2014年石景山区数学理高三统一测试一模

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，∵全集U＝R，∴∁U B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x【解答】解：A．y＝x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A 不选；B．y＝x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y＝﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y＝2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣20【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1＝•＝•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r＝1，得r＝3，故x项的系数为•（﹣1）3＝﹣10，故选：B．4．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，∴BD＝5﹣＝．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．4【解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为：y＝﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）＝3，解得：p＝4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是＝1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选：B．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：根据题意，程序框图运行的程序为，i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＝2，A＝1﹣2＝﹣1；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＝4，A＝1﹣＝，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i＝2015，∴A＝﹣1，i＝2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2＝|PF|2﹣|MF|2，而|MF|＝1，∴当PF最小时，切线长PM 最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3＝2．此时|PM|＝＝．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝2n，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，则q3＝＝＝8，解得q＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，∴b n＝log2a n＝log22n＝n，∴b1＝1，∵b n＝n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n＝＝故答案为：2n；11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2＝x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4．又因为直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3＝0的距离d＝＝2＝r，解得：．故应填：x2+y2＝4；．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x＝，y＝时，有最小值；当x＝1，y＝6时，有最大值6故答案为：13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．【解答】解：甲、乙都不选时，有＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有＝120种，根据分类计数原理，可得共有60+120＝180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为y＝2x﹣2．【解答】解：作出函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y＝kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b＝0，解得b＝﹣k，函数f′（x）＝2x，即k＝f′（1）＝2，∴b＝﹣2，即隔离直线方程为y＝2x﹣2，故答案为：y＝2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝2b sin A，∴sin A＝2sin A sin B，∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴sin B＝，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B＝60°；（Ⅱ）∵a＝2，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：（）2＝22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3＝0，解得：c＝3或c＝﹣1（舍），∴c＝3，＝ac sin B＝×2×3×＝．则S△ABC16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：…（12分）∴．…（13分）17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB＝2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A 1BD的法向量，所以即令，则y＝2，z＝3，所以是平面A 1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1＝3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt＝2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt＝0，令g（t）＝t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以方程t2﹣1+lnt＝0有唯一解t＝1．综上，切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴＝1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2＝4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．∵直线y＝kx+2与椭圆相切，∴△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，∴l1，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△＝0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，∴线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n＝1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则＝，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n＝T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何(理科)1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个3 (2014年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是__4 (2014一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__96__．5 (2014某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______，表面积为______）6 (2014年朝阳一模理科)如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是__2_7 (2014年丰台一模理科)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B ） （A ）143（B ）4 （C ）103 （D ）38 (2014年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ） A ．12 B ．3 C ．4 D ．69 (2014年顺义一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________1 正视图 侧视图 俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图BADC. P俯视图主视图侧视图10 (2014年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)A ．3B ．34C ．1D ．3211 (2014年东城一模理科)12 (2014年西城一模理科)如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度. 13 (2014年海淀一模理科) 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．14 (2014年朝阳一模理科)如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面A B C D ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．15 (2014年丰台一模理科)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是棱AB 上的动点.（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D1C 距离的最大值及此时点E 的 位置（结论不要求证明）.主视图侧（左）视图俯视图34主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF16 (2014年石景山一模理科)如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ， 使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在， 求出AE 的长；若不存在，说明理由．17 (2014年顺义一模理科) 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=， 平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且13PM PC =. （Ⅰ）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）证明：PA ∥平面BMQ （Ⅲ）求二面角M BQ C --的度数.18 (2014年延庆一模理科) 在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，且2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点． （Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．2014年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何(理科)答案1． ；2．C ；3．；4．96 ；5．13，；6．2 ；7．B ；8． B ；9． ；10．A ；11.吧A1A1B1CCDBFA BEPDPM Q ABCD12（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形， 所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥. …………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C .……………6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//BC 平面1BED . ………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED如图建立空间直角坐标系， 设1D E a =，则1(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), E B D a C 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n . …………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m .…………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得 ||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ……………13分 解得1a =. ………………14分13（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD ．————————————————3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥． 由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD ．如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -——4分 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==． 由图1条件计算得，AE =BC =BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(3E D B AF C -———————5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==．由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ．———————6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.y y +==⎪⎩ 令1z =，则1y x ==，所以(11)=-n ．——————————8分平面DCB 的法向量为EA 所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ，所以二面角A DC B --—————————————9分 （Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈．由于3(AF =， 所以(AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈————————————10分所以3,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝————————————11分由0EM ⋅=n ，即03λ=-(1-———12分 解得3=(0,1)4λ∈．————13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =．————————14分 14（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线． 所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ．所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ．…………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面A B C D ，PA AD ⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-u u u r ，，，(200)CD =-uu u r ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，， (0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ．…………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-u u u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，， 所以cos ,EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --．…………14分 15.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A （1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以DA1⊥ED1. ----4分 （Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =-所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA1与平面CED1成角为45o ，所以1sin45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||2||||DA v DA v ⋅=⋅2=，解得m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D1C E 在A 点处.------14分 16（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，M1B1CBCD所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………………2分 所以MD ∥1B C ．…………………………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ．……………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB =，1AA D 是AC 的中点． 所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A …………5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量，………7分 所以121cos 2n AA <>==，．………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =，1(3n =，…………………12分 又10n n ⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且AE =．…………………………14分结BD ，Q 底面ABCD 是菱形，且060BAD ∠=，∴BAD 是等边三角形，∴BQ AD ⊥由（Ⅰ）PQ ⊥平面ABCD . ∴PQ AD ⊥.以Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0),(1,0,0),Q A B P .————10分设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴0m QB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，注意到MN ∥PAx∴0m QB m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量——12分 （Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG , ∵F E ,分别是PC AD ,的中点，∴BC GF 21//，BC AE 21// ∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF //………………2分 ∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ，∴//EF 平面PAB ………………3分 （Ⅱ）∵AB PA =，∴PB AG ⊥，………………4分∵ABCD PA ⊥，∴BC PA ⊥，又∵AB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴AG BC ⊥，………………6分∵PB 与BC 相交，∴⊥AG 平面PBC ， ∴⊥EF 平面PBC ．………………7分（Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，…8分 ∵2==AD PA ，∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ，∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，)1,1,0(=………………9分)0,1,2(=，)2,1,0(-=设平面PEC 的法向量),,(z y x m =，则0,0=⋅=⋅m∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x ∴)1,2,1(-=m…………12分∴23263||||,cos =⋅=>=<AH m m．………………13分∴二面角D PC E --的大小为︒30………………14分。

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则( )A. B. C. D.2．下列函数中，在上单调递减的是（）A. B. C. D.3．点与圆的位置关系是（）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与的值有关4. 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的值是（）A.4B.5C.6D.75．以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．如果实数满足不等式组30,230,1.x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）A.1B.2C.3D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. B.C. D.8. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( )A.6B. 8C. 10D. 12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数, ,则 ．10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则 ．11．如图，在边长为2的菱形中，为中点，则 ．12.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为 ． 13. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地， 则路程最短的走法有 种（用数字作答）．14. 设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合{}2,1,0,1,2--=A 为封闭集； ②集合{}Z k k n n A ∈==,2|为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，. （Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,22,2,==⊥BD AD CD BC .是的中点,是的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面； （Ⅲ）若,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若是函数的极值点，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；D A CB E（Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中，，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意，存在，使得，则称具有性质． （Ⅰ）判断是否具有性质； （Ⅱ）若，且具有性质，求的值； （Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【12题只答一种情况得3分】三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得2222cos CE CDDE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分 在中，由正弦定理，得 …………………6分 （Ⅱ）由题设知，所以 …………………8分 而，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 11=cos 227αα-+=-+=………………11分 在中，2cos BE AEB==∠…………………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有 11111()224464P A =⨯⨯⨯=. …………………3分 （Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. ……4分 ， ……6分1212221131333(25)C ()(1)()C ()(1)()2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯=， ……8分 221122221311311111(30)+C ()(1)C ()()()=2422442432P X ==⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯（）（）（）……10分1212221111331(35)C ()(1)()C ()(1)()=2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯……12分 分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）, ………………2分 且………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点， 所以且；取CD 的四等分点H ，使DH =3CH ， 且AQ =3QC , 所以,且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且,所以PQ //面BDC . ……………………9分 (III)如图建系,则, , , ……………………10分 设面的法向量 ,ABCDPQMOH⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0206z x y 令,则设面的法向量 ……………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BD m 即⎩⎨⎧==-0062z y x 令, 则 ……………………12分所以二面角的大小为 …………………14分（Ⅰ）函数的定义域为. ………………1分21'()2f x a a x x=+-. ………………3分 因为是函数的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=.…………5分 解得或.经检验，或时，是函数的极值点. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x=+-. 由，令(21)(1)'()0ax ax f x x+-+==，解得.……9分 当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；…………11分 当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.…13分（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：. ………………4分（Ⅱ）设联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去，得：).(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k ……6分 依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点， 所以， ----① ，由（*）式， -------②，可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+---- ③ ， ………………8分 由①②③，， ………………10分 由点B 在以PQ 为直径的圆内，得为钝角或平角，即.），（），，（11222-=--=y x BQ BP 01222<+--=⋅y x . …12分 即0141441164222>-+++-k k k k ，整理得. 解得：. ………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）具有性质. ……2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而……5分（III）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故.……8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. ……10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以.……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2014北京市石景山区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4 B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2 B．8 C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，则数列{a n}的通项公式a n= ，设b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n= ．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b 和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n=（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x=，k∈N*，k≤2n﹣1}．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．【解答】A．y=x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A不选；B．y=x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y=﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y=2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．【解答】的二项展开式的通项为T r+1=•=•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r=1，得r=3，故x项的系数为•（﹣1）3=﹣10，故选：B．4．【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC==3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2=AD•AB，∴AD==，∴BD=5﹣=．故选：D．5．【解答】∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为：y=﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）=3，解得：p=4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．【解答】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．7．【解答】根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=2015，∴A=﹣1，i=2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．【解答】依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．【解答】设等比数列{a n}的公比q，则q3===8，解得q=2，∴a n=a1q n﹣1=2×2n﹣1=2n，∴b n=log2a n=log22n=n，∴b1=1，∵b n=n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n==故答案为：2n；11．【解答】以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2=x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2=4．又因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3=0的距离d==2=r，解得：．故应填：x2+y2=4；．12．【解答】满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：13．【解答】甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．【解答】作出函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b=0，解得b=﹣k，函数f′（x）=2x，即k=f′（1）=2，∴b=﹣2，即隔离直线方程为y=2x﹣2，故答案为：y=2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．16．【解答】（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P…（12分）∴．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A1BD的法向量，所以即令，则y=2，z=3，所以是平面A1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1=3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt=2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt=0，令g（t）=t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以方程t2﹣1+lnt=0有唯一解t=1．综上，切点的横坐标为1．19．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴=1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△=0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．20．【解答】（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n=1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则=，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n=T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

北京市石景山区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合M=x∈R x2+2x−3≤0，N=x∈R x+1<0，那么M∩N= ______A. −1,0,1B. −3,−2,−1C. x −1≤x≤1D. x −3≤x<−12. 复数i1−i= ______A. 12+i2B. 12−i2C. −12+i2D. −12−i23. 已知向量a=x,1，b=4,x，则“ x=2”是“ a∥b”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知数列a n为等差数列，a4=2，a7=−4，那么数列a n的通项公式为 ______A. a n=−2n+10B. a n=−2n+5C. a n=−12n+10 D. a n=−12n+55. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为______A. 3B. 126C. 127D. 1286. 在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=x围成的区域内（阴影部分）的概率为______A. 12B. 23C. 34D. 457. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为______A. 324B. 328C. 360D. 6488. 已知函数f x满足f x+1=1f x+1，当x∈0,1时，f x=x，若在区间−1,1上，g x=f x−mx−m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______A. 0,12B. 12,+∞ C. 0,13D. 0,12二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知圆C的参数方程为x=1+2cosθ,y=2sinθ,（θ为参数）则圆C的直角坐标方程为______，圆心C到直线l:x+y+1=0的距离为______．10. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=6，c=4，cos B=13，则b= ______．11. 若x,y满足约束条件x≤1,y≥0,x−y+2≥0,则z=x+y的最大值为______．12. 如图，已知在△ABC中，∠B=90∘，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则AB的长为______，CD的长为______．三、解答题（共6小题；共78分）13. 已知函数f x=23sin x cos x+cos2x+1．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．14. 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在85,100之间为体质优秀；在75,85之间为体质良好；在60,75之间为体质合格；在0,60之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：91356801122333445667797056679645856（1）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（2）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．15. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，∠ABC =90∘，AD ∥BC ，且 PA =AD =2，AB =BC =1，E 为 PD 的中点．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角 E −AC −D 的余弦值；（3）在线段 AB 上是否存在一点 F （不与 A ，B 两点重合），使得 AE ∥平面PCF ?若存在，求出 AF 的长；若不存在，请说明理由．16. 已知函数 f x =e x −ax （e 为自然对数的底数）．（1）当 a =2 时，求曲线 f x 在点 0,f 0 处的切线方程； （2）求函数 f x 的单调区间；（3）已知函数 f x 在 x =0 处取得极小值，不等式 f x <mx 的解集为 P ，若 M =x 12≤x ≤2 ，且 M ∩P ≠∅，求实数m 的取值范围．17. 已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 过点 2,0 ，且椭圆的离心率为 12．（1）求椭圆的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且 MP =PN ，再过作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．18. 已知集合 A = −1,0,1 ，对于数列 a n 中，a i ∈A i =1,2,3,⋯,n ．（1）若 50 项数列 a n 满足 a i 50i =1=−9， a i −1 250i =1=107，则数列 a n 中有多少项取值为零?（ a i n i =1=a 1+a 2+⋯+a n ,n ∈N ∗）（2）若各项非零数列 a n 和新数列 b n 满足 b i −b i−1=a i−1 i =2,3⋯,n ． （ⅰ）若首项 b 1=0，末项 b n =n −1，求证数列 b n 是等差数列；（ⅱ）若首项 b 1=0，末项 b n =0，记数列 b n 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最大值和最小值．答案第一部分 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C6. B7. B8. D第二部分9. x −1 2+y 2=4； 2 10. 6 11. 4 12. 4；3 第三部分13. （1） f x = 3sin2x +cos2x +1=2sin 2x +π6 +1， 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以函数 f x 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6 k ∈Z ． （2） 因为 −π4≤x ≤π4，−π3≤2x +π6≤2π3，−32≤sin 2x +π6 ≤1，− 3+1≤2sin 2x +π6 +1≤3，所以当 2x +π6=−π3，即 x =−π4时，函数 f x 取得最小值 − 3+1．14. （1） 根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 1030×300=100 人． （2） 依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10=3:2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为 35×5=3，从体质为优秀的学生中抽取的人数为 25×5=2．（ⅰ）设“在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A ， 则 P A =1−C 33C 53=910．故在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀的概率为 910． （ⅱ）随机变量 X 的所有取值为 1,2,3． P X =1 =C 31⋅C 22C 53=310， P X =2 =C 32⋅C 21C 53=610，P X =3 =C 33C 53=110．所以，随机变量 X 的分布列为：X 123P310610110EX =1×310+2×610+3×110=95．15. （1） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．取AD的中点G，连接GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90∘，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且CG=12AD，所以∠ACD=90∘，即AC⊥CD．又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（2）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz．A0,0,0，C1,0,0，E0,0,1，P0,0,2，所以AP=0,0,2，AC=1,0,0，AE=0,1,1．因为PA⊥平面ABCD，所以AP=0,0,2为平面ACD的一个法向量．设平面EAC的法向量为n1=x,y,z，由n1⋅AC=0，n1⋅AE=0得x+y=0, y+z=0,令x=1，则y=−1，z=1．所以n1=1,−1,1是平面EAC的一个法向量．所以cos n1,AP=222=33．因为二面角E−AC−D为锐角，所以二面角E−AC−D的余弦值为33．（3）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．F a,0,0，则CF=a−1,−1,0，CP=−1,−1,2．设平面PCF的法向量为n2=x,y,z，由n2⋅CF=0，n2⋅CP=0得a−1x−y=0,−x−y+2z=0,令x=1，则y=a−1，z=a2，所以n2=1,−1,a2是平面PCF的一个法向量．因为AE∥平面PCF，所以AE⋅n2=0，即a−1+a2=0，解得a=23，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且AF=23．16. （1）当a=2时，f x=e x−2x，f0=1，fʹx=e x−2，得fʹ0=−1，所以曲线y=−x+1在点y=−x+1处的切线方程为y=−x+1．（2）fʹx=e x−a．当a≤0时，fʹx>0恒成立，此时f x的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，x∈−∞,ln a时，fʹx<0，x∈ln a,+∞时，fʹx>0，此时f x的单调递增区间为ln a,+∞，单调递减区间为−∞,ln a．（3）由题意知fʹ0=0得a=1，经检验此时f x在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f x<mx在12,2上有解，即∃x∈12,2使f x<mx成立，即∃x∈12,2使m>e x−xx成立，所以m>e x−xx min．令g x=e xx −1，gʹx=x−1e xx，所以g x在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，则g x min=g1=e−1，所以m∈e−1,+∞．17. （1）因为点2,0在椭圆C上，所以4a +0b=1，所以a2=4，因为椭圆C的离心率为12，所以ca=12，即a2−b2a=14，解得b2=3，所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．（2）设P−1,y0，y0∈ −32,32，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y−y0=k x+1，M x1,y1，N x2,y2，由3x2+4y2=12,y−y0=k x+1,得3+4k2x2+8ky0+8k2x+4y2+8ky0+4k2−12=0，所以x1+x2=−8ky0+8k23+4k，因为MP=PN，即P为MN中点，所以x1+x22=−1，即−8ky0+8k23+4k2=−2．所以k MN=34y0y0≠0，因为直线l⊥MN，所以k l=−4y03，所以直线l的方程为y−y0=−4y03x+1，即y=−4y03 x+14，显然直线l恒过定点 −14,0．②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1，此时直线l为x轴，也过点 −14,0．综上所述直线l恒过定点 −14,0．18. （1）设数列a n中项为1,−1,0分别有x,y,z项．由题意知x+y+z=50, x−y=−9,z+4y=107,解得z=11．所以数列a n中有11项取值为零．（2）（ⅰ）a i∈−1,1且b i−b i−1=a i−1，得到b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，若a i=1i=1,2,⋯,n−1，则满足b n=n−1．此时b i−b i−1=1，数列b n是等差数列；若a1,a2,⋯,a n−1中有p p>0,p∈N∗个−1，则b n=n−1−2p≠n−1不满足题意；所以数列b n是等差数列．（ⅱ）因为数列b n满足b i−b i−1=a i−1，所以b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，根据题意有末项b n=0，所以a1+a2+⋯+a n−1=0．而a i∈−1,1，于是n为正奇数，且a1a2⋯a n−1中有n−12个1和n−12个−1．S n=b1+b2+⋯+b n=a1+a1+a2+⋯+a1+a2+⋯+a n−1=n−1a1+n−2a2+⋯+ a n−1．要求S n的最大值，则只需a1a2⋯a n−1前n−12项取1，后n−12项取−1，所以S n max=n−2+n−4+⋯+1=n−124（n为正奇数）．要求S n的最小值，则只需a1,a2,⋯,a n−1前n−12项取−1，后n−12项取1，则S n min=−n−2−n−4−⋯−1=−n−124（n为正奇数）．。

2014年石景山区高三统一测试数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B = ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于，则BD 的长为（ ）5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．8C ．3D ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．4B ．95 C ．125D ．165A ．612 B ．33 C ．64D ．36ACDB开始1主视图左视图俯视图A ．2-B ．12 C ．1- D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上， F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p ：0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l k xy ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________．13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）1235567889 1 35567 罗非鱼的汞含量（ppm ）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．A1A1B1CCDB19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． xOyP1l2lMN2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBDDBCA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin a b A =，所以3sin 2sin sin A B A =， …………………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以3sin 2B =， ………………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B = ． …………………………6分（Ⅱ）因为2a =，7b =，所以由余弦定理得2221(7)2222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， 解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． …………………………10分11333=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………………5分 ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分题号9 10 11 12 13 14 答案 0x x e ∀∈≥R ， 2n；(1)2n n + 22+=4x y ；52k =± [59，6] 18022y x =-则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………………10分 其分布列如下：ξ0 1 2 3P827 49 29 127…………………………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线， …………………………2分 所以MD ∥1B C ． …………………………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． …………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，13AA =，D 是AC 的中点． 所以(100)A ，，，(100)B -，，，(003)C ，，，1(130)A ，，， …………………………5分 所以13(0)22D ，，，33(0)22BD = ，，，1(230)BA =，，．yz OBD1B1CCMA1A1B1CBCD设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即33022230x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令3x =-，则2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． …………………………6分由题意可知1(030)AA = ，，是平面ABD 的一个法向量， …………………………7分 所以1231cos 243n AA <>==，． …………………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π． …………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(133)C E x =-- ，，，11(103)C B，，=--设平面11B C E 的法向量1111()n x y z，，=，所以111100n C E n C B，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111(3)3030x x y z x z ，，⎧-+-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令13z =-，则13x =，163y x=-， 16(33)3n x，，=--， …………………………12分又10n n ⋅=，即1233+3303x --=-，解得33x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且33AE =． …………………………14分 18．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）1a =时， 2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝ ， …………………………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，． …………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数，()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立， …………………………5分 12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤， …………………………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-． …………………………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根． …………………………11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1． …………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）231c a b ==∴= ，，，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………………………2分准圆方程为224x y +=． ………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． ………………………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥． ………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±， 当1l ：3x =时，1l 与准圆交于点(31)(31)-，，，， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，垂直． ………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． ………………………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直． 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值． ………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． …………………………3分 （Ⅱ）∵311(1)78n n S =-， 当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=， 3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， …………………………5分 ∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n nb =±； ∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ， 在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2n n nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． …………………………8分 （Ⅲ）2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n n S ---±±±±= ，分子必是奇数， 满足条件121222n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． …………………………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项． 由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++ 12111122()2222k k k n++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分 ∴2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n - ，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． …………………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。

石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（ ）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（ ）A ． 120B ．24C ．12D ．484．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ） A ．257 B ．2524 C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（ ）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为 ． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母） 14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序． （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031， 则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． （Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？ （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分） 已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，PA BCDE请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）． 20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数． （Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ； （Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分 （Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ，∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ CD PA ⊥. …………1分∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂ ∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分 由1==AB PA ，2=BC ，计算得G D2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分 （Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分 又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ， 解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1. ……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ ＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1）， ＝（0，1，12），＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅， ∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=，yx…………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S矩形ABCD，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG . ∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分 19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分 （Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ； 当322<<x 时，012)(2>-='x x f .又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分 要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分 （Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分 又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=t t t t 322)3132(22=-≥. …………………13分 综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f .所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f .∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分 又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分 综上可得，)21(2|)(cos )(sin |t t f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a . 所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分 （Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=， 即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=， 即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分 （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a . ∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根. 即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆kk k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k .………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。