得{a 2=b 2+c 2,c a=√63,2c =2√2,解得a =√3,b =1.所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =x +m ,x 23+y 2=1 得4x 2+6mx +3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34. |AB |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=√2(x 2-x 1)2=√2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√12-3m 22. 当m =0,即直线l 过原点时,|AB |最大,最大值为√6. (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.直线PA 的方程为y =y 1x1+2(x +2).由{y =y1x 1+2(x +2),x 2+3y 2=3,得[(x 1+2)2+3y 12]x 2+12y 12x +12y 12-3(x 1+2)2=0.设C (x C ,y C ). 所以x C +x 1=-12y 12(x 1+2)2+3y 12=4x 12-124x 1+7. 所以x C =4x 12-124x 1+7-x 1=-12-7x 14x 1+7. 所以y C =y 1x1+2(x C +2)=y14x 1+7. 设D (x D ,y D ). 同理得x D =-12-7x 24x2+7,y D =y 24x 2+7. 记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ =y 14x 1+7-14-12-7x 14x 1+7+74-y 24x 2+7-14-12-7x 24x 2+7+74=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C ,D ,Q 三点共线, 所以k CQ -k DQ =0. 故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=1.11.(2018天津理,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,点A 的坐标为(b ,0),且|FB |·|AB |=6√2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ (O 为原点),求k 的值.解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59, 又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b.由已知可得,|FB |=a ,|AB |=√2b ,由|FB |·|AB |=6√2,可得ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故|PQ |sin ∠AOQ =y 1-y 2. 又因为|AQ |=y2sin ∠OAB ,而∠OAB =π4,故|AQ |=√2y 2. 由|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ ,可得5y 1=9y 2.由方程组{y =kx ,x 29+y 24=1,消去x ,可得y 1=√9k +4.易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组{y =kx ,x +y -2=0,消去x ,可得y 2=2kk+1.由5y 1=9y 2,可得5(k +1)=3√9k 2+4,两边平方, 整理得56k 2-50k +11=0,解得k =12,或k =1128.所以,k 的值为12或1128.解题关键 利用平面几何知识将|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ 转化为点P 、Q 坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a 2,b 2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a 、b 、c 的方程组,注意c 2=a 2-b 2的应用;④解方程组,求得a 、b 的值,从而得出椭圆的方程.12.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y =12x +1或y =-12x -1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k (x -2),y 2=2x得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y1k +2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k=-8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN. 综上,∠ABM =∠ABN.方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M ,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM =∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.13.(2017天津文,20,14分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (-c ,0),右顶点为A ,点E 的坐标为(0,c ),△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q 在线段AE 上,|FQ |=32c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM ∥QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c. (i )求直线FP 的斜率; (ii )求椭圆的方程.解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c +a )c =b 22. 又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac -a 2=0,即2e 2+e -1=0.又因为0<e <1,解得e =12.所以,椭圆的离心率为12.(2)(i )依题意,设直线FP 的方程为x =my -c (m >0),则直线FP 的斜率为1m .由(1)知a =2c ,可得直线AE 的方程为x 2c +yc =1,即x +2y -2c =0,与直线FP 的方程联立,可解得x =(2m -2)c m+2,y =3cm+2,即点Q的坐标为((2m -2)c m+2,3c m+2).由已知|FQ |=32c ,有[(2m -2)cm+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2,整理得3m 2-4m =0,所以m =43,即直线FP 的斜率为34.(ii )由a =2c ,可得b =√3c ,故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1. 由(i )得直线FP 的方程为3x -4y +3c =0,与椭圆方程联立得{3x -4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y , 整理得7x 2+6cx -13c 2=0,解得x =-13c7(舍去),或x =c.因此可得点P (c ,3c 2),进而可得|FP |=√(c +c )2+(3c 2)2=5c2,所以|PQ |=|FP |-|FQ |=5c 2-3c2=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP. 因为QN ⊥FP ,所以|QN |=|FQ |·tan ∠QFN =3c 2×34=9c8,所以△FQN的面积为12|FQ ||QN |=27c 232,同理△FPM的面积等于75c 232,由四边形PQNM 的面积为3c ,得75c 232-27c 232=3c ,整理得c 2=2c ,又由c >0,得c =2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a ,c ,利用定义求解;(2)构造a ,c 的齐次式,利用方程思想求出离心率e 的值.2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k =y 1-y2x 1-x 2(x 1≠x 2),其中两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a =(m ,n ),则k =nm(m ≠0);(4)点差法.3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.14.(2016课标Ⅱ文,21,12分)已知A 是椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM |=|AN |时,证明:√3<k <2. 解析 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2. (2分) 将x =y -2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y =0.解得y =0或y =127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(4分)(2)将直线AM 的方程y =k (x +2)(k >0)代入x 24+y 23=1得 (3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0.由x 1·(-2)=16k 2-123+4k 2得x 1=2(3-4k 2)3+4k 2,故|AM|=|x1+2|√1+k2=12√1+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k√1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.又f(√3)=15√3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(√3,2)内,所以√3<k<2.(12分)评析本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思想方法,属难题.15.(2016四川理,20,13分)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解析(1)由已知,a=√2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组{x22b2+y2b2=1,y=-x+3,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m(m≠0),由方程组{y =12x +m ,y =-x +3,可得{x =2-2m3,y =1+2m 3.所以P 点坐标为(2-2m 3,1+2m 3),|PT |2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组{x 26+y 23=1,y =12x +m ,可得3x 2+4mx +(4m 2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2),由Δ>0,解得-3√22<m <3√22. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA |=√(2-2m3-x 1)2+(1+2m 3-y 1)2=√52|2-2m3-x 1|,同理|PB |=√52|2-2m3-x 2|. 所以|PA |·|PB |=54|(2-2m 3-x 1)(2-2m3-x 2)| =54|(2-2m 3)2-(2-2m3)(x 1+x 2)+x 1x 2|=54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123|=109m 2.故存在常数λ=45,使得|PT |2=λ|PA |·|PB |.评析 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,这类题中常用的方法是方程法,并结合根与系数的关系,两点间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.16.(2016天津文,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ,右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF ,且∠MOA =∠MAO ,求直线l 的斜率.解析 (1)设F (c ,0),由1|OF |+1|OA |=3e |FA |,即1c +1a =3ca (a -c ),可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0), 则直线l 的方程为y =k (x -2). 设B (x B ,y B ),由方程组{x 24+y 23=1,y =k (x -2)消去y ,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x +16k 2-12=0.解得x =2,或x =8k 2-64k 2+3,由题意得x B =8k 2-64k 2+3,从而y B =-12k4k 2+3.由(1)知,F (1,0),设H (0,y H ),有FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y H ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9-4k24k 2+3,12k4k 2+3).由BF ⊥HF ,得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4k 2-94k 2+3+12ky H 4k 2+3=0,解得y H =9-4k 212k. 因此直线MH 的方程为y =-1k x +9-4k 212k .设M (x M ,y M ),由方程组{y =k (x -2),y =-1k x+9-4k 212k消去y ,解得x M =20k 2+912(k 2+1).在△MAO 中,∠MOA =∠MAO ⇔|MA |=|MO |,即(x M -2)2+y M 2=x M 2+y M 2,化简得x M =1,即20k 2+912(k 2+1)=1,解得k =-√64,或k =√64.所以,直线l 的斜率为-√64或√64.评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.17.(2015福建理,18,13分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(0,√2),且离心率e =√22.(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l :x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A ,B 两点,判断点G (-94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析 解法一:(1)由已知得{b =√2,c a =√22,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆E的方程为x 24+y 22=1.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为H (x 0,y 0). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而y 0=mm 2+2.所以|GH |2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516.|AB |24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24=(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02-y 1y 2),故|GH |2-|AB |24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)-3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以|GH |>|AB |2.故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外. 解法二:(1)同解法一.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则GA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1), GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+94,y 2). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2=(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m (y 1+y 2)+2516=-3(m 2+1)m 2+2+52m 2m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以cos<GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ >>0.又GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以∠AGB 为锐角. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.评析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 18.(2015安徽理,20,13分)设椭圆E的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM |=2|MA |,直线OM 的斜率为√510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程. 解析 (1)由题设条件知,点M 的坐标为(23a ,13b), 又k OM =√510,从而b 2a =√510.进而得a =√5b ,c =√a 2-b 2=2b.故e =c a =2√55. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为√5b +yb=1,点N 的坐标为(√52b ,-12b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,72),则线段NS 的中点T 的坐标为(√54b +x 12,-14b +74).又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1,从而有{ √54b+x 12√5b +-14b+74b=1,72+12b x 1-√52b =√5,解得b =3.所以a =3√5,故椭圆E 的方程为x 245+y 29=1.评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.19.(2014课标Ⅰ理,20,12分)已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF的斜率为2√33,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 解析 (1)设F (c ,0),由条件知,2c =2√33,得c =√3.又c a =√32,所以a =2,b 2=a 2-c 2=1.故E 的方程为x 24+y 2=1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 将y =kx -2代入x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0.当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>34时,x 1,2=8k±2√4k 2-34k 2+1. 从而|PQ |=√k 2+1|x 1-x 2|=4√k 2+1·√4k 2-34k 2+1.又点O 到直线PQ 的距离d =√k +1,所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d ·|PQ |=4√4k 2-34k 2+1.设√4k 2-3=t ,则t >0,S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t . 因为t +4t≥4,当且仅当t =2,即k =±√72时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y =√72x -2或y =-√72x -2.评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.20.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A ,B 为曲线C :y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4,。
直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类1．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.2．（2021·全国高考真题（文））已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>.（1）证明：a =；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【解析】（1）3c e a =====，3b a ∴=，因此，a =；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，2229331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得10b >.设点()11,P x y 、()22,Q x y，则12129210210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.4．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a ==2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y +=，即0x y -=.5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN ．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN =所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k=+=化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x =y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()10F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2p =；（2）【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：5514d ==+，由两点之间距离公式可得22||(24)335AM ++=.所以△AMN 的面积的最大值：1125351825⨯.9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.第二部分模拟训练一、单选题1．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且12FA FB ⋅=，则AB =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由26y x =得3p =，所以3(,0)2F ，准线为32x =-，设直线3:2AB x ty =+，联立2326x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则126y y t +=，129y y =-，所以21212()363x x t y y t +=++=+，222121212()966364y y y y x x =⨯==，因为13||2AF x =+，23||2BF x =+，12FA FB ⋅=，所以1233()()1222x x ++=，所以()1212391224x x x x +++=，所以()1293912424x x +++=，所以125x x +=，所以121233||||||3822AB AF BF x x x x =+=+++=++=.故选：C2．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则AOB (O 为坐标原点)的面积为（）A ．32B．2C ．3D．【答案】D【解析】由题意，抛物线2y =的焦点坐标为F ，设直线AB为x my =，()11,A x y ，()22,B x y ，因为2AF FB =，可得122y y =-，由2y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩280y --=，所以128y y =-，又由121282y y y y =-⎧⎨=-⎩，可得224y =，解得22y =-或22y =，当22y =-时，14y =，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==；当22y =时，14y =-，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==.故选：D.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线(2)y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B ，所以||452pFB =+=．故选：C ．4．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】解：因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．5．已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ 的斜率的取值范围是（）A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()(),22,-∞-+∞ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由双曲线的方程2214y x -=可得其渐近线方程为2y x =±，故当点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上时，直线PQ 的斜率的取值范围是()2,2-.故选：A.6．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若:2:1MF NF =，2NF =，则抛物线C 的方程为（）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x=【答案】B【解析】由题意，抛物线()2:20C y px p =>，可得焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，作MA 垂直于y 轴交y 轴于点A ，因为:2:1MF NF =，2NF =，所以F 为线段MN 的三等分点，且24MF NF ==，由NFO NMA △△∽，得13OF MA =，即332p MA OF ==，所以32422p pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：B.二、填空题7．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【答案】2【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为：2.8．已知抛物线C ：y 2＝x ，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点．弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．【答案】54【解析】抛物线的焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，则可设直线AB 为：()104x ky k =+≠，联立2y x ＝，消x 得，2104y ky --=，设()()1122,,,A x y B x y ，12y y k +=,212121111122442AB x x ky ky k ⎛⎫⎛⎫=++=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1k =±，当1k =时，得12122y y +=，所以AB 中点坐标为31,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB 的中垂线方程为1324y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则与x 轴的交点的横坐标为54；同理，当1k =-时，线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为54.故答案为：549．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点B ，与x 轴正半轴交于点D ，且线段BD 交双曲线于点C ，3DC CB =，则双曲线的离心率是______．【解析】由题意知(),0A a 、()2,0D a ，以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为()222x a y a -+=．不妨设点B 在第一象限，联立()2220x a y a b y x a x ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得322222a x ca by c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点322222,a a b B cc ⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),C m n ，()2,DC m a n =- ，322222,a a bCB m n c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，可得322222323a m a m c a b n n c ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2231232a m e bn e ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，根据点C 在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上，得22223314e e ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22e =，所以，e =..10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右顶点为()2,0A ，上顶点为B ，该椭圆上一点P 与A 的连线的斜率114k =-，中点为E ，记OE 的斜率为OE k ，且满足140OE k k +=.若C 、D 分别是x 轴、y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则三角形COD 面积的最大值是______.【答案】3-【解析】解：设()11,P x y ，()22,A x y ，PA 中点()00,E x y ，则有2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，则212OEb k k a⋅=-，由()2,0A 为椭圆右顶点，所以2a =，又114k =-，140OE k k +=，得到1OE k =，1b =.设(),0C m -，()0,D n -，0m >，0n >，则由四边形ABCD 的面积为2，又B 为上顶点，则()()12122m n ++=，即22mn m n ++=，由基本不等式得2mn ≥+2≤，所以三角形COD 的面积(2112322S mn =≤=-，当且仅当2m n =，即2m =-，1n =时取等号.故答案为：3-。
直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系1．若直线:2l y kx 与曲线22:6(0)C x y x 交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A．,33B．0,3C．3D．,13【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x 表示双曲线226x y 的右支，由2226y kx x y消去y 得 2226x kx ，整理得 2214100k x kx ，设直线:2l y kx 与曲线22:6(0)C x y x 的两交点为 11,x y ， 22,x y ，其中1>0x ，20x ，则1221222100140110x x k kx x k k，解得1k ，又22164010Δk k，解得33k，综上：13k，故选D．2．设双曲线222:1(0)4x C y a a与直线:1l x y 相交于两个不同的点A ，B ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A．)B．)2 UC．,2D．2【答案】B【解析】 222222211488041x y a x a x a a x y ，所以 24221406448140a Δa a a ，2214120a a a，6)2e U ，故选B．3．（多选）已知双曲线22:1916x y C ，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两个不同的点，则下列判断正确的为（）A．AB 的最小值为323B．以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x C．满足2AB 的直线有3条D．若A ，B 同在双曲线的右支上，则直线l 的斜率44,,33kU 【答案】BD【解析】选项A．当直线l 的斜率为0时，A ，B 两点分别为双曲线的顶点，则26AB a 又3263，故选项A 不正确；选项B． 5,0F ，则以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x ，故选项B 正确；选项C．当A ，B 两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则223223b AB a ，此时无满足条件的直线；当A ，B 两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则262AB a ，此时无满足条件的直线，故选项C 不正确；选项D．过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，如图，将1l 绕焦点F 沿逆时针方向旋转到与2l 重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点，此时直线l 的斜率43k 或43k ，故选项D 正确，故选BD．4．已知在平面直角坐标系中，直线(0)y kx m k 既是抛物线24x y 的切线，又是圆22(1)1x y 的切线，则m _______．【答案】3【解析】联立y kx m 与24x y ，可得2440x kx m ，因为直线与抛物线相切，故216160Δk m ，即20k m ，因为直线y kx m 与圆 2211x y 相切，故可得圆心 0,1到直线的距离1d ，1 ，解得0m （舍）或3 ，故答案为3 ．5．已知斜率为13 的直线与椭圆22+197x y 相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________．【答案】2222【解析】设直线AB 的方程为13y x t，由2213+197y x t x y 消去y 并化简得22869630x tx t ，设 1122,,,A x y B x y ，1234x x t ，2129638t x x ，2236329630Δt t，解得t 12328x x t ， 1212121211373226648x x t y y x x t t t t．由于MA MB ，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t，令0x ，得14y t ，由于t1242t，也即M 的纵坐标的取值范围是2222 ，故答案为2222．6．若线段1(11)x y x 与椭圆22(0)32x y k k 没有交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】105k或73k 【解析】Q 线段1(11)x y x 与椭圆22(0)32x y k k 没有交点，线段1(11)x y x 在椭圆的内部或外部，线段1(11)x y x 在椭圆的内部时，131432k k，73k ；线段1(11)x y x 在椭圆的外部时，线段包含了所在直线在第一象限的部分，而椭圆的中心是原点，因此线段所在直线与椭圆无公共点，1y x 代入2232x y k可得256630x x k ， 3620630Δk ，0k Q ，105k ，综上所述，105k 或73k ，故答案为105k 或73k ．7．已知椭圆C的离心率2e，长轴的左右端点分别为 1A，2A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b 与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x 相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点 1,0N ．【答案】（1）2212x y ；（2）证明见解析．【解析】（1）Q 椭圆长轴端点在x 轴上， 可设椭圆方程为 222210x y a b a b ，由题意可得22222a b c c e a a，解得11a b c ，椭圆C 的方程为2212x y ．（2）由2212x y y kx b，得 222124220k x kbx b ，Q 曲线C 与直线l 只有一个公共点， 228120Δk b ，即2221b k ，设 ,P P P x y ，则22422212P kb kb kx b b k，222221p P k b k y kx b b b b b ，21,k P b b；由2y kx b x，得22x y k b，即 2,2Q k b ，1,0N Q ，211,k NP b b u u u r ， 1,2NQ k b u u ur ，2210k k bNP NQ b b u u u r u u u r ，即NP NQ ⊥，以PQ 为直径的圆恒过定点 1,0N ．8．已知中心为坐标原点，关于坐标轴对称的椭圆C 经过点31,2M，,13N．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F 交椭圆于A B 、两点，若95OA OB u u r u u u r ，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C 的方程为22143x y ；（2）直线l0y或0y ．【解析】（1）设椭圆C 的方程为 2210,0,mx ny m n m n ，31,2M Q，,13N 在椭圆C 上，914813m n m n ，1413m n， 椭圆C 的方程为22143x y ．（2）由（1）可知：椭圆C 的左焦点 11,0F ，设直线l 的方程为 1y k x ，由221143y k x x y ，联立得 22223484120k x k x k ，Q 直线l 交椭圆于A B 、两点， 222284344120Δkk k ，设 1122,,A x y B x y 、，2122834k x x k ，212241234k x x k，又 111y k x Q ， 221y k x ，2212121212111y y k x x k x x x x ，222212222412891343434k k k y y k k k k，95OA OB u u r u u u r Q ，121295x x y y ，222241299=34345k k k k，k 直线l的方程为 1y x0y0y ．2．与圆锥曲线有关的弦长面积问题1．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF ，则渐近线l 的方程为___________．【答案】2y x【解析】令双曲线的半焦距为c ，则2(,0)F c ，由双曲线对称性知，不妨令直线l 的方程为b y x a，则过点2F 且与l 平行的直线的方程为()by x c a，由2222()1b y x c a x y a b 消去y 并整理得222cx c a ，解得点M 的横坐标为222a c x c，于是得222222||||222a c c c a b MF c c a c a，2122b MF MF a ，由双曲线定义知122MF MF a ，因此有222b a a，即2ba ，所以渐近线l 的方程为2y x ，故答案为2y x ．2．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x 的焦点，P 为C 上一点，若4PF ，则POFV的面积为______．【答案】【解析】由题意，抛物线C 的焦点为 1,0F ，准线方程为1x ，由4PF ，设(,)P x y ，则14x ，3x ，所以y ，即点P 的坐标为 3, ，则POF V 的面积为112S故答案为3．设抛物线2:8E y x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过弦AB 的中点M 作E 的准线的垂线，与抛物线E 交于点P ，若72PF ，则AB ______．【答案】14【解析】Q 抛物线方程为28y x ，4p ，抛物线焦点为 2,0F ，准线为:2l x ，设 11,A x y ， 22,B x y ，由722PF知，直线AB 的斜率存在且不为0，如图，设直线AB 方程为 2y k x ，代入抛物线方程消去y ，得22224840k x k x k ，212122484k x x x x k ，Q 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ，设P 点的坐标为 00,x y ，可得 01212y y y， 112y k x Q ， 222y k x ，21212248844k y y k x x k k k k k ，得04y k ，022x k，得224,P k k，27PF Q ，27 ，解得243k ，21224810k x x k ，12||10414AB x x p ，故答案为14．4．抛物线2:2C y px 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为K ，P 为准线上一点，线段PF与抛物线交于M 点，若PKF △是斜边长为的等腰直角三角形，则MF （）1C．4D．4 【答案】D【解析】∵PKF △是斜边长为的等腰直角三角形，∴2KF ，过M 作MN 垂直准线于N 点，则MN MF ，∴MN PMKF PF，即2MN 4MN 故选D．5．倾斜角为135°的直线l 与抛物线28y x 相切，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过A ，B 两点的最小圆截抛物线28y x 的准线所得的弦长为（）A．4B．2C．【答案】B【解析】由题可设直线的方程:l y x t ，由28y x t y x，得2880y y t ，∴ 28480Δt ，解得2t ，∴:2l y x ，令0y ，得2x ；令0x ，得2y ，即 2,0,0,2A B ，∴过A ，B 两点的最小圆即以A ，B 为直径的圆，其圆心为 1,1 ，半径为，方程为 22112x y ，又抛物线28y x 的准线为2x ，∴过A ，B 两点的最小圆截抛物线28y x 的准线所得的弦长为2 ，故选B．6．过抛物线24y x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，且16||3AB ．若AF tFBu u u r u u r （其中1t ），则t 的值为（）A．32C．2D．3【答案】D【解析】抛物线24y x 的焦点(1,0)F ，依题意，直线AB 不垂直于坐标轴，设直线():1y k A x B ，由2(1)4y k x y x消去y 并整理得2222(24)0k x k x k ，而0k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有121x x ，又1216||||||113AB AF BF x x，即12103x x ，因AF tFB u u u r u u r ，且1t ，即||||AF BF ，则有12x x ，解得1213,3x x ，又1122(1,)(1,)x y t x y ，于是得121(1)x t x ，1213131113x t x ，所以t 的值为3，故选D．7．已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y 的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线2PF，则12PF F △的内切圆的面积为（）A．4 B．12 C．8 D．16【答案】B【解析】设 00,P x y ，由题意知 25,0F ，直线2PF，则直线2PF的方程为5)y x，∴ 2200351916x x ，化简整理得200112708190x x ，即 001139210x x ，∴021x 或03911x （舍去），即P ，∴232PF ，138PF ，设12PF F △的内切圆的圆心为Q ，半径为r ，连接1QF ，2QF ，QP ，则由121122PF F PQF QF F PQF S S S S △△△△，得 12012121122F F y PF PF F F r ，∴1110(323810)22r，得r ，（利用等面积法求内切圆的半径）故12PF F △的内切圆的面积为12 ，故选B．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为（）3B．25D．3【答案】B【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b的左焦点 1,0F c 、右焦点 2,0F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a，可得直线2AF 的方程为 by x c a，由 22221b y x c ax y a b，可得 222222a c x c b a c y ac，即 2222,22b a c a c A c ac ，设1AF m ，2AF n ，可得 1212121211223AF F A bS F F y F F AF AFV ，即 2211222223b c a bc c m n ac，整理可得 2232c a c m n a ，即2332c m n a c a，由双曲线的定义可得2m n a ，所以23522c n a c a ，设直线2AF 的倾斜角为 ，在12AF F △中， 22sin 2b c a n ac，tan b a，22sin cos 1 ，所以sin，所以222222222sin 222b c a b c a b c a c c a n ac ac b ac b a，所以22235222c c a a c a a，整理可得2220a ac c ，解得2a c 或a c （舍），所以双曲线的离心率为2ce a，故选B．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率3e ，椭圆的右焦点到直线0x y 的距离是4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆的上顶点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程．【答案】（1）221124x y ；（2）2y x 或2y x ．【解析】（1）因为椭圆的右焦点到直线0x y 的距离是4，4，∴c ，又因为离心率3c e a，所以a ，2224b a c ，∴椭圆方程为221124x y ．（2）当直线l 的斜率不存在时，||4AB ；当直线l 的斜率存在时：设直线l 的方程为2y kx ，联立2221124y kx x y，得 2213120k x kx ，∴10x ，221213k x k，∴21AB x ，令 2131t kt ，∴2222221441442111,1913k AB kt t t k，∴114t时，4t ， 22144211,19AB t t t 取得最大值，即1k 时，2AB 最大为18，即AB最大为，∴直线l 的方程为2y x 或2y x ．10．已知抛物线 2:20x py p 的焦点F 与双曲线22221y x 的一个焦点重合．（1）求抛物线 的方程；（2）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线 于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）24x y ；（2）12839．【解析】（1）解：双曲线方程22221y x 化为标准方程是2211122y x ，其焦点坐标为 0,1， 0,1 ，因为抛物线 2:20x py p 的焦点F 与双曲线22221y x 的一个焦点重合，所以 0,1F ，12p，2p ，故抛物线 的方程为24x y ．（2）设直线 :10AC y kx k ，代入抛物线方程得2440x kx ，设点211,4x A x ，222,4x C x，则124x x k ，124x x ，直线 2111:4x AB y x x k ，所以点2110,4x x B k ，同理可得2220,4x x D k ，所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k22221212811118124k x x x x k k k kk，由抛物线的对称性，只需考虑0k 的情形，则22381182k S k k kk，所以 2222283111832k k S k k k，令0S，得33k，当303k时，0S；当33k 时，0S ，所以当3k时，四边形ABCD 的面积最小，最小值为9．11．已知动圆M 过定点 4,0N ，且截y 轴所得弦长为8，设圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若,A B 为曲线C 上的两个动点，且线段AB 的中点P 到y 轴距离4d ，求AB 的最大值，并求此时直线AB 方程．【答案】（1）28y x ；（2）12，240x ．【解析】（1）解：设动圆圆心 ,M x y ，化简整理得28y x ，故曲线C 的轨迹方程为28y x ．（2）解：设直线AB 方程为x my n ， 1122,,,A x y B x y ，由28x my n y x消去x 得2880y my n ，所以264320Δm n ，220m n ，128y y m ，128y y n ，22121244,4422P x x y y x m n m n n m，222420Δm n m ，22m，12AB y y12，当且仅当2212m m ，即212m （满足22m ）时，|AB |取得最大值12，此时2m，2n，直线AB 方程为240x ．12．已知椭圆 2222:10x y C a b a b的焦距为1M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OM 平分，求AOB V （O 为坐标原点）面积的最大值．【答案】（1）221164x y ；（2）4．【解析】（1）由题意知2222212112a b c a b c，解得22164a b ，所以椭圆C 的方程为221164x y．（2）因为点M 的坐标为1，所以直线OM 的方程为y设 11,A x y ， 22,B x y ，AB 的中点 00,R x y，则0y ．因为A ，B 两点都在椭圆C 上，所以2211222211641164x y x y ，两式相减可得222221210164x x y y ，则0121212120241316422AB x y y x x k x x y y y．所以可设直线l的方程为2y x m，联立2221164y x m x y，整理得2240x m ，则222344160Δm m m ，解得44m，12x x ，2124x x m ，所以AB原点O 到直线l的距离d，所以 2216111122222AOBm m S AB d m △4 ，当且仅当2216m m ，即m 所以AOB V 面积的最大值为4．13．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，31,2P是E 上一点，且1PF 与x 轴垂直．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点2F 的直线l 与E 交于A 、B 两点，点 0,1M ，且2MAF V 的面积是2MBF △面积的2倍，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y ；（2） 12y x ．【解析】（1）解：因为1PF 与x 轴垂直，所以 11,0F ， 21,0F ，且1c ，则123242a PF PF ，即2a ，所以b 故E 的方程为22143x y ．（2）解：由题意，得22AF BF ，当l 与x 轴重合时，23AF ，21BF ，从而2MAF V 面积是2MBF △面积的3倍，此时不适合题意；当l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立2213412x ty x y，得 2234690t y ty ，由题意，得222363634440Δt t t ，且122634t y y t，122934y y t ，由2MAF V 的面积是2MBF △面积的2倍，得222AF F B u u u r u u u r，所以122y y ，所以22634t y t，2229234y t ，即2226923434t t t ，解得245t ，所以直线l 的方程为 12y x．14．已知椭圆 2222:10x y G a b a b的焦距为4，点 在G 上．（1）求椭圆G 的方程；（2）过椭圆G 右焦点F 的直线l 与椭圆G 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若:3:1OMF ONF S S △△，求直线l 的方程．【答案】（1）22184x y ；（2）20x y ．【解析】（1）解：椭圆 2222:10x y G a b a b的焦距是4，所以焦点坐标是 2,0 ， 2,0，因为点 在G 上，所以2a，所以a 2b ，所以椭圆G 的方程是22184x y ．（2）解：显然直线l 不垂直于x 轴，可设l 的方程为 2y k x ， 11,M x y ， 22,N x y ，将直线l 的方程代入椭圆G 的方程，得2222218880k x k x k ，则2122821k x x k ，21228821k x x k ．因为:3:1OMF ONFS S △△，所以3MF FN u u u r u u u r，则 12232x x ，即2138x x ，由2122821k x x k ，得2124421k x k ，2224421k x k ．所以222222444488212121k k k k k k ，解得21k ，即1k ，所以直线l 的方程为20x y ．。
