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20．1平行四边形的判定（1）教学目的1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形；2．理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形3．能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形。
教学重点和难点重点：平行四边形的判定定理；难点：掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。
教学过程（一）复习提问：1. 什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）2. 将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来。
（如果……那么……）根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？（二）新课一．平行四边形的判定：方法一（定义法）几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形解析：一个四边形只要其两组对边分别互相平行，则可判定这个四边形是一个平行四边形。
活动：用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等。
设问：这个命题的前提和结论是什么？ 已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝ 求证：四边ABCD 是平行四边形。
分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是须证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角等。
连结BD 。
易证三角形全等。
（见图1）板书证明过程。
一个四边形是平行四边形的方法为：∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 练习：课本P103练习题第1题。
例题讲解：例1 已知：如图3，E 、F 的中点，连结BE 、DF 。
求证：21∠=∠分析：由我们学过平行四边形的性质中，对角相等，得若证明四边形EBFD 为平行四边形，便可得到21∠=∠，哪么如何证明该四边形为平行边形呢？可通过证明ΔABE ≌ΔCDF 得BE=DF ；由AD=BC ，E 、F 分别为练习：2. 已知如图7，E 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且 求证：四边形EFGH （让学生板演） 本课小结：一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形这个判定定理来判定一个四边形是平行四边形。
第10讲平行四边形的判定定理（核心考点讲与练）一．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．二．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．一．平行四边形的判定（共6小题）1．（2021春•满洲里市期末）四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠A＝180°C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D【分析】利用平行四边形的五种判定定理可得出答案；【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；B．∠A+∠B从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；C．同理A，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，则BA∥CD，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定定理，得出另一对边平行是解题关键．2．（2021春•台儿庄区期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．3．（2021春•蚌埠月考）八年级（1）班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件．如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上．求证：四边形AECF是平行四边形．条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中所填的条件符合题目要求的是（）A．①②B．①②③C．①④D．④【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由BE＝DF得AF＝EC，且AF∥CE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，∴AF＝EC，且AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练运用平行四边形的判定与性质是本题的关键．4．（2021春•海淀区校级期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可得到结论．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是两组临角相等，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B，不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是两组临边相等，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．5．（2021春•商河县期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝DCC．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D．AO＝CO，BO＝DO【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AD∥BC，AB＝DC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；C、∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2021春•饶平县校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCBC．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，∴不能得到∠OAB＝∠OCD，∴不能得到AB∥CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝DC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．二．平行四边形的判定与性质（共9小题）7．（2021春•越城区期末）下列四个条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．一组对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】由平行四边形的判定定理即可求解．【解答】解：能判定四边形是平行四边形的条件是：对角线互相平分，理由如下：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．8．（2021春•丽水期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是（）A．AB∥DC B．AD＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．∠DBC＝∠BAC【分析】根据OA＝OC，OB＝OD先判断四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可进行判断．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，故A，B，C选项成立；∵AD∥CB，∴∠DBC＝∠ADB，故D选项不成立．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据OA＝OC，OB＝OD先判断四边形ABCD是平行四边形．9．（2021春•杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD 上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故②③④正确，∵∠FGH不一定等于90°，∴GF⊥BD不正确，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．10．（2021春•东阳市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．（1）求证：四边形BECO是平行四边形．（2）若OB⊥AC，OF＝4，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形ABCD得OB＝OD，由平行四边形DOEC得EC∥OD，EC＝OD，进而证明OB∥EC，OB＝EC，即可得出结论；（2）先证明平行四边形ABCD是菱形，再证明平行四边形BECO是矩形，求得BC＝8，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵四边形DOEC为平行四边形，∴OD∥EC，OD＝EC，∴EC∥OB，EC＝OB，∴四边形BECO为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，∴四边形ABCD是菱形，由（1）得：四边形BECO为平行四边形，∴EF＝OF＝4，∵OB⊥AC，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BECO为矩形，∴BC＝OE＝2OF，∵OF＝4，∴BC＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝32．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．11．（2021春•椒江区期末）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝3，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连接DE并延长至C，使得DE＝CE．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若CD⊥BF，求CD长．【分析】（1）根据线段中点的定义得到BE＝EF，由DE＝CE，得到四边形BDFC是平行四边形；（2）根据菱形的判定定理得到四边形BDFC是菱形，设BD＝DF＝x，根据勾股定理得到BF＝，根据菱形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点E为是边BF的中点，∴BE＝EF，∵DE＝CE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）解：∵CD⊥BF，四边形BDFC是平行四边形，∴四边形BDFC是菱形，设BD＝DF＝x，在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵BF＝＝＝，∵S菱形BDFC＝DF•AB＝BF•CD，∴CD＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，证得四边形BDFC 是菱形是解题的关键．12．（2021春•下城区期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．13．（2021春•拱墅区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，∴AE＝OB＝．【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．14．（2021•淮安模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F两点，点G，H 分别为AD，BC的中点，连接GH交BD于点O．求证：EF与GH互相平分．【分析】先证△ABE≌△CDF，得BE＝DF，再证四边形BHDG是平行四边形，点OB＝OD，OG ＝OH，则OE＝OF，即可得出结论．【解答】证明：连接BG、DH，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵G，H分别为AD，BC的中点，∴BH＝BC，GD＝AD，且AB＝CD，∴BH＝GD，且BH∥GD，∴四边形BHDG是平行四边形，∴OB＝OD，OG＝OH，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴EF与GH互相平分．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．15．（2021春•余杭区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，点E是AB的中点，点F是AC延长线上一点，连接EF．（1）若ED⊥EF．求证：ED＝EF．（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形，并证明你的结论（请补全图形，再解答）（3）若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给予证明．【分析】（1）连接CE，证△CEF≌△AED（ASA），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得CF＝AD，再证CP是△ABF的中位线，得CP＝AB＝AE即可得出结论；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证Rt△DME≌Rt △FNE（HL），得∠ADE＝∠CFE，进而得出∠DAF＝∠DEF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，如图1所示：∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED（ASA），∴ED＝EF；（2）解：四边形ACPE是平行四边形，理由如下：连接CE，如图2所示：由（1）得：△CEF≌△AED，∴CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴CP是△ABF的中位线，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：若ED＝EF，ED与EF垂直，理由如下：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，如图3所示：则∠MAF＝90°，∵∠NAE＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAE，∴EM＝EN，在Rt△DME与Rt△FNE中，，∴Rt△DME≌Rt△FNE（HL），∴∠ADE＝∠CFE，∵∠DAF+∠ADE＝∠DEF+∠CFE，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2021•娄星区模拟）下列结论中，不一定成立的是（）A．平行四边形对边平行B．平行四边形对角相等C．平行四边形对角线互相平分D．平行四边形对角线相等【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线互相平分，但是对角线不一定相等，矩形的对角线相等．所以不一定成立的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．2．（2021•广饶县一模）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选分层提分项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．3．（2021春•杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD 上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故②③④正确，∵∠FGH不一定等于90°，∴GF⊥BD不正确，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．4．（2021春•海淀区校级期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可得到结论．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是两组临角相等，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B，不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是两组临边相等，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．二．填空题（共4小题）5．（2019•西湖区校级自主招生）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（﹣2，0），若在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【分析】画出图形，利用平行四边形的性质得出D点位置即可求出答案．【解答】解：∵A的坐标为（﹣2，0），∴坐标系如图1所示：当CD∥AB，CD＝AB＝2时，四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标为（0，﹣2）；如图2，四边形ABDC是平行四边形，∴D（4，﹣2）；如图3，四边形ADBC是平行四边形，∴D（﹣4，2）．故答案为：（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，注意不要漏解．6．（2017春•江干区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，四位同学想通过添加一个条件，使四边形AECF成为平行四边形．他们添加的条件分别是：甲，BE＝DF；乙，AE ∥CF；丙，AE＝CF；丁，∠EAF＝∠AFC．添加正确的同学是甲、乙．【分析】由平行四边形的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，甲，∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即CE＝AF，又∵CE∥AF，∴四边形AECF成为平行四边形，故甲正确；乙，∵AF∥CE，AE∥CF，∴四边形AECF成为平行四边形，故乙正确；丙，由AE＝CF，AF∥CE，不能得出四边形AECF是平行四边形，故丙不正确；丁，由AF∥CE，∠EAF＝∠AFC不能得出四边形AECF是平行四边形，故丁不正确；故答案为：甲、乙．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．（2021•海淀区二模）如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是AD＝BC或AB∥CD（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】在四边形ABCD中，AB＝CD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可求得答案．【解答】解：在四边形ABCD中，AB＝CD，∴再加条件AB∥CD或AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形．故答案为：AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）．【点评】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．8．（2021春•余姚市校级期中）在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为3个．【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格结构的特点找出平行四边形即可得解．【解答】解：如图所示：图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握网格结构以及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．三．解答题（共8小题）9．（2021春•西湖区校级期中）如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得DE＝BF，即可得结论；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB＝AE＝3，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E，点F分别是AD，BC的中点，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴AD＝2AE＝6，∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．10．（2017春•杭州期中）已知如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．【分析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．容易证明AD＝BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，理由：∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．11．（2021秋•台州期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．AD与CB有什么关系？证明你的结论．【分析】AD＝BC且AD∥BC，通过证明△ABD≌△CDB推知AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，由平行线的判定定理推知AD∥BC．【解答】解：AD＝BC且AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS）．∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD．∴AD∥BC．【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．12．（2020春•杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连结BF，DE．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD，若BE＝3，BF＝5，求BD的长．【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，易证得△ABE≌△CDF，即可得BE∥DF，BE＝DF，则可证得四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD交AC于点O，根据平行四边形的性质得到OE＝OF，OB＝OD，根据勾股定理得到EF＝4，求得OE＝2．再由勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD交AC于点O，∴OE＝OF，OB＝OD．∴BE⊥AC，BE＝3，BF＝5，∴EF＝4，∴OE＝2．在Rt△OBE中，．∴．【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，证得四边形BFDE是平行四边形．13．（2021春•滨江区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AE＝CF，即可得出结论；（2）由勾股定理得DE＝3，则AD＝2DE＝6，再由平行四边形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF，且AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，∵CE⊥AD，∴∠DEC＝90°，∴DE＝＝＝3，∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝6，∴▱ABCD的面积＝AD×CE＝6×4＝24．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出DE的长是解题的关键．14．（2020春•衢州期末）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且∠AFD＝∠CEB．求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】证△ADF≌△CBE（AAS），得DF＝BE，再证DF∥BE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAF＝∠BCE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴DF＝BE，又∵∠AFD＝∠CEB，∴DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．15．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AD＝BC，再由ASA证明△ADE≌△CBF即可；（2）由平行四边形的性质得DC∥AB，则DF∥EB，再由全等三角形的性质得AE＝CF，得DF ＝EB，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：四边形DEBF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴DF∥EB，由（1）得：△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．。
浙教版数学八年级下册第4章平行四边形4．4平行四边形的判定定理利用边判定平行四边形专题练习题1．在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( ) A．∠A＋∠C＝180°B．∠B＋∠D＝180°C．∠A＋∠B＝180°D．∠A＋∠D＝180°2．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，周长为40 cm，两邻边的比是3∶2，则较长边的长度是( )A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm3．如图，在▱ABCD中，E，G是AD的三等分点，F，H是BC的三等分点，则图中平行四边形共有( )A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝____．5．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AE＝DF，AF＝DE，那么四边形AFDE的周长是( ) A．30 B．25 C．20 D．157．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠A＝110°，则∠B＝____．8．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为_______．9．已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形为____四边形，依据是_________________________________________________．10．在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连结BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．11．根据图中所给的边长长度及角度，判断下列选项中的四边形是平行四边形的为( ) 12．如图，四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形，则判定四边形ABCD是平行四边形的依据是_________________________________________________13．请从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.这四个条件中选取两个，使四边形ABCD 成为平行四边形．这样的选法一共有____种．14．如图，在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(－1，－2)，C(2，－2)三点坐标，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是_____________．(填序号)①(－2，0)；②(0，－4)；③(4，0)；④(1，－4)．15．如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.求证：四边形BECF是平行四边形．16．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD，△BCE，△ACF.求证：四边形AFED为平行四边形．17．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E.(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：DE＋DF＝AC；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为___________________；(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC＝6，DE＝10，求DF的．答案：1. C2. C3. D4. 35. 解：证△AFD≌△CEB得AD＝BC，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形6. A7. 70°8. 65°9. 平行两组对边分别相等的四边形是平行四边形10. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，∴DE＝BF，AE ＝CF，∠BAD－∠DAE＝∠BCD－∠BCF，即∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形11. B12. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形13. 414. ①②③15. 解：证△ABE≌△DCF，得BE＝CF，又∠BEF＝∠CFE＝90°，∴BE∥CF，∴四边形BECF 是平行四边形16. 解：先证△DBE≌△ABC，得DE＝AC＝AF，再证△FEC≌△ABC，得EF＝AB＝AD，∴四边形AFED是平行四边形17. 解：(1)∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AF＝DE，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF，∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB＝AC(2) DE＋AC＝DF(3)∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠BDF＝∠C，又∵AB＝AC，∠ABC＝∠DBF，∴∠BDF＝∠DBF＝∠ABC＝∠C，∴BF＝DF，∵AB＋BF＝DE，∴AC＋DF＝DE，∴DF＝DE－AC＝10－6＝4初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
