江苏省泰州中学2018届高三10月月考数学(理)试题含答案

江苏省泰州中学2018届高三数学10月月考试题 文一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.若集合}3,2,0{},2,1,0,1{=-=Q P ，则=⋂Q P ．2.若5)21)((=-+i bi a （i R b a ,,∈为虚数单位），则b a +的值为 ．3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有300,400,150,150名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ．4.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5.记函数234)(x x x f --=的定义域为D .若在区间]5,5[-上随机取一个数x ，则D x ∈的概率为 ．6.已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l .若21l l ⊥，则实数a 的值是 ．7.已知向量)1,3(),3,1(-==→→PB AP ，则→AP 和→PB 的夹角等于 ． 8.已知函数2)(23++-=mx x x x f ，若对任意R x x ∈21,，均满足0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则实数m 的取值范围是 ．9.将函数x x f 2sin )(=的图象沿x 轴向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若函数)(x g 的图象关于y 轴对称，则当ϕ取最小的值时，=)0(g ．10.如图，在梯形ABCD 中，→→====MD AM CD AD AB CD AB 2,2,3,4,//.若3-=⋅→→BM AC ，则=⋅→→DC AD ．11.已知动圆C 与直线02=++y x 相切于点)2,0(-A ，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ． 12.已知R y x ∈,，且||||,222y x y x ≠=+，则22)(1)(1y x y x -++的最小值是 ． 13.若函数32)(2+-=x ae x f x （a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．14.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ABC ∆为锐角三角形，且满足ac a b =-22，则B BA sin tan 1tan 1+-的取值范围是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在ABC ∆中，32,1π=∠==BAC AC AB . （1）求→→⋅BC AB 的值；（2）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且→→→+=AC y AB x AP ，其中R y x ∈,.求xy 的取值范围.16. 已知函数|2|)2()(-+=x x x f .（1）若不等式a x f ≤)(在]1,3[-上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解不等式x x f 3)(>.17. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，54cos =B . （1）若a c 2=，求CBsin sin 的值； （2）若4π=-B C ，求A sin 的值.18. 如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中AC AB 3=. （1）若2=BC ，求ABC ∆的面积的最大值；（2）若ABC ∆的面积为1，问θ=∠BAC 为何值时BC 取得最小值.19. 已知圆4:22=+y x O 与坐标轴交于2121B B A A 、、、（如图）.（1）点Q 是圆O 上除21A A 、外的任意点（如图1），Q A Q A 21、与直线03=+y 交于不同的两点N M ,，求MN 的最小值；（2）点P 是圆O 上除2121B B A A 、、、外的任意点（如图2），直线P B 2交x 轴于点F ，直线21B A 交P A 2于点E .设P A 2的斜率为EF k ,的斜率为m ，求证：k m -2为定值.20.已知函数2)(--=ax e x f x，其中a 为常数. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若2-=ex y 是2)(--=ax e x f x的一条切线，求a 的值；（3）已知k a ,1=为整数，若对任意),0(+∞∈x ，都有01)()(>+'-x x f k x 恒成立，求k 的最大值.试卷答案一、填空题1. }2,0{2. 33. 164. 95. 216. 0或3-7.4π 8. ),31[+∞ 9. 1- 10.2311. 10 12. 1 13. )1,0(e 14. )637,2( 三、解答题15.（1）)(→→→→→-⋅=⋅AB AC AB BC AB 23121||2-=--=-⋅=→→→AB AC AB . （2）建立如图所示的平面直角坐标，则)23,21(),0,1(-C B . 设]32,0[),sin ,(cos πθθθ∈P ， 由→→→+=AC y AB x AP ， 得)23,21()0,1()sin ,(cos -+=y x θθ. 所以y y x 23sin ,2cos =-=θθ. 所以θθθsin 332,sin 33cos =+=y x . 31)62sin(32312sin 33sin 32cos sin 3322+-=+=+=πθθθθθxy . 因为]67,6[62],32,0[πππθπθ-∈-∈， 所以，当262ππθ=-时，即3πθ=时，xy 的最大值为1；当662ππθ-=-或6762ππθ=-即0=θ或32πθ=时，xy 的最小值为0.16.解：（1）当]1,3[-∈x 时，4)2)(2(|2|)2()(2+-=-+=-+=x x x x x x f .90,132≤≤∴≤≤-x x .于是4452≤+-≤-x ，即函数)(x f 在]1,3[-上的最大值等于4.∴要使不等式a x f ≤)(在]1,3[-上恒成立，实数a 的取值范围是),4[+∞.（2）不等式x x f 3)(>，即03|2|)2(>--+x x x .当2≥x 时，原不等式等价于0342>--x x ，解得4>x 或1-<x .又4,2>∴≥x x .当2<x 时，原不等式等价于0342>--x x ，即0432<-+x x ，解得14<<-x ，满足2<x .综上可知，原不等式的解集为4|{>x x 或}14<<-x .17.解：（1）解法1：在ABC ∆中，因为54cos =B ，所以542222=-+ac b c a . 因为a c 2=，所以5422)2(222=⨯-+c c b c c，即20922=c b ，所以1053=c b . 又由正弦定理得c b C B =sin sin ，所以1053sin sin =C B . 解法2：因为),0(,54cos π∈=B B ，所以53cos 1sin 2=-=B B . 因为a c 2=，由正弦定理得A C sin 2sin =， 所以C C C B C sin 58cos 56)sin(2sin +=+=，即C C cos 2sin =-. 又因为0sin ,1cos sin 22>=+C C C ，解得552sin =C ，所以1053sin sin =C B .（2）因为54cos =B ，所以2571cos 22cos 2=-=B B .又π<<B 0，所以53cos 1sin 2=-=B B ，所以252454532cos sin 22sin =⨯⨯==B B B . 因为4π=-B C ，即4π+=B C ，所以B C B A 243)(-=+-=ππ， 所以502312524)22(257222sin 43cos 2cos 43sin )243sin(sin =⨯--⨯=-=-=B B B A πππ. 18.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则)0,1(),0,1(C B -， 设),(y x A ，由AC AB 3=得，])1[(3)1(2222y x y x +-=++化简得3)2(22=+-y x .所以A 点的轨迹为以)0,2(为圆心，3为半径的圆.（除去与x 轴的交点） 所以3322121max =⋅⋅=⋅=d BC S . （2）设b AC a BC c AB ===,,，由AC AB 3=得b c 3=.θθsin 332332sin ,sin 321sin 21222=∴=∴⋅==b b A b A bc S θθθsin cos 4sin 338cos 324cos 222222-=-=-+=A b b A bc c b a令),0(,sin cos 4sin 338)(πθθθθθ∈-=fθθθθθθ222sin 312cos 38sin 4sin 3cos 38)(+-=+-='f令0)(='θf 得6,23cos πθθ== 列表：略)(θf ∴在)6,0(π上单调递减，在),6(ππ上单调递增，答：当6πθ=时，)(θf 有最小值，即BC 最小.19.解：（1）由题设可以得到直线Q A 2的方程为)2(-=x k y ，直线Q A 1的方程为0),2(1≠+-=k x ky由⎩⎨⎧=++=03)2(y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=332y k x ；由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=03)2(1y x k y ，解得⎩⎨⎧-=-=323y k x . 所以，直线Q A 2与直线03=+y 的交点)3,32(--kM ， 直线Q A 1与直线03=+y 的交点)3,23(--k N ，所以|433|-+=kk MN . 当0>k 时，246|433|=-≥-+=k k MN ，等号成立的条件是1=k . 当0<k 时，10|)6(4||433|=--≥-+=kk MN ，等号成立的条件是1-=k .故线段MN 长的最小值是2.（2）由题意可知)2,0(),2,0(),0,2(),0,2(2121B B A A --，P A 2的斜率为∴,k 直线P A 2的方程为)2(-=x k y ，由⎩⎨⎧=+-=4)2(22y x x k y ，得)14,122(222+-+-k kk k P ， 则直线P B 2的方程为211+-+-=x k k y ，令0=y ，则1)1(2+-=k k x ，即)0,1)1(2(+-k k F ， 直线21B A 的方程为02=+-y x ，由⎩⎨⎧-==+-)2(02x k y y x ，解得)14,122(,14122--+∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=k k k k E k k y k k x ， EF ∴的斜率12122,211)1(212214=-+⋅=-∴+=+---+-=k k k m k k k k k k km （定值）.20.解：（1）函数)(x f 的定义域为a e x f x-='+∞-∞)(),,(.若0≤a 时，则0)(>'x f ，所以)(x f 在),(+∞-∞上单调递增；若0>a 时，则当)ln ,(a x -∞∈时，0)(<'x f ，当),(ln +∞∈a x 时，0)(>'x f ， 所以)(x f 在)ln ,(a -∞上递减，在),(ln +∞a 上递增. （2）设切点为),(00y x 则：⎪⎩⎪⎨⎧--=-==-22000000ax e y ex y e a e x x ，解得0,20100=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===a e y a x .（3）当1=a 时，对任意),0(+∞∈x ，都有01)()(>++'-x x f k x 恒成立等价于x e x k x +-+<11对0>x 恒成立.令)0(11)(>+-+=x x e x x g x ，则2)1()2()(-+-='x x x e x e e x g ， 由（1）知，当1=a 时，2)(--=x e x f x 在),0(+∞上递增.因为0)2(,0)(><f x f ，所以2)(--=x e x f x 在),0(+∞上存在唯一零点， 所以)(x g '在),0(+∞上也存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x . 因为当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ， 所以)(x g 在),0(+∞上的最小值为00011)(0x e x x g x +-+=，所以00110x e x k x +-+< 又因为02)(000=--='x e x g x，所以200+=x ex ，所以10+<x k .又因为k 为整数且3120<+<x ，所以k 的最大值是2.。

江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。

江苏省泰州中学2018届高三数学10月月考试题 理一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.若集合}2,1,0{},1,0,1{=-=B A ，则=⋃B A ． 2.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为 ． 3.已知角α的终边过点)30sin 6,8(ο--m P ，且54cos -=α，则m 的值为 ． 4.函数822+--=x x y 的定义域为A ，值域为B ，则=⋂B A ．5.设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,21),2(log 1)(12x x x x f x ，则=+-)12(log )2(2f f ． 6.若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 7.已知41)6sin(=+πx ，则=-+-)3cos()65sin(ππx x ． 8.已知直线a y =与函数xx f 3)(=及xx g 32)(⋅=的图象分别交于B A ,两点，则线段AB 的长度为 ． 9.函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值为 ．10.设函数)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是 ．11.若)2sin(3sin βαβ-=，则=+-tan )tan(2βα ．12.已知函数1)(3++=x x x f ，若对任意的x ，都有2)()(2>++ax f a x f ，则实数a 的取值范围是 ．13.设二次函数c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,为常数）的导函数为)(x f '，对任意R x ∈，不等式)()(x f x f '≥恒成立，则222c a b +的最大值为 ．14.设函数a ax x e x f x+--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x 使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知命题:p 函数xa y )1(-=在R 上单调递增；命题:q 不等式1|3|>-+a x x 的解集为R ，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围.16. 已知函数3)3cos(sin 4)(++=πx x x f .（1）将)(x f 化简为)sin()(ϕω+=x A x f 的形式，并求)(x f 最小正周期； （2）求)(x f 在区间]6,4[ππ-上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 17. 已知二次函数32)(2--=x mx x f ，关于实数x 的不等式0)(≤x f 的解集为],1[n -. （1）当0>a 时，解关于x 的不等式：ax x m n ax 2)1(12++>++； （2）是否存在实数)1,0(∈a ，使得关于x 的函数])2,1[(3)(1∈-=+x aa f y x x的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由.18. 已知)(x f 为R 上的偶函数，当0≥x 时，)2ln()(+=x x f . （1）当0<x 时，求)(x f 的解析式；（2）当R m ∈时，试比较)1(-m f 与)3(m f -的大小；（3）求最小的整数)2(-≥m m ，使得存在实数t ，对任意的]10,[m x ∈，都有|3|ln 2)(+≤+x t x f .19. 如图，摩天轮的半径OA 为m 50，它的最低点A 距地面的高度忽略不计.地上有一长度为m 240的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且m AM 60=.点P 从最低点A 处逆时针方向转动到最高点B 处，记),0(,πθθ∈=∠AOP . （1）当32πθ=时，求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定θ的值，使得MPN ∠取得最大值.20.已知函数R m m x x g e x f x∈-==,)(,)(.（1）若曲线)(x f y =与直线)(x g y =相切，求实数m 的值； （2）记)()()(x g x f x h ⋅=，求)(x h 在]1,0[上的最大值； （3）当0=m 时，试比较)2(-x f e 与)(x g 的大小.附加题 21.B.（本题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点)5,(x P 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321M 对应的变换下得到点),2(y y Q -，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x M 1.C. （本题满分10分，坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4:y x C （θ为参数，R ∈θ），直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y tx l 223223:（t 为参数，R t ∈），求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值. 22.（本题满分10分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点6,5,==AC AB O ，点F E ,分别在CD AD ,上，EF CF AE ,45==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10='D O . （1）证明：⊥'H D 平面ABCD ； （2）求二面角C A D B -'-的正弦值.23.设集合B A n N n n S ,),2,}(,...,3,2,1{*≥∈=是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对),(B A 的个数为n P . （1）求32,P P 的值； （2）求n P 的表达式.试卷答案一、填空题1. }2,1,0,1{-2.若b a ≤，则122-≤b a3.214. ]2,0[5.96. ),2(+∞7. 218. 3log 29. 41-10. )1,0()1,(⋃--∞ 11. 0 12. )4,0( 13. 222- 14. ]1,23[e三、解答题15.解：若p 真，则211>⇒>-a a ，q 真1|3|>-+⇔a x x 恒成立，设|3|)(a x x x h -+=，则1)(min >x h ⎩⎨⎧<≥-=ax a a x a x x h 3,3,32)(Θ，易知13,3)(min >∴=a a x h ，即31>a ， q p ∨Θ为真，q p ∧为假q p ,∴一真一假， （1）若p 真q 假，则2>a 且31≤a ，矛盾， （2）若p 假q 真，则2≤a 且23131≤<⇒>a a ，综上可知，a 的取值范围是]2,31(.16.解：（1）3sin 32cos sin 23)3sin sin 3cos(cos sin 4)(2+-=+-=x x x x x x x f ππ)32sin(22cos 32sin π+=+=x x x 所以ππ==22T . （2）因为64ππ≤≤-x ，所以32326πππ≤+≤-x 所以1)32sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，当632ππ-=+x ，即4π-=x 时，1)(min -=x f ，当232ππ=+x ，即12π=x 时，2)(min =x f .17.解：（1）由不等式0322≤--x mx 的解集为],1[n -知关于x 的方程0322=--x mx 的两根为1-和n ，且0>m ，由根与系数关系，得⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=+-313121n m m n m n ， 所以原不等式化为0)2)(2(>--ax x ，①当10<<a 时，原不等式化为0)2)(2(>--a x x ，且a 22<，解得ax 2>或2<x ； ②当1=a 时，原不等式化为0)2(2>-x ，解得R x ∈且2≠x ； ③当1>a 时，原不等式化为0)2)(2(>--a x x ，且a 22>，解得ax 2<或2>x ； 综上所述当10≤<a 时，原不等式的解集为ax x 2|{>或}2<x ； 当20<<a 时，原不等式的解集为2|{>x x 或}2ax <.（2）假设存在满足条件的实数a由（1）得：32)(2--=x x x f3)23(3)(21-+-=-=+x x x x a a a a a f y令)(2a t a t a x≤≤=则)(3)23(22a t a t a t y ≤≤-+-= 对称抽为223+=a t 因为)1,0(∈a ，所以252231,12<+<<<a a a 所以函数3)23(2-+-=t a t y 在],[2a a 单调递减 所以当a t =时，y 的最小值为53222-=---=a a y解得215-=a 18.解：（1）当0<x 时，)2ln()()(+-=-=x x f x f ；（2）当0≥x 时，)2ln()(+=x x f 单调递增，而)(x f 是偶函数，所以)(x f 在)0,(-∞上单调递减，所以2)3()1(|3||1|)3()1(22>⇔->-⇔->-⇔->-m m m m m m f m f 所以当2>m 时，)3()1(m f m f ->-； 当2=m 时，)3()1(m f m f -=-； 当2<m 时，)3()1(m f m f -<-；（3）当R x ∈时，)2|ln(|)(+=x x f ，则由|3|ln 2)(+≤+x t x f ，得2)3ln()2|ln(|+≤++x t x ，即2)3(2||+≤++x t x 对]10,[m x ∈恒成立从而有⎩⎨⎧---≥++≤777522x x t x x t 对]10,[m x ∈恒成立，因为2-≥m ， 所以⎩⎨⎧---=---≥++=++≤77)77(75)75(2min 22min 2m m x x t m m x x t 因为存在这样的t ，所以757722++≤---m m m m ，即0762≥++m m 又2-≥m ，所以适合题意的最小整数1-=m . 19.解：（1）由题意，得θcos 5050-=PQ .从而，当32πθ=时，7532cos 5050=-=πPQ . 即点P 距地面的高度为m 75.（2）由题意，得θsin 50=AQ ，从而θθsin 50300,sin 5060-=-=NQ MQ . 又θcos 5050-=PQ ，所以θθθθcos 55sin 56tan ,cos 1sin 6tan --==∠--==∠PQ MQ MPQ PQ NQ NPQ . 从而θθθcos 5sin 1823)cos 1(12tan tan 1tan tan )tan(tan ---=∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠MPQ NPQ MPQ NPQ MPQ NPQ MPN令),0(,cos 5sin 1823)cos 1(12)(πθθθθθ∈---=g ，则),0(,)cos 5sin 1823()1cos (sin 1812)(2πθθθθθθ∈---+⨯='g .由0)(='θg ，得01cos sin =-+θθ，解得2πθ=.当)2,0(πθ∈时，)(,0)(θθg g >'为增函数；当),2(ππθ∈时，)(,0)(θθg g <'为减函数， 所以，当2πθ=时，)(θg 有极大值，也为最大值.因为20π<∠<∠<NPQ MPQ ，所以20π<∠<MPN .从而当MPN g ∠=tan )(θ取得最大值时，MPN ∠取得最大值. 即2πθ=时，MPN ∠取得最大值.20.解：（1）设曲线xe xf =)(与m x xg -=)(相切于点),(00y x P ， 由xe xf =')(，知10=x e，解得00=x ，又可求得点P 为)1,0(，所以代入m x x g -=)(，得1-=m .（2）因为xe m x x h )()(-=，所以]1,0[,))1(()()(∈--=-+='x e m x e m x e x h xxx. ①当01≤-m ，即1≤m 时，0)(≥'x h ，此时)(x h 在]1,0[上单调递增， 所以e m h x h )1()1()(max -==；②当110<-<m 即21<<m ，当)1,0(-∈m x 时，)(,0)(x h x h <'单调递减， 当)1,1(-∈m x 时，)(,0)(x h x h >'单调递增，e m h m h )1()1(,)0(-=-=.（i ）当e m m )1(-≥-，即21<≤-m e e时，m h x h -==)0()(max ； （ii ）当e m m )1(-<-，即11-<<e em 时，e m h x h )1()1()(max -==；③当11≥-m ，即2≥m 时，0)(≤'x h ，此时)(x h 在]1,0[上单调递减， 所以m h x h -==)0()(min . 综上，当1-<e em 时，e m x h )1()(max -=；当1-≥e em 时，m x h -=max )(. （3）当0=m 时，x x g e e x e x f ==--)(,2)2(， ①当0≤x 时，显然)()2(x g ex f >-；②当0>x 时，x x g e e e x e x f x ln )(ln ,ln ln 2)2(2===---，记函数x e ex ex xx ln 1ln )(22-⨯=-=-ϕ， 则xe x e e x x x 111)(22-=-⨯='-ϕ，可知)(x ϕ'在),0(+∞上单调递增，又由0)2(,0)1(>'<'ϕϕ知，)(x ϕ'在),0(+∞上有唯一实根0x ，且210<<x ，则01)(0200=-='-x e x x ϕ，即0210x e x =-（*），当),0(0x x ∈时，)(,0)(x x ϕϕ<'单调递减；当),(0+∞∈x x 时，)(,0)(x x ϕϕ>'单调递增， 所以020ln )()(0x e x x x -=≥-ϕϕ，结合（*）式0210x ex =-，知00ln 2x x -=-， 所以0)1(1221)()(0200020000>-=+-=-+=≥x x x x x x x x x ϕϕ，则0ln )(2>-=-x e x x ϕ，即x e x ln 2>-，所以x e x e >-2.综上，)()2(x g ex f >-.（说明：若找出两个函数)2(-=x f e y 与)(x g y =图象的一条分隔线，如1-=x y ，然后去证1)2(-≥-x e x f 与)(1x g x ≥-，且取等号的条件不一致，同样给分）21.B.依题意，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x 254321，即⎩⎨⎧=+-=+y x y x 203210，解得⎩⎨⎧=-=84y x ， 由逆矩阵公式知，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321M 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2123121M ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1016842123121y x M .C.将直线l 的参数方程化为普通方程为06=--y x .因为点P 在曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4:y x C 上，所以可设)sin 3,cos 4(θθP .因为点P 到直线l 距离2|6)cos(5|2|6sin 3cos 4|-+--=ϕθθθd ，其中ϕϕ,43tan =是锐角，所以当1)cos(=+ϕθ时，22min =d ，所以点P 到直线l 的距离最小值为22. 22.解：（1）由已知得CD AD BD AC =⊥,，又由CF AE =得CDCEAD AE =，故EF AC //. 因此HD EF ⊥，从而H D EF '⊥.由6,5==AC AB 得422=-==AO AB BO DO .由AC EF //得41==AD AE DO OH .所以3,1=='=DH H D OH . 于是222221013,1O D OH H D OH '==+=+'=， 故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥'，而H EF OH =⋂， 所以⊥'H D 平面ABCD .（2）如图，以H 为坐标原点，→HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz H -，则),0,0,0(H ),0,2,3(--A)3,1,3(),0,0,6(),0,4,3(),3,0,0(),0,1,3(),0,5,0(='=-='--→→→D A AC AB D C B .设),,(111z y x m =ρ是平面D AB '的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅→→0D A m AB m ρρ，即⎩⎨⎧=++=-03304311111z y x y x ，所以可以取)5,3,4(-=m ρ.设),,(222z y x n =ρ是平面ACD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅→→0D A n AC n ρρ，即⎩⎨⎧=++=033062222z y x x ，所以可以取)1,3,0(-=n ρ.于是25952,sin ,2557105014||||,cos >=<⨯-=⋅⋅>=<n m n m n m n m ρρρρρρρρ.因此二面角C A D B -'-的正弦值是25952.23.解：（1）当2=n 时，即}2,1{=S ，此时{1}=A ，}2{=B ，所以12=P ， 当3=n 时，即}3,2,1{=S ，若}1{=A ，则}2{=B ，或}3{=B ，或}3,2{=B ； 若}2{=A 或}2,1{=A ，则}3{=B ；所以53=P .（2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,...,2,1-k 中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有1112111012...------=++++k k k k k k C C C C 种情况，此时，集合B 的元素只能在n k k ,...,2,1++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12...321-=++++------k n k n k n k n k n k n C C C C 种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时， 集合对),(B A 共有11122)12(2-----=-k n k n k 对，当k 依次取1,...,3,2,1-n 时，可分别得到集合对),(B A 的个数，求和可得12)2()2...222(2)1(122101+⋅-=++++-⋅-=---n n n n n n P .。

江苏省泰州中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 2． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈3． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l4． 已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．5． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1} D ．{1，3}6． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位8． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ð D ．()R A B R =ð9． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M10．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．32D ．3311．集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12π+15B ．13π+12C ．18π+12D ．21π+15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 15．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．16．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.三、解答题（本大共6小题，共70分。

高三年级第二次月度检测数学试卷一、填空题.：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{|05}B x x =<≤，则()u C A B ⋂= ．2.若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ． 3.对于常数m 、n ，“0mn >”是方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”的 ． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120︒，那么2a xb -（x ∈R ）的最小值是 ．5.将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点(3π，则ϕ的最小值为 ．6.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+，（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为 ． 7.若圆C 经过坐标原点和点(40)，，且与直线1y =相切，则圆C 的方程是 ． 8.设函数1()0x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩有，，理理为数为无数，则下列结论正确的是 ．（1）()D x 的值域为{01}，；（2）()D x 是偶函数；（3）()D x 不是周期函数；（4）()D x 不是单调函数.9.如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ．10.在矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，若M ，N 分别在边BC ，CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BC CD = ，则AM AN ⋅的取值范围是 ．11.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点()P s t ，处具有公共切线，则实数a 的值为 ．12.若函数()21f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在(01)，上不同的零点个数为 ．13.已知点(30)A -，和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点，P （异于A ，B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，PE ED λ=（0λ>），直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，CM CN +为定值．14.已知圆心角为120︒的扇形AOB 的半径为1，C 为 AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上.若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.已知())cos 3f x x x π=+-．（1）求()f x 在[0]π，上的最小值；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A 、B 、C 的对边，b =3cos 5A =，且()1f B=，求边a 的长.16.设函数()log (2)log (3)a a f x x a x a =-+-，其中0a >且1a ≠． （1）已知(4)1f a =，求a 的值；（2）若在区间[34]a a ++，上()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 17. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点(2)M t ，（0t >）在椭圆的准线上.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.18. 某儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示.ABCD 是等腰梯形；20AB =米，CBF α∠=（F 在AB 的延长线上，α为锐角），圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为10080sin α-米.EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p ，q 为常数，*n N ∈）eg 12a =，21a =，33a q p =-（1）求p ，q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m ，n ，使1221mn m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对()m n ，；若不存在，说明理由.20. 已知函数()f x 的图像在[]a b ，上连续不断，定义： 1()min{()/}f x f t a t x =≤≤（[]x a b ∈，），2()m a x {()/}f xft a t x =≤≤（[]x a b ∈，），其中min{()/}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()/}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a --≤对任意的[]x a b ∈，成立，则称函数()f x 为[]a b ，上的“k 阶收缩函数”. （1）若()cos f x x =，[0]x π∈，，试写出1()f x ，2()f x 的表达式； （2）已知函数2()f x x =，[14]x ∈-，，判断()f x 是否为[14]-，上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；（3）已知0b >，函数32()3f x x x =-+，是[0]b ，上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 数学附加题21. （1）选修4-2：矩阵与变换 求矩阵1426M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量. （2）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆1C 的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ是参数），若圆1C 与圆2C 相切，求实数a 的值.22.一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C ，D ，E 五种商品有购买意向，已知该网民购买A ，B 两种商品的概率均为34，购买C ，D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12，假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望.23.已知p （2p ≥）是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：11a =，1(1)()k k k a p k p a ++=-，其中1k =，2，3，…，1p -. （1）设4p =，求2a ，3a ，4a ； （2）求123p a a a a ++++试卷答案一、填空题1.{|02}x x <≤2.(20)-，3.必要不充分条件6π 6.121n na =- 7.22325(2)()24x y -++= 8.（1）（2）（4） 9.1124⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10.[19]， 11.1 12.3 13.18 14.43二、解答题15.解：（1）sin ()cos 2x f x x x ⎫+-⎪⎪⎭1cos sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∵7666x πππ+≤≤∴当x π=时，min 1()2f x =-； （2）∵262x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=∵3cos 5A =∴4sin 5A =∵正弦定理sin sin a bA B=∴8a = 16.解：（1）12a =（2）22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--，由2030x a x a ->⎧⎨->⎩得3x a >，由题意知33a a +>，故32a <，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a g x x a =--在区间[34]a a ++，上单调递增.①当01a <<，则()f x 在区间[34]a a ++，上单调递减. 所以()f x 在区间[34]a a ++，上的最大值为2(3)log (299)1a f a a a +=-+≤， 即2299a a a -+≥，解得a或a 01a <<，所以01a <<. ②若312a <<，则()f x 在区间[34]a a ++，上单调递增， 所以()f x 在区间[34]a a ++，上的最大值为2(4)log (21216)1a f a a a +=-+≤，221216a a a -+≤a 312a <<联立无解. 综上：01a <<17.解：（1）由22b =，得1b =又由点M 在准线上，得22a c =，故212c c +=，∴1c =从而a 所以椭圆方程为2212x y +=（2）以OM 为直径的圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1)2t，，半径r =因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=的距离2t d == 所以32552t t--=，解得4t = 所以圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅ 直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=-- 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+∴2224(1)2244t ON t ==+⋅⋅=+ 所以线段ON方法二：设00()N x y ，，则00(1)FN x y - ，，(2)OM t = ，，00(2)MN x y t =-- ，，00()ON x y =，，∵FN OM ⊥，∴002(1)0x ty -+=，∴0022x ty +=又∵MN ON ⊥ ，∴0000(2)()0x x y y t -+-=，∴22000022x y x ty +=+=所以ON .18.解：方法一：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.因为(100)B ，，tan BC k α=，所以直线BC 的方程为tan (10)y x α=⋅-，即tan 10tan 0x y αα--=.设圆心(0)E t ，（0t >），由圆E 与直线BC 相切，得10tan 10080sin 1cos t ααα+-==， 所以10090sin cos EO t αα-==令10090sin ()cos f ααα-=，(0)2πα∈，，则29100(sin )10()cos f ααα-'=设09sinα=，0(0)πα∈，，列表如下： 所以当0αα=，即9sin 10α=时，()f α取最小值. 答：当9sin 10α=时，立柱EO 最矮. 方法二：如图所示，延长EO ，CB 交于点G ，过点E 作EH BC ⊥于H ，则10080sin EH R α==-，HEG OBG CBF α∠=∠=∠= 在Rt EHG △中，10080sin cos cos R EG ααα-==在Rt OBG △中，tan 10tan OG OB αα== 所以10090sin cos EO EG OG αα-=-=19.解：（1）由题意，知2132S pa q S pS q =+⎧⎨=+⎩，，即32333p q q p p q =+⎧⎨+-=+⎩，，解之得122p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由（1）知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，112n n a a +≥（2n ≥）又2112a a =，所以112n n a a +=（*n N ∈），所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=（3）由（2）得，12(1)124(1)1212n n nS -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2m mn mm +--<+--，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+， 即212(4)221n mm >--+，因为210m +>,所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24m m m +<-<+，（*） 因为*m N ∈，所以1m =或2或3当1m =时，由（*）得，2238n <⨯<，所以1n =；当2m =时，由（*）得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由（*）得2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对()m n ，为： (11)，，(21)，，(22)，，(32)，，(33)，，(34)，20.解：（1）由题意可得：1()cos f x x =，[0]x π∈，，2()1f x =，[0]x π∈，. （2）21[10)()0[04]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，，，，，221[11)()[14]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩，，，，，22121[10)()()1[01)[14]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，，当[10]x ∈-，时，21(1)x k x -+≤，∴1k x -≥，2k ≥； 当(01)x ∈，时，1(1)k x +≤，∴11k x +≥，∴1k ≥； 当[14]x ∈，时，2(1)x k x +≤，∴21x k x +≥，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[14]-，上的“4阶收缩函数”.（3）2()363(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[0]b ，上单调递增，因此，322()()3f x f x x x ==-+，1()(0)0f x f ==.因为32()3f x x x =-+是[0]b ，上的“二阶收缩函数”，所以， ①21()()2(0)f x f x x --≤，对[0]x b ∈，恒成立； ②存在[0]x b∈，，使得21()()(0)f x f x x ->-成立. ①即：3232x x x -+≤对[0]x b ∈，恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[0]x b ∈，恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[0]x b ∈，，使得2(31)0x x x -+<成立. 由2(31)0x x x -+<解得0x <x <<所以，只需b >.1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[02]，上单调递增，在[2]b ，上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()(0)0f x f ==，21()()4f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，21()()2(0)f x f x x --≤不成立，（3）当3b >时，()f x 在[02]，上单调递增，在[2]b ，上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()()0f x f b =<，21()()4()4f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，21()()2(0)f x f x x --≤不成立.综合（1）（2）（31b <≤ 数学附加题21.解：（1）2()(1)(6)8514(7)(2)f λλλλλλλ=+--=--=-+ 由()0f λ=可得：17λ=，22λ=-.由(71)402(76)0x y x y +-=⎧⎨-+-=⎩可得属于17λ=的一个特征向量12⎡⎤⎢⎥⎣⎦由(21)402(26)0x y x y -+-=⎧⎨-+--=⎩可得属于12λ=-的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）1C ：22(2)(2)8x y -+-=，圆心1(22)C ，，半径1r = 2C ：222(1)(1)x y a +++=，圆心2(11)C --，，边境2||r a =.圆心距12C C =两圆外切时，1212C C r r a =+==a =两圆内切时，1212C C r r a =-==a =±综上，a =a =±22.解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件i A ，4i =，5，则5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=，1423322133221()(1)C (1)4433244332P A =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯12223311(1)334423C +⨯-⨯⨯⨯=所以该网民至少购买4种商品的概率为541111()()8324P A P A +=+= 答:该网民至少购买4种商品的概率为114. （2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，533211(0)(1)(1)(1)(1)4432288P η==-⨯-⨯-⨯-= 123221(1)(1)(1)(1)(1)4332P C η==⨯-⨯-⨯-⨯-+1222331(1)(1)(1)(1)33442C ⨯-⨯-⨯-⨯-1332211(1)(1)(1)(1)24433288+⨯-⨯-⨯-⨯-=, 33221(2)(1)(1)(1)44332P η==⨯⨯-⨯-⨯-+22331(1)(1)(1)33442⨯⨯-⨯-⨯-11223322147(1)(1)(1)44332288C C +⨯-⨯⨯-⨯-= 111471197(3)1(0245)128828828838288P P ηη==-==-----=，，，, 41(4)()3P P A η=== 51(5)()8P P A η=== 所以：随机变量η的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 23.解：（1）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k k a k p p a k +-=⨯+，1k =，2，3，…，1p - 即2141462a a -=-⨯=-，2166a a =-=-；32428433a a -=-⨯=-，316a = 4343414a a -=-⨯=-，416a =-； （2）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k k a k p p a k +-=⨯+，1k =，2，3，…，1p - 即2112a p p a -=-⨯，3223a p p a -=-⨯，…，1(1)k k a p k p a k---=-⨯ 以上各式相乘得11(1)(2)(3)(1)()!k k a p p p p k p a k -----+=-⨯ ∴1(1)(2)(3)(1)()!k k p p p p k a p k -----+=-⨯ 11(1)!()!()!()!!()!k k p p p p k p k p k p k ----=-⨯=⨯--221()()k k k k p p p C C p p-=--⨯=--，1k =，2，3，…，p ∴123p a a a a ++++ 11223321()()()()p p p p p p C p C p C p C p p ⎡⎤=--+-+-++-⎣⎦ 21(1)1p p p⎡⎤=---⎣⎦。

江苏省泰州中学2017-2018学年度月度检测高三(数学)试卷(文科)命■:章夕栋一、填空(水大■共14小毎小■ 5分.共70分・廉将劄R 填入备・紳»空圧的相1. 若集合 p={-b (hl ，2}, 0={0,2. 3},则pn^=—▲_・ 2.若(a+biX1-2i)=5(G bWR, i 为虚数单位).9Aa+b 的值为_A_・3. 某离校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150, 150 , 400 , 300名学 生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中 抽取40名学生进行调査，则应从丙专业抽取的学生人数为_▲_・4. 如图是一个算法流程图，则输出的X 的值是_A_・5. 记函数他寸-女一丿的定义域为D ・若在区间[一5, 5]上随机 取一个数&则xED 的概率为 ▲_—・6. 已知宜线«g+(a+2)y+l = 0, /2:x+oy+2 = 0.若/[丄厶‘见实数a 的值7. 己知向fit 乔= (「>5), PB = (-V3,1),则2?和乔的夹角等于一A_・8. 己知函数/(x) = x 3-x 2 + mx + 2,若对任意X P X 2€R.均满足(x,-x 2)[/(x,)-/(x 2)]>0,则实数m 的取值范围是_4_・9. 将函数/(x) = sin2x 的图象沿X 轴向右平移(p{(p >9)个单位长度后得到函ftg(x)的图氣若函数 g(x)的图欽关于y 轴对称，则当卩取最小的值时，g(O )= A,…・10.如图，在梯形 ABCD^f AB//CD 9 Afi=4, &D=3, CQ=2, AM ^2MD •若為丽=_3,则万疋 仏己知动圆C 与直线x + y + 2 = 0相切于点>4(0,-2),圆C 被x 轴所截得的弦长为2,则满足条件的所WSC 的半径之积是_4_・12.已知且x 2+/=2,|x|#[y|.则+&的聂小值是_4第4題图13. 若函数/(x) = 2^-?>3 (a为第数.e是自然对数的底)恰有两个极值点，刻实数8的取值范围是▲・14. 在MBC中，角儿EC所对的边分别为abc，若MBC为锐角三角形，且满足；ac,则--- -------- +sinB的取值范国是_ ▲・tanA tanB二.解答愿：(本大■共6小・，共90分.出文字说明.证明过程或演其步・・〉15. (*小■満分M分)如图，在中，AB^AC^l. ZBAC^—-3(1) 求乔•荒的值*(2) 设点P在以虫为圆心.肋为半径的圆弧BC上运动.且AP^xAB + yAC f其中x.yeR・求xy的取值范围.16. (本小®•分14分)已知函数/(x) = (x + 2)|x-2|・(1) 若不尊式朋)《在［-3, 1)上恒成立，求实数。

江苏省泰州中学2018届高三数学10月月考试题 理一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.若集合}2,1,0{},1,0,1{=-=B A ，则=⋃B A ．2.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为．3.已知角的终边过点)30sin 6,8( --m P ，且54cos -=α，则的值为． 4.函数822+--=x x y 的定义域为，值域为，则=⋂B A ．5.设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,21),2(log 1)(12x x x x f x ，则=+-)12(log )2(2f f ． 6.若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数的取值范围是．7.已知41)6sin(=+πx ，则=-+-)3cos()65sin(ππx x ． 8.已知直线a y =与函数x x f 3)(=及x x g 32)(⋅=的图象分别交于B A ,两点，则线段AB 的长度为．9.函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值为．10.设函数)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的的取值范围是．11.若)2sin(3sin βαβ-=，则=+-tan )tan(2βα． 12.已知函数1)(3++=x x x f ，若对任意的，都有2)()(2>++ax f a x f ，则实数的取值范围是．13.设二次函数c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,为常数）的导函数为)(x f '，对任意R x ∈，不等式)()(x f x f '≥恒成立，则222c a b +的最大值为． 14.设函数a ax x e x f x+--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数使得0)(0<x f ，则的取值范围是．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知命题函数x a y )1(-=在上单调递增；命题不等式1|3|>-+a x x 的解集为，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数的取值范围.16. 已知函数3)3cos(sin 4)(++=πx x x f .（1）将)(x f 化简为)sin()(ϕω+=x A x f 的形式，并求)(x f 最小正周期；（2）求)(x f 在区间]6,4[ππ-上的最大值和最小值及取得最值时的值. 17. 已知二次函数32)(2--=x mx x f ，关于实数的不等式0)(≤x f 的解集为],1[n -.（1）当0>a 时，解关于的不等式：ax x m n ax 2)1(12++>++；（2）是否存在实数)1,0(∈a ，使得关于的函数])2,1[(3)(1∈-=+x a a f y x x 的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由.18. 已知)(x f 为上的偶函数，当0≥x 时，)2ln()(+=x x f .（1）当0<x 时，求)(x f 的解析式；（2）当R m ∈时，试比较)1(-m f 与)3(m f -的大小；（3）求最小的整数)2(-≥m m ，使得存在实数，对任意的]10,[m x ∈，都有|3|ln 2)(+≤+x t x f .19. 如图，摩天轮的半径为m 50，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为m 240的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且m AM 60=.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记),0(,πθθ∈=∠AOP .（1）当32πθ=时，求点距地面的高度PQ ； （2）试确定的值，使得MPN ∠取得最大值.20.已知函数R m m x x g e x f x∈-==,)(,)(.（1）若曲线)(x f y =与直线)(x g y =相切，求实数的值；（2）记)()()(x g x f x h ⋅=，求)(x h 在]1,0[上的最大值；（3）当0=m 时，试比较)2(-x f e与)(x g 的大小. 附加题21.B.（本题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点)5,(x P 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321M 对应的变换下得到点),2(y y Q -，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x M 1.C. （本题满分10分，坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4:y x C （为参数，R ∈θ），直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x l 223223:（为参数，R t ∈），求曲线上的动点到直线的距离的最小值. 22.（本题满分10分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点6,5,==AC AB O ，点F E ,分别在CD AD ,上，EF CF AE ,45==交BD 于点，将DEF ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10='D O . （1）证明：⊥'H D 平面ABCD ；（2）求二面角C A D B -'-的正弦值.23.设集合B A n N n n S ,),2,}(,...,3,2,1{*≥∈=是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对),(B A 的个数为.（1）求32,P P 的值；（2）求的表达式.试卷答案一、填空题1.}2,1,0,1{-2.若b a ≤，则122-≤ba 3.21 4.]2,0[ 5. 6.),2(+∞ 7.21 8.3log2 9.41- 10.)1,0()1,(⋃--∞ 11. 12.)4,0( 13.222- 14.]1,23[e三、解答题15.解：若真，则211>⇒>-a a ，真1|3|>-+⇔a x x 恒成立，设|3|)(a x x x h -+=，则1)(min >x h⎩⎨⎧<≥-=ax a a x a x x h 3,3,32)( ，易知13,3)(min >∴=a a x h ，即31>a ， q p ∨ 为真，q p ∧为假q p ,∴一真一假，（1）若真假，则2>a 且31≤a ，矛盾， （2）若假真，则2≤a 且23131≤<⇒>a a ， 综上可知，的取值范围是]2,31(. 16.解：（1）3sin 32cos sin 23)3sin sin 3cos (cos sin 4)(2+-=+-=x x x x x x x f ππ )32sin(22cos 32sin π+=+=x x x 所以ππ==22T . （2）因为64ππ≤≤-x ，所以32326πππ≤+≤-x 所以1)32sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，当632ππ-=+x ，即4π-=x 时，1)(min -=x f ， 当232ππ=+x ，即12π=x 时，2)(min =x f . 17.解：（1）由不等式0322≤--x mx 的解集为],1[n -知关于的方程0322=--x mx 的两根为和，且0>m ， 由根与系数关系，得⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=+-313121n m m n m n ， 所以原不等式化为0)2)(2(>--ax x ，①当10<<a 时，原不等式化为0)2)(2(>--a x x ，且a 22<，解得ax 2>或2<x ； ②当1=a 时，原不等式化为0)2(2>-x ，解得R x ∈且2≠x ；③当1>a 时，原不等式化为0)2)(2(>--a x x ，且a 22>，解得ax 2<或2>x ； 综上所述 当10≤<a 时，原不等式的解集为ax x 2|{>或}2<x ； 当20<<a 时，原不等式的解集为2|{>x x 或}2a x <. （2）假设存在满足条件的实数由（1）得：32)(2--=x x x f 3)23(3)(21-+-=-=+x x x x a a a a a f y令)(2a t a t a x ≤≤=则)(3)23(22a t a t a t y ≤≤-+-= 对称抽为223+=a t 因为)1,0(∈a ，所以252231,12<+<<<a a a 所以函数3)23(2-+-=t a t y 在],[2a a 单调递减所以当a t =时，的最小值为53222-=---=a a y。

一、选择题1．【河北省邢台市届高三上学期第二次月考】已知()2xf x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥， ()y f x =有三个零点，命题:q a R ∃∈，使得()0f x ≤恒成立. 则下列命题为真命题的是（ ）A . p q ∧B . ()()p q ⌝∧⌝C . ()p q ⌝∧D . ()p q ∧⌝【答案】B2．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假，且“”为假，则（ ）．A . 或为假B . 为假C . 为真D . 为假【答案】D【解析】“”为假，则为真， 又“且”为假，为真， 故为假， 故选．3．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过，命题是无理数，则（ ）．A . 命题“”是假命题B . 命题“”是假命题C . 命题“”是假命题D . 命题“”是真命题【答案】B【解析】命题为假，，命题为真，是无理数，“”为真命题，“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题．故选．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.4．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面α，β，γ，命题p:若αβ⊥，γβ⊥，则αγ；命题q:若α上不共线的三点到β的距离相等，则αβ，下列结论中正确的是（）．⌝”为假A. 命题“p且q”为真B. 命题“p或q⌝”为假C. 命题“p或q”为假D. 命题“p且q【答案】C5．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命题，只需;命题，有，解得或.若命题“”是真命题，则命题和命题均为真命题， 有或.故选A .点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.函数的恒成立问题通常是转为找函数的最值来处理，二次方程的根的问题通常是转化为研究判别式和0的关系.6．【广东省东莞外国语学校2018届高三第一次月考】已知命题p ： x R ∃∈， 5cos 4x =；命题q ： 2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是（ ）A . 命题p q ∧是真命题B . 命题p q ∧⌝是真命题C . 命题p q ⌝∧是真命题D . 命题p q ⌝∨⌝是假命题【答案】C7．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】已知命题000:,0,x p x R e mx ∃∈-= 2:,10,q x R mx mx ∀∈++>若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是A . ()(),04,-∞⋃+∞B . []0,4C . [)0,eD . ()0,e【答案】C【解析】由()p q ∨⌝为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则xe mx =无解，可得0m e ≤<；若q 为真则04m ≤<，所以答案为C8．【吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：存在实数m 使10m +≤；命题q ：对任意x R ∈都有210x mx ++>，若“”为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）．A . (],2-∞-B . [)2,+∞C . (](),21,-∞-⋃-+∞D . []2,2-【答案】B【解析】化简条件p ： 1m ≤-，q ： 24022m m ∆=-<⇒-<<，∵ p q ∨为假命题， ∴ p ,q 都是假命题，所以1{ 22m m m >-≤-≥或，解得2m ≥，故选B .二、填空题9．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】若命题:2p x =且3y =，则p ⌝为__________． 【答案】2x ≠或3y ≠【解析】p 且q 的否定为p ⌝或q ⌝，所以“2x =且3y =”的否定为“2x ≠或3y ≠”，故答案为2x ≠或 3.y ≠10．【2016-2017盐城市第一中学高二上期末】命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 【答案】01a <<【解析】因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题 所以0∆<，即()224a 0a -<，解得： 01a << 故答案为： 01a <<11．已知命题p ：关于x 的不等式1(0,1)xa a a >>≠ 的解集是{}0x x ，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+ 的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(1,12)12．【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二9月月考】已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题13．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三第三次大考】已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或.【解析】试题分析：遇到若或为真，且为假的条件时，先求出两个命题是真命题时的参量范围，然后分类讨论求出结果。

江苏省泰州中学2018届高三物理10月月考试题一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题的四个选项中，只有一个选项符合要求）1.伽利略在对自由落体运动的研究过程中，开创了如下框图所示的一套科学研究方法，其中方框2和4中的方法分别是( )A.提出假设，实验检验B.数学推理，实验检验C.实验检验，数学推理D.实验检验，合理外推2.如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态，则（）A.B受到C的摩擦力一定不为零B.C受到水平面的摩擦力一定为零C.不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左D.水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等3.2012年6月16日，刘旺、景海鹏、刘洋三名宇航员搭乘“神舟九号”飞船飞向太空。

6月24日执行手动载人交汇对接任务后，于29日10时03分乘返回舱安全返回.返回舱在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示.关于返回舱的运动，下列说法中正确的有( )A.正常运行时，在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道I上经过A的加速度B.在轨道Ⅱ上经过A的速率大于在轨道I上经过A的速率C.在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在同一轨道Ⅱ上经过A的速率小于经过B的速率4.在地表附近有一竖直向下匀强电场E，一带电油滴以某初速度从a处运动到b处，其运动轨迹如图中曲线所示，不计空气阻力，此过程中油滴运动情况描述正确的是( )A.油滴在做变加速曲线运动B.油滴在做速度大小不变的曲线运动C.动能和电势能之和减小D.油滴的轨迹为椭圆的一部分5.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a；假设月球绕地球作匀速圆周运动，轨道半径为1r，向心加速度为1a。

已知万有引力常量为G，地球半径为R。

下列说法中正确的是（ )A.地球质量GraM211= B.地球质量GRaM21=C.地球赤道表面处的重力加速度g=aD.加速度之比21221rRaa=6.如图所示，半径为R的均匀带正电薄球壳，壳内的电场强度处处为零，其球心位于坐标原点O，一带正电的试探电荷靠近球壳表面处由静止释放沿坐标轴向右运动。

平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________． 【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________． 【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为 ．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是 ． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。