全国通用2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第5节对数函数习题理

第六节 对数函数———————————————————————————————— 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)．(2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg 的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝log 13，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是( )【导学号：31222050】图2­6­1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1 D4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.23(1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(1)A (2)－201.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．(1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－123 31.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(2017·西城区二模)如图2­6­2，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝( )【导学号：31222051】图2­6­2A．2 B．3C. 2D. 3D☞角度1(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c bB☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log a b>1，则( ) A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0D☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f(x)＝log a(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．假设存在满足条件的实数a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在上是关于x的减函数.3分又f(x)＝log a(3－ax)在上是关于x的减函数，∴函数y＝log a u是关于u的增函数，∴a＞1，x∈时，u最小值为3－2a，7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间上为减函数，并且最大值为1.12分 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．1．对数值取正、负值的规律当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0； 当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(九) 对数函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题x－的定义域是( )1．函数y＝log23【导学号：31222052】A．B．2．(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞cB3．若函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是( )图2­6­3A B C DB4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72A5．已知y ＝log a (2－ax )在区间上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：31222053】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.－17．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________． (－∞，－1) (－1，＋∞)8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.3分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).5分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2，7分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12分 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，2分 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x，x ＜0.5分(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4).8分 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市一联)已知点(n ，a n )(n ∈N *)在y ＝e x的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n ＞k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是( )【导学号：31222054】A ．k ＜15B ．k ＜10C ．10≤k ＜15D ．10＜k ＜15C2．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是 ．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． (1)要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).4分 (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.8分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1，所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).12分。

2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·广东湛江模拟]函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( ) A ．(0，e) B ．(0，e] C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞)答案 B解析 本题考查函数的定义域．要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，x >0，解得0<x ≤e，则函数f (x )的定义域为(0，e]，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f x ＋，x <2，则函数f (log 23)的值为( )A ．3 B.13C ．6 D.16答案 D解析 f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 log 26＝2－log 26＝2log 216 ＝16.故选D.3．[2017·山东烟台模拟]已知log a 34<1，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1，综上知A 正确．4．函数f (x )＝ln (4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案 D解析y＝ln t是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t＞0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，当x≥4时，t≤0，所以区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4符合题意．5．[2017·湖南模拟]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.6．[2017·西宁期末]函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．答案(－1,3)解析当x＋2＝1时，x＝－1，f(－1)＝log a(－1＋2)＋3＝3，所以函数f(x)＝log a(x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)．7．[2015·浙江高考]若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案433解析∵a＝log43＝12log23＝log23，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋2log233＝3＋33＝433.8．函数f(x)＝log a(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是________．答案(1,3)解析底数a＞0，y＝6－ax为减函数，又f(x)＝log a(6－ax)为减函数，所以a＞1,6－ax在[0,2]上要恒大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a＞1，6－2a＞0，所以1＜a＜3.9．计算：(1)log34273＋lg 25＋lg 4＋7log72；(2)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＋ln (e e)＋32－log98.解(1)原式＝log33343＋lg (25×4)＋2＝log33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(2)原式＝(lg 2)2＋(lg 2＋lg 10)×(lg 10－lg 2)＋ln e32＋32312log38＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＋3＋92＝10＋92.10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·桂林模拟]使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，由y ＝x ＋1的图象知，满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.12．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a答案 A解析∵a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，∴a＞b.又bc＝12log2312log32＝(log23)2＞1，∴b＞c.故a＞b＞c.选A.13．[2017·河南模拟]已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是________．答案7 2解析由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝12log7A，则1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝log A2＋2log A7＝log A98＝2，A2＝98.又A>0，故A＝98＝7 2.14．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝12log a(ax)·log a(a2x)(a＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值．解由题意知f(x)＝12(log a x＋1)·(log a x＋2)＝12[(log a x)2＋3log a x＋2]＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x＋322－18.当f(x)取最小值－18时，log a x＝－32.又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．∵f(x)是关于log a x的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a2＋322－18＝1，则a＝2－13，此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a8＋322－18＝1，则a＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝⎝⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：函数y ＝ln(x ＋2)在区间(0，＋∞)上为增函数；函数y ＝－x ＋1在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y ＝x ＋1x 在区间(0,1)上为减函数，在区间[1，＋∞)上为增函数．答案：A2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．答案：A3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1.∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．答案：A6．(2017²江西三校第一次联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.答案：A 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞) 8．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4∴a ＋b ＝6.答案：69．函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．解析：由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝2 x －2 ＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4) 三、解答题10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1 ＝－2 x 2＋1－x 1－1 x 1＋1 x 2＋1 ＝－2 x 2－x 1x 1＋1 x 2＋1 .由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在区间[0,2]上是增函数． 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2 x 1－x 2x 1＋2 x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．1．(2017²重庆模拟)已知f (x )是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10D ．(0,1)∪(10，＋∞)解析：因为f (x )是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，由f (lg x )>f (1)，f (1)＝f (－1)． 得－1<lg x <1，所以110<x <10.答案：C2．已知函数f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，构造函数F (x )的定义如下：当|f (x )|≥g (x )时，F (x )＝|f (x )|，当|f (x )|<g (x )时，F (x )＝－g (x )，则F (x )( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：F (x )的图象如图所示，由图可知F (x )有最小值－1，无最大值．故选B.答案：B3．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．解析：根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 故f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减， 则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4.答案：44．(2016²天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.答案：12<a <325．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0. 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016²山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016²新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i 1＋i 2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝1³ 1－z 2 0161－z ＝1－i 2 0161－i ＝1－i4³5041－i＝0. 答案：D7．(2017²芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i 1－i 1＋i ＝12－12i ，11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016²天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数32－i 2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3 2－i 2＝34－4i ＋i 2＝33－4i ＝3 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35. 答案：351．(2017²河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1²z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i ＝2＋ 1－i 21＋i 1－i ＝2－i ，z 1²z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1²z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1²z 2＝________.解析：z 1²z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i，则复数z 在复平面内对应的点为________． 解析：∵i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4³503＋1,2 014＝4³503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝ －1＋i 1－i 1＋i 1－i ＝2i 2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。

第5节对数函数课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.已知x=lnπ,y=log52,z=,则(D)(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x解析:∵x=lnπ>lne=1,∴x>1,y=log 52<log5=,∴0<y<,z==>=,∴<z<1,∴x>z>y,故选D.2.已知a=log 23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是(B)(A)a=b<c (B)a=b>c(C)a<b<c (D)a>b>c解析:a=log 23+log2=log2=log23,b=log 29-log2=log2=log2=log23>,c=log32<log33=1.所以a=b>c.故选B.3.已知指数函数y=a x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上是减函数,则函数y=log a|2x-3|的大致图象为(A)解析:由题意可知,0<a<1,函数y=log a|2x-3|的定义域是(-∞,)∪(,+∞).当x∈(,+∞)时,y=log a(2x-3)是减函数.当x∈(-∞,)时,y=log a(3-2x)是增函数,结合图象可知,选项A正确.故选A.4.若log a(a2+1)<log a(2a)<0,则a的取值范围是(C)(A)(0,1) (B)(C)(D)(0,1)∪(1,+∞)解析:∵a2+1>1,又log a(a2+1)<0,∴0<a<1,又log a(a2+1)<log a(2a)<0,∴∴a>且a≠1.所以<a<1,故选C.5.若函数f(x)=log m x的反函数的图象过点(-1,n),则3n+m的最小值是(A)(A)2(B)2(C)2 (D)解析:函数f(x)=log m x的反函数为y=m x,m-1=n,即mn=1,3m+n≥2=2,当且仅当3m=n时等号成立.故选A.6.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数a等于(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由已知得函数y=x2-2x+a的值域为[1,+∞),即y=x2-2x+a的最小值为1,所以=1,解得a=2,故选B.7.已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f(lg)等于(D)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-3x)+1+ln(+3x)+1=ln(1+9x2-9x2)+2=2.所以f(lg2)+f(lg)=f(lg2)+f(-lg2)=2.故选D.二、填空题8.已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=. 解析:∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2. 答案:29.函数f(x)=的定义域是.解析:由lo(x-1)≥0,得0<x-1≤1,解得1<x≤2.故函数的定义域为(1,2].答案:(1,2]10.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是.解析:由f(a)>f(-a)得或即或解得a>1或-1<a<0.答案:(-1,0)∪(1,+∞)11.已知函数f(x)=a x+log3x(a∈R且a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2+log32,则实数a的值为.解析:∵a>1时,函数f(x)递增,在区间[1,2]上f(x)的最大值为f(2)=a2+log32,最小值为f(1)=a1+log31=a.则a2+log32-a=2+log32,∴a2-a-2=0.∴a=2.答案:2三、解答题12.计算:(1)(lg-lg25)÷10;(2).解:(1)(lg-lg25)÷10=-2×=-2×lg10÷=-20.(2)原式===1.13.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x)有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解:(1)∵f(x)为偶函数,且f(-x)=log4(4-x+1)-kx=log4-kx=log4(4x+1)-log44x-kx=log4(4x+1)-x-kx,∴log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx,∴-1-k=k,即k=-.(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-x=log4(4x+1)-log4=log4(4x+1)-log42x=log4(2x+2-x),方程log4(2x+2-x)=log4(a·2x)有且只有一个实根,即方程2x+2-x=a·2x有且只有一个实根.令2x=t,则(a-1)t2-1=0只有一个正根.则a-1>0,即a>1,∴a的取值范围是(1,+∞).B组14.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m、n的值分别为(A) (A)、2 (B)、4 (C)、 (D)、4解析:f(x)=|log2x|=根据f(m)=f(n)(m<n)及f(x)的单调性,知mn=1且0<m<1,n>1,又f(x)在[m2,n]上的最大值为2,由图象知f(m2)>f(m)=f(n),∴f(x)max=f(m2),x∈[m2,n],故f(m2)=2,易得n=2,m=.故选A.15.若函数y=lg|ax-1|的图象关于x=2对称,则非零实数a=.解析:由于函数图象关于x=2对称,则lg|ax-1|=lg|a(4-x)-1|,即ax-1=-ax+4a-1或ax-1=ax-4a+1恒成立,所以a=0或a=,即非零实数a=.答案:16.若函数y=f(x)=alog 2·log2(4x)在区间上的最大值是25,求实数a的值.解:f(x)=alog 2·log2(4x)=a[(log2x-3)(log2x+2)]=a[(log2x)2-log2x-6],令t=log2x,则y=a(t2-t-6),且t∈[-3,2].由于h(t)=t2-t-6=-,所以当t=时,h(t)取最小值-;当t=-3时,h(t)取最大值6.若a=0,显然不合题意;若a>0,则f(x)的最大值为6a,即6a=25,∴a=;若a<0,则f(x)的最大值为-a,即-a=25,∴a=-4.综上,实数a的值为或-4.。

第5节对数函数基础对点练(时间:30分钟)1.-等于( C )(A)lg (B)1 (C)-1 (D)lg解析:-=lg 5-1-(1-lg 2)=lg 5+lg 2-2=1-2=-1.故选C.2.(2016·河南焦作市高考一模)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=log a|x|的图象大致是( B )解析:若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则a>1,当x>0时,y=log a|x|单调递增,故选B.3.若A(a,b),B(c,d)是f(x)=ln x图象上不同的两点,则下列各点一定在f(x)图象上的是( C )(A)(a+c,b+d) (B)(a+c,bd)(C)(ac,b+d) (D)(ac,bd)解析:因为A(a,b),B(c,d)在f(x)=ln x图象上,所以b=ln a,d=ln c,所以b+d=ln a+ln c=ln(ac),因此,(ac,b+d)在f(x)=ln x图象上,故选C.4.函数y=lo(x2-2x-3)的单调递增区间是( A )(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1)(C)(1,+∞) (D)(3,+∞)解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,当x∈(-∞,-1)时,f(x)=x2-2x-3单调递减,而0<<1,由复合函数单调性可知y=log0.5(x2-2x-3)在(-∞,-1)上是单调递增的,在(3,+∞)上是单调递减的,故选A.5.(2016·湘西州校级一模)设a=log32,b=ln 2,c=,则( A )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)b<a<c (D)c<b<a解析:因为a=log32=,b=ln 2=,因为log23>log2e>1,所以<<1,又c=>1,所以a<b<c,故选A.6.(2016·辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增函数,且f=0,则不等式f(lo x)>0的解集为( C )(A) (B)(2,+∞)(C)∪(2,+∞) (D)∪(2,+∞)解析:由已知f(x)在R上为偶函数,且f=0,所以f(lo x)>0等价于f>f.又f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以︱lo x︱>,即lo x>或lo x<-,解得0<x<或x>2,故选C.7.已知函数f(x)=a x-1+log a x在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a,则实数a为( A )(A)(B) (C)2 (D)4解析:分两类讨论,过程如下:①当a>1时,函数y=a x-1和y=log a x在[1,2]上都是增函数,所以f(x)=a x-1+log a x在[1,2]上递增,所以f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+log a2+1=a,所以log a2=-1,得a=,舍去.②当0<a<1时,函数y=a x-1和y=log a x在[1,2]上都是减函数,所以f(x)=a x-1+log a x在[1,2]上递减,所以f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+log a2+1=a,所以log a2=-1,得a=,符合题意;故选A.8.方程log2(4x-5)=2+log2(2x-2)的解x= .解析:因为log2(4x-5)=2+log2(2x-2),所以4x-5=4(2x-2),即(2x)2-4·2x+3=0,所以2x=1(舍去)或2x=3;所以x=log23.答案:log239.(2016·江西模拟)若函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f=5,则f(2 017)的值为.解析:由函数f(x)=alog2x+blog3x+2,得f=alog2+blog3+2=-alog2x-blog3x+2=4-(alog2x+blog3x+2),因此f(x)+f=4,再令x=2 017得f(2 017)+f=4.所以f(2 017)=4-f=4-5=-1.答案:-1f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为(-∞,-1],求实数a的值;(3)若函数f(x)在(-∞,1]上为增函数,求实数a的取值范围.解:(1)由题意可知,x2-2ax+3=0的两根为x1=1,x2=3,所以x1+x2=2a,所以a=2.(2)因为函数f(x)的值域为(-∞,-1],则f(x)max=-1,所以y=x2-2ax+3的最小值为y min=2,由y=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,得3-a2=2,所以a2=1,所以a=±1.(3)f(x)在(-∞,1]上为增函数,则y=x2-2ax+3在(-∞,1]上为减函数,有y>0,所以即故1≤a<2.所以实数a的取值范围是[1,2).能力提升练(时间:15分钟)a=,b=,c=(),则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c(C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=()可化为c=.在同一坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x,y=log4x的大致图象,如图所示.由图象知,log23.4>log3>log43.6.所以a>c>b.故选C.12.(2016·山东威海市二模)设函数f(x)=|log2x|,若0<a<1<b且f(b)=f(a)+1,则a+2b的取值范围为( D )(A)[4,+∞) (B)(4,+∞)(C)[5,+∞) (D)(5,+∞)解析:画出f(x)=|log2x|的图象如图:因为0<a<1<b且f(b)=f(a)+1,所以|log2b|=|log2a|+1,所以log2b=-log2a+1,所以log2(ba)=1,所以ab=2.所以y=a+2b=a+(0<a<1),因为y=a+在(0,1)上为减函数,所以y>1+=5,所以a+2b的取值范围为(5,+∞),故选D.13.已知函数f(x)=lo(+bx),则下列说法正确的是( C )(A)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,则b=±1(B)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则b=1(C)若b=-1,则函数f(x)是定义在R上的增函数(D)若b=-1,则函数f(x)是定义在R上的减函数解析:对于A,若函数f(x)是定义在R上的偶函数,可得f(-x)=f(x),即为lo(-bx)=lo(+bx),即有-bx=+bx,解得b=0,故A错误;对于B,若函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(-x)=-f(x),即为lo(-bx)=-lo(+bx),即有-bx=(+bx)-1,即有x2+1-b2x2=1,解得b=±1,故B错误;对于C,若b=-1,则f(x)=lo(-x)=lo(+x)-1=log2(+x),由t=+x在x≥0上递增,函数f(x)为奇函数,可得f(x)在R上递增,故C正确,D错误.14.若函数f(x)=lo(2x+1)在上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是 .解析:因为x∈,所以2x+1∈(0,1),且lo(2x+1)>0,所以0<a2-1<1,解得-<a<-1,或1<a<;所以实数a的取值范围是(-,-1)∪(1,).答案:(-,-1)∪(1,)f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m 的取值范围是.解析:由对数有意义知-x2+4x+5>0,解得-1<x<5,又可得二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为x=-=2,由复合函数单调性可得函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5),要使函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,只需解关于m的不等式组得≤m<2,答案:[,2)16.已知函数f(x)=ln x,若x1,x2∈(0,)且x1<x2,则①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;②f()<;③x1f(x2)>x2f(x1);④x2f(x2)>x1f(x1).上述结论中正确的命题序号是.解析:f(x)=ln x,x∈(0,)的图象如图所示.显然f(x)在(0,)上单调递增,故①不正确.又f(x)在(0,)上是凸函数,故f()>,所以②不正确.令F(x)=,x∈(0,),则F′(x)=.所以当x∈(0,)时,F′(x)>0,即F(x)在(0,)上为增函数,又x1<x2,故F(x1)<F(x2),从而<,即x1ln x2>x2ln x1,所以③正确.令G(x)=xln x,x∈(0,),由G′(x)=1+ln x,可知当x∈(0,)时,G′(x)<0,所以G(x)在(0,)上为单调减函数.又x1<x2,从而G(x1)>G(x2),故x2f(x2)<x1f(x1),所以④不正确.答案:③好题天天练1.已知函数f(x)=2 016x+log2 016(+x)-2 016-x+2,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为( A )(A)(B)(C)(0,+∞) (D)(-∞,0)解题关键:复合函数单调性及f(x),f(-x)关系转化.解析:法一由复合函数的单调性有函数f(x)在定义域R上为增函数,且f(-x)=2 016-x+log2x+2,016(-x)-2 016f(x)+f(-x)=log2 016[()2-x2]+4=4,所以不等式f(3x+1)+f(x)>4等价于f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x),则f(3x+1)>f(-x),由函数的单调性有3x+1>-x,解得x>-,选A. 法二记g(x)=f(x)-2,则g(x)=2 016x+log2 016(+x)-2 016-x,易知g(-x)+g(x)=0,即g(x)是奇函数且为R上的增函数.因为g(3x+1)=f(3x+1)-2,g(x)=f(x)-2,所以f(3x+1)+f(x)-4=g(3x+1)+g(x)>0,所以g(3x+1)>-g(x)=g(-x),所以3x+1>-x.所以x>-,选A.f(x)=-|x|,g(x)=lg(ax2-4x+1),对任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为( A )(A)(-∞,4] (B)(0,4](C)(-4,0] (D)[4,+∞)解题关键:依题意转化为函数f(x)的值域与g(x)值域的子集.解析:设函数f(x)的值域为A,函数g(x)的值域为B,对任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2)等价于A⊆B,又因为A={y|y=f(x)}=(-∞,0],即(-∞,0]⊆B,所以h(x)=ax2-4x+1的值必能取遍区间(0,1]的所有实数,当a<0时,函数h(x)的图象开口向下,且h(0)=1,符合题意;当a=0时,h(x)=-4x+1符合题意;当a>0时,函数h(x)的值要想取遍(0,1]的所有实数,当且仅当Δ=16-4a≥0,即a≤4,综上所述,a的取值范围为(-∞,4].故选A.。