高中数学选修2-2课时作业11：1.7.2 定积分在物理中的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用明目标、知重点1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直 线运动 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间a ，b ]上的定积分，即ʃba v (t )d t .变力 做功 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃba F (x )d x .探究点一 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21t t ⎰v (t )d t 求解；(2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用21t t ⎰v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21t t ⎰v (t )d t .例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解 由速度－时间曲线可知：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， 0≤t ≤10，30， 10≤t ≤40，－1.5t ＋90， 40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040 ＝1 350 (m)．答 汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程． 解 (1)由ʃ4(t 2－4t ＋3)d t ＝(t 33－2t 2＋3t )|4＝43知， 在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0， 得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反． 故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4. 即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m. 探究点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃba F (x )d x .例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5 (0≤x ≤90)20 (90<x ≤120)(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°. 由变力做功公式得：W ＝ʃ500⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |9050＋600 ＝1 12543＋4502＋600≈1 723 (J). 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解 设x 表示弹簧伸长的厘米，F (x )表示加在弹簧上的力， 设F (x )＝kx ，依题意得x ＝5时F (x )＝100， ∴k ＝20， ∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 即x ＝0到x ＝15所做的功W ＝ʃ15020x d x ＝10x 2|150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．答 使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为22.5 J.1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B.72g C.32g D ．2g答案 C解析 h ＝ʃ21gt d t ＝12gt 2|21＝32g .2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810 D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0， 得t ＝30，∴s ＝ʃ300v (t )d t ＝ʃ300(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)|300＝405.3．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力， ∴k ＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4ʃ50x d x ＝4×(12x 2)|50＝50(N·cm)＝0.5(J)．呈重点、现规律]1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础过关1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝ʃ21(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )|21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s. 所以|AB |＝ʃ2501.4t d t ＝0.7t 2|250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s. ∴h ＝ʃ20(40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20 ＝1603(m)． 4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝ʃ100F (x )d x ＝ʃ100x d x ＝12x 2|100＝50 (N ·cm)＝0.5 (J)．5．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ2010d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x ＝10x |20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1答案 B解析 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10 ＝(1＋e)－1＝e. 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 答案 0.36 J解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.12＝0.36 (J)． 8．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位) 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at ＝809－1.8 t ．停止时，v (t )＝0，则809－1.8 t ＝0，得t ＝40081 s ，所以汽车所走的路程s ＝40080⎰v (t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫809t －12t 2×1.8|40080≈21.95(m)．9．把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________． 答案 k q a －k q b解析 W ＝ʃba k q r 2d r ＝－k q r|ba ＝k q a －k q b.10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2J解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝ʃl 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝kv 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝(a b )13.所以阻力所做的功为W 阻＝ʃa0F 阻d x ＝13()0a b ⎰kv 2·v d t＝13()0ab ⎰9kb 2t 4·3bt 2d t ＝13()0a b ⎰27kb 3t 6d t＝277kb 3t 7|13()0a b ＝277k 23b ·73a . 故物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功为277k 23b ·73a .12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解． 设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝ʃa 0v A d t ＝ʃa 0(3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝ʃa 0v B d t ＝ʃa 010t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5.此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与拓展13．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。

1.7.1 定积分在几何中的应用~ 1.7.2 定积分在物理中的应用A 级 基础巩固一、选择题1.如图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．23B ．2－3C ．323D ．3532．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是 ( ) A ．31m B ．36m C ．38mD ．40m3．利用定积分的几何意义，可求得⎠⎛－339－x 2d x ＝ ( )A ．9πB ．92πC ．94πD ．32π4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A ．22 B ．42 C ．2D ．45．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车？ ( ) A ．405 B ．540 C ．810D ．9456．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为 ( ) A ．12B ．3－322C ．6＋32D ．6－32二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是_______.8．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是 .三、解答题9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.10．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m/s)运动．求： (1)在t ＝4s 的位置； (2)在t ＝4s 内运动的路程．B 级 素养提升一、选择题1．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．62．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形区域的A 处与C 处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为 ( )A ．2e 2B ．1－2e 2C ．1eD ．1－1e二、填空题3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 .4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__ __.三、解答题5．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0. (1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0<t <1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．6．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．——★参考答案★——A 级 基础巩固一、选择题 1.[答案]C[解析]S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C ．2．[答案]B[解析]S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 3＝33＋32＝36(m)，故应选B ． 3． [答案]B[解析]由定积分的几何意义知，⎠⎛－339－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方部分(即半圆)的面积， ∴⎠⎛－339－x 2d x ＝12×π×32＝9π2.4．[答案]D[解析]如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝(2x 2－x44)|20＝8－4＝4.5．[答案]A[解析]停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30s ，s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)|300＝405. 6．[答案]D[解析] ⎠⎛3636t dt ＝6t | 63＝6－32，故应选D ． 二、填空题 7．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛－24(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则f ′(y )＝y ＋4－y 22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.8．[答案]43[解析]解法1：如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.解法2：同解法1求得A (1,1)，B (2,1)． 由对称性知阴影部分的面积 S ＝2·[⎠⎛01(x 2－14x 2)d x ＋⎠⎛12(1－14x 2)d x ]＝2·[14x 3|10＋(x －112x 3)|21]＝2×(14＋512)＝43.解法3：同解法1求得A (1,1)B ，(2,1)，C (－1,1)，D (－2，1)． S ＝⎠⎛－22(1－14x 2)d x －⎠⎛－11(1－x 2)d x＝(x －112x 3)|2－2－(x －13x 3)|1－1 ＝83－43＝43. 解法4: 同解法1求得A (1,1)，B (2,1)，取y 为积分变量， 由对称性知，S ＝2⎠⎛01(2y －y )d y＝2⎠⎛1y d y ＝2×(23y 32 |10)＝43.三、解答题9．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 10． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|40＝43(m)， 即在t ＝4s 时刻该质点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|10＋|(13t 3－2t 2＋3t )|31|＋(13t 3－2t 2＋3t )|43 ＝43＋43＋43＝4(m) 即质点在4s 内运动的路程为4m.B 级 素养提升一、选择题 1．[答案]A[解析]⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －(1＋ln1)＝3＋ln2，a >1， ∴a 2＋ln a ＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a ＝2，故选A ． 2．[答案]B[解析]由题意得：S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2，由几何概型得所求概率P ＝1－S 阴S 正＝1－2e 2. 二、填空题 3．[答案]16[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型．联立⎩⎨⎧ y ＝xy ＝x解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32－x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.4．[答案]3[解析]∵切点M 在切线y ＝12x ＋2上，∴f (1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.三、解答题5．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－t ＝16， 即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0，∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.6．解：(1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx . S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43，故点P 的坐标为(43，169)．(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，则S ′＝t 2－2，令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2， 又当0<t <2时，S ′<0；当2<t <2时，S ′>0；故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。

1．7.2定积分在物理中的应用
1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．
2．会利用定积分解决变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．
基础梳理
1．物体以速度v＝v(t)(v(t)≥0)做变速直线运动，在时段t∈[a，b]上行驶的路程s＝v(t)d t．
想一想：物体以速度v＝t2做变速直线运动，在时段t∈[0，2]上行驶的
路程s＝8 3．
2．一物体在恒力F的作用下做直线运动，物体沿着与F相同的方向移动了s，恒力F所做的功是W＝Fs．
想一想：一物体在恒力F＝30 N的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向移动了10 m，恒力F所做的功是300_J．
3．一物体在变力F(x)的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力F(x)所做的功是W＝F(x)d x．想一想：用F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长l m，所耗费的功是W＝F(x)d x．
自测自评
基础巩固
能力提升。