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让你数学教学更自然更实在邵舰艇新一轮基础教育课程改革正在全国各地展开，新课程所阐释、倡导的全新的基本理念也正如缕缕清风般走进校园、渗透到师生的心田。
但是理论是灰色的，实践之树才能常青。
新课程的理念只有转化为生动的课堂教学实践才具有生命力。
作为教师，我们的首要任务就是完成理念与实践的转换，让新课程扎根于课堂。
可是课堂教学实践的丰富性和复杂性，使得这一转换过程变得相当艰难。
许多时候，作为一线教师，我们感到迷茫和困惑，甚至都不知道该怎样上课了。
经常思考：怎样的课才能算是一节好课呢？而且，对新课程理念的理解有时也有失偏颇，课堂教学进入了新的模式化，走入了“误区”。
令人忧患，发人深省！误区之一：让课堂热热闹闹、轰轰烈烈地“动”起来新的《数学课程标准》十分倡导学生应主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
而且有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式。
学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
在全新的教育理念下，教师的教学方式，学生的学习方式确实都应该发生根本性的变化。
于是，教师恐有“穿新鞋走老路”的嫌疑，都十分希望能在课堂教学中充分调动学生的各种感官，让学生在学习过程中能“动眼、动耳、动口、动手、动脑、动情”，让课堂热热闹闹、轰轰烈烈地“动”起来。
于是，我们可以看到，在诸多公开课、示范课上，课堂气氛异常活跃：学生们动手实践、自主探索、合作交流，忙得不亦乐乎；上课教师俨然一主持人角色，陶醉于自己创造出的“活跃”的课堂气氛里；听课教师则每每一头雾水、不知所云或者因为是旁观者而无所事事。
又如：现今几乎在所有的新课程数学展示课上，我们都可以看到“分组合作学习”的形式。
“分组合作学习”被视为当前课堂教学教改当中一种重要的组织形式，其座位安排由原来的“插秧式”排列改成“田字式”排列。
可是，彼时彼刻学生是否真的“动”起来了？“活”起来了呢？仔细观察和反省就会发现：有许多时候，我们的“分组合作学习”仍然流于一种形式，而缺乏实质性的合作。
数学自然中班幼儿在自然环境中学习数学的方法数学是一门对于幼儿发展至关重要的学科，它不仅能培养他们的逻辑思维能力，还能提高他们对世界的观察和探索能力。
而将数学教学与自然环境相结合，不仅可以增加幼儿的学习兴趣，还能促进他们对数学概念的理解和运用。
本文将介绍一些适用于数学自然中班幼儿的学习方法，帮助他们在自然环境中更好地学习数学。
首先，引导幼儿进行数学观察。
自然环境中充满了各种数学元素，我们可以引导幼儿发现并观察这些元素。
比如，我们可以带领幼儿一起数树上的叶子数目，观察花朵的花瓣数，或是统计花园里不同颜色花朵的比例。
通过这些观察，幼儿可以感受到数学与实际生活的联系，培养他们的数学意识。
其次，进行数学游戏与探索活动。
自然环境提供了大量的机会，可以进行数学游戏与探索活动。
比如，在沙滩上用木板挖沟，观察水流的流动情况。
幼儿可以通过改变沟的深度或形状，观察水流的变化，从而学习到斜度、速度等概念。
又如，在野外进行数学寻宝活动，设置一系列的数学任务，幼儿需要根据任务提示，运用数学概念去解决问题。
这样的活动可以增加幼儿的参与度，激发他们的学习热情。
接下来，利用自然物体进行数学操作。
自然物体是幼儿学习数学的良好工具。
我们可以将树叶、石子、花瓣等等用作计数工具，教会幼儿进行简单的加减运算。
同时，还可以在户外设置简易的数学装置，比如用绳子做成简易的几何图形或数字，让幼儿触摸并操作，从而加深对几何和数学概念的理解。
此外，鼓励幼儿进行数学交流。
在自然环境中，幼儿可以与小伙伴一起探索和学习数学。
我们可以引导幼儿进行数学对话，比如询问他们在观察到的事物中发现了哪些数学特征，或是让他们尝试解决一些数学问题。
通过交流，幼儿可以互相启发，相互学习，提高数学思维能力和沟通能力。
最后，通过手工制作等活动巩固数学知识。
在自然环境中，我们可以引导幼儿进行手工制作或是艺术创作活动，将数学元素融入其中。
比如，通过剪纸制作几何图形，通过手工摆弄石子进行计数。
如何在幼儿园中利用自然环境进行数学教学自然环境是幼儿园数学教学的宝贵资源。
将自然元素融入数学学习不仅能够激发幼儿的兴趣，还能帮助他们在真实情境中理解抽象概念。
通过以下几种方式，教师可以有效地将自然环境与数学教学相结合，促进幼儿的数学思维和解决问题的能力。
首先，利用自然环境中的物体进行计数活动是一个简单而有效的教学方法。
例如，在户外的花园里，教师可以让幼儿数一数地上的花朵、树叶或石头的数量。
通过实际的物体进行计数，幼儿能够更直观地理解数字的意义。
在这个过程中，教师可以鼓励幼儿讨论和比较不同物体的数量，进一步增强他们的数学表达能力和比较思维。
其次，测量活动也是自然环境中重要的数学教学方式之一。
教师可以带领幼儿测量树木的高度、叶子的长度或者溪水的深度。
这些活动不仅能够让幼儿感受到测量的实际应用，还能培养他们的空间感知能力和动手操作的技巧。
在测量过程中，教师可以介绍简单的测量工具，如尺子、卷尺等，并教授幼儿如何正确使用这些工具。
分类活动是另一个能够在自然环境中进行的数学教学活动。
教师可以带领幼儿观察和分类各种自然物体，例如按颜色、形状或大小对树叶、石头或种子进行分类。
通过这样的分类活动，幼儿不仅能够学习到基本的分类和排序技能，还能增强他们的观察能力和逻辑思维能力。
自然环境中的几何形状也是数学教学的重要资源。
教师可以带领幼儿寻找自然界中的几何形状，比如观察树木的圆形、石头的多边形或花瓣的对称性。
这些活动可以帮助幼儿认识和理解不同的几何形状，同时激发他们的创造力。
教师还可以引导幼儿用自然物体构建简单的几何图形，进一步加深他们对几何概念的理解。
此外，游戏和探索活动也是结合自然环境进行数学教学的重要方式。
例如，教师可以设计一场“寻宝游戏”，让幼儿根据数学线索找到隐藏在园区中的自然物体。
在这个过程中，幼儿不仅能在有趣的游戏中练习数学技能，还能提高他们的逻辑推理能力和团队合作精神。
自然环境中的变化和季节性特征也是数学教学的一个重要方面。
让数学教学变得自然些-----对什么是好的教学的体会教学是师生沟通与合作的活动，其实质是师生对话，而对话的核心是师生有共同体验，故好的教学应是教学相长的教学，首先表现为有效的教学。
作为教师，要使自己的教学有效应关注知识的有效传递，即关注知识的扩展，延伸，增值，生成问题．为此，教师首先要理解教材编者的意图，然后要根据学生需要进行相应的教学处理。
为让数学教学变得自然些应坚持以学定教的原则，即以学的基础定教的难度，以学的实际定教的内容，以学的思维定教的秩序，以学的有效定教的有效。
即以学的基础定教的难度，以学的实际定教的内容，以学 的思维定教的秩序，以学的有效定教的有效。
广雅中学徐飞老师在讲二元一次不等式（组）与平面区域这节课时是这样做的：徐飞老师从一元一次不等式入手，使学生回忆起数轴表示法求解集，再分析这个不等式的形式——一个变元，最高次数是1，从而提出由一个变元变为两个变元会如何？即提出二元一次不等式的几何表示，如10x y -+>的几何表示是什么？学生没有思路，当然，这是徐老师意料中的学情。
于是徐老师进行引导，研究不等式，我们一般先研究对应的方程，所以我们会研究二元一次的方程。
显然，二元一次的方程的几何意义是直线。
到此我们的思路走不下去了。
徐飞老师提醒学生，二元的方程，我们熟悉的，还有圆！此时，徐老师唤醒了学生必修二的记忆。
圆是学生比较熟悉的图形，从初中学习几何开始，就已经接触了圆上、圆内、圆外的判断。
而必修二4.4.1节得到圆的标准方程后，课本以特殊的圆为例，让学生探究点000(,)y x M 在圆内、圆外的条件。
究点000(,)y x M 在圆内、圆外的条件。
徐飞老师抓住了学生知识的生长点，学生类比圆的方程将平面区域分成三部分——圆内、圆上、圆外，分别对应于2220y x r +-<、、2220y x r +->——进行思考：二元一次方程表示平面上的直线，类比圆与平面的关系，直线也把平面分成了三部分，即直线上、直线上方、直线下方。
让学生在自然中学习数学绿色是我们人本能的需要,因为绿色能使我们身心愉悦。
走进绿色之中,烦躁的心情便会慢慢平静;疲劳的眼睛会渐渐明净;闷热的感觉会顿时消失。
绿色数学教学就是要求我们的课堂教学中顺应学生自然的天性,激发学生的内在潜力和兴趣,鼓励学生自主学习。
使学生由被动的接受者变主动的学习者,在学习活动中自然而然地接受所需要掌握的知识,让学生学习真正的数学。
让师生在“绿色“的海洋中愉悦翱翔。
一、关注发展,激发学生学习数学的兴趣“关注学生的发展”,强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发,为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会,促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法,同时获得广泛的数学体验。
这也是“绿色”数学课堂教学的基本理念之一。
从而体会数学的价值,了解探索数学问题的不同方式。
在一次《长方形面积的计算》的教学活动。
当进行到让学生比较两个相近长方形面积的大小时,有学生站起来说:“我知道长方形面积的算法,只要用‘长×宽’就可以求出它们的面积。
”该生说完一脸喜悦,我心生一计。
马上改变预设的教学方案,扫视全班说:”请知道长方形面积计算的同学对老师笑一笑。
”结果全班竞有半数的学生发出骄傲的微笑!接着我问这位学生是怎么知道的,他响亮地告诉我说是从书上看来的。
我肯定了这个同学的方法是正确的,并表扬他能提前预习,这种主动学习的好习惯值得我们大家学习。
这时,学生个个兴趣盎然,全身心地投入到新知的探索中;学生的学习积极性、主动性进入高潮。
学生有的独立操作,有的合作讨论;我也适时地参与学生的讨论、交流;学生在活动中所表现出来的聪明才智,大大地超出了我的预想。
由于是自己自主、合作、探索得来的知识,印象深刻,学得牢固。
讨论交流时,同学们感到异常兴奋,一个个争先恐后地上台来展示自己对长方形的计算的证明方法;在此基础上,我组织学生逐步概括出长方形面积的计算方法与公式。
教育家夸美纽斯说:“提供一种既令人愉快又有用的东西,当学生的思想经过这样的准备之后,他们就会以极大的注意力去学习。
让数学课堂真实自然，远离浮躁参加了教师进修学校组织的数学教师全员培训，学习了一节课，并聆听了精彩的报告。
关于数学课堂教学的话题可谓是百家争鸣，但有一点却毋庸置疑，教师要追求有效的数学课堂教学。
针对这一话题，结合自己的教学实践，谈以下三点感想：一、适当导入新课，不要过于花哨有些老师过于注重教学的情境化，为了创设情境可谓是“挖空心思”，好像数学课脱离了情境，就不是新课程理念下的数学课了。
事实说明，有些教师辛辛苦苦创设的情境，并没有起到应有的作用。
相反，学生往往因为被老师创设的情境所吸引，久久不能进入学习状态。
并不是每节课都要从情境引入，对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课。
二、透过现象看本质，追求内容与形式的统一新课程改革以后，使课堂中出现了前所未有的激动人心的场面：发言不必举手，想说就说；自由离开座位，想动就动……井然有序的发言变成迫不及待的抢答，安静的教室里人声鼎沸，可这些“热闹”的背后是否有值得我们“冷思”的因素呢？其实，民主并不意味着一味的迁就，自主也不等同于放任自由，尊重更不能演化成放纵。
我想一个形式上有秩序而内容上突显个性追求思维发展的课堂才是我们想要的真正的课堂。
因此，秩序、规矩并不是束缚学生想象力和创造力的罪魁，正相反，它能最大限度地保护所有学生学习或平等交流的权利。
相信在这样的秩序下成长起来的孩子，会少一些自以为是，多一些尊重；少一些浮躁，多一些实实在在的知识；少一些毛病，多一些良好的学习习惯。
三、深刻理解《课标》中评价的意义，不可一味盲目进行表扬《数学课程标准》指出：评价要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立自信。
在实践新课程时，我们不要认为只要对学生肯定了、表扬了、鼓励了，学生学习的积极性就调动起来了，重要的是要让评价远离“浮躁”，避免绝对化、形式化的倾向，关键是要着力于建立目标多元、方法多样的评价体系，让评价真正发挥其保护自尊心、树立自信心、激活进取心的效益。
怎样让数学课堂的气氛自然和谐数学教学既是一个认识过程，也是情感和意志的活动过程。
认识过程与情感意志活动过程相辅相成，互相促进，构成了数学教学中一个自然而和谐的统一整体。
教师在数学课堂教学中，有成功的喜悦，也有失败的教训。
细思这些失败，与当时课堂气氛过于紧张或过于随便、处理过程不够自然有很大关系。
课堂教学中，无论是形式还是内容都处于“自然而和谐”状况，是完成教学任务，提高教学质量的有力保证。
而教师的仪表与教态、教师的教学语言和启发式教学的运用是构成课堂“自然与和谐”的三个主要因素。
1 仪表与教态人的仪表包括身材、相貌和服装两个方面。
教师在讲台上其仪表既要给学生以美的感受，又要服务和服从于课堂教学这个特定的环境。
其具体要求是：整洁大方，庄重朴素，轻便协调，色彩和谐，一定要避免两种极端现象，即过于华美或过于随便，如果教师的服装颜色过于耀眼，款式过于奇特，与众不同，在课堂中就给学生以“鹤立鸡群”之感，分散了学生的注意力，教师也有不自然之感。
同时，这种师生服装不和谐造成了学生“不融老师”的心理，自然影响课堂教学的效果。
如果教师的服装过于随便，长衣大袖，拉拉沓沓，甚至满身污垢，敞胸露怀，也会分散学生的注意力，出现学生不尊重老师的现象，不利于教学任务的完成。
因此，教师的服装过于华美和过于随便都不可取。
另外，教师的教态对营造课堂的自然与和谐有不可低估的作用。
教师要以精神饱满，情绪高昂的姿态走上讲台。
开始讲课时，教师的表情要亲切而不过分随意，严肃而不过分紧张，使学生在一个宽松、舒适的气氛中学习。
在教学过程中，教师要显得端庄大方，举止从容，精神饱满，雍容自然。
在运用手势和站立、行走上要处理得体。
手势的运用要根据教学内容，不可多，也不可无。
动作自然，不致分散学生的注意力。
教师可站着讲，也可以边越走边讲。
但在一个地方站的时间不可太长，并且要注意不影响学生的视线。
站立时要给学生一种轩昂、自然、生气勃勃的印象。
行走时可在讲台上行走，也可走下讲台。
让数学课堂教学回归“自然”
数学课堂教学可以回归“自然”，通过以下几个方面来实现：
1. 引入实际问题：将数学知识与日常生活中的实际问题结合起来，让学生能够更好地
理解和应用数学知识。
例如，在教授代数方程时，可以引入一些实际生活中的问题，
如计算物品的折扣价格或者推导出节省的百分比。
2. 探索性学习：让学生通过探索和发现来学习数学。
教师可以引导学生提出问题、寻
找解决方法，并进行讨论和分享。
这样的学习方式可以激发学生的兴趣，培养他们的
思维能力和解决问题的能力。
3. 多样化的教学方法：教师可以结合不同的教学方法，如小组合作学习、实验、游戏等，使数学课堂充满趣味性和参与性。
通过多样化的教学方法，可以激发学生的学习
兴趣，提高他们的学习效果。
4. 创设情境：教师可以将数学知识融入到具体的情境中，例如模拟实际生活中的情景，让学生在情境中进行数学思考和运用。
这样的教学方式可以让学生更好地理解数学的
应用和意义。
5. 引导思考：教师可以通过问题导入、启发式问题等方式，引导学生主动思考和发现
数学规律。
这样的教学方式可以培养学生的思维能力和逻辑思维能力，提高他们对数
学的理解和掌握。
总之，让数学课堂教学回归“自然”可以培养学生对数学的兴趣，提高他们的学习效
果和应用能力。
这需要教师灵活运用不同的教学方法和策略，创设有趣的学习环境，
激发学生的主动性和参与性。
如何让数学知识来得自然作者：郑志雄来源：《科教导刊》2011年第15期摘要数学教学应在把握数学知识本质和知识发展主线的基础上，尽可能让学生自然地合理地提出问题、解决问题、拓展问题，而教师则在整个教学过程中为学生提供思维策略与思维方法的指导，为学生有效突破思维难点、利用思维难点提供帮助。
中图分类号：G633.6文献标识码：AHow to Make Mathematics Learning More NaturalZHENG Zhixiong(Shishan Middle School, Nan'an, Fujian 362300)AbstractMathematics Teaching should be on the basis of grasping the nature of mathematical knowledge and knowledge development,try to make students ask questions reasonably, solve problems, develop problem, and teachers should provide students thinking strategies and ways of thinking guidance in teaching process, give help to effective breakthrough thinking and the use of thinking difficulties.Key wordsmathematics; teaching; solve the problem朱熹讲过：“读书无疑者，需教其有疑，有疑者无疑，至此方是长进。
”问题是数学的心脏，数学知识、思想、方法、观念都是在解决数学问题的过程中形成和发展起来的，没有问题就没有思维。
作为一名数学教师，应该清醒认识到，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
让数学课如此自然厦门一中集美分校 黄永超从建构主义的角度来看，数学学习是学生自己建构数学知识的活动，在数学教学过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。
我们应该充分认识到，是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的建构者，决不是模仿者。
离开学生积极主动的学习，教师讲再好也会经常出现“教师讲完了，而学生仍不会”的现象，这正好从一个侧面说明在学生学习的情景中，教师对学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，让数学知识来得自然。
新课程中的数学活动，要使学生真正成为主人，让他们积极的参与每一个教学环节，切身感受学习数学的快乐，品尝成功的喜悦。
不同的学生可以得到不同的发展，从而满足了他们的求知、参与、成功、交流和自尊的需要。
这正是皮亚杰强调的“教师的工作不是教给学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并有种种方式来刺激学生的欲望。
这样，学习对学生来说，就是一个主动参与的过程了”。
本文笔者想通过审视我们平时的教学行为，做一番反思，目的是改进教学，让教学来的更自然些，更合理些。
让数学课自然，让学生真正学得自然而不深奥，快乐而不枯燥。
一、自然引入高尔基说写文章“最难是开头，也就是第一句”。
上一堂课犹如写文章，要整体的构思本节课的开头，引言的好坏往往直接影响着整堂课的效果，自然引入可以集中学生的注意力，启发他们的学习动机，使学生听课能抓住重点，产生强烈的求知欲望。
案例1：《异面直线所成的角》问题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，判断直线A 1C 1、B 1C 1、C 1E 、C 1C 与直线AB 的位置关系。
意图：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2、用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？教师可以引导学生通过手中的两支笔，演示两条异面直线，分别体现出用“距离”和“角”来刻画两相交直线间的相对位置。
问题3、在一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。
问如何量出所成角的大小？其理论依据是什么？问题4：能否将上述方法推广到空间两直线？点评：本节课的难点在于如何引导学生利用平移法来求异面直线所成的角，在问题三中，通过让学生利用在平面中平移使得两条直线相交来引入，自然过渡到空间的两条直线也可以通过平移法来求其夹角。
把这种平面上的平移很自然推广到空间中，那么本节课的重点，通过平移法，求异面直线所成的角也就很自然被学生解决了。
案例2：《根式与分数指数幂》根式的出现实际上是数系扩充的必然结果,下面简要介绍数系的扩充：我们开始接触数学时，便是从0、1、2、3、4、……等认识起的，并把它们称作自然数，初步有了“加”的运算：两个自然数相加，仍为自然数。
但是，两个自然数相减呢？随着社会的发展，人们又发现了很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西，为了表示这样的量，又产生了负数。
正整数、负整数和零，统称整数。
a b一个数连加几次，如5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5，每次书写都挺麻烦的，于是便引入了另一种运算“乘“，连加即为乘，“×”也只是一种记号，其初始含义是连加的意思（na = a + a + … + a ）。
类似地，连乘记为乘方，即n a a a a =⋅ 。
两个整数相乘后仍为整数，自然地我们考虑其逆运算“除”，如2÷3，它却不是整数，于是又引入了分数 ，n m 它仍是一个记号：把n 分成m 等分。
进一步我们自然地会追问：如x 2 = 4，由于2(2)4±=，所以2x =±，那么当x 2 = 2时，x 等于多少？我们知道存在实数x ，它的平方等于2”是什么呢？它是一个数，它的平方等于2！更一般的情况，“”是什么呢？也是一个实数，它的n 次方等于a ，即(n a =！点评：这里只展示了课堂教学的片断，对根式的教学提出自己的设想，目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式的符号，激发学生的学习兴趣。
为什么要引入根式？又为什么要学习分数指数幂？教材中并没有详细说明，只是用“数学上的规定”来阐述。
若我们不能及时引导学生追问“为什么”，则只能是用条条框框的割裂方式肢解知识的结果，把孩子活生生的思考也肢解了。
几经如此，学生宝贵的思维火花便将熄灭，而走上这样一条路：不再思考，刻板记忆，不求甚解，渐渐地，思维的心灵变得麻木了。
因此，在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。
这些知识本身或许并不重要，但形成一种有如“水银泻地无孔不入”的思想方法，却是智力素质提高的一个方面。
二、自然拓展依据新课程理念，高中数学教学要不断拓展课程资源，并以情景化方式实现学生对数学学习的支撑。
数学教学以问题为核心，而问题的设计又需要广泛资源下的情景支持。
如：笔者在《等差数列》第一课时，在课堂上有学生很自然提出一个疑问：老师，那有没有等和数列、等积数列和等比数列呢？那它们的通项公式又是什么？多自然的一个想法啊！因而那节课我们马上转变成了：讨论等和数列、等积数列和等比数列的定义以及通项公式。
打乱了原先的课时安排，变成把等差，等比数列的定义和通项公式放在第一课时，从开始就把两个数列结合在一起讲，这样有利于学生更加熟练两种数列的综合。
课后发现，这样上效果也不错，学生更自然的接受，记忆更深刻，更有兴趣。
在如下案例中，利用课程资源，自然拓展。
案例3：《直线与圆的位置关系》在初中学生已经初步了解直线与圆的三种位置关系，而在本节课中则进一步用方程量化。
本节课教科书中只有两个例题，例1为判断直线与圆的位置关系，例2则是已知弦长求直线的方程。
而直线与圆的位置关系的内容在高考中是非常丰富的，在这边仅用两个例题是不够的，于是我们决定对教材进行拓展，三种位置关系对应拓展出三种题型。
（一）直线与圆相交——求相交弦的长：||AB =021422=-++y y x 所截得例1：已知过点M （– 3，– 3）的直线l 被圆的弦长为54，求直线l 的方程。
（二）直线与圆相切——求切线方程例2、已知圆O ：422=+y x ，分别求过点A （1，3），B（2，3）的切线方程。
（三）直线与圆相离——求圆上点到直线距离的最值例3：设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线3x – 4y – 10 = 0的距离的最小值为 ，最大值为 。
点评：本节课中，利用已有的知识，自然拓展出相关的知识点 ，这样的知识来得自然，易接受，同时促使更多的学生积极参与课堂活动，思考并解决问题。
三、自然发现有人说“数学家的工作是发现，而诗人的工作是创造”。
我自然不是数学家，但我的学生可能是数学家。
现在培养他们发现，说不定将来真的有所发现，看来，我们的工作多么有意义。
笔者在教学实践中也曾有过些许发现，虽然发现的问题不够“大”，但自己得到的东西每每欣喜若狂，因而在课堂上，我们也要启发、引导学生很自然的去发现，如下案例中: 案例4：《等比数列的前n 项和》教科书上对于等比数列前n 项和这节课中直接指出“我们发现，如果用公比q 乘该式的两边，可得2111111(1)(1)1n n n a q S a a q a q a q q q --=++++=≠- ”然而，在这边要发现乘以一个公比的话，难度很大，就算是优生也很难发现。
为了让课堂更顺利，学生的思维更自然，这里，我设计了几个问题：问题1：求和：01212222n n S -=++++ 。
引导学生先求出1231,3,7S S S ===，…，再猜想21n n S =-。
问题2：求和：01213333n n S -=++++ 。
要猜想n S 的值并不容易，教师要引导学生类比问题1中的猜想，将真实值和猜想值进行对比，得出312n n S -=。
问题3：求和：01214444n n S -=++++ 在这里学生就很自然地猜想出413n n S -=。
问题4：求和：211n n S q q q -=++++ 。
将前面三个问题结合起来，更一般化，学生已经可以很快地猜想出(1)(1)1n n q S q q -=≠-。
生：这不就是一个等比数列的前n 项和吗？只要在乘以一个首项，就是一个一般的等比数列了。
多好的一个发现啊，我们在猜想中却发现了等比数列前n 项和的公式这让整个课堂进入一个高潮。
接下来的工作就剩下证明猜想。
在证明2321111n n n n q S q q q q q q ---=+++++=- 的过程中： ()()()2321232123211)1111n n n n n n n n q q q q q q S q q q q q q S q q q q q q ------=-+++++⇒=⋅+++++-⋅⇒-⋅+++++ 证：左边（在这马上很自然引出乘比错位相减法，并简要说明其结构和适用范围。
生：那我们是不是可以用该方法直接求等比数列的前n 项和？多好的发现，马上让学生来讲，教师引导补充。
在用乘比错位相减法证明等比数列的前n 项和时，规范书写格式。
点评：本节课如果按照传统的教法，教师结合等比数列的前n 项和式子结构的特点，引导学生发现只要乘以一个公比，就可以出现大部分相同的项，然后在两式子相减消去。
学生在下面最多也发出“太神奇了”的惊叹而已，这种知识来的不自然，不易迁移应用。
而如果让学生自己来发现乘以一个公比的话，难度大了许多，就算是优生也很难发现。
因而本节课为了让数学的结论自然，采用猜想发现式教学方法。
有了猜想,人的认识才摆脱消极等待的奴隶状态,这无疑对形成积极进取的精神有着积极的意义.案例6：《平面与平面垂直的判定与性质》问题：直线a 和平面α，β有以下三种关系：①a ⊥β，②a ⊂α，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。
学生经过思考、讨论构成三个不同的命题：αββαβαβαβααβ⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a a a a a )3(;)2(;)1(。
并得出其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。
在给（2）、（3）补充条件时，平面与平面垂直的性质定理就很自然的得出点评：教科书中对本节课的安排是：把“两个平面垂直的判定定理”、“性质定理”和“P72例4”分开给出，这样学生便要分开接受三次新知识，不易记忆和理解应用。
而本节课中，如果将这三个知识点，采用开放式的问题，引导学生相互合作、讨论交流，通过判断命题，补充命题，自然发现。
