圆的切线修改

圆的两条切线数量积定值圆的两条切线数量积定值是一个基本的几何性质，它在解决各种数学问题中都有广泛的应用。

本文将详细介绍圆的两条切线数量积定值以及它的应用。

首先，我们来回顾一下圆的基本概念。

圆是由一条曲线组成的，这条曲线上的任意两点到圆心的距离相等。

圆心是圆内所有点的中心，而半径是圆心到圆上任意一点的距离。

圆的直径是通过圆心且在圆上的一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。

现在我们来讨论圆的两条切线数量积定值。

给定一个圆和一条经过圆外某一点的直线，我们可以通过该点作一条切线与圆相交。

对于同一个圆和同一个外点，通过这个外点可以作出两条不同的切线。

我们可以定义这两条切线的数量积定值为两条切线相交点到圆心的两条半径的长度的乘积。

即如果通过一个外点作出的两条切线分别与圆相交于点A和点B，那么切线数量积定值等于OA × OB，其中O为圆心。

为了更好地理解切线数量积定值的性质，我们可以进行一些简单的几何推理。

首先考虑两条切线互相交换位置，即交换点A和点B。

我们可以看到，切线数量积定值并不改变，因为OA × OB等于OB × OA。

其次，如果两条切线相交于同一点，即点A和点B重合，那么切线数量积定值等于OA × OA，即O为A的切点，那么这个积就等于半径的平方。

最后，如果两条切线相切于圆上的同一点，即点A和点B重合且与切点相同，那么切线数量积定值等于0。

接下来，我们将讨论切线数量积定值的应用。

切线数量积定值在解决各类几何问题中都有广泛的应用。

其中一个常见的应用是解决切线长度问题。

根据切线数量积定值，我们可以知道切线长度的平方等于切线数量积定值除以圆心到切点的距离的平方。

这个性质在解决与切线有关的问题时非常有用。

另一个常见的应用是解决切线和弦相交问题。

根据切线数量积定值，我们可以知道切线与弦相交时，切线上两个交点的数量积等于弦的数量积。

这个性质可以用来解决与切线和弦有关的各种问题，比如求切线与弦的交点坐标等。

圆中与切线有关的解题策略知识精解一、切线的三种判定方法：（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线；证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线。

常见证明切线的方法(添加辅助线)：（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直。

即“连半径，证_______”（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证_______”。

自主学习例1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点。

求证：DE是⊙O切线。

例2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，且AD+BC=AB。

求证：以AB为直径的⊙O与CD相切。

练习1：直线MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，O是AB的中点，⊙O与MN 相切于K．求证：⊙O与PQ也相切．练习2：已知△ABC 中，=∠90 C ，=AC BC ，，D E 分别是，AC BC 的中点，⊙O 是△DCE 的外接圆．求证：AB 是⊙O 的切线．练习3：已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．二. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且这点和圆心连线平分两条切线的夹角。

如图，已知：P 是⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点；结论：(1)PA____PB ； (2)OP______∠APB 。

由切线长定理，可以推得如下重要结论：(1)圆外切四边形的对边和相等；(2)圆的两条平行切线的切点连线是圆的______。

证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.又∵AB=BC ，∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ，∴△BOF ≌△EOF （SAS ）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF 与⊙O 相切，∴OB ⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的⌒ ⌒例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD ，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB ，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E ，∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径，∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE ，∴∠E=∠1.∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,⌒ ⌒∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900. DC即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC ，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD ，∴OB=BC=BD.∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ，OCOP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt △CFG 的外心.∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ，∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF.∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴OD OCOB AC =.∵OA=OB ，∴OD OCOA AC=.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ，∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴CF CD OF ==21.∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.。

尺规作图 过圆外一点作圆的切线方法归纳胡小华(江苏省南京市金陵中学河西分校㊀２１００３６)摘㊀要:尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型.本文阐述了用多种方法过圆外一点作圆的切线ꎬ对学生的数学知识㊁方法㊁经验和思维能力都有一定的要求.通过尺规作图既复习了基本作图知识ꎬ又对圆的性质㊁切线的性质㊁以及切线的判定等知识进行了复习.关键词:尺规作图ꎻ切线ꎻ切线的判定中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３１－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:胡小华ꎬ女ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型ꎬ学生需综合运用所学的知识ꎬ多角度思考问题.在初三第一轮复习时ꎬ我设计了这样一个问题 过圆外一点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ尺规作图ꎬ保留作图痕迹ꎬ并说明作图的依据ꎬ比一比谁的画法多 .学生作品展示图１方法一:利用直径所对的圆周角是直角.连接ＡＯꎬ以ＡＯ为直径作☉Ｂꎬ☉Ｂ与☉Ｏ相交于Ｄ㊁Ｅ两点ꎬ则ＡＤꎬＡＥ即为所求作的切线.理由:☉Ｂ中ȵＡＯ是直径ꎬʑøＡＤＯ＝９０ʎ即ＯＤʅＡＤ.ȵＡＤ经过半径ＯＤ的外端ꎬʑＡＤ与☉Ｏ相切.该方法是由切线想到垂直ꎬ构造直角的常用方法之一是利用直径所对的圆周角是直角这一定理.再由切线图２的判定方法:过半径外端ꎬ并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的作法即转化为主要考虑作半径的垂线的方法ꎬ联系初三刚学过的知识ꎬ我们首先想到的是直径所对的圆周角是直角这一定理ꎬ这一方法也就顺其自然而产生.方法二:利用 等腰三角形三线合一 的性质作垂直.以Ｏ为圆心ꎬＢＣ长为半径作弧ꎬ以Ａ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ两弧交于点ＤꎬＯＤ与☉Ｏ相交于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为☉Ｏ的切线.另一条切线也可以用同样的方法作出.理由:ȵＡＯ＝ＡＤꎬＯＤ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＥ为ＯＤ的中点.ʑＡＥʅＯＤꎬʑＡＥ与☉Ｏ相切.要作切线想到垂直ꎬ而利用等腰三角形三线合一的性质也是我们常见的构造垂直的方法之一.方法三:利用勾股定理的逆定理构造垂直.分析:先假设切线画出来了ꎬ则斜边长为ＡＯ长ꎬ一条直角边长为半径ｒꎬ根据勾股定理可以求出另一条直角边的长.图３作øＤＣＨ＝９０ʎꎬ在ＣＨ上截取半径ｒꎬ交ＣＨ于点Ｇꎬ以Ｇ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ交ＣＤ于点Ｆꎬ则ＣＦ长即为所求作的切线长.以Ａ为圆心ꎬＣＦ长为半径作弧交圆Ｏ于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为所求作的一条切线.理由:ȵøＣ＝９０ʎꎬ１３ʑＦＣ２＋ＣＧ２＝ＦＧ２.又ȵＡＯ＝ＦＧꎬＣＧ＝ＯＥꎬＦＣ＝ＡＥꎬʑＡＥ２＋ＯＥ２＝ＡＯ２.ʑＡＥʅＯＥꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.图４该作图方法是利用勾股定理的逆定理构造直角ꎬ想法比较独特ꎬ通过先构造直角找到三边关系ꎬ再利用三边关系构造直角ꎬ从而创造切线.学生的思维让人眼前一亮.方法四:利用相似作垂直证半径.延长ＡＯ到Ｄꎬ使得ＯＤ＝ＯＡ.以Ｄ为圆心ꎬ以☉Ｏ直径长为半径作弧ꎬ以Ｏ为圆心ꎬＯＡ长为半径作圆ꎬ交弧于点Ｆꎬ连接ＡＦ.过Ｏ点作ＯＥʅＡＦꎬ交ＡＦ于点Ｅꎬ则ＡＥ即为所求作的切线.证明:ȵＡＤ为直径ꎬʑøＡＦＤ＝９０ʎ.ȵＯＥʅＡＦꎬʑＯＥʊＤＦꎬ㊀㊀ʑәＡＯＥʐәＡＤＦꎬʑＯＥＤＦ＝ＡＯＡＤ＝１２ꎬʑＯＥ＝１２ＤＦ＝ｒ.又ȵＯＥʅＡＦꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.前三种方法均是连半径ꎬ作垂直ꎬ第四种方法是作垂直证半径ꎬ刚好复习了初中阶段的证明切线的两种方法ꎬ也是学生综合运用知识解决问题能力的一种体现.在复习期间这样一个开放性的问题激发了学生学习的热情和潜能ꎬ围绕数学问题展开的思维碰撞ꎬ无不是学生学习主动性㊁能动性和创造性的综合体现.在解决问题的过程中复习了初中阶段常见的构造垂直的几种重要方法ꎬ我不禁感叹 只要给学生一个舞台ꎬ他们必将还我一片精彩 !㊀㊀参考文献:[１]沈文选.中学数学思想方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ１９９９.[２]罗增儒.数学思想方法的教学[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２００４(７):２９－３０.[责任编辑:李克柏]以情促教㊀践行自主课堂浅议培养初中生数学情感的策略芮亚琴㊀任㊀庆(江苏省宜兴市桃溪中学㊀２１４２００)摘㊀要:数学情感就是学生在数学活动中对数学产生的求知欲及好奇心ꎬ它更多地倾向于数学兴趣ꎬ能对学生的学习产生积极的影响.注重学生数学情感的培养可以促进教学ꎬ是提高学生学习数学的自主性和主动性的必要条件.本文根据笔者多年的教学经验ꎬ结合教学实例ꎬ就如何培养学生的数学情感提出几点建议.关键词:数学情感ꎻ数学兴趣ꎻ主动学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３２－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:芮亚琴(１９８２.２－)ꎬ女ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.任庆(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀情感是人与生俱来的一种心理活动ꎬ是人们对客观事物是否符合个体需要而产生的态度体验.情感对教学质量有一定的影响ꎬ积极的情感能让学生主动㊁快乐地学习ꎬ养成良好的习惯ꎬ获得一定的成就ꎬ消极的情感则会影响学生的学习效果.当新课标对学生的情感态度目标提出培养要求时ꎬ 数学情感 便作为数学学科上的专有名词被提了出来.初中学生正处在身心快速发展的时期ꎬ在教学中强化情感对学生的学习主动性及自觉性都有着积极的作用.在初中数学教学中ꎬ如何培养学生的数学情感ꎬ对此ꎬ笔者有以下几点粗浅的看法ꎬ供同仁们参考.㊀㊀一㊁渗透情感意义ꎬ体会情感价值什么是数学情感?为何要渗透数学情感的教育?数学情感对数学学习而言有着怎样的意义?让学生明白这些问题的本质是培养学生数学情感的第一步.教师在进行教学时可以将上述问题渗透至教学中ꎬ让学生体会数学情感的价值.如笔者在初二开学的起始阶段ꎬ专门开设了一堂主２３。

直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

圆的切线与切圆关系圆是我们数学中一种基本的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。

本文将探讨圆的切线以及切圆的关系，从而帮助读者更好地理解圆的性质和应用。

一、切线的定义及性质我们首先需要了解切线的定义和性质，才能更好地探讨圆的切线。

切线是指与圆相切的直线，即只有一个点与圆相交。

切线的性质有以下两点：1. 切线与圆的半径垂直。

2. 以切点为端点的切线段是圆的直径的中垂线。

二、圆的切线的求法圆的切线的求法也非常重要。

我们可以通过以下两种方法来求圆的切线：1. 利用三角形的性质，即两条边和夹角相等的关系，来求解切线和切点。

2. 利用切线与半径的垂直关系，以及勾股定理等基本几何定理，求解切线和切点。

三、切圆的关系在了解了圆的切线后，我们还需要了解切圆的关系。

切圆是指一些圆与其他圆相切。

切圆的关系可以分为两种：1. 外切：当两个圆只有一个公共切线时，它们是外切的。

2. 内切：当两个圆有两条公共切线时，它们是内切的。

在实际应用中，切圆关系与调节传动、机械设计等方面有着广泛的应用。

比如，机械设计中的齿轮的设计，就需要考虑齿轮的切圆关系，以保证机械部件的正常运转。

四、切线和切圆的应用圆的切线和切圆的应用有很多，这里只举几个例子：1. 利用切线方程可以求解圆与直线的交点，进而解决相关几何题目。

2. 在实际应用中，切圆关系可以用于设计机械部件的传动装置，以及指导工业生产过程中的制造工艺。

3. 圆的切线和切圆还可以应用于优化地形地貌等方面的问题。

综上所述，圆的切线及切圆关系是数学中非常重要的一部分，它们具有广泛的应用和意义。

通过深入探讨它们的定义、性质、求法和应用，我们可以更好地理解圆的几何特性和应用。