2021届高考数学(理)客观题重难点专题08 圆锥曲线(题型突破)(原卷版)

热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。

由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。

对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。

基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。

专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。

请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。

【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。

2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。

3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。

4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。

【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。

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圆锥曲线一、知识结构1。

方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f（x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x，y）=0，则点P0（x0，y0）在曲线C上⇔f(x0，y 0)=0;点P0(x0,y0）不在曲线C上⇔f（x0,y0）≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0，则f1（x0,y0)=0点P0（x0,y0)是C1,C2的交点⇔f2（x0,y0） =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2。

圆圆的定义:点集：｛M ｜|OM ｜=r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： （1）标准方程圆心在c(a ，b ）,半径为r 的圆方程是(x —a ）2+（y-b ）2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2）一般方程当D 2+E 2—4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ）,半径是24F-E D 22+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为（x+2D ）2+（y+2E ）2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点（-2D ,—2E）； 当D 2+E 2—4F ＜0时，方程不表示任何图形。

专题07 圆锥曲线-考点精讲重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一) 椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax . [典例] (1)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP ―→⊥BP ―→，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，2)D ．(1， 2 ] (2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解题方略]椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[针对训练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2D.6－32．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF ―→1·NF ―→1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)考法(二) 圆锥曲线中的最值问题[典例] (1)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．1 (2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|P A |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．[解题方略]圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求．(3)利用基本不等式求最值．[针对训练]1．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋3172．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3失误防范——警惕圆锥曲线中的3个易错点1．忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.[练1] 过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.[练2] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．3．忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.[练3] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.。

专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||PA d =. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2y x =+.【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+，2=∴2221(1)(2)2x y x ++=+， ∴2222x y +=，∴点P 的轨迹方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>，∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -，， ∴B 为AD 中点， ∵//AM BN ，∴1212,322x x y y +==， ∴1223x x =-，又221112x y +=，∴()222223412x y -+=， 又222212x y +=，∴2151,42x x ==-，∵0y >，∴14y =，∴1112AM y k x ==+， ∴直线AM的方程为1)2y x =+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C ：y＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.【错解】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝kx ，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有12212212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩，故线段AB 中点的轨迹方程为220x y x --=.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许范围，故应对x ，y 加以限制．【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2y ＝kx，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝11－k 2， ③y ＝y 1＋y 22＝k1－k 2， ④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪⎪⎪=>-⎩，解得22<k <1.结合③④，则有x >2，y > 2.所以所求轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2)． 【参考答案】轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ,y的取值范围.2．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x yD ．221(1)8y x x -=≥【答案】B【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ， 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22,3a c ==，所以b =，故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．【错解】由8060k k ->⎧⎨->⎩，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D【解析】虽然动点M 到两个定点F 1，F 2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D ．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x ykk+=>，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点【答案】D【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =--=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点. 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a-=-，则()22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-为定点，故选D.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率32e =，已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．1．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的范围就是方程中变量x,y的范围，由22221x ya b+=得222211x ya b=-≤，则||x a≤；222211y xb a=-≤，则||y b≤.故椭圆落在直线x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B ，且过点2P ． （1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=，2e =；（2）1. 【解析】（1）由题意可得1b =．又2P 在椭圆C 上，所以22212a +=，解得2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，所以c C 的离心率2c e a ==.（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222418440k x kmx m +++-=， 所以22222(8)4(41)(44)6416160km k m k m ∆=-+-=-+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++． ()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===222222244841414441m kmk km m k k m k --⨯+⨯+++=-+222444m k m -=-， 由题意，OM ON k k 为定值，所以21444k -=-，即214k =，解得12k =±．此时MN===， 点O 到直线y kx m =+的距离|5m d =．11||22MON S MN d m ==△== 显然，当21m =（此时214k =，21m =满足226416160k m ∆=-+>），即1m =±时，S 取得最大值，最大值为1．易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．6．如图，在ABC △中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221(26x y x -=>．【解析】由题意可得(A -，B ．因为2sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=，故|||||12|||AC BC AB AB -=<=， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为22221()x y x a a b-=>，因为a =c =2226b c a =-=，故所求轨迹方程为221(26x y x -=>．【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．易错点7 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件．2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知x 2a2≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于 A 1 BC 1D 2+【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知，12PF F △是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F △中，212122tan 2PF a PF F F F c ∠===c e a∴== B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是23y x=±，焦距为226，求双曲线的标准方程． 2b1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.8．已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，且过点()12P ，--，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】22133y x -=【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，可设双曲线方程为()220x y λλ-=≠，∵双曲线过点()12P ，--，∴14λ-=，即3λ=-．∴所求双曲线方程为22133y x -=，故答案为22133y x -=．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则k =___________．【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐21． 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．9．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点． 【答案】见解析．【解析】由22416x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22(4)160k x --= ①，当240k -=，即2k =±时，方程①无解；当240k -≠时，2204(4)(16)64(4)k k ∆=---=-， 当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点； （2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．【参考答案】2189y x =+.1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．10．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】220(0)y x x =>或)00(y x =<．【解析】设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ，∵动圆P 与y 轴相切，∴R x =，∵动圆与定圆C ：2252)5(x y -+=外切，∴5PC R =+，∴5PC x =+．当点P 在y 轴右侧，即x ＞0时，5PC x =+，点P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P 的轨迹方程为220(0)y x x =>；当点P 在y 轴左侧，即x ＜0时， 5PC x =-+，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程)00(y x =<．故点P 的轨迹方程为220(0)y x x =>或)00(y x =<．【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化．易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点坐标(,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.11．顶点在原点，且过点(1,1)-的抛物线的标准方程是A ．2y x =-B ．2x y =C ．2y x =-或2x y =D ．2y x =或2x y =-【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，将(1,1)-代入得1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，将(1,1)-代入得1a =，2x y ∴=．故选C ．本题若只考虑焦点在x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y 轴的正半轴上的情况，则会出现漏解．易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p bxy k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A ．本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.二、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.3．椭圆的几何性质标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b +=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --三、双曲线 1． 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+． 3．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0) 图形范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0)下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线四、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>；（2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->；（3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>；（4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->。

2021年浙江省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线2021年浙江省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线1．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），过点E(a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点（两点均在x 轴的上方），且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝7|F 2B |．（1）若b ＝1，求椭圆的方程；（2）直线AB 的斜率；（3）求∠F 1AF 2的大小．【解答】解：（1）由AF 1∥F 2B ，|F 1A |＝7|F 2B |，得 a 2cc a 2c +c =17，从而得 3a 2＝4c 2，又 b ＝1，所以 3（c 2+1）＝4c 2，解得 c 2＝3，a 2＝4，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1．（2）由（1）知，b 2=a 2?c 2=13c 2，所以椭圆的方程可以写为 3x 2+12y 2＝4c 2，由已知设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且 y 1＞0，y 2＞0，直线 AB 的方程为 x =my +a 2c，即 x =my +4c 3(m ＜0)，则它们的坐标满足方程组 {x =my +4c 33x 2+12y 2=4c2，消去 x 整理，得 (3m 2+12)y 2+8mcy +4c 23=0，根据题意，△＞0，m ＜?2√33，且 y 1+y 2=?8mc 12+3m 2，y 1y 2=4c 23(12+3m 2)，由题设知，AE →=7BE →，所以 y 1＝7y 2，联立三式，计算得出 y 1=?7mc 12+3m 2，y 2=?mc 12+3m 2，将结果代入韦达定理中计算得出m =?4√33 满足题意，所以直线 AB 的斜率为 k =?√34．（3）由（2）得，y 1=?7mc 12+3m 2=√33c ，x 1=0，所以 A(0，√33c)，所以tan∠F 1AO =c√33c =√3，所以∠F 1AO =π3，所以∠F 1AF 2=2π3．2．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为F 1(?√3，0)．（1）求C 的方程；（2）设C 的右顶点为A ，不过C 左、右顶点的直线l ：y ＝kx +m 与C 相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ．请问：直线l 是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，{a =2bc =√3a 2=b 2+c 2，解得：a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程：{y =kx +mx 24+y 2=1整理可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0△＝64m 2k 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＞0，化简得1+4k 2＞m 2①，∵x 1+x 2=?8mk1+4k 2，x 1x 2=4(m 2?1)1+4k 2，又AM ⊥AN ，A （2，0），{a =2bc =√3a 2=b 2+c 2，∴k AM ?k AN ＝﹣1，∴y 1x 1?2?y 2x 2?2=?1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝0，。

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？答案】C2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？答案】D3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？答案】A4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？答案】B5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？答案】A6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？答案】A7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？答案】A8.【2021年浙江高考】椭圆C_1: x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)与双曲线C_2: x^2/4-y^2/n^2=1(n>0)的焦点重合，e_1，e_2分别为C_1，C_2的离心率，且e_1>e_2，那么m、n的大小关系是？答案】m>n2y-1由AN·BM = (x-a)(y-b)(x+c)(y+c) = (x+c)(y+c)得证。

12021高考数学专题复习:椭圆1.定义:122.PF PF a +=()()()()()()12122222122222222212,,,0,,0220,021 1.00,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a a c a b x y b B b B B b b a c -⇒=+⇒=>⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧+=⎪⎪-⇒⇒+=⎨⎨=⇒=±⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x y F x a b y x F y ab ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y a c a b a b b a x c b b b y y MN a a a⎧+=-⎪⇒+=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c 通径:22b MN a=4.勾股关系: 222a b c =+,1BF a5.离心率: ce a=取值范围: ()0,1 6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为 a c + ,最小值为 a c -7.椭圆22221+=x y a b的左右焦点为,,21F F 过点1F 的弦,AB 则2ABF ∆的周长为 4a ，直线m x =与椭圆交于D C ,两点,当m 时CD F 1,∆的周长最大值为 4a21.定义:()()()121221222PF PF a PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⇒-=⎨⎪-=⎩右支双曲线左支()()()()()()1212222212222222222212,,,0,,0220,021 1.0........0,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a c a a b x y b B b B B b b c aφ-⇒=-⇒=<⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧-=⎪⎪-⇒⇒-=⎨⎨=⇒=-⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF x a b y x F y a b⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y c a a ba b b a x c b b b y y MN a a a⎧-=-⎪⇒-=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距:2c 通径:22b a4.勾股关系: 222c b a =+,5.离心率: ce a=取值范围: ()1,+∞ 6.渐近线()()..b y x F x aa y x F yb ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩在轴在轴 ()()22222222222222222222222211x y x y b x b y y x F x a b a b a a y x y x a x a y y x F y a b a b b b ⎧-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎪⎨⎪-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 c a - 双曲线上点P 到焦点距离最小值为3一.定义:.MF d =()2222,,,0,:2.22222p p p p p M x y F l x x x y x y px ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒=--⇒-+=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二．抛物线px y 22=一点()A A y x A ,焦半径2p x d AF A +== 抛物线px y 22-=一点()A A y x A ,焦半径22p x p x AF A A +-=+= 三．过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B +=焦点弦()p x p x x BF AF AB B A +=++=+=02过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B += 焦点弦()p x p x p x x BF AF AB B A +-=+=++=+=002241.椭圆的两个焦点为()(),0,1,0,1-椭圆的长轴长为4，则椭圆方程为 ( )A.2214x y += B.2214y x +=C.22134x y +=D.22143x y +=2.椭圆221925x y +=的长轴长是 ( ) A.5 B.6 C.10 D.503.椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点P 到右焦点的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.64.已知椭圆的焦点为()()()0,3,1,0,1,0P-在椭圆上,则椭圆的方程为 ( )A.13422=+y xB.1422=+y x C.14322=+y x D.1422=+x y5.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( )A.2B.()232- C.52D.()232+6.椭圆长轴长为,33该椭圆的方程为 ( ) A.221128x y += B.221128x y +=或221128y x += C.22132x y += D.22132x y +=或22132y x +=57.椭圆141622=+y x 上的两个焦点是,,21F F 弦AB 过焦点,1F 则2ABF ∆的周长为 ( ) A ．8 B ．16 C ．24 D ．328.21,F F 是椭圆191622=+y x 两焦点,过2F 的直线交椭圆于点B A ,,若5=AB ,则=+11BF AF ( ) A.9 B.10 C.11 D.16 9.椭圆的焦距等于2，则=m ( ) A.5或3B.8C.5D.1610.椭圆2214x y +=的左焦点为,F P 为椭圆上一点，其横坐标为,3则=PF ( ) A.12 B.32 C.52 D.7211.()()22223310x y x y +++-=表示的曲线的标准方程为12.椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(),2,0则=m ( )A.2B.3C.5D.613.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是(),1,0那么=k14.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ( )A.116922=+y x B.1162522=+y x C.1162522=+y x 或1251622=+y xD.以上都不对615.椭圆的焦点坐标为()(),0,1,0,121F F -过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点,且3=PQ ,求椭圆的方程16.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.22 B.2 C.21D.2317.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(),0,1F 离心率等于21,则C 的方程是 ( ) A.14322=+y xB.13422=+y xC.12422=+y xD.13422=+y x18.焦点在x 轴的椭圆过,21,3,22,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A 则椭圆的离心率为 ( ) A.23 B.21C.26D.3319.若椭圆的两焦点为()(),0,2,0,2-且椭圆过点,23,25⎪⎭⎫⎝⎛-则椭圆方程是720.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m ( )A.41B.21C.2D.421.椭圆121022=-+-m y m x 焦点在y 轴上，若焦距为4，则=m ( )A.4B.5C.8D.1422.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,直线AB 是过点(),4,0-若8=AB ,则=+B F A F 22 ( )A.12B.16C.4D.823.已知椭圆离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为24.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短 距离为3,这个椭圆方程为825.已知椭圆的离心率32=e ,短轴顶点坐标为()54,0±,椭圆的方程26.已知椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为,,A B AB =过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2求椭圆C 的方程27.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,1A --,且2a b =．求椭圆C 的方程28.圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆()0,1:2222>>=+b a by a x E的右焦点,交圆C 所得弦长为()32,3,15A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程9()()()()()()()()()()()222221122221242,13.2255210.35410.41,2.511.32612.74416.84416,511.91,4/4.110.2115,3162a a c b D a a a C a PF D c b a C x y c A a c b D a l a B a l a AB AF BF C c a b A P D x y a c =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒==⇒=⇒+=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒==⇒=⇒===⇒+=⇒===⇒⎫⇒⎪⎭==⇒+()()()()()()()()2222222222222 1.51212645.6255131115294141.539221315323202143116::.1171,2.212181x y m m C my x k k k a b b a b C a c a b b a x y a a a b aa c abc A c e a b D m mx ny =+=⇒=+⇒=⇒+=⇒=+⇒=+==⎧⎧⇒-=⇒⇒⎨⎨==⇒-=⎩⎩⎧-=⎪⇒=⇒--=⇒=⇒=+=⎨⎪=⎩=⇒==⇒=⇒=++=⇒()()()()()()()()2222122222222222112141421314192110612014.112124108.22420812:113632236,2323:3632n m x y e n m n x y a PF PF A C x y A mmm m m C F A F B AB a F A F B Ax y x a e c b y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=+===+=+=⇒=⇒-=+-⇒=⇒++=⇒+=-=⇒+===⇒=⇒=⇒+=1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩10()()()()()()2222222222222222122::2:243 1.1292::232512 1.144802026 1.16412712148242823,12a b c a x y b a c c e a b c x y a b a b x y bax y x y b b b c a a AF AF A E b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩⎧=⇒=⎪⇒=⇒+=⎨⎪=⎩⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩+=⇒=⇒+=⎧=⎧=⎪⇒=+=⇒⎨⎨∈=⎪⎩224: 1.1618251631612455r x y E l m d m =⎧⎪⎪⇒+=⇒⎨=⎪⎪⎩⎩--===⇒=2021高考数学专题复习:双曲线(2)1.双曲线22145x y -=的离心率为 ( ) A.23 B.43 C.32D.22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是 ( ) A.()2224x y -+= B.()2222x y +-= C.()2222x y -+= D.()2224x y +-=3.双曲线221412x y -=的离心率等于 ；渐近线方程为 .4.双曲线2291x y -=-的渐近线方程为 .5.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为 ( )A.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.)6.双曲线8222=-y x 的实轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.247.已知双曲线15222=-y ax 的右焦点为()0,3,则该双曲线的离心率等于 ( )A.14 B.4 C.32 D.438.双曲线122=-x my 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =±9.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e ( )A.2B.3C.2D.2310.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为 ( )A.221312x y -= B.18222=-x y C.18222=-y x D.221312y x -=11.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m ( )A.41- B.4- C.4 D.4112.以15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为13.双曲线116922=-y x 上的点M 到点()0,5-的距离为,7则M 到点()0,5的距离为 ( ) A.1或13 B.15 C.13 D.114.双曲线122=-my x 的一个焦点坐标为(),0,5-则双曲线的渐近线方程为 ( )A. x y 41±=B. xy 21±=C. x y 2±=D. x y 4±=15.双曲线1322=-y m x 的离心率为,2则=m .16.经过点()62,62-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A.22186y x -= B.22168x y -=C.22186x y -=D.22168y x -=17.已知双道曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y x =±B ．y x =C ．y =D ．y x =18.焦点在y 轴上的双曲线的离心率为,3则它的渐近线方程为 ( )A.2y x =±B.2y x =± C.x y 2±= D.x y 22±=19.已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为3,2实轴长为4,则双曲线的方程为 .20.已知双曲线1822=-y m x 的离心率为,3则实数=m ．21.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是 ( )A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x22.双曲线122=-y mx 的焦点到它的渐近线的距离为23.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=24.双曲线过点()(),6,3,3,2B A -则该双曲线的方程为25.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x 21,,F F 分别是 双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则=2PF( )A.2B.18C.2或18D.1626.已知双曲线焦点在x 20y -+=平行，若点()3,2在双曲线上，求 双曲线的标准方程27.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.332 D. 22328.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程29.若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为,8则点P 到它的左焦点的距离是 ( ) A ．4B ．12C ．4或12D ．630.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112yx =+平行，则它的离心率为( )31.与椭圆1121622=+x y 共焦点且过点()3,1的双曲线的标准方程为32.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为33.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为,,21F F 过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于 Q P ,两点，且点P 的横坐标为,2则Q PF 1∆的周长为 ( )A ．3B ．C ．3D ．34.0241022=+-+x y x 的圆心是()0.19222>=-a y ax 的一个焦点,此双曲线渐近线方程为 ( ) A.x y 34±= B.x y 43±= C.x y 53±= D.x y 54±=35.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于,4则=n36.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程37.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为,x y -=双曲线方程38.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程39.已知12,F F 为双曲线22:1916x y C -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值 范围40.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为2,b 那么直线:30l bx cy ++=截圆122=+y x 所得的弦长为41.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为42青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为 ( ) A ．3B ．62C ．213D ．7243.(多选)12,F F 为双曲线()2222:1,,0x y C a b a b-=>的左右焦点,点P 在C 上,若渐进线方程为30,x y ±=焦距为42,下列说法正确的是 A.实轴长2 B.离心率2C.双曲线焦点到渐近线距离6D.存在点P ，使得21F P =44.（单选）双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是 ( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222212.32,.43.351.11226 1.9579542.841.319.10.11.12.13.14.151.16.17.18.19 1.45204.2122123.49112413613C D e y y x x y c e C x y a a C y x c A C A A C C C D C D x y D D m n m mx ny x m n n ===±-=⇒=⇒=⇒+==-=⇒=⇒=⇒-=⇒-=+==⎧⎧+=⇒⇒⇒⎨⎨+==-⎩⎩()()()()()()2222221 2.325.26 1.327.2814329.130::2:1:2y e C y x C x y C b a b c e D a -=⇒=-=-==⇒==⇒()()()()()()()()()2222222222231310,211344421442232216,42121628.233242345,04.353411,253236166Py x y x F t t t t t t t t t t m b l a m b x c PQ x PQ l a PQ A a F a B y m m m x c n nx y c t t t t ±⇒-=⇒-=⇒+-=-+⇒=⇒=⇒-=--===+=+===⇒⊥⇒==⇒=+=⇒⇒=⇒-+=⇒=-⇒+==⇒==⇒+=⇒+=++()()()()()()()())222222222221213122612031.93::1:1:37 1.2424483812 1.323953,43,3.338405.5541,:t t t t t t t x y a b a b c y x a b c c x y x F t y t t PF PF OP c P a d l a PO PFF l ⇒++=+⇒+-=⇒=⇒+=⎧=⇒=⎪==-=⎨=⇒=⎪⎩⇒-=⇒=⇒-=-⊥⇒==⇒⇒-=⇒===⇒===()()()()()222222222122224214424143::22,20::1:243.2.2181632442:2:12P S y x x y a a b a b c e a bb P a a y a bc BC a b e PF c a c c a S ab ab b a b a b⎧⎛⎪⇒⇒== ⎨ =⎝⎭⎪⎩⎧-=⎪⇒-=⇒=⇒=⇒=⎨⎪⎩±=⇒=⇒===≥-==⇒=⎪⎩⎧===⇒=⎪⇒⎨⎪=⇒=⎩.4B ⎧⇒⎨=⎩2021高考数学专题复习:抛物线(3)1.抛物线24y x =的准线方程是 ( ) A.1y = B.1y =- C.116y = D.116y =-2.已知抛物线22y px =的准线方程是2,x =-则=p ( ) A.2 B.4 C.2- D.4-3.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是 ( )A.1B.2C.3D.44.已知抛物线x y 42=的焦点,F 该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF( )A.4B.5C.6D.75.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A 若3,AF =则点A 的坐标为 ( )A.()22,2B.()22,2-C.()22,2± D.()2,1±6.抛物线x y 412=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 ( ) A ．1716 B.78 C.1 D ．15167.O 为坐标原点,直线x =2与抛物线()2:2,0C y px p =>交于D ,E 两点,若,OD OE ⊥则C 的焦点坐标为8.抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.29.已知点P 在抛物线y x 42=上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3, 则点P 到x 轴的距离是 ( ) A.41 B.12 C.1 D.210.若抛物线212y x m=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则m =11.点P 是抛物线x y 42=上一点P ,到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 ( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.512.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10,则P 的坐标为 ( ) A.()9,6± B.()6,9 C.()6,9± D.()9,613.双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为F P ,为抛物线的焦点，若,5=PF 则 双曲线的渐近线方程为 ( ) A.02=±y x B.02=±y x C.03=±y x D.03=±y x14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,若==+AB x x ,821( )A.10B.8C.6D.415.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若中点的横坐标为3，则=AB ( ) A.10 B.8 C.6 D.416.过24y x =的焦点直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果,621=+x x 则=PQ17.()0.22>=p px y 上一点M 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,该点横坐标为 ( )A.10或 1B.9或 1C.10或2D.9或218.已知双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为19.抛物线y x 22=上有一点,P 它到()3,1A 的距离与到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.()1,2-B.11,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,1-20.双曲线2221x y a-=()0>a 的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )A ．332 B ．3 C ．233 D ．43321.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-= 的距离是,2d 则12d d +的最小值是 ( ) A.3B.23C.62D.322. 点()2,1A -x y 4,2-=的焦点是P F ,是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B.()22,2- C.⎪⎭⎫⎝⎛--1,41 D.()22,2--23.双曲线22214x y b-=右焦点与抛物线x y 122=焦点重合,双曲线的焦点到其渐近线距离等于 ( )A.5B.24C.3D.524.440kx y k --=与x y =2交B A ,两点,若,4=AB 弦AB 的中点到直线102x +=的距离 ( ) A ．74 B.2 C ．94D.425.抛物线焦点在x 轴，经过点()O y M ,,20为坐标原点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A ．．．4 D ．26.24x y =焦点为,F 上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=,则221122y x y x +--=( )A.4 B ．6 C.8 D ．1027.双曲线()2222 1.0,0-=>>x y a b a b与抛物线28y x =有一个共同焦点F ,两曲线的一个交点为P ，若5,=PF 则点F 到双曲线的渐进线的距离为 ( )B.2D.328.抛物线mx y =2的焦点为,F 点()22,2P 在此抛物线上M ,为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为 ( ) A.1 B.23 C.2 D. 2529.()0,22>=p px y 焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=30.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是,3x y =它的一个焦点在抛物线x y 682=的准线上,求双曲线的方程31.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =, 则直线AF 的倾斜角等于 （ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π32.等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,34,=AB 则C 的 方程为33.双曲线C 的焦点在x 轴上,离心率为,25C 与抛物线x y 82=的准线交于,A B 两点,2,=AB 则C 的 方程为34.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变12米，此时 桥洞顶部距水面高度约为 米35.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点，且,,A F B 三点共线，则FA =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．836.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （ ）A. 经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP37.F 为24y x =的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若0=++FC FB FA ,FA FB FC ++=（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．338.(2020青岛模拟15)已知直线():1l y k x =-与抛物线()2:2,0C y px p =>在第一象限交点为,A l 过C 的焦点,3,F AF =则抛物线的准线方程为 ，k =39.圆058:22=-+++ay x y x C 经过抛物线:E y x 42=焦点E ,的准线与圆C 相交所得弦长为40.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()2,0A 的距离与P 到该抛物线准线的距离d 之 和的最小值为 （ ）A B ．3 CD ．9241.抛物线()0.2:2>=p px y C 的准线为l ，过()0,1M l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B ,若,=则p = ．()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()201.2.3.4.5.6.172,22,0.28.9.110.1611.12.133,3.148210.152********181,61710,6362101820.2229,6118D B C A C D D y x D B B C P m y D AB A AB x p B PQ p M p p M p p p B p M c ⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭⇒=⇒=⇒=+=⇒=+=+=⇒=+==⇒±⎧⎪⎛⎫⎛⎫-±⇒=-⇒--=⇒⇒⎨⎪ ⎪=⇒±⎝⎭⎝⎭⎪⎩=()()()()22255 1.4::1:2:1191.22082.212,0,y a b x a b c x y B y x c a C F d C⎧⎪==⇒-=⎨=⎪⎩=⇒=⇒=⇒=⇒=-==⇒()()()()(()()()()0022212121212121221.4233,2.1792442.2442532242,.2261122,4448.y x A c a b d A x x d C pp y x M OM A y y y y x x y y y y D =⇒=-⇒==⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒±⇒=⇒+-+=⇒-=⇒-=-=-=⇒31()(()()()()()()((1221313222213213222273,,2,0221.352841,0.22292222230 1.618::2313,1,AF P F a PF PF a b A y x F M d D FP FP x x pp FP x FP x p FP FP FP Cx x x c x y a b a b c P A k ±⇒=-=⇒=⇒=⎛=⇒⇒⇒=⇒⎝+=++⎧⎪⎪=+⇒=+⇒+=⇒⎨⎪+=⎪⎩⎧=⎪⇒==-=⎨=⎪⎩⇒-⇒=()(()()()()()()()2222222.1612321,4,1422411331,2,11141222228,64181834,14146,.776,2362359,9312.36B x y A t a a t t tx y x y A t t m am x ay a x y d y m am AF FB A y AF PQ ⇒--=-⇒=⇒=⇒=⇒=⎛-=-⇒-=⇒=⇒-= ⎝⎭⇒=⎧⎪⎛⎫=⇒=-⇒=-⇒⇒-⇒==⎨⎪+⇒=+⎝⎭⎪⎩=⇒⇒=+==()()()()()()()(()()()()()()()123123123222min.371110336.381,0:4, 1.32,54225390,1421:140.241,2PF B x x x x x x FA FB FC x x x B F C y xx AFA k r x yF a AB l d l y PA d PA PF PA PFAF A p A ⇒⇒-+-+-=⇒++=⇒++=+++=⇒⇒==-=⇒⇒=⎧=⎧+++=⎪⇒=⇒⇒⇒==⎨⎨==-⎩⎪⎩+=+⇒+==⇒-())22222222,1,0,1241202B A p p p x B y M AM MB y x y pxp p p ⎧⎛⎫⎧⎫=+++⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⇒⇒⇒⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎝⎭⎪⎪=-=⎩⎩+-=⇒=322021高考数学专题复习:面积方程问题1.点P在椭圆1222=+yx上21,,FF两焦点012,90,F PF∠=则21PFF∆的面积是2.21,FF为双曲线141622=-yx两焦点，双曲线上点P满足021120=∠PFF,21PFF∆的面积为( )A．334B．25C.2D.53.21,FF为椭圆22214x yb+=两个焦点,,221=FF点P在双曲线上且,90021=∠PFF21PFF∆的面积是4.P为椭圆13422=+yx上的一点,21,FF为该椭圆的两个焦点，若,60021=∠PFF则21PFF∆的面积等于 ( )A.3B.3C.32 D.25.椭圆C两焦点()()0,4,0,421FF-P,在C上，若21FPF∆面积的最大值为C,12方程为336.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点,点P 在C 上,=⋅=∠21021,60PF PF PF F ( )A ．2 B.4 C.6 D.87.21,F F 是14922=+y x 的两焦点,P 是椭圆上的点，且,1:2:21=PF PF 21F PF ∆面积为 ( ) A.4 B.6 C.22 D.248.2218y x -=两个焦点为12,F F P ,是双曲线上的一点，,4:3:21=PF PF 则=∆21F PF S ( ) A.310 B.38 C.58 D.5169.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上,0,21=⋅PF PF=3410.1422=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当021120=∠PF F 时,=∆21PF F S . 当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围11.椭圆22221x y a b+=两焦点为()(),0,1,0,1-满足P b a ,4322=在椭圆上,1,21=-PF PF 椭圆方程 =∠21cos PF F12.已知点P 是椭圆22184x y +=上一点,21,F F 分别为左右焦点,若12PF F ∆的面积为,312cos F PF ∠=3513.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为12,,F F=14.已知()(),0,5,0,5BA -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅=15.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =16.21,F F 是椭圆12222=+by a x 的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点,,21PF PF ⊥椭圆方程36()()()()()()()()()000022220121211tan 45142.tan 6033tan 45 3.43tan 30.1512835 1.22592414286cos 604.222274,2,4.6:3:486,2S S A S S B x y b b a m n mn c mn mn B mn mnm nm n F F PF PF S A m n m n m n m =⋅===⇒=⋅==⋅=⇒=⋅⋅⇒=⇒=⇒+=-+-+-=⇒=⇒=⇒=⎧⇒===⊥⇒=⇒⎨+=⎩=⎧⇒=⎨-=⎩()()()122200221221121218,68.249 2.121101tan 6012.22::211 1.431534,2212A A A n F F S C m n mn m n S S c y y x x a x y a b c c b PF PF PF PF PF PF F F c ==⇒=⋅⋅=⇒+=⎧⇒=⎨+=⎩⎛=⋅===⋅⋅⇒=⇒=⇒∈ ⎝⎭=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⇒+===⎪⇒⎨-=⎪⎩==()()()()2222121122122222203cos .252347124tan3tancos cos 2cos 1.2242522510134100168421.4146321208.94tan 454215::1:PF PF F F F PF PF PF m n mn mn m n x y m n a b m n mn S b b e a b c θθθθθ⎧+-⎪⇒∠==⎨⋅⎪⎩⋅=⇒=⇒=⇒=-=+=⎧⇒=-=⇒=⎨-=⎩+=⇒=⇒=⇒+=⇒+=⇒===⇒===()222221219161624415 1.2444520a x y S cb bc c c c c ⎧⎪⇒=⎨⎪⎩=⋅=⇒=⇒+=⇒=⇒+=+372021高考数学专题复习:离心率1.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.41B.21C.22D.232.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.51 B.43 C.33 D.213.直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，椭圆的离心率为 ( )A.5B.5C.5或5 D.254.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为,F 直线x m =与椭圆相交于点,,B A FAB ∆的周长的最大值 是12,则该椭圆的离心率=e38 5.已知点12,F F分别是椭圆()2222:1,0x yC a ba b+=>>的左右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,且满足12212,3,F F OP tan PF F=∠=则C的离心率为6.已知P是以21,FF为焦点的双曲线()0,,12222>=-babyax上一点,若21tan,2121=∠⊥FPFPFPF,则双曲线的离心率为7.设21,FF分别是双曲线()0,0,12222>>=-babyax的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()OPFOFOP,022=⋅+为坐标原点,=则该双曲线的离心率为（）1B.12++2+8.设双曲线()0,0.1:2222>>=-babyaxC的左右焦点分别为21,FF P,是C上的点,,212FFPF⊥,45021=∠FPF则C的离心率为399.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线的一个交点，且12215,PF F PF F ∠=∠则双曲线离心率为10.已知双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线截圆()11:22=+-y x M，则该双曲线的离心率为 ( ) A.43B.3C.35311.已知21,F F 是双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于B A ,两点．若5:4:3::22=AF BF AB ,则双曲线的离心率为.12.已知抛物线x y 82=的准线与双曲线1:222=-y ax C 相切，则双曲线C 的离心率为 ( )A.25B.23C.552D.33240 13.设点P是双曲线(abyax12222=-)0,0>>b与圆2222bayx+=+在第一象限的交点，其中21,FF分别是双曲线的左右焦点，且212PFPF=,则该双曲线的离心率为14.21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率为15.已知21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是16.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线,交双曲线的渐近线于,A B 两点， 若OAB ∆(O 为坐标原点)是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )D.217.21,F F 是双曲线12222=-b y a x 左右焦点,过2F 作与x 轴垂直的弦,PQ 且==∠e Q PF ,6001 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2618.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ( )A ．2BC ．3D ．219.椭圆22221x y a b +=的左、右顶点分别是B A ,,左右焦点分别是21,F F 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为20.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是,,21F F 过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为,M 若1MF 垂直于x 轴,则椭圆的离心率为21.双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线21y x =+相切,该双曲线的离心率为 ( )B.2C.5D.622.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 焦距为1161,1022+=x y 与其渐近线相切,双曲线方程为（ ） A.22182x y -= B.22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=23.点P 在椭圆12222=+by a x 上21,,F F 是椭圆的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列， 则此椭圆的离心率是24.已知双曲线一个焦点为(),0,51-F 点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()2,0，则此双曲线 的离心率是 .25.双曲线的中心为原点O ,实轴在x 轴上,虚轴顶点为A ，左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点 分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该双曲线的离心率为26.设12,F F 是双曲线1:2222=-b y a x C 的两个焦点.若在C 上存在一点,P 使,30,02121=∠⊥F PF PF PF则C 的离心率为 .27.椭圆22221+=x y a b 上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为28.点A 是抛物线()0,2:21>=p px y C 与双曲线:2C 22221x y a b -=的一条渐近线的交点，若点A 到 抛物线1C 的准线的距离为,p 则双曲线2C 的离心率等于 ( ) A.2 B.3 C.5 D.629.设双曲线的一个焦点为,F 虚轴的一个端点为,B 如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此 双曲线的离心率为 ( )30.椭圆的两个焦点和短轴两顶点是一个含060角的菱形的四个顶点，则椭圆离心率为31.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 离心率[],2,2∈e 则两条渐近线夹角θ的取值范围是32.12,F F 是双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的两个焦点,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于,A B 两点，若1,3AF B π∠<则双曲线离心率取值范围为33.已知双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的左顶点为,A 右焦点为(),0,c F 直线c x =与双曲线C 在第一象限的交点为,P 过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点,B 若ABF ∆与PBF ∆的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为34.已知1,F 2F 是双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，若直线2y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．525-B ．525+C ．5+25D ．525-35.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为,,21F F 线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点 分成5:7的两段,则此双曲线的离心率为36.已知抛物线()0,22>=p px y 与双曲线12222=-b y a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点， 且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )51+2131+ D.221237.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 左右焦点分别为A F F ,,21是双曲线上一点122,,⊥F F AF 若直线1AF 与圆22229++=a b x y 相切,切点为,M 则双曲线离心率为38.椭圆22221+=x y a b 的左焦点1,F 该椭圆上一点A 满足1OAF ∆是等边三角形,则椭圆离心率为39.双曲线()22221,,0x y a b a b -=>的左、右焦点分别为为12,,F F 过2F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲 线的左支分别交于点,,A B 若()21,2OA OB OF =+则该双曲线的离心率为40.已知双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,,F F 圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为,M 若123,MF MF =则该双曲线的离心率为41.设双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F 直线:43200l x y -+=过点1F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点1,,OP OF =则双曲线C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 ．42.已知F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点,,A B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为 ( )1B.1- 1+ 143.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=,则双曲线C 的离心率为 ( )D.244.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ,2l ,点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点,以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ,交直线2l 于点O ,C ,若2BC OA =,则该双曲线的离心率是45.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ( )A ．2 B ．7 C D ．46.已知,,A B C 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右焦点2,F 若22,2,BF AC AF CF ⊥=则该双曲线的离心率是 ( ) A.53 B.17 C.17 D.9447.设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线 在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.48.双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为,A 交另一条渐近线于点,B 且221,3AF F B =则双曲线的离心率为 ( ) A.53 17 17 D.9449.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123PF F π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,,e e 则221213e e +的值为 ( ) A.1 B.2512C.4D.16。

专题08压强一．选择题1．（2021•淮安）大气压强与人们日常生活的关系非常密切。

以下事实中主要利用了大气压强的是（）A．飞镖的箭头很尖B．拦河坝的截面上窄下宽C．用吸管吸取饮料D．大型客机在空中水平飞行2．（2021•南通）用矿泉水瓶做的下列小实验中，探究影响液体压强大小的因素的是（）A．水量越多形变越大B．纸片托住满瓶泉水C．孔位越低流速越大D．用力吹气喷出水雾3．（2021•常州）新冠疫情期间，下班时，某企业要求员工利用戳孔器把口罩打孔破坏后再丢弃。

确保废弃口罩不会被重复使用，如图所示。

双手共同作用对口罩施加竖直向下、等大的力。

口罩受到钉子的压强最大的是（）A．B．C．D．4．（2021•常州）2021年4月19日，“机智号”电动直升机在火星地表首飞成功，如图所示。

在匀速上升、空中悬停、匀速下降阶段，“机智号”旋翼受到的升力分别为F1、F2、F3，不计机身受到的火星气体阻力，则（）A．F1＞F2＞F3B．F1＜F2＜F3C．F1＝F3＞F2D．F1＝F2＝F35．（2021•无锡）如图所示，将压强计的金属盒放在水中某一深度处，U形管两侧液面出现高度差。

下列操作会使高度差增大的是（）A．仅将金属盒向上移动B．仅将金属盒水平移动C．仅改变金属盒面的朝向D．仅在水中加入食盐，食盐溶解后6．（2021•苏州）在下列几种航空器中，主要利用流体压强和流速的关系获得升力的是（）A．观光热气球B．民航客机C．武装直升机D．运载火箭7．（2021•连云港）水枪是孩子们喜爱的玩具，如图所示是常见的气压式水枪储水罐。

从储水罐充气口充入气体，达到一定压强后，关闭充气口，扣动扳机将阀门M打开，水即从枪口喷出。

在水不断喷出的过程中，则（）A．气体对水做功B．气体的压强变大C．气体的压强不变D．水喷出的速度不断增大8．（2020•南通）在综合实践活动中，小明制作了一只长12cm、宽5cm的小纸船，如图甲。

图乙是按图甲所示箭头方向观察到的船的主视图。

圆锥曲线综合问题第一讲最值、范围问题1．圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；①求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；①代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．【例1】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．(1)求椭圆E的方程；(2)若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求△OAD与△OAC的面积之差的绝对值的最大值．(O为坐标原点)【变式训练】1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作①F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ①R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当①ADB 的面积最大时，直线l 的方程．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积的最大值．【变式训练】1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x23－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛213，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．【例3】已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切．(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．【变式训练】1．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4923，，抛物线上的点P (x ，y )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2321x ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．2．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点12，0的动直线交抛物线于不同两点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求①APQ 的面积的最小值．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围．【例3】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM·k ON＝54，求原点O到直线l的距离的取值范围．【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆的面积的取值范围．3．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一交点坐标是(2，－2)．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．4．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．【课后巩固】1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．2．已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值；(2)求△ABD 面积的最大值．3．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．(1)求椭圆C2的离心率；(2)设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，求△APQ面积的最小值．4．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8． (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．5．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E．EA 为定值，并写出点E的轨迹方程；(1)证明EB(2)设点E的轨迹方程为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

2021年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、〔2021年四川高考〕设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,那么直线OM 的斜率的最大值为〔A 〔B 〕23〔C 〕2 〔D 〕1 【答案】C2、〔2021年天津高考〕双曲线2224=1x y b -〔b >0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，那么双曲线的方程为〔 〕〔A 〕22443=1y x -〔B 〕22344=1y x -〔C 〕2224=1x y b -〔D 〕2224=11x y - 【答案】D3、〔2021年全国I 高考〕方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值范围是〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3)【答案】A4、〔2021年全国I 高考〕以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】B5、〔2021年全国II 高考〕圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，那么a=〔 〕〔A 〕43- 〔B 〕34- 〔C 〔D 〕2 【答案】A6、〔2021年全国II 高考〕圆12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,那么E 的离心率为〔 〕〔A 〔B 〕32〔C 〔D 〕2【答案】A7、〔2021年全国III 高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中 点，那么C 的离心率为〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕34【答案】A8、〔2021年浙江高考〕 椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，那么A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、〔2021年北京高考〕双曲线22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，假设正方形OABC 的边长为2，那么a =_______________. 【答案】22、〔2021年山东高考〕双曲线E ：22221x y a b-= 〔a ＞0，b ＞0〕，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，那么E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、〔2021年上海高考〕平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，那么21,l l 的距离_______________【答案】2554、〔2021年浙江高考〕假设抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，那么M 到y 轴的距离是_______． 【答案】95、(2021江苏省高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠= ,那么该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)63三、解答题1、〔2021年北京高考〕 椭圆C ：22221+=x y a b〔0a b >>〕的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由，31122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，那么220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、〔2021年山东高考〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . 〔i 〕求证：点M 在定直线上;〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) 〔i 〕设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－． 所以点M 在定直线41=y －上．〔ii 〕在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、〔2021年上海高考〕 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

专题08 光合作用与呼吸作用概念图1．图表示植物叶肉细胞中光合作用和细胞呼吸的相关过程，字母代表有关物质，数字代表代谢过程，相关叙述正确的是（）A．过程①③⑤在生物膜上进行B．过程①②③⑤都需要ADP和PiC．物质C、D、E中都含H元素D．物质A中的元素只来自于水2．图表示蚕豆叶肉细胞光合作用与细胞呼吸过程中含碳化合物的变化。

相关叙述中错误的是（）A．过程①发生在叶绿体基质中B．过程②表示CO2的固定C．在人体细胞中能进行的是过程③④D．能产生ATP的过程有②③④3．如图为高等绿色植物光合作用和呼吸作用之间的能量转变示意图，图中①～⑥代表物质，据图判断下列说法不正确的是（）A ．①和⑤产生后在细胞中的主要分布位置不同B ．④转变成CO 2的过程不全部发生在一种细胞器内C ．仅给植物饲喂C 18O 2，则植物所释放氧气只能是16O 2D ．光能突然增强，短时间内可能会导致①/②值增大，而后该值下降最终趋于稳定4．下图是绿色植物叶肉细胞中光合作用与有氧呼吸过程及其关系的图解，其中A ～D 表示相关过程，a ～e 表示有关物质，据图分析错误的是（ ）A ．图中A 过程表示光合作用的光反应过程，发生在叶绿体类囊体薄膜上B ．图中D 过程表示有氧呼吸的第一阶段，发生在细胞质基质C ．图中a 、b 、c 分别表示的物质依次是H 2O 、O 2、CO 2D ．图中能产生[H]、ATP 的过程为A 过程5．下图表示某自养型生物细胞光合作用、细胞呼吸过程中[H]的转移过程。

下列叙述错误的是（ ）[][]222H O H CH O H H O −−→−−→−−→−−→①②③④（）A．图中过程①③④都能产生ATPB．过程③需要H2O参与，能产生CO2C．过程①和过程④离不开叶绿体和线粒体D．过程①和过程③产生的[H]不是同种物质6．零上低温对植物造成的危害称为冷害，研究发现，小麦在遭受冷害时，细胞内可溶性糖含量明显提高，氧气消耗速率先升高后降低。

专题08 生命活动调节目录一、题型解读二、热点题型归纳【题型1】过程表述类【题型2】原因分析类【题型3】实验思路类三、最新模考题组练生命活动调节在高考试卷的地位越来越高，甚至会出现选择题与非选择题中同时出现有关的考点的情况。

需要强调的是生命活动调节中需要理解记忆的知识点较多，特别是一些专业术语及固定说法，应尽量避免在考试中因“自创术语”或“词不达意”而失分。

生命活动调节主要包括植物和动物生命活动调节两大部分内容。

植物生命活动的调节中，以生长素的调节为主，容易出现实验设计题。

单一变量的控制，无关变量的排除、对照组的设置以及语言的准确性是这类题目得分的关键。

【题型1】过程表述类【典例分析1】（2023·重庆·统考高考真题）某些过敏性哮喘患者体内B细胞活化的部分机制如图所示，呼吸道上皮细胞接触过敏原后，分泌细胞因子IL-33，活化肺部的免疫细胞ILC2．活化的ILC2细胞分泌细胞因子IL-4，参与B细胞的激活。

(1)除了IL-4等细胞因子外，B细胞活化还需要的信号有。

过敏原再次进入机体，激活肥大细胞释放组（织）胺，肥大细胞被激活的过程是。

【变式演练1-1】（2022·江苏·统考高考真题）手指割破时机体常出现疼痛、心跳加快等症状。

下图为吞噬细胞参与痛觉调控的机制示意图请回答下列问题。

(5)药物MNACI3是一种抗NGF受体的单克隆抗体，用于治疗炎性疼痛和神经病理性疼痛。

该药的作用机制是。

【变式演练1-2】（2022·广东·高考真题）迄今新型冠状病毒仍在肆虐全球，我国始终坚持“人民至上，生命至上”的抗疫理念和动态清零的防疫总方针。

图中a示免疫力正常的人感染新冠病毒后，体内病毒及免疫指标的变化趋势。

回答下列问题：(1)人体感染新冠病毒初期，免疫尚未被激活，病毒在其体内快速增殖（曲线①、②上升部分）。

曲线③、④上升趋势一致，表明抗体的产生与T细胞数量的增加有一定的相关性，其机理是。

押第8、11题圆锥曲线圆锥曲线是高考全国卷每年必考知识点,可以客观题，也可以是解答题，可以是基础题,也可以是难题，客观题中的基础题多考查圆锥曲线的定义、方程与几何性质，客观题中的难题一般考查最值与范围问题及直线与椭圆的位置关系，1.椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．2.椭圆的方程(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．3.椭圆的几何性质(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．(3)求椭圆的离心率问题的一般思路离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．4.椭圆中几个常用的结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .(3)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5.研究直线与椭圆位置关系的方法(1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 6. 椭圆中距离的最值问题一般有3种解法(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．1.（2020年高考新课标Ⅱ卷理科）设为坐标原点，直线与双曲线(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于，两点，若ODE ∆的面积为，则的焦距的最小值为（ ） A. B. C. D.2.（2019年高考新课标Ⅱ卷理科）.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p = A. 2 B. 3 C. 4D. 83.（2019年高考新课标Ⅱ卷理科）设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. B. C. 2D.4.（2019年高考新课标Ⅱ卷文科）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p = A. 2 B. 3 C. 4D. 85.（2019年高考新课标Ⅱ卷文科）设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. B. C. 2D.6.（2018年高考新课标Ⅱ卷理科） 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，则其渐近线方程为 A.B.C.D.7.（2018年高考新课标Ⅱ卷理科）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则的离心率为 A.B.C.D.8.（2018年高考新课标Ⅱ卷文科）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D.9.（2018年高考新课标Ⅱ卷文科）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则的离心率为A.B.C.D.1．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A ．B ．C ．1D ．22．（2021·甘肃高三二模（文））抛物线准线上的点与抛物线上的点关于原点对称，线段的垂直平分线与抛物线交于点，若直线经过点()4,0N ，则抛物线的焦点坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2021·甘肃高三二模（理））过抛物线焦点的直线与抛物线交与，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若线段的中点为，且线段的长为4，则直线的方程为（ ） A ． B ． C ．或D ．或4．（2021·甘肃高三二模（文））双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，则为（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2021·云南高三二模（文））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使OFP △是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2021·辽宁高三二模（文））第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．（2021·辽宁高三二模（理））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．D ．8．（2021·四川高三三模（理））已知点为抛物线的焦点，()0,2C -，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（2021·四川绵阳市·高三三模（文））已知点为抛物线的焦点，点在上，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ） A ．B ．C ．D ．10．（2021·北京通州区·高三一模）已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为，则（ ） A ．B ．4C ．D ．11．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知，分别是椭圆：的左，右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．（2021·河北唐山市·高三二模）已知为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形OFAB 为菱形，则双曲线的离心率（ ） A ．B ．C ．D ．13．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且120PF PF ⋅=.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．14．（2021·浙江绍兴市·高三一模）已知椭圆和点，若存在过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，满足102PM MQ λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2021·全国高三二模（理））已知椭圆，点为右焦点，为上顶点，平行于的直线交椭圆于，两点且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．16．（2021·辽宁高三二模）已知点，分别是双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足122F F OP =，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．（多选）17．（2021·河北石家庄市·高三一模）已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．离心率的取值范围为B ．当离心率为时，1QF QP +的最大值为C ．存在点使得120QF QF ⋅=D ．的最小值为1（多选）18．（2021·山东日照市·高三一模）已知正方体1111ABC A B C D -的棱长为4，为的中点，为ABCD 所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ）A ．若与平面ABCD 所成的角为，则点的轨迹为圆B ．若4MN =，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C ．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线D ．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线（多选）19．（2021·山东德州市·高三一模）已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）． A ．当轴时，1230PF F ∠=︒ B ．双曲线的离心率 C ．为定值D ．若为的内心，满足，则 （限时：30分钟）1．已知双曲线的渐近线方程为20x y ±=，且曲线经过点，则的实轴长为（ ） A ．B ．C ．D ．2.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若6ED DF =，则斜率的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．3.已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（ ） A ．B ．C ．D ．4.已知拋物线（）的焦点为，点为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为（ ） A ． B ． C ．D ．5.已知椭圆：()0a b >>的左､右焦点分别为，，直线过椭圆的左顶点且与椭圆相切，为直线上任意一点.若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ） A ．B ．C ．D ．6.过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，13BF BA =，则抛物线的准线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．7.已知双曲线（，）的左焦点为，过点且与轴平行的直线与双曲线交于，两点，若为等腰直角三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线(1)52x m y m +-=-的垂线，垂足为，则MF MN +的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．（多选）9.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 B ．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 C ．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为D ．对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10B ．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为43120x y --=C ．若是双曲线左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则的面积为16D ．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为460x y --= （多选）11.已知双曲线的左右焦点分别为、，则下列说法正确的是（ ） A ．若，，则它的方程是B ．若，一条渐近线方程为320x y -=，则C ．为双曲线右支上一点，221218PF a PF a +=，则离心率的取值范围为 D ．若过的直线与轴垂直且与渐近线交于A 、B 两点，，则双曲线的渐近线方程为 （多选）12.已知抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，过焦点作两条互相垂直的直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，则下列论断正确的是（ ） A ．若为抛物线上一点，且的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 B ．MN PQ +有最小值32 C ．为定值D ．四边形MPNQ 面积最大时其周长为（多选）13.已知为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，且，为等腰直角三角形，则（ ） A ．212BF BF = B ．直线的斜率为2 C ．与的面积的比值为D ．若为线段的中点，则的斜率4OM k =-（多选）14.已知抛物线()2:20C y px p =>，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（ ） A ．在点处的切线方程为()11y y p x x =+ B ．C ．过抛物线准线上的任意一点作的切线，则过两切点，的弦必过焦点D．。

专题2.4 数轴-重难点题型【题型1 数轴的概念与画法】【例1】（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【变式1-1】（2021春•金华月考）下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式1-2】（2020秋•红花岗区校级月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，4 【变式1-3】（2020秋•德化县期中）把下列六个数：﹣2.5，312，0，+5，﹣4，−12， （1）分别在数轴上表示出来；（2）填入相应的大括号内整数集{ …}负分数集{ …}【题型2 数轴上的点与有理数之间的关系】【例2】（2020秋•喀喇沁旗期末）在如图的数轴上，点A、B在2的左面，小巧在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，现在知道A点表示123，那么B点表示．【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（）A．3B．3.1C．πD．3.2【变式2-2】（2020秋•门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm 和4cm 对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm 对应数轴上的点表示的数是﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②③④【变式2-3】（2020秋•三水区期末）正六边形ABCDEF 在数轴上的位置如图，点A 、F 对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E 所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【题型3 数轴上两点间的距离】【例3】（2020秋•满城区期末）如图，在数轴上有5个点A ，B ，C ，D ，E ，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C 表示的数是﹣1，则点E 表示的数是（ ）A ．﹣5B ．0C ．1D ．2 【变式3-1】（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣413点距离为312的点所表示的数为 ．【变式3-2】（2020秋•下城区校级期中）数轴上点M 表示有理数﹣3，将点M 向右平移5个单位长度到达点N ，点E 到点N 的距离为6，则点E 表示的有理数为 ．【变式3-3】（2020秋•罗庄区期末）点A 在数轴上距离原点3个单位长度，将A 向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A 表示的数是 ．【题型4 数轴中的运动规律问题】【例4】（2020秋•偃师市期末）一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100次落下时，落点在数轴上表示的数是．【变式4-1】（2020秋•五华区校级期中）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是（）A．m B．n C．p D．q【变式4-2】（2020秋•江阴市校级月考）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动；设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数；给出下列结论：（1）x3＝3；（2）x5＝1；（3）x108＜x104；其中，正确结论的序号是（）A．（1）、（3）B．（2）、（3）C．（1）、（2）D．（1）、（2）、（3）【变式4-3】（2020秋•丹徒区期中）如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，依此类推，经过n次移动后该点到原点的距离为100个单位长度，则符合条件的n的和为（）A．396B．399C．402D．405【题型5 数轴在实际问题中的应用】【例5】（2020秋•乾安县期末）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km 到达B村，然后向东骑行7km到达C村，再继续向东骑行3km到达D村，最后骑回邮局．（1）C村离A村有多远？（2）邮递员一共骑行了多少千米？【变式5-1】（2020秋•和平区校级月考）一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了6km到达小明家，最后回到超市，以超市为原点，向东为正方向，用一个单位长度表示1km，完成以下问题：（1）以A表示小彬家，B表示小颖家，C表示小明家，在数轴上标出A、B、C的位置．（2）小明家距小彬家多远？（3）货车一共行驶了多少km？如果货车行驶1km的用油量为0.35升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？【变式5-2】（2020秋•硚口区期中）一辆货车从龙信广场出发负责送货，向西走了2千米到达光华小区，继续向西走了3.5千米达到实验初中，然后向东走了6.5千米达到商和广场，最后返回龙信广场．（1）以龙信广场为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出光华小区、实验初中、商和广场的位置．（光华小区用点A表示，实验初中用点B表示，商和广场用点C表示）（2）光华小区与商和广场相距多远？（3）若货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车这次送货共耗油多少升？【变式5-3】（2020秋•无棣县期末）一名快递员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了2千米到达小红家，继续向东走了3.5千米到达小明家，然后又向西走了7.5千米到达小刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O、A、B、C分别表示饭店、小红家、小明家和小刚家．（1）请你画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置；（2）小刚家距小红家多远？（3）若小红步行到小明家每小时走5千米；小刚骑自行车到小明家每小时骑12千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小明家，若不能同时，谁先到达？【题型6 数轴中的折叠问题】【例6】（2020秋•昆明期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（）A．3B．4C．5D．﹣1【变式6-1】（2020秋•宣化区期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣7，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（）A．﹣2B．﹣2.5C．﹣1D．1【变式6-2】（2020秋•正定县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是．【变式6-3】（2020秋•宁波期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？。

突破疑难系刘2：圆锥曲线解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法 （坐标法）•因此，求 解解析几何问题最大的思维难点是转化， 即几何条件代数化.如何在解析几何问 题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的 关键所在•为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角， 突破思维难点.途径一 “图形”引路，“斜率”搭桥高专示刮方袪与思犠L （2015・童国涉1 ）在宜角 .科.1.币 jc-y a s0 jax + F i d =0» （涉異.占略）（2 ；待在曲4迪总的JL il 昭如F 「 * p （ o 』）的虫 M 叫 j-）./ry, 坐擁寒X Q T 中血裁C ：y = y t ^PM t P X 的斜伞券别和片*£一勺直JR/：J +<f(d>0)j£ 将 ”i 一 tv +。

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2021年高考数学备考试题库 第八章 第8节 圆锥曲线的综合问题 文（含解析）1．(xx 湖南，13分)如图所示， O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0) 均过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1 的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2 的方程；(2)是否存在直线l ，使得 l 与 C 1交于A ，B 两点，与C 2 只有一个公共点，且 |＋|＝| |？证明你的结论．解：(1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋1＋12＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(ⅰ)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |＋|＝22，||＝2 3. 此时，|＋|≠||.当x ＝－2时，同理可知，|＋|≠||.(ⅱ)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得m 2＝2k 2＋3，因此·＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0.于是2＋2＋2·≠2＋2－2·， 即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，不存在符合题设条件的直线． 2．(xx 新课标全国Ⅱ，12分)设F 1 ，F 2分别是椭圆C: x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，故2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2，代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27， 3．(xx 山东，14分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2. 因此b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)， 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1. 设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2， 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为984．(xx 北京，14分) 已知椭圆C: x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝ca ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以·＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以 |AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2. 5．(xx 陕西，13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d ＜1得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝ 152 4－m 2.由|AB ||CD |＝534得 4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.6．(xx 四川，13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：(1)由已知可得，ca ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－2＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以＝， 即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3. 7．(xx 重庆，12分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .由DF 1⊥F 1F 2得S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，故|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322. 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2. 由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 所以＝(x 1＋1，y 1)，＝(－x 1－1，y 1)． 再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0. 由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0.解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－532＝423. 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －532＝329.8．(xx 浙江，14分)已知△ABP 的三个顶点在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，＝3.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由＝3，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )． 由＝3，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2.所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43. 所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135. 9．(xx 新课标全国Ⅱ，5分)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A .303B ．6C ．12D ．7 3解析：选C 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C.10．(xx 湖南，5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0) 的距离和到直线x ＝－1 的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0) 且斜率为 k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y 2＝4x ，过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，所以k 2>1，得k >1或k <－1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)11．(xx 江西，13分)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点 B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D ( O 为坐标原点)．(1)证明：动点 D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线 l (不含x 轴)，与直线y ＝2 相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2 .证明：|MN 2|2 －|MN 1|2为定值，并求此定值．证明：(1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上．(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 12a＋a,2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12．（xx 安徽，13分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点 D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力及运算求解能力．(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意，知E 点坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则＝(x 0，－22)，＝(x D ，－22)． 由AD ⊥AE 知，·＝0，即x D x 0＋8＝0. 由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0.故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.① 从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③ 再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0.即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．13．（xx 北京，14分）直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、函数与方程的思想，意在考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合能力．(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3. 所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．14．（xx 湖南，13分）已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程．解：本题主要考查椭圆的几何性质、圆的方程、弦长和弦长最值的求解，意在考查考生的计算能力、数据处理能力和转化能力．(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＝1，x 02＋y2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝2.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m2.所以b＝222－d 2＝41＋m2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 25＋y 2＝1，得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0.设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5. 于是a ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋m 2y 1－y 22＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝1＋m2⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m 2m 2＋52＋4m 2＋5＝25m 2＋1m 2＋5.从而ab ＝85·m 2＋1m 2＋5＝85·m 2＋1m 2＋1＋4＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤852m 2＋1·4m 2＋1＝2 5.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＝3y ＋2或x ＝－3y ＋2，即x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0.15．（xx 江西，13分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解：本题主要考查利用待定系数法求椭圆的方程，考查直线、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在考查推理论证能力与理性思维能力．(1)因为e ＝32＝c a， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k 2k ＋122k ＋12－22k －12＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y ＝y0x 0－2x －2，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为 m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1 ＝4y 0y 0－14y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0y 0－14y 20－8y 0＋4x 0y 0－4－4y 2＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2，所以2m －k ＝2y 0－12y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2y 0－1x 0－2－y 02y 0＋x 0－22y 0＋x 0－2x 0－2＝2y 0－1x 0－2－2y 20－y 0x 0－22y 0＋x 0－2x 0－2＝2y 0－1x 0－2－124－x 20－y 0x 0－22y 0＋x 0－2x 0－2＝12(定值)． 16．（xx 广东，14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：本题主要考查点到直线距离公式的运用、直线与圆锥曲线的位置关系及解析几何中的最值问题，意在考查考生运用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力．(1)∵抛物线C 的焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，∴|－c －2|2＝322，得c ＝1，∴F (0,1)，即抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由x 2＝4y 得y ′＝12x ，∴切线PA ：y －y 1＝12x 1(x －x 1)，有y ＝12x 1x －12x 21＋y 1，而x 21＝4y 1，即切线PA ：y ＝12x 1x －y 1，同理可得切线PB ：y ＝12x 2x －y 2.∵两切线均过定点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2，由以上两式知点A ，B 均在直线y 0＝12xx 0－y 上，∴直线AB 的方程为y 0＝12xx 0－y ，即y ＝12x 0x －y 0.(3)设点P 的坐标为(x ′，y ′)，由x ′－y ′－2＝0，得x ′＝y ′＋2， 则|AF |·|BF |＝x 21＋y 1－12·x 22＋y 2－12＝4y 1＋y 1－12·4y 2＋y 2－12＝y 1＋12·y 2＋12＝(y 1＋1)·(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ′x －y ′，得y 2＋(2y ′－x ′2)y ＋y ′2＝0，有y 1＋y 2＝x ′2－2y ′，y 1y 2＝y ′2，∴|AF |·|BF |＝y ′2＋x ′2－2y ′＋1＝y ′2＋(y ′＋2)2－2y ′＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′＋122＋92，当y ′＝－12，x ′＝32时，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12时，|AF |·|BF |取得最小值92.17．（xx 辽宁，12分）如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O .)解：本题主要考查抛物线的标准方程，求导运算、直线的点斜式方程，以及求轨迹方程，意在考查考生利用导数知识解决圆锥曲线问题的能力，以及处理直线与圆锥曲线的位置关系的熟练程度和运算化简能力．(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14.故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .18．（xx 辽宁，5分）已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：因为P ，Q 两点的横坐标分别为4，－2，且P ，Q 两点都在抛物线y ＝12x 2上，所以P (4,8)，Q (－2,2)．因为y ′＝x ，所以k PA ＝4，k QA ＝－2，则直线PA ，QA 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y －8＝4x －4y －2＝－2x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8y ＝－2x －2，可得A 点坐标为(1，－4)．答案：C19．（xx 新课标全国，12分）设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 20．（xx 广东，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即(12＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4(12＋k 2)(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x －2.21．（xx 北京，14分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 22．（xx 湖南，13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12，由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或(185，575)，或(185，－575)．23.（2011山东，14分）(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(Ⅰ)求m 2＋k 2的最小值； (Ⅱ)若|OG |2＝|OD |·|OE |， (ⅰ)求证：直线l 过定点；(ⅱ)试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．解：(Ⅰ)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意，t >0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ>0，所以3k 2＋1>t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点， 因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2取最小值2. (Ⅱ)(ⅰ)证明：由(Ⅰ)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，解得G (－3k 3k 2＋1，13k 2＋1)．又E (－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1)，D (－3，1k )，由距离公式及t >0得|OG |2＝(－3k 3k 2＋1)2＋(13k 2＋1)2＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝－32＋1k2＝9k 2＋1k，|OE |＝－3kt3k 2＋12＋t3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1， 由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)． (ⅱ)由(ⅰ)得G (－3k3k 2＋1，13k 2＋1)，若B ，G 关于x 轴对称，则B (－3k 3k 2＋1，－13k 2＋1)．代入y ＝k (x ＋1)整理得3k 2－1＝k 3k 2＋1，即6k 4－7k 2＋1＝0，解得k 2＝16(舍去)或k 2＝1，所以k ＝1.此时B (－32，－12)，G (－32，12)关于x 轴对称．又由(Ⅰ)得x 1＝0，y 1＝1，所以A (0,1)．由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，可设△ABG 的外接圆的圆心为(d,0)， 因此d 2＋1＝(d ＋32)2＋14，解得d ＝－12，故△ABG 的外接圆的半径为r ＝d 2＋1＝52. 所以△ABG 的外接圆的方程为(x ＋12)2＋y 2＝54.24．(2011江苏，16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k ＞0，求证：PA ⊥PB .解：(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23.因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)证明：法一： 将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk ). 于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2， 其方程为y ＝k 2(x －μ)，代入椭圆方程并由μ＝21＋2k2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk 32＋k 2)．于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .法二： 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 所以k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .25．(2011辽宁，12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2 .(4分) 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e2e2＜1.解得22＜e ＜1. 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .26．(2011广东，14分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T (1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO |＋|HT |的最小值，并给出此时点H 的坐标； (3)过点T (1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线l 1的斜率k 的取值范围．命题意图：本题考查的知识涉及动点、直线、轨迹、最值、参数范围的综合解析几何问题．(1)先画出图形，“以图助算”势在必行，而画出图形后可发现MP ∥OA 或点M 在x 轴上，也就找到了解决问题的入口与思路；(2)顺着第(1)问的结果与思路，结合抛物线的定义可求得|HO |＋|HT |的最小值；(3)再次回到画出的图形，可直观地求得k 的取值范围．解：(1)如图1，可得直线l ：x ＝－2与x 轴交于点A (－2,0)，设P (－2，m )，①当m ＝0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为x ＝－1，由∠AOP ＝∠MPO ＝0°得M (－1,0)，②当m ≠0时，设M (x 0，y 0)，(i)若x 0＞－1，由∠MPO ＝∠AOP 得MP ∥OA ，有y 0＝m ， 图1 又k OP ＝－m 2，OP 的中点为(－1，m2)，∴OP 的垂直平分线为y －m 2＝2m (x ＋1)，而点M 在OP 的垂直平分线上，∴y 0－m 2＝2m(x 0＋1)，又m ＝y 0，于是y 0－y 02＝2y 0(x 0＋1)，即y 20＝4(x 0＋1)(x 0＞－1)．(ii)若x 0＜－1，如图1，由∠MPO ＝∠AOP 得点M 为OP 的垂直平分线与x 轴的交点，在y －m 2＝2m (x ＋1)中，令y ＝0，有x ＝－m 24－1＜－1，即M (－m 24－1,0)， ∴点M 的轨迹E 的方程为y 2＝ 4(x ＋1)(x ≥－1)和y ＝0(x ＜－1)． (2)由(1)知轨迹E 为抛物线y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)与射线y ＝0(x ＜－1)，而抛物线y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)的顶点为B (－1,0)，焦点为O (0,0)，准线为x ＝－2，当点H 在抛物线y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)上时，作HG 垂直于准线x ＝－2于点G ，由抛物线的定义得|HO |＝|HG |，则|HO |＋|HT |＝|HT |＋|HG |，作TF 垂直于准线x ＝－2于点F ，则 |HT |＋|HG |≥|TF |，又T 图2(1，－1)，得|TF |＝3，在y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)中，令y ＝－1得x ＝－34，即当点H 的坐标为(－34，－1)时，|HO |＋|HT |的最小值为3，当点H 在射线y ＝0(x ＜－1)上时，|HO |＋|HT |＞|TF |， ∴|HO |＋|HT |的最小值为3，此时点H 的坐标为(－34，－1)．(3)由(2)得k BT ＝－12，由图2得当直线l 1的斜率k ≤－12或k ＞0时，直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．∴直线l 1的斜率k 的取值范围是(－∞，－12]∪(0， ＋∞)．27．（xx 山东，5分）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y＋p 2，将其代入得：y 2＝2px ＝2p (y ＋p 2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.答案：B27．(xx 新课标全国，12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.30154 75CA 痊28645 6FE5 濥Lr{_q23456 5BA0 宠25520 63B0 掰X35427 8A63 詣38553 9699 隙 O。