2021年新高考考点探究二函数的基本性质学生版

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2017-2018年高考数学考点总结，高考数学函数必考性质总结.函数是高考数学中的难点和重点，在高考临近之际，应该如何应对呢？三好网高中数学辅导老师将函数必考性质总结如下。

高考数学考点总结一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b 则此时称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，y是x的正比例函数.即:y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1。

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

第二讲 函数的基本性质1.[2020四川省宜宾市模拟]下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x ) =sin xB.f (x ) =e x +e -xC.f (x ) =x 3+xD.f (x ) =x ln|x |2.[原创题]已知函数f (x ) =x (x -a )+b ,若函数y =f (x +1)为偶函数,且f (1) =0,则b 的值为( )A. - 2 B . - 1 C .1 D.23.[2020湖北华师一附中月考]已知函数f (x ) ={(a - 3)x +5,x ≤1,2a x,x >1,f (x )是R 上的减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,3)B .(0,3]C .(0,2)D .(0,2]4.[2020宁夏银川一中模拟]已知f (x ) =x 3+ln 1+x 1 - x,且f (3a -2)+f (a -1)<0,则实数a 的取值范围是( )A .(13,34)B .(-∞,14)C .(-∞,34)D .(13,1]5.[2020陕西省百校第一次联考]函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,若f(-2) =1,则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[ - 2,2] B.( - ∞, - 2]∪[2,+∞) C.( - ∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4]6.[2020惠州市一调]已知函数f (x ) =|ln (√x 2+1−x )|,设a =f (log 30.2),b =f (3-0.2),c =f (-31.1),则( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a7.[2020百校联考]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )+f (2-x ) =0,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于点(1,0)对称B.f (x +2) =f (x )C.f (3-x ) =f (x -1)D.f (x -2) =f (x )8.[2019江西红色七校第一次联考]设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数,该函数在区间(-2,1]上的图象如图2-2-1所示,则f (2 018)+f (2 019) =( )图2-2-1A.2B.1C. - 1 D .09.[2020南昌市测试]已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2-x )+f (x ) =0,f (0) =√3,则f (10) = . 10.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x ) ={sinx,x ∈[0,1),f(x - 1),x ∈[1,+∞),则f (−π6−5) = .11.[2020长春市第一次质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2+x )+f (x ) =0,当x ∈[-2,0]时,f (x ) =-x 2-2x ,则当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值为 ( )A.-8B.-1C.0D.112.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2),其图象是连续的,当x >2时,函数y =f (x )是单调函数,则满足f (x ) = f (1−1x+4)的所有x 之积为 ( )A .3B .-3C .-39D .3913.[原创题]设增函数f (x ) ={lnx,x >1,- 1+ax x,0<x ≤1的值域为R ,若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e },则实数c的值为 ( )A.e - √e 2 - 42 B.e+√e 2 - 42 C.e±√e 2 - 42 D.1214.[2019郑州市第三次质量预测]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-x ) =f (x ),且函数f (x )在(-∞,0)上是减函数,若a =f (-1),b =f (log 214),c =f (20.3),则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c <b <aB .a <c <bC .b <c <aD .a <b <c15.[2019武汉市模拟]函数f (x ) =x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .16.[2019广东百校联考]已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且g (0) =0,当x ≥0时,f (x )-g (x )=x 2+2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)+g (-1) = .17.[2019广东六校联考]已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx 满足f (1+x )+f (1-x )+22 =0,则f (x )的单调递减区间是.第二讲 函数的基本性质1.C 选项A 中,函数f (x )=sin x 为奇函数,但在(0,+∞)上有增有减,所以A 不符合题意;选项B 中,f ( - x )=e- x +e x =f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以B 不符合题意;选项C 中,函数f (x )=x 3+x 为奇函数,且在R 上单调递增,所以C 符合题意;选项D 中,函数f (x )=x ln|x |为奇函数,当x >0时,f (x )=x ln x ,则f ' (x )=1+ln x ,所以函数f (x )在(0,1e )上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,所以D 不符合题意.故选C .2.C 解法一 由f (x +1)=(x +1)(x +1 - a )+b =x 2+(2 - a )x +1 - a +b 为偶函数,得a =2.又f (1)= - 1+b =0,所以b =1,故选C .解法二 由y =f (x +1)为偶函数,知y =f (x +1)的图象关于直线x =0对称,而y =f (x +1)的图象是由y =f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的,因而y =f (x )的图象关于直线x =1对称,故f (x )=x (x - a )+b 图象的对称轴方程为x =a2=1,得a =2.又f (1)=0,故b =1,故选C .3.D 因为函数f (x )={(a - 3)x +5,x ≤1,2a x ,x >1,f (x )是R 上的减函数,所以{a - 3<0,2a >0,(a - 3)×1+5≥2a 1,解得0<a ≤2.故选D . 4.A 由1+x 1 - x>0,得 - 1<x <1,即函数f (x )的定义域为( - 1,1).因为f (x )=x 3+ln1+x 1 - x=x 3+ln (x +1) - ln (1 - x ),所以函数f (x )在定义域( - 1,1)上为增函数.又f ( - x )= - x 3+ln ( - x +1) - ln (1+x )= - [x 3+ln (x +1) - ln (1 - x )]= - f (x ),所以函数f (x )为奇函数,所以由不等式f (3a - 2)+f (a - 1)<0,得f (3a - 2)<f (1 - a ),所以{ - 1<3a - 2<1, - 1<1 - a <1,3a - 2<1 - a,即{13<a <1,0<a <2,a <34,得13<a <34.故选A .5.D 依题意得,函数f (x )是偶函数,则f (x - 2)≤1,即f (|x - 2|)≤f (| - 2|).由函数f (x )在[0,+∞)上单调递增得|x - 2|≤2,即 - 2≤x - 2≤2,0≤x ≤4.所以满足 f (x - 2)≤1的x 的取值范围是[0,4],故选D . 6.C 解法一 f (x )=|ln (√x 2+1 - x )|=|ln√x 2+1+x|=|ln (√x 2+1+x )|=f ( - x ),所以函数f (x )是偶函数.当x >0时,f (x )=ln (√x 2+1+x ),此时函数f (x )单调递增.a =f (log 30.2)=f (log 35),b =f (3 - 0.2),c =f ( - 31.1)=f (31.1),因为31.1>log 35>3 - 0.2>0,所以c >a >b ,故选C .解法二 令g (x )=ln (√x 2+1 - x ),则g ( - x )+g (x )=ln (√x 2+1+x )+ln (√x 2+1 - x )=ln 1=0,所以g (x )为奇函数,y =f (x )=|g (x )|为偶函数.当x >0时,函数f (x )=|ln (√x 2+1 - x )|=ln (√x 2+1+x ),函数f (x )单调递增,又f (0)=ln 1=0,所以函数f (x )的大致图象如图D 2 - 2 - 1所示.图D 2 - 2 - 1- 2<log 3 0.2=log 315= - log 35< - 1,0<3 - 0.2=130.2<1, - 31.1< - 3,结合图象可知f ( - 31.1)>f (log 3 0.2)>f (3 - 0.2),即c >a >b ,故选C .7.C 由f (x )+f (2 - x )=0得f (x )的图象关于点(1,0)对称,选项A 正确;用 - x 代换f (x )+f (2 - x )=0中的x ,得f ( - x )+f (2+x )=0,所以f (x +2)=- f ( - x )=f (x ),选项B 正确;用x - 1代换f (x )+f (2 - x )=0中的x ,得f (3 - x )= - f (x - 1),选项C 错误;用x - 2代换f (x +2)=f (x )中的x ,得f (x - 2)= f (x ),选项D 正确.8.C 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数,所以f (2 018)=f (2 018 - 673×3)=f ( - 1),f (2 019)=f (2 019 - 673×3)=f (0),由题中图象知f ( - 1)= - 1,f (0)=0,所以f (2 018)+f (2 019)=f ( - 1)+f (0)= - 1.故选C .9. - √3 因为函数f (x )是偶函数,所以f (2 - x )= - f (x )= - f ( - x ),所以f (x +2)= - f (x )=f (2 - x )=f (x - 2),所以f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,则f (10)=f (2)= - f (0)= - √3.10.12 因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f ( - π6- 5)=f (π6+5).因为π6+5>1,π6+4>1,π6+3>1,π6+2>1,π6+1>1,所以f (π6+5)=f (π6+4)=f (π6+3)=f (π6+2)=f (π6+1)=f (π6).又0<π6<1,所以f (π6)=sin π6=12.故f ( - π6- 5)=12.11.B 由f (2+x )+f (x )=0,得f (4+x )+f (2+x )=0,以上两式相减,得f (x )=f (4+x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0,2],则 - x ∈[ - 2,0],f ( - x )= - ( - x )2 - 2( - x )= - x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )= - f ( - x )=x 2 - 2x =(x - 1)2 - 1,当x =1时,f (x )取得最小值 - 1.由周期函数的性质知,当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值是 - 1,故选B . 12.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数,所以直线x =0是其图象的对称轴,直线x =2也是函数y =f (x )图象的对称轴.因为f (x )=f (4 - x )=f (1 - 1x+4),所以x =1 - 1x+4或4 - x =1 - 1x+4. 由x =1 -1x+4,得x 2+3x - 3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2= - 3;由4 - x =1 - 1x+4,得x 2+x - 13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4= - 13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .13.A 当x >1时,f (x )为增函数,且f (x )∈(0,+∞),当0<x ≤1时, - 1+ax x=a - 1x≤a - 1,即f (x )∈( - ∞,a - 1].因为f (x )为增函数,所以a - 1≤0,则a ≤1,又函数f (x )的值域为R ,所以a - 1≥0,即a ≥1,从而a =1,函数f (x )={lnx,x >1, - 1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e },易知ln x =x +b 的解为x =e ,所以b =1 - e ,当x =1时,x +b =1+1 - e=2 - e<0,故0<c <1.令- 1+x x=x +1 - e ,得x 2 - e x +1=0,从而x =e - √e 2 - 42,则c =e - √e 2 - 42,故选A .14.B 因为函数f (x )在R 上满足f ( - x )=f (x ),所以函数f (x )为偶函数.由函数f (x )在( - ∞,0)上是减函数知函数f (x )在(0,+∞)上是增函数.又a =f ( - 1)=f (1),b =f (log 214)=f ( - 2)=f (2),c =f (20.3),1<20.3<2,所以a <c <b.故选B .15.(1,2) 由题意设图象的对称中心为(a ,b ),则2b =f (a +x )+f (a - x )对任意x 均成立,代入函数解析式得,2b =(a +x )3 - 3(a +x )2+5(a +x ) - 1+(a - x )3 - 3(a - x )2+5(a - x ) - 1=2a 3+6ax 2 - 6a 2 - 6x 2+10a - 2=2a 3 -6a 2+10a - 2+(6a - 6)x 2对任意x 均成立,所以6a - 6=0,且2a 3 - 6a 2+10a - 2=2b ,即a =1,b =2,即f (x )的图象的对称中心为(1,2).16. - 4 由f (x )为定义在R 上的奇函数可知f (0)=0,又g (0)=0,所以f (0) - g (0)=20+b =0,得b = - 1,所以f (1) - g (1)=4,于是f ( - 1)+g ( - 1)= - f (1)+g (1)= - [f (1) - g (1)]= - 4.17.( - 1,3)(注意:写闭区间也给分) 函数f (x )=x 3+ax 2+bx 满足f (1+x )+f (1 - x )+22=0,即(1+x )3+a (1+x )2+b (1+x )+(1 - x )3+a (1 - x )2+b (1 - x )+22=0,整理得(2a +6)x 2+2a +2b +24=0,即{2a +6=0,2a +2b +24=0,解得{a = - 3,b = - 9,所以f (x )=x 3 - 3x 2 - 9x ,f ' (x )=3x 2 - 6x - 9,令f ' (x )<0,解得 - 1<x <3,故函数f (x )的单调递减区间是( - 1,3).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

§3.2 函数的基本性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一 函数的单调性及最值1.下列说法中正确的个数是( ) ①若对任意x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,则y=f(x)在I 上是增函数;②函数y=x 2在R 上是增函数;③函数y=-1x在定义域上是增函数;④函数y=1x的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B2.下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是( ) A.y=1x -2B.y=lo g 12(2-x)C.y=(12)x -2D.y=√2-x答案 B3.函数y=lo g 12(-x 2+x+6)的单调增区间为( )A.(12,3)B.(-2,12) C.(-2,3) D.(12,+∞) 答案 A4.已知函数f(x)为R 上的增函数,若f(a 2-a)>f(a+3),则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)考点二 函数的奇偶性5.函数f(x)=x|x|+px,x ∈R,则f(x)( )A.是偶函数B.是奇函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.奇偶性与p 有关 答案 B6.设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=3x-7x+2b(b 为常数),则f(-2)=( ) A.6 B.-6 C.4 D.-4 答案 A7.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围为( ) A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1} 答案 A考点三 函数的周期性8.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,并且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x ≤3时, f(x)=x,则f(105.5)=( )A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5 答案 B9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2 018)+f(2 019)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 B10.设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时, f(x)=log 2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是 . 答案 f(x)=log 2(3-x)综合篇知能转换【综合集训】考法一 判断函数单调性的方法1.已知函数f(x)满足:①对任意x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,都有 f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;②对定义域内的任意x,都有f(x)=f(-x),则符合上述条件的函数是( )A.f(x)=x 2+|x|+1 B.f(x)=1x-x C.f(x)=ln|x+1| D.f(x)=cos x 答案 A2.已知函数f(x)=log a (-x 2-2x+3)(a>0且a ≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递增区间是( ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1] 答案 C考法二 函数单调性的应用3.(2018辽宁部分重点中学协作体模拟,10)已知函数f(x)=e x +e -xe x -e -x,若a=f (-12),b=f(ln 2),c=f (ln 13),则有( )A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a 答案 D4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A.(13,23) B.[13,23) C.(12,23) D.[12,23) 答案 A5.是否存在实数a,使函数f(x)=log a (ax 2-x)在闭区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明a 可取哪些值;如果不存在,请说明理由. 解析 设g(x)=ax 2-x,假设符合条件的a 值存在.当a>1时,为使函数f(x)=log a (ax 2-a)在闭区间[2,4]上是增函数,只需g(x)=ax 2-x 在[2,4]上是增函数,故应满足{x =12a ≤2,g(2)=4a -2>0,解得a>12.又a>1,∴a>1.当0<a<1时,为使函数f(x)=log a (ax 2-x)在闭区间[2,4]上是增函数,只需g(x)=ax 2-x 在[2,4]上是减函数,故应满足{x =12a ≥4,g(4)=16a -4>0,无解.综上可知,当a ∈(1,+∞)时, f(x)=log a (ax 2-x)在[2,4]上为增函数. 考法三 函数奇偶性的判断及应用6.(2018湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A.y=e xB.y=tan xC.y=x 3-x D.y=ln2+x2-x答案 D7.已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 C8.已知f(x)=√4-x 2,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( ) A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数 B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数 C.h(x)=g(x)·f(x)2-x 是偶函数 D.h(x)=f(x)2-g(x)是奇函数 答案 D9.(2018广东惠州第一次调研考试,10)已知定义域为R 的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log 2x)>2的解集为( )A.(2,+∞)B.(0,12)∪(2,+∞) C.(0,√22)∪(√2,+∞) D.(√2,+∞)答案 B考法四 函数周期性的确定及应用10.定义在R 上的奇函数f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时, f(x)=2x-1,则f(log 220)等于 ( ) A.14B.-14C.-15D.15答案 D11.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件: ①对任意的x 1,x 2∈[4,8],当x 1<x 2时,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0; ②f(x+4)=-f(x); ③y=f(x+4)是偶函数;若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c 的大小关系正确的是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 答案 B12.(2019河南信阳重点高中联考,10)已知函数y=f(x)为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调递增函数,函数g(x)=f(x-5)+x,数列{a n }为等差数列,且公差不为0,若g(a 1)+g(a 2)+…+g(a 9)=45,则a 1+a 2+…+a 9=( ) A.45 B.15 C.10 D.0 答案 A13.已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3答案 D考法五 函数值域的求解方法14.函数y=2-xx+1,x ∈(m,n]的最小值为0,则m 的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2) 答案 D15.(2018河南郑州一模,11)若函数y=|√|x|-1x2|在{x|1≤|x|≤4,x ∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=( ) A.3116B.2C.94D.114答案 A【五年高考】考点一 函数的单调性及最值1.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A. f (log 314)>f(2-32)>f(2-23) B. f (log 314)>f(2-23)>f(2-32) C. f(2-32)>f(2-23)>f (log 314) D. f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 答案 C2.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 答案 D3.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-(13)x ,则f(x)( )A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数 答案 A4.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=e x+ae -x(a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 答案 -1;(-∞,0]5.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是 . 答案 (12,32)考点二 函数的奇偶性6.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 答案 1考点三 函数的周期性7.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 答案 C8.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( )A.-2B.-1C.0D.2 答案 D9.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f (-52)+ f(1)= .答案 -2教师专用题组考点一 函数的单调性及最值1.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=√x +1 B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1)答案 A2.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 答案 D3.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 . 答案 (-1,3)考点二 函数的奇偶性4.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案 C5.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=12(|x-a 2|+|x-2a 2|-3a 2).若∀x ∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( ) A.[-16,16] B.[-√66,√66] C.[-13,13] D.[-√33,√33]答案 B6.(2013山东,3,5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x 2+1x,则f(-1)=( )A.-2B.0C.1D.2 答案 A7.(2011课标,9,5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时, f(x)=2x(1-x),则f -52=( )A.-12B.-14C.14D.12答案 A考点三 函数的周期性8.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f (23π6)=( )A.12B.√32C.0D.-12答案 A【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共55分)1.(2019届山东单县五中9月月考,8)若函数y=f(x)在R 上单调递增,且f(m 2+1)>f(-m+1),则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 答案 D2.(2019福建三明模拟,7)已知函数f(x)={x 2+(4a -3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a>0且a ≠1)在R 上单调递减,则a 的取值范围是( )A.[34,1)B.(0,34] C.[13,34] D.(0,13] 答案 C3.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,6)已知函数f(x)、g(x)分别是定义在实数集R 上的奇函数和偶函数且满足f(x)-g(x)=e x,则有( )A.f(2)<f(3)<g(0)B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)<f(3) 答案 D4.(2019届山东师范大学附中二模,10)函数f(x)是R 上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数 答案 D5.(2018河南郑州一模,10)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=ln22,b=ln33,c=ln55,则f(a), f(b), f(c)的大小关系(用不等号连接)为( )A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b) 答案 A6.(2020届山西平遥中学第一次月考,6)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x), f(x+1)=f(1-x),且当x ∈[0,1]时, f(x)=log 2(x+1),则f(31)=( ) A.0 B.1 C.-1 D.3 答案 C7.(2018广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+a 2x 为奇函数,g(x)=bx-log 2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=( )A.174B.52C.-154D.-32答案 D8.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,6)函数y=2-√-x 2+4x 的值域是( ) A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-√2,√2] 答案 C9.(2018河南洛阳第一次统考,3)若函数同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”: (1)∀x ∈R,都有f(-x)+f(x)=0; (2)∀x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0. ①f(x)=sin x;②f(x)=-2x 3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(√x 2+1+x),以上四个函数中,“优美函数”的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B10.(2019山西长治二模,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=( ) A.336 B.337 C.338 D.339 答案 C11.(2019福建厦门模拟,7)已知函数f(x)=ln 1+x1-x+x,且f(a)+f(a+1)>0,则a 的取值范围为( )A.(-1,-12) B.(-12,0) C.(-12,1) D.(-12,+∞) 答案 B二、多项选择题(每题5分,共20分)12.(改编题)已知定义域为R 的函数f(x)在(2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论成立的是( ) A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(3) D.f(1)>f(2) 答案 ABD13.(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数 C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数 答案 ABC14.(改编题)已知f(x)={x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则( )A.f(x)在R 上单调递减B.a<-2C.a ≤-2D.f(x)无最大,最小值 答案 ABD15.(改编题)已知f(x)是定义在R 的偶函数,且f(x+4)=f(x-2),若x ∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则( ) A.f(x)是周期为6的周期函数 B.f(919)=6C.f(x)是周期为8的周期函数D.f(1)=16答案AB三、填空题(每题5分,共15分)16.(2020届河南南阳一中第一次月考,13)函数f(x)=x2-√x+1的最小值为. 答案-117.(2019天津和平期末,13)已知函数f(x)=√4-x2|x+3|-3,若f(a)=-4,则f(-a)的值为.答案 418.(2019届北京师范大学附中期中,14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2ax+a,其中a∈R.①f(-12)=;②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是.答案①-14②(-∞,0]∪[1,+∞)四、解答题(共15分)19.(原创题)给出关于函数f(x)的一些限制条件: ①在(0,+∞)上单调递减;②在(-∞,0)上单调递增;③是奇函数; ④是偶函数;⑤f(0)=0.在这些条件中,选择必需的条件,补充在下面问题中,并解决这个问题.定义在R上的函数f(x),(填写你选定条件的序号),且f(-1)=0. 求不等式f(x-1)>0的解集.解析由题意易知条件①和②只能选择一个,否则可能产生矛盾;条件③和④最好也只选择一个,否则f(x)变成恒等于0的常数函数,失去研究价值.如果选择条件①、③.由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,且f(x)的图象在坐标原点两侧的单调性一致. 且f(1)=-f(-1)=0, 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,当0<x<1或x<-1时,f(x)>0,当x≥1或-1≤x≤0时,f(x)≤0;易知f(x-1)>0⇔0<x-1<1或x-1<-1,即1<x<2或x<0.故不等式f(x-1)>0的解集为x∈(-∞,0)∪(1,2).如果选择条件①、④、⑤.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,注意到f(-1)=0,所以f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(-1)⇔f(|x-1|)>f(|-1|)⇔|x-1|<1⇔0<x<2,但x-1≠0,所以不等式f(x-1)>0的解集为x∈(0,1)∪(1,2).选择其他条件组合的解法类似.如果同时选择条件③、④.易知f(x)=0恒成立,不等式f(x-1)>0的解集为空集.命制说明开放式问题,选择并不唯一,让学生综合运用自己所学知识去探究、发现,合理选择,淘汰不必要的条件,构建一个方便解决的问题.条件③,④中,二选一是常规的(本题不能不选,否则f(1)的值不能确定),①,②也一样,但条件⑤不同,并不是多余条件.选择的条件不同,问题的难度有变化,如选择奇函数,则只需两个条件,但解答相对复杂一点;选择偶函数,则需要选择条件⑤,而解答却更简单.可以考查学生对数学元素的敏感性.20.(2020届山西太原五中9月阶段性检测(理),17)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证: f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)证明:在f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)中,令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x).则f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)是奇函数.(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)知f(x)是奇函数,所以f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),所以k·3x<-3x+9x+2,即32x-(1+k)·3x+2>0对任意x∈R恒成立.令t=3x,则t>0,等价于t2-(1+k)t+2>0,令f(t)=t2-(1+k)t+2,其图象的对称轴为直线x=1+k.2对任意t>0, f(t)>0恒成立.当1+k<0,即k<-1时, f(0)=2>0,符合题意;2当1+k≥0,即k≥-1时,对任意t>0, f(t)>0恒成立满足(1+k)2-4×2<0,解得-1≤k<-1+2√2.2综上所述,当k<-1+2√2时, f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立.。

专题3.3 函数的基本性质（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 函数的单调性增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.【典例1】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例2】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）给定下列函数：①()1f x x=②()f x x =- ③()21f x x =-- ④()()21f x x =-，满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的条件是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④【答案】A 【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >等价于函数()f x 在()0,+∞为减函数，由幂函数的性质可知()1f x x=在()0,+∞为减函数，故①正确；当()0,x ∈+∞时，()f x x x =-=-在()0,+∞为减函数，故②正确；根据一次函数的单调性，函数()21f x x =--在()0,+∞为减函数，故③正确；而函数()()21f x x =-在0,1上递减，在1,上递增，故④错误，则满足条件的有①②③，故选A.【典例3】判断函数2||()(1)x f x x x=-在(0,)+∞上的单调性，并证明你的结论. 【答案】单调递增，证明见解析. 【解析】 函数()()21x f x x x=-在()0,∞+上为增函数，证明如下： 当0x >时，()21f x x =-.任取120x x >>，则()()()()()()2222121212121211f x f x x x x x x x x x -=---=-=-+.120x x >>，120x x ∴->，120x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在()0,∞+上为增函数. 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.热门考点02 函数单调性的应用函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例4】（2018·湖南省衡阳市一中高一期中）已知定义在[0,)+∞上的单调减函数()f x ,若1(21)3f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是( )A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】∵()f x 的定义域为[0,)+∞，∴210a -≥，即12a ≥. ∵()f x 为减函数，且1(21)3f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴1213a -<即23<a . ∴1223a ≤<. 故选:D【典例5】（2019·辽宁省高一期中）若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．32D ．3【答案】BC 【解析】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤.故选：BC【典例6】（2019·四川省高一期末）已知函数()()21f x x ax a R =-+-∈.（1）若函数()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为14-，求a 的值.【答案】（1）23a ≥（2）a =【解析】（1）由题知函数()f x 的对称轴方程为2a x =， ()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，[)21,,2a a ⎡⎫∴-+∞⊆+∞⎪⎢⎣⎭，则212a a -≥，解得23a ≥ ；（2）由（1）知函数()f x 的对称轴方程为2a x =，当122a ≤，即1a ≤时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()f x 最大值为1512244a f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，解得2a =，与1a ≤矛盾； 当1122a <<，即12a <<时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为211244a af ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得a =a =当12a ≥，即2a ≥时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x 最大值为()1124f a =-=-， 解得74a =，与2a ≥矛盾。

专题2函数及其性质一、单选题1．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x =【答案】D【解析】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D.3．（2021·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【解析】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.4．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．5．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B6．（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.7．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.8．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.9．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.二、填空题10．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.11．（2021·全国高考真题）已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：112．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③13．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f xg x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.三、解答题15．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.16．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．第二部分模拟训练一、单选题1．设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．()()f x g x 是偶函数B ．|()|()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数【答案】C【解析】 ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()()(),f x f x g x g x ∴-=--=，对于A ，()()()()f x g x g x g x --=-，故()()f x g x 是奇函数，故A 错误；对于B ，|()|()|()|()|()|()f x g x f x g x f x g x --=-=，故|()|()f x g x 是偶函数，故B 错误；对于C ，()()()()f x g x f x g x --=-，故()()f x g x 是奇函数，故C 正确；对于D ，()()()()f x g x f x g x --=，故()()f x g x 是偶函数，故D 错误.故选：C.2．函数ln e 1x y x =--的图象大致为（）A ．B．C．D．【答案】B 【解析】因为ln e1x y x =--当1≥x 时，()ln 111x y e x x x =--=-+=当01x <<时，()ln 111x y e x x x-=+-=+-所以1,111,01x y x x x≥⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，故排除AC ；当12x =时，113101222y =+-=>，故排除D ；故选：B3．已知二次函数()()22f x ax bx b a =+≤，定义()(){}1max 11f x f t t x =-≤≤≤，()(){}2min 11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b 表示,a b 中的较小者，下列命题正确的是()A ．若()()1111f f -=，则()()11f f ->B ．若()()2211f f -=，则()()11f f ->C ．若()()2111f f =-，则()()1111f f -<D ．若()()211-1f f =，则()()2211f f ->【答案】C 【解析】由于2b a ≤,故二次函数的对称轴[]1,12b x a=-∈-.()(){}()11max |11f f t t f -==-=-,()(){}11max |11f f t t =-≤≤,若此时对称轴为0x =,则有()()111f f =,即()()11f f -=,所以A 选项不正确，()(){}()21min |11f f t t f -==-=-,()(){}21min |11f f t t =-≤≤,在对称轴的位置取得最小值,即对称轴为1x =-,所以()()11f f -<,故B 选项不正确，()(){}21min |11f f t t =-≤≤,()(){}()11max |11f f t t f -==-=-，也即是函数在区间[]1,1-上的最小值,故()()1111f f -<,所以选C .4．若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩分析可得：当0≤x≤1时，f （x ）=12﹣2x 2，有最大值f （0）=12，最小值f （1）=﹣32，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2﹣x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣32＜f （x ）＜12，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x ﹣6），则有﹣12≤f （x ）≤4，则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2x x x x m =-+++，有g′（x ）=﹣2x +x+1=22(1)(2)x x x x x x+--+=，分析可得：在（0，1）上，g′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数，则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值f （1）=32+m ，若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即32+m≤8，解可得m≤132，即m 的取值范围为（﹣∞，132]；故答案为：B 5．已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是（）A ．()21f x x x =++B ．()1f x x x =-C ．()ln 1f x x =+D ．()cos f x x =【答案】A【解析】由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞单调递增，对于A ，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，2()1f x x x =++，对称轴为12x =-，故()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；对于B ，函数()f x 是奇函数，不合题意；对于C ，由10x +=，解得：1x ≠-，定义域不关于原点对称，故函数()f x 不是偶函数，不合题意；对于D ，函数()f x 在(0,)+∞无单调性，不合题意；故选：A6．已知函数()2f x x x a x =-+，若存在(]23a ∈，，使得关于x 的函数()()y f x tf a =-有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（）A ．9584⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．25124⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．918⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．514⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】B【解析】(]2,3a ∈,()()()222,2,x a x x a f x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩,当x a ≥时，因为2222a a a -+<<，则函数在[),a +∞上为增函数，在2,2a a +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为增函数，故函数的图象如图所示：由于关于x 的函数()()y f x tf a =-有三个不同的零点，故()2y tf a at ==与()y f x =的图象有3个不同的交点，故()22,2a at f a f ⎛⎫+⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()221,8a t a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭而()2214488a a a a +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为(]2,3上的增函数，故()()22max2322588324a t a ⎡⎤++<==⎢⨯⎢⎥⎣⎦，所以251,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.二、填空题7．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是____________【答案】13-【解析】因为当0x ≥时()21,01,22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12m x -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）；综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()()20172018f f -+=__________．【答案】e 1-【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数∴()()()()()()()()20172018f 20161f 01f 01f 0e 1f f f f -+=--+=-+=+=-故答案为e 1-9．定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=且(1)1f =，又当12,[1,1]x x ∈-且120x x +≠时，有()()12120f x f x x x +>+.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是__________.【答案】(,2]{0}[2,)-∞-+∞U U 【解析】定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，故函数()f x 为奇函数，设任意的12,,1[]0x x ∈，12x x <，则120x x -≠，由题设有()()()12120f x f x x x +->+-，因为120x x -<，故()()120f x f x +-<即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，故()f x 为[0,1]上的增函数，而()f x 为[1,1]-上奇函数，故()f x 在[1,1]-上为增函数.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，所以2max ()(1)21f x f m am -=≤+，即2211m am -+≥，设2()2g a m am =-，则有()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立，因()g a 在[1,1]-上的图象为线段，故(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，所以222020m m m m ⎧-≥⎨+≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-或0m =.故答案为：(,2]{0}[2,)-∞-+∞U U .二、解答题10．已知函数()|3||2|f x x x =++-.（1）若x R ∀∈，2()6f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求函数()y f x =的图像与直线9y =围成的封闭图形的面积S .【答案】（1）(,1][5,)-∞+∞ ；（2）28.【解析】（Ⅰ）∵()32325f x x x x x =++-≥+-+=，∴256a a ≥-，解得][(),15,a ∈-∞⋃+∞．（Ⅱ）()21,2,32{5,32,12,3,x x f x x x x x x +≥=++-=-<<--≤-当()9f x =时，5x =-或4x =．画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为()1954282S =+⨯=．。

备战2021新高考考点探究二函数的基本性质1. (2021汇编，10分)判断下列各函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论．①f (x )＝2x －12x ； ②f (x )＝xx 2＋1，x ∈(－1，0)．解：①函数f (x )在R 上单调递增．(1分)证明如下：易知函数f (x )的定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1－2x 2＋12x 2＝2x 1－2x 2＋2x 1－2x 22x 12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 12x 2＋12x 12x 2. ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，即2x 1－2x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在R 上单调递增．②函数f (x )在(－1，0)上单调递增．证明如下：任取x 1，x 2∈(－1，0)，设x 1<x 2，则0<x 1x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1（x 21＋1）（x 22＋1）－x 2x 21＋x 2（x 21＋1）（x 22＋1）＝（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－1，0)上单调递增．(10分) 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝4x 2＋1－2xB ．f (x )＝2x －1x ＋2C ．f (x )＝2x 2＋6xD ．f (x )＝1x ＋1－ln(x ＋1) 解析：A 选项，f (x )＝4x 2＋1－2x ＝（4x 2＋1－2x ）（4x 2＋1＋2x ）4x 2＋1＋2x ＝14x 2＋1＋2x.∵在(0，＋∞)内，y ＝4x 2＋1为增函数，y ＝2x 为增函数，且两函数值均为正数，∴y ＝4x 2＋1＋2x 为(0，＋∞)上的增函数，且y >0，∴y ＝14x 2＋1＋2x为(0，＋∞)上的减函数，∴f (x )＝4x 2＋1－2x 在(0，＋∞)上单调递减，故A 不符合题意；B 选项，f (x )＝2x －1x ＋2＝2x ＋4－5x ＋2＝2－5x ＋2，∴f (x )的图像是由反比例函数y ＝－5x 的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的C 选项，f (x )＝2x 2＋6x ＝2x ＋6x .根据对勾函数y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的图像可知其单调增区间为(－∞，－ba]，[ba，＋∞)，单调减区间为[－ba ，0)，⎝⎛⎦⎤0，b a ，∴可得函数f (x )＝2x ＋6x 在(0，3]上单调递减，不符合题意；D 选项，由函数f (x )＝1x ＋1－ln(x ＋1)可知函数的定义域为(－1，＋∞)．∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，∴f (x )＝1x ＋1－ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意．3.(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：令t ＝x 2－2x －8，则g (t )＝ln t ，∵y ＝ln t 为增函数，∴求函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间，只需求得函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间即可．由x 2－2x －8>0得函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域为x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，由二次函数的性质可知，当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8单调递增，∴函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．4.(2021汇编，20分)①已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋a ，x ＞－1，6a x －1，x ≤－1，其中a >0，且a ≠1，若对任意的实数x 1≠x 2，都有x 1－x 2f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B ．(1，2) C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)②若函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在区间(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，＋∞)B ．[－6，＋∞)C ．(－8，－6]D ．[－8，－6]③若在区间(0，m )内任取实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，不等式(x 1ln x 2－x 2ln x 1)(x 1－x 2)＜0均成立，则实数m 的最大值是( ) A ．eB.1eC.12D ．1④若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：①因为对任意的实数x 1≠x 2，都有x 1－x 2f （x 1）－f （x 2）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，所以函数f (x )为单调递增函数，所以a ＞1，且a ≥6a－1，解得a ≥2.故选C.②因为函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在区间(－1，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝3x 2－ax ＋5在区间(－1，＋∞)上是增函数，且y ＞0，所以当x ＝－1时，y ＝8＋a ≥0，且a6≤－1，解得－8≤a ≤－6.故选D.③设x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，所以x 1ln x 2－x 2ln x 1＞0.因为x 1，x 2＞0，所以在不等式x 1ln x 2－x 2ln x 1＞0两边同时除以x 1x 2并移项，得ln x 2x 2＞ln x 1x 1.令f (x )＝ln xx ，则函数f (x )在(0，m )上单调递增，所以在(0，m )上f ′(x )＝1－ln xx2＞0，解得0<x <e.故实数m 的最大值为e.故选A.④易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.故选B.5. (2019山西晋中二模，5分)设f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，且f ⎣⎡⎦⎤f （x ）－1x ＝2，则f (3)的值为( ) A ．2B ．3C.32D.43解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且f ⎣⎡⎦⎤f （x ）－1x ＝2，∴f (x )－1x 是常数．设f (x )－1x＝c ，则 f (x )＝1x ＋c ，∴f (c )＝1c ＋c ＝2，解得c ＝1，∴f (x )＝1x ＋1，∴f (3)＝43.故选D.6.(2019湖北武汉部分示范高中月考，5分)已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．7. (2021汇编，5分)下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是____．①f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)； ②f (x )＝1x ＋1－x 2x 3；③f (x )＝(x －1)1＋x1－x； ④f (x )＝lg 1＋x1－x；⑤f (x )＝x 2－1＋1－x 2； ⑥f (x )＝|ln x |； ⑦f (x )＝x 2－x .解析：①为奇函数，由f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)，得x ＋x 2＋1>0，∴函数f (x )的定义域为x ∈R ，关于原点对称．又f (－x )＋f (x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＋log 2(x ＋x 2＋1)＝log 2(－x ＋x 2＋1)(x ＋x 2＋1)＝log 21＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数．②为奇函数，由f (x )＝1x ＋1－x 2x 3，得1－x 2≥0且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为x ∈[－1，0)∪(0，1]，定义域关于原点对称．易知y ＝1－x 2为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴y ＝1－x 2x 3为奇函数．又易知y ＝1x为奇函数，∴f (x )＝1x ＋1－x 2x 3为奇函数．③为非奇非偶函数，由f (x )＝(x －1)1＋x 1－x ，得1＋x1－x≥0且x ≠1，∴函数f (x )的定义域为x ∈[－1，1)，定义域不关于原点对称，故函数f (x )为非奇非偶函数．④为奇函数，由f (x )＝lg 1＋x 1－x ，得1＋x1－x >0，∴函数f (x )的定义域为x ∈(－1，1)，关于原点对称，f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．⑤由于函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{x |x 2＝1}＝{1，－1}，且f (－x )＝f (x )，函数f (x )为偶函数． ⑥函数的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数． ⑦函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ，∴f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴函数f (x )为非奇非偶函数．8. (2019河南信阳二模，5分)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )解析：设g (x )＝xf (x )，x ∈R .因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，所以函数y ＝xf (x )是偶函数．故选B.9. (2021汇编，15分)①已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1，a ≠0，若f (2020)＝－1，则f (－2020)的值为( )A ．3B ．－1C ．1D ．0②已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝e －x －x ，则f (ln2)＝( ) A ．2＋ln2B ．2－ln2C.12－ln2 D ．－12－ln2③已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝2x ＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3B ．－52C ．3D.52答案：①A ②A ③D解析：①设F (x )＝f (x )－1＝ax 3＋bx ，a ≠0，易知F (x )为奇函数，所以F (－2020)＝－F (2020)，即 f (－2020)－1＝－[f (2020)－1]，所以f (－2020)＝2－f (2020)＝2－(－1)＝3.故选A. ②因为f (x )为偶函数，所以f (ln2)＝f (－ln2)．又当x ＜0时，f (x )＝e －x －x ， 所以f (ln2)＝f (－ln2)＝e ln2－(－ln2)＝2＋ln2.故选A.③由f (x )－g (x )＝2x ＋x 2＋1，得f (－1)－g (－1)＝12＋1＋1＝52.因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝52.故选D.10.对于任意[)3,x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是______.【解析】因为当[)3,x ∈+∞时, 不等式212ax x x a +<-+可化为2211x x a x --<-,所以对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,令221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-,则min ()a f x <,因为2221(1)22()(1)111x x x f x x x x x ----===-----, 任设123x x >≥,则12121222()()(1)(1)11f x f x x x x x -=----+--1212122(1)2(1)()(1)(1)x x x x x x ---=-+--1212122()()(1)(1)x x x x x x -=-+--12122()(1)(1)(1)x x x x =-+--,因为123x x >≥,所以120x x -> ,1220(1)(1)x x >--,所以12()()f x f x >,所以221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-为增函数,所以3x =时,函数()f x 取得最小值,最小值为(3)1f =,所以1a <.11.(2021汇编，20分)①设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )(2019全国Ⅱ)A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1②已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－3x 2＋3x －1，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2－3x ＋1，x <0B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋3x －1，x >0，3x 2＋3x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2＋3x ＋1，x ＜0D ．f (x )＝－3x 2＋3x －1③已知函数f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝1－x ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x <0，1－x ，x ≥0B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x ，x <0，1－x ，x ≥0C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x <0，1－x ，x ≥0D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ，x <0，1－x ，x ≥0 ④若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 答案：①D ②C ③A ④D解析：①设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝e －x －1.f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1.故选D. ②因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－3(－x )2＋(－3x )－1＝－3x 2－3x －1.因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以 f (x )＝－f (－x )＝3x 2＋3x ＋1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2＋3x ＋1，x ＜0.故选C.③设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝1－(－x )＝1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝1＋x ，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ＜0，1－x ，x ≥0.故选A.④由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x .又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝f （x ）＋g （x ）－[f （x ）－g （x ）]2＝12(e x －e －x)．故选D.12. (2021汇编，20分)①若函数f (x )＝x 22x －a ·2－x是R 上的偶函数，则f (a －1)＝( )A ．1B ．－1C ．－1617D.1617②已知定义域为[a －4，2a －2]的奇函数f (x )＝2019x 3－sin x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为( ) A ．0 B ．2C ．－2D ．不能确定③函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在(－∞，b －3]∪[b －1，＋∞)上的奇函数．若f (2)＝3，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．0④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos （x ＋α），x ≥0，sin （x ＋β），x ＜0为偶函数，则α，β可能是( )A ．α＝π，β＝π2B ．α＝β＝π3C ．α＝π3，β＝π6D ．α＝π4，β＝3π4解析：①(法一)因为函数f (x )＝x 22x －a ·2－x 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即（－x ）22－x －a ·2x ＝x 22x －a ·2－x ，整理得(a ＋1)(2x－2－x)＝0.因为上述方程对任意x ∈R 均成立，所以a ＋1＝0，解得a ＝－1，所以f (x )＝x 22x ＋2－x，所以f (a －1)＝f (－2)＝（－2）22－2＋22＝1617.故选D.13. (2019全国Ⅲ，5分)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－32)＞f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－23)＞f (2－32) C ．f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314D ．f (2－23)＞f (2－32)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 解析：∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (log 34)．∵log 34＞log 33＝1， 0＜2－32＜2－23＜20＝1，∴0＜2－32＜2－23＜log 34.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314.故选C. 14.(2019湖北期末，5分)已知奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，a ＝－f (log 23)，b ＝f (log 23)，c ＝f (log 32)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a解析：因为奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在R 上单调递减．又a ＝－f (log 23)＝f (－log 23)，且－log 23＜0＜log 32＜1＜log 23，所以b ＜c ＜a .故选D.15. (2021汇编，25分)①若函数f (x )＝2x －m2x ＋1＋sin x 的定义域为[－1，1]，且是奇函数，则满足f (2x －1)＋f (1－2m )＜0的实数x 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(－1，0] C ．[－1，1)D ．(－2，－1]②偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)＞－1的实数x 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，3)C ．(1，3)D ．(－1，3)③f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，则不等式 f (x ＋1)－f (x ＋2)＞2x ＋3的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)④已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )(2017全国Ⅰ)A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]⑤已知函数f (x )是定义在(－∞，－2)∪(2，＋∞)上的奇函数，当x ＞2时，f (x )＝log 2(x －2)，则 f (x －1)＜0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(3，4) B ．(－∞，－3)∪(2，3) C ．(3，4)D ．(－∞，－2)解析：①由奇函数的性质可知，f (0)＝1－m2＝0，∴m ＝1.∵y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1在[－1，1]上是增函数，y ＝sin x 在[－1，1]上是增函数，∴f (x )＝2x －12x ＋1＋sin x 在[－1，1]上是增函数．∵函数f (x )为奇函数，f (2x －1)＋f (1－2m )<0，∴f (2x －1)<－f (1－2m )＝－f (－1)＝f (1)，∴－1≤2x －1＜1，解得0≤x ＜1.故选A.②由f (2x －4)＞－1，且f (x )是偶函数，f (2)＝－1，得f (|2x －4|)＞f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，∴|2x －4|＜2，即－2＜2x －4＜2，解得1＜x ＜3.∴实数x 的取值范围是(1，3)．故选C. ③根据题意，g (x )＝f (x )＋x 2，则f (x ＋1)－f (x ＋2)＞2x ＋3等价于f (x ＋1)＋(x ＋1)2＞f (x ＋2)＋(x ＋2)2，即g (x ＋1)＞g (x ＋2)．∵f (x )为偶函数，∴g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )．又易知g (x )的定义域为R ，∴函数g (x )为偶函数．又g (x )在(－∞，0]上单调递增，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x ＋1)＞g (x ＋2)等价于|x ＋1|＜|x ＋2|，即(x ＋1)2＜(x ＋2)2，解得x ＞－32，即不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.故选B. ④∵函数f (x )为奇函数，f (1)＝－1，∴f (－1)＝1.又函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f (x －2)≤1，∴f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，∴－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，∴x 的取值范围是[1，3]．故选D. ⑤∵当x ＞2时，f (x )＝log 2(x －2)，∴在区间(2，3)上，f (x )＜0；在区间(3，＋∞)上，f (x )＞0. 又f (x )为奇函数，∴在区间(－∞，－3)上，f (x )＜0；在区间(－3，－2)上，f (x )＞0. 综上可得，f (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(2，3)．若f (x －1)＜0，则必有x －1＜－3或2＜x －1＜3，解得x ＜－2或3＜x ＜4，即f (x －1)＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，4)．故选A.16. (2021改编，6分)已知函数f (x )＝2x －b2x ＋1＋a 是R 上的奇函数，a ，b 是常数．若不等式f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：(－∞，22－1)解：∵f (x )是R 上的奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （－1）＝－f （1），即⎩⎪⎨⎪⎧1－b2＋a＝0，2－1－b 1＋a ＝－2－b 4＋a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴f (x )＝2x－12x ＋1＋2＝12－12x ＋1，∴易得函数f (x )为R 上的增函数．(2分) 根据题意可得f (k ·3x )＜－f (3x －9x －2)＝f (9x －3x ＋2)对任意x ∈R 恒成立，∴k ·3x ＜9x －3x ＋2， 即(3x )2－(k ＋1)·3x ＋2＞0对任意x ∈R 恒成立． 令t ＝3x (t ＞0)，则t 2－(k ＋1)t ＋2＞0对t ＞0恒成立．(3分) 令g (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2，t >0，则g (t )图像的对称轴为直线t ＝k ＋12.当k ＋12≤0，即k ≤－1时，g (t )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (t )＞g (0)＝2＞0成立； 当k ＋12＞0，即k ＞－1时，Δ＝(k ＋1)2－8<0，解得－1＜k ＜22－1. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，22－1)．17. (2019河南南阳校级模拟，12分)已知定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1，1)都有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )．(Ⅰ)求证：函数f (x )是奇函数；(Ⅱ)当x ∈(－1，0)时，有f (x )＜0，试判断f (x )在(－1，1)上的单调性，并用定义证明； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f ⎝⎛⎭⎫14－2x ＜0. (Ⅰ)证明：由题可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－1，1)，关于原点对称．对于f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令y ＝x ＝0，可得2f (0)＝f (0)，从而f (0)＝0；令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )为(－1，1)上的奇函数．(4分) (Ⅱ)函数f (x )在(－1，1)上单调递增．(5分) 证明如下：设－1＜x 1＜x 2≤0，则－1＜x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－1，0]上单调递增．又由于函数f (x )为(－1，1)上的奇函数，所以函数f (x )在[0，1)上单调递增，故函数f (x )在(－1，1)上单调递增．(Ⅲ)根据题意，由f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f ⎝⎛⎭⎫14－2x ＜0，得f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫2x －14，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x －12＜1，－1＜2x －14＜1，x －12＜2x －14，解得－14＜x ＜58，所以原不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－14，58.18.(2021汇编)已知函数f (x )的定义域为R .①当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋x ；当－e≤x ≤e 时，f (－x )＝－f (x )；当x >1时，f (x ＋2)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．ln2－2B ．2－ln2C ．0D ．ln2②若f (x ＋4)＝－f (x )，且当x ∈[－4，0)时，f (x )＝3－x ，则f (985)＝( ) A ．27 B ．－27 C ．9 D ．－9③若函数f (x )为奇函数，且满足f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝3x －1，则f (9)＝( ) A ．－2 B ．2C ．－23D.23④若函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝a x －1(a ＞0且a ≠1), f (2)＝－8，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( ) A ．－10 B ．－12 C ．4 D ．12⑤若函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x －1)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－x ＋1，则f (2019)＝( ) A ．6B ．4C ．2D ．1⑥若函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f （x －1）和f (2－x )＝f (x ＋1)，且当x ∈⎝⎛⎦⎤12，32时，f (x )＝2x ＋2，f (2022)＝( ) A ．0B ．2C ．4D ．5⑦若f (x )满足f (x ＋1)＝－1f （x ），且f (x )为奇函数，当x ∈(2，3)时，f (x )＝4x ，则f (2019.5)＝( )A ．10B ．0C ．－10D ．－20解析：①∵当x >1时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)．∵当－e≤x ≤e 时， f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝－f (－2)．又当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋x ，∴f (－2)＝ln[－(－2)]＋(－2)＝ln2－2，∴f (8)＝f (2)＝－f (－2)＝2－ln2.故选B.②∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，且8是它的一个周期．∵当x ∈[－4，0)时，f (x )＝3－x ，∴f (985)＝f (123×8＋1)＝f (1)＝－f (－3)＝－33＝－27.故选B.③∵f (x －2)＝f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴函数f (x )是周期函数，且4是它的一个周期，又f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝3x －1，∴f (9)＝f (1＋2×4)＝f (1)＝－f (－1)＝－⎝⎛⎭⎫13－1＝23.故选D.④∵f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且8是它的一个周期．∵f (2)＝－8，且当－2≤x ＜0时，f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)， ∴f (－2)＝a －2－1＝8.又a ＞0，∴a ＝13，∴当－2≤x ＜0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －1.∵f (3)＝f (1)＝－f (－1)＝－2, f (4)＝f (0)＝0, f (5)＝－f (1), f (6)＝－f (2), f (7)＝－f (3), f (8)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋0－f (1)－f (2)－f (3)＋0＝0.∵2020＝4＋252×8，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝－2－8－2＋0＝－12.故选B. ⑤由f (x ＋3)＝f (x －1)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．又当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－x ＋1，∴f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝3＋1＝4.故选B. ⑥∵f (x ＋1)＝1f （x －1），∴f (x ＋2)＝1f （x ），∴f (x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f (x )，即函数f (x )是周期函数，且4是它的一个周期，∴f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)．∵f (2－x )＝f (x ＋1)，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (2－1)＝f (1)．∵当x ∈⎝⎛⎦⎤12，32时，f (x )＝2x ＋2， ∴f (1)＝2＋2＝4，∴f (2022)＝f (2)＝f (1)＝4.故选C.⑦∵函数f (x )满足f (x ＋1)＝－1f （x ），∴f (x ＋2)＝－1f （x ＋1）＝f (x )，即函数f (x )是周期函数，且2为它的一个周期，∴f (2019.5)＝f (2022－2.5)＝f (－2.5)．又f (x )为奇函数，∴f (－2.5)＝－f (2.5)＝－4×2.5＝－10，∴f (2019.5)＝－10.故选C.19.(2019吉林模拟，5分)已知f (x )是定义在R 上，以3为周期的偶函数，若f (1)<1, f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为____．解析：∵f (x )是定义在R 上，以3为周期的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∴由f (1)<1, f (5)＝2a －3a ＋1，得f (5)＝2a －3a ＋1＜1，即2a －3a ＋1－1＝a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.∴实数a 的取值范围为(－1，4)．20. (2019江苏四市一模，5分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，当0＜x ≤1时， f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为____．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，∴f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵当0＜x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，∴f (1)＝1－a ＋1＝0，得a ＝2, 故实数a 的值为2.命题点素材与精选1．（2020·全国高三（文））下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是（ ） A ．tan y x = B ．3y x -= C ．cos y x =D ．1()3xy =【答案】B【解析】选项A ：tan y x =在（0,1）上是增函数，故排除；选项B ：3y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且满足()()f x f x -=-，为奇函数，同时3y x -=是幂函数，在（0,1）上的减函数，所以符合题意，选项B 正确；选项C ：根据奇偶性定义，可得到cos y x =是定义域上偶函数，故排除；选项D ：根据奇偶性定义，可得到13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域上偶函数，故排除.2．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x ∈+∞，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【解析】由12x x <时，()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项，2yx 在()0,∞+上为增函数，不符合题意.B 选项，1y x=在()0,∞+上为减函数，符合题意.C 选项，y x =在()0,∞+上为增函数，不符合题意.D 选项，()21f x x =+在()0,∞+上为增函数，不符合题意.故选B.3．（2020·山东师范大学附中高三其他）已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【解析】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.4．（2019·福建龙海二中高三月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f << 【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（2020·贵州毕节�高三其他（理））若函数()1f x +为偶函数，对任意1x ，[)21,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()21120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则有（ ）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】因为函数()1f x +为偶函数，所以()f x 的对称轴为1x =；又对任意1x ，[)21,x ∈+∞且12x x ≠有()()()21120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则()f x 在[)1,+∞上为单调递减函数.因为1152333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2242333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4351323<<<，所以435323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 6．（2020·青海西宁高三一模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0 C ．2x xe e y --=,x ∈R D ．3+1y x =，x ∈R【解析】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.7．（2020·全国高三二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有()()()21210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则( )A ．()()()10.320.32log0.2f f f --<<B ．()()()0.312log 0.220.3f f f --<<C ．()()()10.32log 0.20.32f f f --<< D ．()()()10.320.3log0.22f f f --<<【解析】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有()()()21210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.因为()f x 是偶函数，所以()()222log 0.2(log 0.2)log 5f f f =-=. 因为10.30222100.33,0221,2log 4log 5log 833--=><<==<<=， 函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，所以有()()()10.320.3log 52f f f --<<成立，即()()()10.320.3log 0.22f f f --<<成立.故选：D8．（2020·北京密云�高三月考）已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；②(8)()f x f x += ；③(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【解析】由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由②知，()f x 的周期为8； 由③知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<.故选:D.9．（2019·岳麓湖南师大附中高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数 a b 、都有()()()1f a b f a f b +=+-,且当0x >时()1f x >.若(4)5f =,则不等式2(32)3f x x --<的解集为______.【解析】设12x x >,则120x x ->,12()1f x x ->.所以12122212()()[()]()()10f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-->,即12()()f x f x >,所以()f x 是增函数. 因为(4)5f =,即(2)(2)15f f +-=,所以(2)3f =.所以原不等式化为2224(32)(2)32234013f x x f x x x x x --<⇒--<⇒--<⇒-<<.故不等式的解集是4(1,)3-.10．（2020·全国高三课时练习（理））已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f （1）＝2，当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有1212()()f x f x x x +>+，若()225f x m am ≥--对所有[]1,1x ∈-、[]1,1a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】[]1,1- ．【解析】∵f (x )是定义在[]1,1-上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[]1,1-且120x x ≠＋时，1212()()f x f x x x +>+等价于1212()()0 () f x f x x x -->--， ∴f (x )在[]1,1-上单调递增．∵f （1）＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f （1）＝－2.要使()225f x m am ≥--对所有[]1,1x ∈-、[]1,1a ∈-恒成立，即2225m am -≥--对所有a ∈[－1，1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则()22(1)230?1230g m m g m m ⎧-+-≤⎪⎨--≤⎪⎩＝＝ ， 即3113m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩， ∴11m -≤≤ .∴实数m 的取值范围是[]1,1-．。

2021年（高|考）三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】【名师精讲指南篇】 【（高|考）真题再现】1.【2021⋅新课标全国卷】 假设函数f (x ) =(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称,那么f (x )的最|大值是______. 【答案】16；2.【2021（高|考）全国1卷】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,那么以下结论中正确的选项是 ( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】由函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数,根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ．3.【2021（高|考）全国1卷文】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩那么使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】(,8]-∞【解析】由于题中所给是一个分段函数,那么当1x <时,由12x e-≤,可解得：1ln 2x ≤+,那么此时：1x <;当1x ≥时,由132x ≤,可解得：328x ≤=,那么此时：18x ≤≤,综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞4.【2021全国II 文】函数()32f x ax x =-的图像过点()14,-,那么=a .【答案】2-【解析】由题意知()124f a -=-+=,故2a =-.5.【2021全国I 文】函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-=⎨-+>⎩ ,且()3f a =-,那么(6)f a -=( ). A. 74-B. 54-C. 34-D. 14- 【答案】A【解析】当1a 时,()1223a f a -=-=-,即121a -=-,不成立；当1a >时,()()2log 13f a a =-+=-,即()322log 13log 2a +==, 得18a +=,所以7a =.那么()()()1176671224f a f f ---=-=-=-=-.应选A. 6.【2021全国I 文】设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,那么a = ( ).A.1-B. 1C. 2D. 4 【答案】C7.【2021全国II 理】设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩,那么()()22log 12f f -+=( )．A.3B.6C.9D.12 【答案】C【解析】由题意可得,2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=, 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====,所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.应选C. 8.【2021全国I 理】假设函数()(ln =f x x x 为偶函数,那么=a .【答案】1【解析】由题意可知函数(ln y x =是奇函数,所以(ln x +(ln 0x -=,即 ()22ln ln 0a x x a +-==,解得1a =．9.【2021全国II 理】如下图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边,BC CD 与DA 运动,BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,那么()f x 的图像大致为 ( )．OC424424424424A. B. C. D. 【答案】B当P 点在AD 边上运动时,即3ππ4x 时,2tan 4tan PA PB x x ++.从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线π2x =对称,ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且轨迹非直线型.应选B.【热点深度剖析】（高|考）考查的根本函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数,其中以指数函数和对数函数的性质为命题热点,且常以复合函数或分段函数的形式出现,到达一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题,属中低档题,主要考查利用指数和对数函数的图像与性质比拟对数值大小,求定义域、值域、最|值,对数函数与相应指数函数的关系,函数的奇偶性与单调性,周期性,以及函数零点问题．也应为同学们必须得分的题目.2021年考查了函数的对称性与奇偶性,2021年理科考查了函数的奇偶性,文科一道考查了函数的奇偶性,一道考查了以指数函数与幂函数为背景的分段函数,与解不等式,2021年分别考查了分段函数求值、函数奇偶性、函数图像及对称性,预测2021年（高|考）可能会涉及函数的奇偶性及单调性及函数图像,其中指数函数、对数函数及分段函数依然是考查重点． 【重点知识整合】 1指数式、对数式：mn mna a =1m nmnaa -=,,01a =,log 10a =,log 1a a =,lg 2lg51+=,log ln e x x =,log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>,log a N a N =,log log log c a c b b a=,log log m n a a nb b m=. 2.指数、对数值的大小比拟： (1 )化同底后利用函数的单调性； (2 )作差或作商法； (3 )利用中间量 (0或1 )； (4 )化同指数 (或同真数 )后利用图象比拟. 3.指数函数：(1 )指数函数图象和性质(2 )xy a =(0a >且1a ≠)的图象特征：①1>a 时,图象像一撇,过点()0,1,且在y 轴左侧a 越大,图象越靠近y 轴(如图1)； ②01a <<时,图象像一捺,过点()0,1,且在y 轴左侧a 越小,图象越靠近y 轴(如图2)； ③xy a =与xay -=的图象关于y 轴对称(如图3).④xy a =的图象如图44. 对数函数(1 )对数的图象和性质：(2 ))10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征： ①1>a 时,图象像一撇,过()1,0点,在x 轴上方a 越大越靠近x 轴；②01a <<时,图象像一捺,过()1,0点,在x 轴上方a 越小越靠近x 轴. ③x a y = (1,1a a >≠ )与x y a log =互为反函数,图象关于y x =对称；如图2 ④log (1)a y x a =>的图象3.⑤log (1)a y x a =>的图象4.xx(1 )定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3,21,－1,0,－21,－2时的幂函数.(2 )图象：(只作出第|一象限图象)(3 )性质：(1)当α>0时,幂函数图象都过 (0,0)点和 (1,1)点；且在第|一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时,曲线下凸；α＝1时,为过(0,0)点和(1,1)点的直线 (2)当α<0时,幂函数图象总经过 (1,1) 点,且在第|一象限为减函数．(3)α＝0时y ＝x 0,表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)． 6. 常见复合函数类型y ＝a f (x )(a >0且a ≠1) y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)定义域 t ＝f (x )的定义域 t ＝f (x )>0的解集值域先求t ＝f (x )的值域,再由y ＝a t 的单调性得解先求t 的取值范围,再由y ＝log a t 的单调性得解xy o图21 xy o图11 xy o 图31 xyo 图411.单调性的判断方法：a.利用根本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；b.性质法： (1 )增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数；(2 )函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； (3 )0k >时,函数()f x 与()k f x 的单调性相反 (()0f x ≠ )；0k <时,函数()f x 与()k f x 的单调性相同 (()0f x ≠ ).c.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立,那么函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立,那么函数()f x 在区间D 上单调递减.d.定义法：作差法与作商法 (常用来函数单调性的证明,一般使用作差法 ).【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大小比拟. 2.单调区间的求法： a.利用函数的单调区间来求；b.图象法：对于根本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间.c.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦,可设内层函数为()u g x =,外层函数为()y f u =,可以利用复合函数法来进行求解,遵循 "同增异减〞,即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同,那么函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反,那么函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.d.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间,不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并,在表示的时候一般将各区间用逗号或 "和〞字进行连接. 3. 在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数．4. 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．5. 关于函数周期性常用的结论(1)假设满足()()f x a f x ＋＝－,那么()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝,所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)假设满足1()()f x a f x ＋＝,那么(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ,所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)假设函数满足1()()f x a f x +＝-,同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). (4 )如果)(x f y =是R 上的周期函数,且一个周期为T,那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． (5 )函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． (6 )函数图像关于()()0,,0,b a 中|心对称)(2b a T -=⇒．(7 )函数图像关于a x =轴对称,关于()0,b 中|心对称)(4b a T -=⇒．6．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍．7．指数函数(0,xy a a =>且1)a ≠与对数函数(0,xy a a =>且1)a ≠互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．8．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首|先要熟记指数函数和对数函数的图象． 9.求解与指数函数有关的复合函数问题时,首|先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最|值等问题时,都要借助 "同增异减〞这一性质分析判断,最|终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决． 【考场经验分享】1.（高|考）对函数性质的考查,一般在选择题或填空题的中间,难度中档,应该是得分的题目,在解答此类题目时注意解答选择题的常用方法;验证法和排除法的应用,假设是函数的零点问题,注意数形结合的应用.2. 指数函数(0,x y a a =>且1)a ≠的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意区分1a >与01a <<来研究．3．对可化为20xx ab ac +⋅+=或()200x x a b a c +⋅+≥≤形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后 "新元〞的范围．4．指数式ba N =(0a >且1)a ≠与对数式log a Nb =(0a >且1,0)a N ≠>的关系以及这两种形式的互化是对数运算法那么的关键．5．在运算性质log log n a a M n M = (0a >且1,0)a M ≠>时,要特别注意条件,在无0M >的条件下应为log log n a a M n M = (n N *∈,且n 为偶数)．6.幂函数的图象一定会出现在第|一象限,一定不会出现在第四象限,至|于是否出现在第二、三象限,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最|多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交,那么交点一定是原点．7.函数图像识别题一直是（高|考）热点,解决此类问题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.【名题精选练兵篇】1. 【2021河北定州高三第|一次测试】假设0.23a =,πlog 3b =,3log c =,那么 ( )A ．b c a >>B ． b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】因为0.20331>= ,πππ0log 1log 3log π1,=<<=33log coslog 104<=,所以a b c >>,应选C.2.【2021湖北省荆州高三第|一次质检】以下函数是奇函数的是 ( )．A . x x x f =)(B .x x f lg )(=C . x x x f -+=22)(D .1)(3-=x x f【答案】A【解析】x y lg =的定义域是0>x ,所以不是奇函数,所以B 错,()()x f x f x x =+=--22是偶函数,所以C 错,13-=x y 不过原点,所以是非奇非偶函数,只有A ,满足定义域对称,并且()()x f x f -=-是奇函数.3.【2021襄阳五中 宜昌一中 龙泉中学高三联考】定义在R 上的函数()12-=-mx x f (m R ∈)为偶函数．记()()m f c f b f a 2,log ,log 52431==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,那么c b a ,,的大小关系为 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B4.【2021鹰潭市高三第|一次模拟】假设1)(+=x xx f ,)()(1x f x f =,()[]()*1,2)(N n n x f f x f n n ∈≥=-,那么()()的值为)1()1()1()1()2015(212015321f f f f f f f ++++++( )A ．2021B ．2015C ．4028D ．4030【答案】B 【解析】根据题意有1()()1x f x f x x ==+,21()1()[()]()111xf x x f x f f x x f x x +===+++21x x =+,32()1()[()]22()111xf x x f x f f x x f x x +===+++31x x =+,可以发现111(1)(1)122f f +=+=,221(2)(1)133f f +=+=,331(3)(1)144f f +=+=,以此类推,可知()(1)1n f n f +=,所以结果为2015,应选B.5.【河北冀州高三第二次测试】函数()3sin34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈,()f x '为()f x 的导函数,那么()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--= ( ) A ．8 B ．2014 C ．2021 D ．0 【答案】A6.【江西九江市七校高三第|一次联考】对于函数()f x ,假设存在区间[],A m n =,使得(){},y y f x x A A =∈=,那么称函数()f x 为 "可等域函数〞,区间A 为函数()f x 的一个"可等域区间〞．给出以下4个函数：①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一 "可等域区间〞的 "可等域函数〞为( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④【答案】B【解析】①函数()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的周期是4,由正弦函数的性质得,]1[0A =，为函数的一个 "可等域区间〞,同时当1[]0A =-，时也是函数的一个 "可等域区间〞,∴不满足唯一性． ②当1[]1A =-，时,()[1]1f x ∈-，,满足条件,且由二次函数的图象可知,满足条件的集合只有1[]1A =-，一个．③]1[0A =，为函数()12x f x =-的 "可等域区间〞, 当]1[0x ∈，时,21x f x =-（）,函数单调递增,01101211f f =-==-=（），（）满足条件,m n ∴，取值唯一．故满足条件．7.【2021届江西师大附中、鹰潭一中高三下第|一次联考】)(x f 是定义域,值域都为(0,)+∞的函数, 满足2()()0f x xf x '+>,那么以下不等式正确的选项是 ( ) A ．2016(2016)2015(2015)f f > B ．2016(2016)2015(2015)f f <C. 332015(2015)2016(2016)f f < D.332015(2015)2016(2016)f f > 【答案】C【解析】构造函数0)()(2)(),()(22>'+='=x f x x xf x g x f x x g ,所以)(x g 在),0(+∞单调递增,所以)2016(2016)2015(201522f f <,结合不等式性质. 故C 正确. 8．【2021届江西南昌高三上第四次考试】假设定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数,那么不等式()()2log 1f x f <-的解集是 ( ) A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．RD ．()2,2-【答案】A【解析】依题意可得函数()y f x =在(,0)-∞上递减,由函数为偶函数,可得(1)(1)f f =-,由()()2log 1f x f <-()()2log 1fx f ⇔<-,可得21log1x -<<．即122222log log log x <<,所以122x <<．应选A ． 9．【2021宁夏银川高三上学期统练】定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时,2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时,x x f =)(,那么(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= ( )A ．336B ．355C ．1676D ．2015 【答案】A 【解析】(6)()f x f x +=即函数()f x 的周期为6．那么(1)1,(2)2,(3)(3)1f f f f ===-=-(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0f f f f f f =-==-=-==(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f ∴+++++= (1)(2)(3)(2015)3351(1)(2)(3)(4)(5)336f f f f f f f f f ∴++++=⨯+++++=10.【2021临川一中期末考试 】函数，e x ex a x f ≤≤-=1(,)(2e 为自然对数的底数)与x x g ln 2)(=的图象上存在关于x 轴对称的点,那么实数a 的取值范围是 ( )A ．21[1,2]e + B ．221[2,2]e e+- C ．2[1,2]e - D ．2[2,)e -+∞ 【答案】C11．【2021黑龙江省哈尔滨市六中高三12月月考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-,当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()()2log 1f x x =+,那么()f x 在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内是( )A ．减函数且()0f x <B ．减函数且()0f x >C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x < 【答案】A【解析】因为()()1f x f x +=-,所以对称轴为12x =,又因为()f x 是奇函数,所以()()f x f x -=-所以()()211[(1)](1)()()f x f x f x f x f x f x +=++=-+=-+=--=,即函数周期为2,当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()()2log 1f x x =+,()f x 函数递增且()0f x >,因为函数图象关于12x =对称,所以函数在1,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上递减且()0f x >,又函数是奇函数,所以函数在11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上递减且()0f x <,再根据周期为2,函数()f x 在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内图象和()f x 在11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭内相同,所以()f x 递减且()0f x <,应选A ．12．【2021黑龙江省大庆高三12月月考】分析函数()f x 的性质： ①()f x 的图象是中|心对称图形； ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x = 其中描述正确个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B13.定义符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ,那么以下结论中错误的选项是A ．||)sgn(x x x ⋅=B ．)0(||)sgn(≠=x x xx C ．)sgn()sgn()sgn(y x xy ⋅= D ．)sgn()sgn()sgn(y x y x +=+ 【答案】D【解析】ABC 正确,D 错误,举一个反例,2,1x y ==-,可知sgn(2(1))sgn(1)1+-==,而sgn()sgn()sgn(2)sgn(1)110x y +=+-=-=,选D ；14. 【2021届山东省日照市高三3月模拟考试】函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩那么满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是 ( )A.()(),20,-∞-⋃+∞B.()1,0-C.()2,0-D.(][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】当1a ≤-时,2()22af a -=≥,解得12a ≤-,此时1a ≤-；当1a >-时,()222f a a =+≥,解得0a ≥,此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．应选D ．15. 函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,那么常数a 的取值范围是 ( )A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【答案】C【解析】假设()f x 在(),-∞+∞上是增函数,易判断2y x =在区间[)0,+∞单调递增,函数3232y x a a =+-+ 在(),0-∞单掉递增,所以只需满足2320a a -+≤,解得：12a ≤≤,所以答案为C ．16. 现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2x y x =⋅的图象 (局部 )如下,但顺序被打乱,那么按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②① 【答案】C17.【2021届襄阳五中 、宜昌一中 、龙泉中学高三联考】假设正数,a b 满足2363log 2log log ()a b a b +=+=+,那么11a b+的值为_________．【答案】72【解析】根据题意设2363log 2log log ()a b a b +=+=+k =,所以有322,3,6k k ka b a b --==+=,11a b + 3267223kk k a b ab --+===⋅. 18.【2021鹰潭市高三第|一次模拟】()f x 是定义在D 上的函数,假设存在区间[]m n D ⊆，,使函数()f x 在[]m n ，上的值域恰为[]km kn ，,那么称函数()f x 是k 型函数．给出以下说法：①4()3f x x=-不可能是k 型函数； ②假设函数22()1(0)a a x y a a x +-=≠是1型函数,那么n m -的最|大值为233； ③设函数32()2f x x x x =++(x≤0)是k 型函数,那么k 的最|小值为49． ④假设函数212y x x =-+是3型函数,那么40m n =-=，； 其中正确的说法为 ． (填入所有正确说法的序号 ) 【答案】②④【名师原创测试篇】1. 以下函数中,既是奇函数,又在区间()1,-∞-内是减函数的为( ). A ．x y 2sin = B ．x y 21log =C ．x xy 22-=- D ．13+=x y【答案】C【解析】首|先判断奇偶性：x y 2sin =、x xy 22-=-为奇函数,x y 21log =为偶函数,13+=x y 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除B 、D ；对于x y 2sin =在()1,-∞-有增有减,排除A,应选C.2. 假设()21y f x x =+-是奇函数,且()12f =-,那么()1f - = ． 【答案】4．【解析】因为()21y f x x =+-是奇函数,所以()()1211210f f +-+---=,又()12f =-,所以()14f -=．3. 定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x∈R 都有(2)()f x f x +=-,当(02)x ∈，时,()4x f x =, 那么(2015)f = ．【答案】4- 【解析】∵(2)()()f x f x f x +=-=-(4)(+2)=()f x f x f x ∴+=-∴(2015)(1)(1)4f f f =-=-=-. 4. 以下函数图像中,函数()()cos sin f x x =大致图像是 ( )A B C D 【答案】C5. 设函数()f x 的定义域为D ,假设函数()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使得()f x 在区间[],a b 上的值域为,a bn n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()*n N ∈,那么称()f x 为 "n 倍缩函数〞,假设函数()()3log 3x f x t =+为 "3倍缩函数〞,那么t 的取值范围为( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23⎛⎝⎦ C.3⎛ ⎝⎦D.()0,1 【答案】B【解析】因为函数()f x 在其定义域内为增函数,所以()f x 为 "3倍缩函数〞,即函数()f x 的图像与13y x =6. 函数()y f x =是定义域为R ,且(1)f x -关于1x =对称. 当0x ≥时,5tan() (01)44()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ,假设关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=(a R ∈ ),有且仅有6个不同实数根,那么实数a 的取值范围是 ( )A ．5014a a <<=或 B.5014a a ≤≤=或 C ．5014a a <≤=或 D.514a <≤或0a =【答案】C【解析】作出5tan() (01)44()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象如下,又∵函数(1)f x -关于1x =对称,所以函数y =f (x )是定义域为R 的偶函数,且关于x 的方程。

2021年高考数学一轮复习专题二函数的概念及其基本性质苏教版【解析】∵，∴∴．【答案】．【技巧点拨】（1）求类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．专题热点集训1 函数的概念及其表示（时间：10分钟）1．（xx·江西卷）函数的定义域为．2．（常州市·xx届一模）函数的定义域为．3．（苏州市·xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．4．（泰州市·xx届一模）函数的定义域为．5．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．6．（xx·浙江卷）设函数，若，则＝_________．参考答案与解析1．【答案】∵∴或，故．2．【答案】．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．【解析】由题可得y=f（x－1）=|2x－1－2|，x∈（0，3），结合对应的图象可知当x=2时，取得最小值为0，而f（3）=|23－1－2|=2，故对应函数的值域为[0，2）．【易错警示】注意函数图象的数形结合应用，这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义，同时涉及给定的区间，以及函数在取得最值时的条件等，否则容易出错．6．【答案】设，则．若，则，此时不成立．若，由得，，即，解得或，即或．若，则，此时不成立．或，即，解得．若，由得，，此时无解．由得，，此时无解，综上：，故为：．◇考点2 函数的单调性、奇偶性、周期性【基础知识梳理】1．函数单调性的证明方法：(1)定义法：设，那么上是增函数；上是减函数.步骤：①. 格式：解：设且，则：=…(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若②，则为增函数；若③，则为减函数.2．函数的奇偶性(1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有④，那么就称函数为⑤.偶函数图象关于轴对称.（2）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有⑥，那么就称函数为⑦.奇函数图象关于原点对称.3．函数的周期性周期函数的最小周期必须满足下列两个条件：(1)当取定义域内的每一个值时，都有；（2）是不为零的最小正数．【参考答案】①取值—作差—变形—定号—判断；②；③；④；⑤偶函数；⑥；⑦奇函数．【核心考点讲练】题型一：函数的单调性【典例1】（1）（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．（2）(xx·郑州模拟)函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.【答案】6.【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴1(=11216 1114()313f aaa a bbf bb⎧=⎧⎪=⎧⎪⎪-⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨==⎩⎪⎪=⎩⎪-⎩）.【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型二：函数的奇偶性【典例2】（xx·新课标全国卷Ⅰ）设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【解析】设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C．【答案】C．【技巧点拔】（1）判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数是非奇非偶函数．若对称，再进一步判断是否满足或．“函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件．（2）若函数是奇（偶）函数，则对定义域内的每一个，均有（）,而不能说存在使（）．题型三：函数的周期性【典例3】（xx·安徽文）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式，则【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可由题易知2941373735sin 46464616616f f f f f fπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=--=-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】．【技巧点拔】充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简，注意代入分段函数计算的准确性．专题热点集训2 函数的单调性、奇偶性、周期性（时间：10分钟）1．（xx·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是_____．2．（xx·福建卷）已知函数则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为3．（泰州市xx届一模）已知函数是奇函数，则．4．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．5．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．6．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．7．（xx·安徽卷）设函数满足当时，，则．8．（xx·四川卷）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则．参考答案与解析1．【答案】∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解之：．2．【答案】由解析式可知当时，为周期函数，当时，，为二次函数的一部分，故不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为值域为，故函数的值域为，故正确．故选D．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．6．【答案】．7．【答案】2317171111155sin sin sin 66666266 f f f fπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．8．【答案】∵是定义在上的周期为2的函数∴，故答案为：1．xx届江苏省高三一、二、三模数学试题1．（常州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．2．（泰州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．3．（苏锡常镇市xx届调研一）函数的定义域为．【答案】【命题立意】本题考查了函数定义域.【解析】依题意得，，解得.4．（泰州市xx届二模）已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为．【答案】．【命题立意】本题考查了函数的定义域，值域，恒成立的问题．【解析】问题可以转化为对于定义域为，恒成立，且值域为，故，解得a=1．5．（苏州市xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．【答案】．6.（徐州、连云港、宿迁市xx届三模）设函数，则的值为 .【答案】－2【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数值的求解．【解析】由于f（－1）=4－1=，故f（f（－1））=f（）=log2=－2．7．（扬州市xx届一模）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿＿【答案】（－∞，－1]∪[2，+∞）．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域．【解析】由于f（x）的值域为R，则知22+a≤2+a2，整理有a2－a－2≥0，解得a≤－1或a ≥2．8．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．【答案】9．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．【答案】．10．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．【答案】．11．（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．12．（南京市、盐城市xx届二模）已知知函数，，则不等式的解集是．【答案】(1，2)【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式．【解析】由，当x<0时为增函数，∴，解得1＜x＜2．13．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知函数，则不等式的解集为______．【答案】．【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式，不等式的解法．【解析】当x≥0时，f（f（x））=f（－x2）=（－x2）2+2（－x2）=x4－2x2≤3，解得0≤x≤；当－2<x<0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，解得－2<x<0；当x≤－2时，f（f（x））=f（x2+2x）=－（x2+2x）2≤3，解得x≤－2；综上所述可得x≤．【举一反三】涉及分段函数的问题，其处理的原理就是进行分类讨论，这也是解决问题的关键．14．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，函数的解析式以及函数最值之间的关系．【解析】由于f （x ）是定义在[－2，2]上的奇函数，则有f （0）=0，而当x ∈（0，2]时，f （x ）=2x－1∈（0，3]，则当x ∈[－2，2]时，f （x ）∈[－3，3]，若对于，，使得，则等价于g （x ）max ≥3且g （x ）min ≤－3，而g （x ）=x 2－2x+m=（x －1）2+m －1，x ∈[－2，2]，则有g （x ）max =g （－2）=8+m 且g （x ）min =g （1）=m －1，则满足8+m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2．15．（泰州市xx 届一模）已知函数是奇函数，则 ．【答案】．16．（泰州市xx 届二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．【答案】【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题 【解析】根据题意可得：()()()()()()2222()(2)2x x a x a f x x x a x a x x a ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，∴,函数在区间上单调递增等价于在区间上成立，当时，要满足在区间上成立，即是要保证在区间上成立，令，等价于，解得，同理，当时，在区间上成立，等价于，解得，综上：实数的取值范围是．17．（南京市xx 届三模）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ．【答案】(0，1)∪{2}【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质，分类讨论．【解析】由于f （x ）＝x 2－2x ＋a =（x －1）2+a －1，而f （0）=a ，f （x ）min =f （1）=a －1，由a +（a －1）=0可得a =12，当0<a <12时，此时a －1<－a ，那么t 的最大值g （a ）<1，即0<g （a ）<1；当a ≥12时，此时a －1≥－a ，那么t 的最大值g （a ）=2；综合可知函数g (a )的值域为（0，1）∪{2}．江苏五年高考真题1．（xx·江苏）设函数f(x)=x(e x+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______．【答案】－1．【解析】由偶函数f(-x)=f(x) x(e x+ae-x)=－x(e-x+ae x) x(e x+e-x)(1+a)=0 a=－1．2．（xx·江苏）已知函数,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是_______．【答案】(－1,2－1)．【解析】设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1 f(1－x2)= f(2x)；当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)；当－1x<0时，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x) (x －1)；当0x1时，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x) (1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<2－1综上，x(－1,2－1)．3．（2011·江苏）2、函数的单调增区间是__________．【答案】．4．（2011·江苏）11、已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】．【解析】考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。