高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2空间中的平行关系优化训练新人教B版必修2

空间中的平行关系 1课堂探究探究一基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．【典型例题1】 如图所示，已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G ，H 分别是边CD 与AD 上靠近D 的三等分点，求证：四边形EFGH 是梯形．思路分析：要证明四边形EFGH 是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，所以EF 12AC ． 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，DH DA ＝DG DC ＝13，所以GH 13AC ． 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，即四边形EFGH 是梯形．探究二等角定理的应用证明角相等的常用方法有： (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B＝________．解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如图所示，连接EE1，因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1AE．所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A E1E．又因为A1A B1B，所以E1E B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1．探究三直线与平面平行的判定定理1．应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．简单地说，线∥线⇒线∥面．3．在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径．(1)中位线→线线平行．(2)平行四边形→线线平行．【典型例题3】一木块形状如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法．解：如图，在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E．在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．证明如下：因为EH∥VB，FG∥VB，所以EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．因为VB 平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以VB∥平面EFGH．同理可证AC∥平面EFGH．点评证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线．添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边．探究四直线与平面平行的性质定理的应用1．性质定理可作为直线和直线平行的判定方法．应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行．2．定理中的三个条件：(1)直线a ∥平面α；(2)平面α，β相交，即α∩β＝b ；(3)直线a 在平面β内．缺一不可．定理的应用流程可表示如下：【典型例题4】 如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值X 围．思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长．解：(1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ．因为HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB ，易得AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥EH ，所以CD ∥平面EFGH ．(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，EF ∥AB ，CD ∥EH ，所以CD ∥FG ，CF CB ＝4x ． 故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－4x ．从而FG ＝6－32x ． 于是四边形EFGH 的周长为l ＝3262x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12－x ．又0＜x＜4，所以8＜l＜12，即四边形EFGH周长的取值X围为(8,12)．点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行在平面内作或找一条直线线面平行作或找经过直线的平面与已知平面的交线线线平行探究五易错辨析易错点：将b⊄α与b∥α等同而致误【典型例题5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α，a，b⊄α．求证：b∥α．错解：因为直线a∥b，所以a与b无公共点．又因为a∥平面α，所以a与平面α也无公共点，又b⊄α，所以b与α无公共点，所以b∥α．错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况，上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，设β∩α＝c．因为a∥α，所以a∥c．因为a∥b，所以b∥c．因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．点评条件中有a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，一定要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．。

2016-2017年高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.2 第2课时平面与平面平行试题新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017年高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.2 第2课时平面与平面平行试题新人教B 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2。

2 第2课时平面与平面平行一、选择题1．已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是错误!（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b,b⊂α,则a∥αD．若a∥b，a∥α,则b⊂α或b∥α[答案］D[解析］若a∥α,b⊂α，则a∥b或a与b是异面直线；若a∥α,b∥α，则a与b相交、平行或异面；若a∥b,b⊂α，则a∥α或a⊂α，故选D．2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA．其中正确命题的个数是错误!（）A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 由已知OM∥PD,∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③，选B．3．若一直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是错误!（)A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α[答案] D[解析] 如图,当直线l∥α或l⊂α时，直线l有无数个不同的点到平面α的距离相等,当l与α相交时,直线l上不可能有相异三个点到平面α的距离相等．4．下列命题中正确的个数是错误!（)①若直线a不在α内,则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行;④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点;⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4［答案］B［解析] 当a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b,b∥α时a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点,∴l与α内任何一条直线都无公共点,∴⑤正确；如图长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．二、填空题5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD,若AMMB＝错误!，则MN与平面BDC的位置关系是________.错误!［答案］平行［解析] ∵M∈AB，N∈AD，错误!＝错误!，∴MN∥BD，∵MN⊄平面BDC,BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BDC．6．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是______________。

1.2.1 平面的基本性质与推论5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是( )A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上解析：利用公理2可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案：D2.如图1-2-1-1所示，请你用符号表示以下各叙述：图1-2-1-1（1）点A、B在直线a上:______________；（2）直线a在平面α内: ______________，点C在平面α内: ______________；（3）点D不在平面α内: ______________；直线b不在平面α内: ______________.答案：（1）A∈a，B∈a （2）a⊆α C∈α（3）D∉α bα3.木匠师父只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳的固定，为什么？解析：这是公理3的应用：三点确定一个平面.答案：公理3的应用.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.由四条平行直线最多可以确定( )A.两个平面B.四个平面C.五个平面D.六个平面解析：本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果.由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.答案：D2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示，延长PQ分别交CB、CD的延长线于M、N，连结MR,交BB1于E，交CC1的延长线于H，连结NH，分别交D1D、D1C1于F、G，则六边形QPERGF为截面图形.答案：D3.下列叙述：①一条直线上有一个点在平面α内,则这条直线上所有的点在这个平面内;②一条直线上有两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内;③若线段AB 平面α,则线段AB延长线上的任何一个点必在平面α内;④一条射线上有两点在同一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内.其中正确的有________________________.解析：①中的直线可能与平面相交;②③④根据公理1知正确.答案：②③④4.如图1-2-1-2,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1、B、D的平面交于P点,求证：A1、P、O在同一直线上.图1-2-1-2证明：连结AC、A1C1.∵O是BD的中点，∴O是AC的中点，且O∈AC.∴O∈平面ACC1A1.∵P∈AC1，∴P∈平面ACC1A1.∴A1、P、O都在平面ACC1A1内.又∵A1、P、O都在平面A1BD内，∴A1、P、O都在平面ACC1A1与面A1BD的交线上，即A1、P、O三点共线.5.求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.解：已知：四条直线a、b、c、d两两相交,且不过同一点.求证：a、b、c、d共面.(1)若a、b、c、d四条直线中有三条共点,不妨设a∩b∩c=A,a∩d=B,b∩d=C,c∩d=D,且相交直线a、d所确定的平面为α,如图所示.∵A∈a,a⊆α,∴A∈α.∵C∈d,d⊆α,∴C∈α.∴AC⊆α,即b⊆α.同理,c⊆α.∴a、b、c、d共面于α.(2)若a、b、c、d四直线无三条直线共点,设a∩b=A,a∩c=B,b∩c=C,且相交直线a、b确定的平面为α,如图所示.∵B∈a,a⊆α,∴B∈α.同理C∈α.∴BC⊆α,即c⊆α.同理d⊆α.∴a、b、c、d共面于α.综合(1)(2)可知,a、b、c、d四线共面.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.下列说法正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形解析：空间四边形不是平面图形，故A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，B也是错误的；C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.答案：D2.与“直线l上两点A、B在平面α内”含义不同的是( )A.l⊆αB.平面α过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内解析：据平面的基本性质，一直线上有两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在该面内.故A、B、D均与此等价，只有C不正确.答案：C3.下列四种叙述：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点不共面,则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线,则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确说法的序号是( )A.②③④B.②③C.①②③D.①③解析：四棱锥中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面.答案：B4.下面判断中正确的是( )A.任意三点确定一个平面B.两条垂直的直线确定一个平面C.一条直线和任一点确定一个平面D.与一条直线相交的三条平行直线共面答案：D5.三条直线两两平行,它们能确定____________个平面.解析：两条平行直线一定能确定且仅确定一个平面，而与此平行的第三条直线情况怎样不确定，故必须分情况讨论.答案：1个或36.分别根据下列条件画出相应的图形：（1）P∈α，Q∉α，P∈l，Q∈l；（2）α∩β=l，△ABC顶点A∈l，B∈α，B∉l，C∈β，C∉l.答案：符合条件的图形如图所示.7.图1-2-1-3是一桌子放倒时的示意图，现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？方法画在图上，判断的重要依据是什么？图1-2-1-3解析：判断四条腿的底端是否在同一平面内，即判断四点是否共面，可依据确定平面的条件，且要具有可操作性.答案：操作方法：用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直，若绳子相交，则说明四点共面，否则不共面.原理是：两相交直线确定一个平面.8.如图1-2-1-4所示，已知A、B、C是平面α外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点.求证：P、Q、R三点共线.图1-2-1-4证明：∵AB∩α=P，AB⊂面ABC，∴P∈面ABC，P∈α.∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证：Q、R也在平面ABC与α的交线上.∴P、Q、R三点共线.9.如图1-2-1-5，α∩β=l，梯形ABCD的两底分别为AD、BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB与CD的交点在l上.图1-2-1-5证明：因为梯形是平面图形，它的两腰AB与CD不平行，故只能相交，假设交点为M，则M∈AB，又AB⊂α，则M∈α，同理，M∈β，则M∈(α∩β)，即M∈l.因此AB与CD的交点在l 上.10.若两条平行直线都和同一条直线相交，则这三条直线共面.解析：文字命题要注意书写已知、求证，而后进行证明.已知：如图，直线a、b、l，且a∥b，l∩a=A，l∩b=B.求证：a、b、l共面.证明：∵a∥b，∴直线a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈a,B∈b.∴A∈α,B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴a、b、l共面.。

高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1自我小测新人教B版必修2自我小测1．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B 的中点，则∠EFG与∠ABC1()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定2．已知△ABC，△DBC分别在平面α，β内，E∈AB，F∈AC，M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，则EF与BC的位置关系是( )A．平行 B．相交或平行C．平行或异面 D．平行或异面或相交3．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能4．下列说法正确的是( )A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是( )A．直线GH和MN平行，GH和EF相交B．直线GH和MN平行，MN 和EF相交C．直线GH和MN相交，MN和EF异面D．直线GH和EF异面，MN 和EF异面6．如图，四棱锥S­ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )A．2＋B．3＋C．3＋D．27．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是_____．8．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．9．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G．若BD＝4，CF ＝4，AF＝5，则EG等于__________．10．如图所示，设E，F，G，H分别是四面体A­BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ，求证：AHAD CFCBCGCD(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．11．有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和平面AC有什么关系？12．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N 分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．参考答案1．答案：B2．解析：如图所示，因为EF∥MN，。

1.2.2 空间中的平行关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线线平行、线面平行的相关公理、定理或性质．2．理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理．3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题．1．平行直线(1)平行公理：过直线外一点__________条直线和已知直线平行．(2)基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相________．上述基本性质通常又叫空间平行线的传递性．(3)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别__________，并且__________，那么这两个角相等．【做一做1】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )．A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行2．空间四边形【做一做2】在空间中，下列说法正确的个数为( )．①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一直线的两直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．43．直线与平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：(1)若直线与平面内的无数多条直线平行，也不能认为直线与平面一定平行，如：直线在平面内，与之平行的直线能有无数条，一定要注意区分“任意”和“无数”不是一回事．(2)直线与平面不相交和直线与平面没有公共点是不一样的，前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况，而后者仅指直线与平面平行．【做一做3－1】如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )．A．相交 B．b∥αC．b⊂α D．b∥α或b⊂α【做一做3－2】过平面外一点可以作__________条直线与已知平面平行．4．直线与平面平行的判定和性质定理(1)判定定理：如果__________的一条直线和________的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线__________．【做一做4－1】已知△ABC，△DBC分别在平面α，β内，E∈AB，F∈AC，M∈DB，N ∈DC，且EF∥MN，则EF与BC的位置关系是( )．A．平行B．相交或平行C．平行或异面D．平行或异面或相交【做一做4－2】P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，则直线PC和平面BDQ的位置关系为__________．1．一条直线与一个平面平行，这条直线与这个平面中直线的关系剖析：一条直线与一个平面平行，它可以与平面内的无数条直线平行，这无数条直线是一组平行线．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ABCD．在平面ABCD内所有与AC平行的直线，由基本性质4知都应与A1C1平行，这样的直线显然有无数多条，但直线A1C1并不是和这个面内的所有直线都平行，在平面ABCD中，所有与AC相交的直线与A1C1的位置关系都是异面．由此说明：直线与平面平行即直线与平面无公共点，则直线与平面内的任意直线都无公共点，则直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系：平行和异面．2．教材中的“思考与讨论”空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，这两个角的大小关系又如何？叙述你得到的结论，并说明理由．剖析：由已知可得如下结论：结论1：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角相等．结论2：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补．证明：对于结论1：如图(1)，延长CA到C2，延长BA到B2.由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2，同理A1C1∥AC2.易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB与AB2，AC与AC2方向相反，可知AB2与A1B1，AC2与A1C1方向相同，由等角定理可知，∠B2AC2＝∠B1A1C1.从而有∠BAC＝∠B1A1C1.所以结论1是成立的．对于结论2，如图(2)，AC与A1C1平行且方向相同，AB与A1B1平行且方向相反，延长BA 到B2，就有AB2∥A1B1，且AB2与A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC ＋∠BAC＝180°，∴∠BAC与∠B1A1C1互补．题型一基本性质4的应用【例1】如图所示，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G，H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形．分析：要证明四边形EFGH是梯形，需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．反思：证明空间两直线平行，可寻找第三条直线，使之与这两条直线分别平行，利用基本性质4可证．除此之外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．题型二等角定理的应用【例2】已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.分析：欲证两个角相等，可运用等角定理来解决．反思：空间两角的两边分别平行，若方向相同则两角相等；若一边方向相同，另一边方向相反，则两角互补．题型三 线面平行的判定定理的应用【例3】如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BB 1D 1D ．分析：解答本题可先在平面BB 1D 1D 内寻求一条与EF 平行的直线，再根据线面平行的判定定理证明．反思：按照“先找线后作线”的两步法，在平面BB 1D 1D 中现有的直线BB 1，DD 1，BD ，B 1D 1都不能作为与已知直线EF 平行的线，再者作线的话在平面内也没提示特殊点，只得过E ，F 作平面BB 1D 1D 的垂线，产生与直线EF 平行的线．题型四 线面平行性质定理的应用【例4】如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用相似性质来求边长． 反思：判定与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行――------→在平面内作或找一条直线线面平行―-------------―→经过直线作或找平面与平面的交线线线平行题型五 易错辨析【例5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a ∥b ，a ∥平面α，a ，b ⊄α.求证：b ∥α. 错解：∵直线a ∥b ，∴a 与b 无公共点． 又∵a ∥平面α，∴a 与平面α也无公共点， 又b ⊄α，∴b 与α无公共点，∴b ∥α.错因分析：b ⊄α包含b ∥α和b ∩α＝M 两种情况，上面证明误认为b ⊄α即意味着b ∥α而致错．反思：根据条件a ∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a 作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．1若一个角的两边和另一个角的两边平行，则这两个角( )．A．相等 B．互补C．相等或互补 D．大小关系不确定2已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行．其中正确的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．33如图，点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD成90°角，则四边形EFGH是( )．A．菱形 B．梯形C．正方形 D．空间四边形4两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________．5如图，正方形ADEF与梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，且AB＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：BM∥平面ADEF.答案：基础知识·梳理1．(1)有且只有一(2)平行(3)对应平行方向相同【做一做1】D2．不共面空间四边形ABCD相邻顶点间不相邻【做一做2】B 有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是空间四边形，故①不正确，同理，②也可能是空间四边形，只有③④正确．【做一做3－1】D b⊂α能满足a∥b，且a∥平面α；b ∥α也能满足a ∥b ，且a ∥平面α.【做一做3－2】无数4．(1)不在一个平面内 平面内 (2)平行 【做一做4－1】A 如图所示，∵EF ∥MN ， ∴EF ∥平面BCD .又EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ， ∴EF ∥BC .【做一做4－2】PC ∥平面BDQ 连接AC ，BD 交于点O ，可证得PC ∥OQ ，∴PC ∥平面BDQ . 典型例题·领悟【例1】证明：在△ABC 中，∵E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，∴EF 12AC . 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，DH DA ＝DG DC ＝13，∴GH 13AC . ∴EF ∥GH 且EF ≠GH ， 即四边形EFGH 是梯形．【例2】证明：如图所示，连接EE 1.∵E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，∴A 1E 1AE .∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又∵A 1A B 1B ， ∴E 1E B 1B .∴四边形BB 1E 1E 是平行四边形． ∴EB ∥E 1B 1.同理，EC ∥E 1C 1.又∠BEC 与∠B 1E 1C 1的两边的方向相同， ∴∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.【例3】证明：分别过E ，F 作BD ，B 1D 1的垂线，垂足为E 1，F 1，连接E 1F 1.因为EE 114AC ，FF 114A 1C 1，AC A 1C 1， 所以EE 1FF 1，所以四边形EE 1F 1F 为平行四边形，所以EF ∥E 1F 1. 又因为EF ⊄平面BB 1D 1D ，E 1F 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .【例4】解：(1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH .同理，∵CD ∥EH ， ∴CD ∥平面EFGH .(2)设EF ＝x (0＜x ＜4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，∴CF CB ＝x 4.故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4.从而FG ＝6－32x . 于是四边形EFGH 的周长为l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x .又0＜x ＜4，∴8＜l ＜12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8,12)．【例5】正解：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β，设β∩α＝c . ∵a ∥α，∴a ∥c . ∵a ∥b ，∴b ∥c .∵b ⊄α，c ⊂α，∴b ∥α. 随堂练习·巩固1．C 由等角定理可知选项C 正确．2．A 一条直线和另一条直线平行，那么它就在经过这两条直线的平面内，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；对于③④，直线有可能在平面内．3．C4．b ⊂α或b ∥α5．证明：取DE 中点N ，连接MN ，AN ，在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点．所以MN ∥CD ，且MN ＝12CD .由已知AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以MN ∥AB ，且MN ＝AB .所以四边形ABMN 为平行四边形． 所以BM ∥AN .又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .。