A20004011中南大学杨洲 刘天冬 蒋林轩

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
制动器试验台的控制方法分析
摘要
本文就制动器试验台的控制方法进行了探讨和分析，并给出了两种用来进行试验台模拟的计算机控制方法。
对问题一和问题二，本文采用了物理分析的方法，运用相关物理知识（如刚体的转动，刚体动力学等）并严格按照相关物理量的定义（如等效转动惯量的定义等）建立了刚体动力学方程来进行求解。求解的结果为：问题一的等效转动惯量为52.0kg. ；问题二理论上存在8种组合，但需要的补偿惯量落在所给补偿惯量区间内的只有两种，组合成的机械惯量分别为39.99kg. （仅使用飞轮一），69.99kg. （仅使用飞轮三），两种情况下需要补偿的惯量分别为12.01kg. 和-17.99 kg. 。
=
将上式进行适当的变换，转换成：
=
模型应用
根据上述推导出的模型一公式：
=
结合已知条件：单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，将以上数据代入到上式可以计算出在已知条件下的等效转动惯量为：
=52.0(kg. )
3.
问题分析
本问题的分析方法和上一问题的思路基本上是相同的，解决问题的关键还是几个定义：何为基础惯量？何为机械惯量？电动机补偿惯量的原理是什么？在解决问题的过程中要找到这些惯量之间的关系，在根据相应的物理计算公式计算出相应刚体的惯量，根据找出的惯量之间的关系进行合理的组合，找到合理的组合方式，并求出其需要电动机补偿多少的惯量，这些就是要求完成的问题。
(2)数据信息：数据信息主要是实际情况相关参数的数值，车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动问题与刚体的转动等物理知识相关，因此通过查阅相关物理文献资料[1]可以获得如下信息。
刚体旋转的线速度 是此刚体旋转时的角速度 与刚体半径r的乘积；
即 (2.1)
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：20004011
所属学校（请填写完整的全名）：中南大学
参赛队员(打印并签名)：1.杨洲
2.刘天冬
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
(t) = × (t)
根据式(2.3)，可以求得路试情况下在整个制动过程中车所消耗的动能（不考虑车轮自身转动具有的能量）:
=
根据式(2.2)，可以求得实验台模拟情况下在整个制动过程中所消耗的能量：
= (t
根据等效转动惯量的定义应该有下式成立：
=
对上式展开得到：
=
通过对上式进行化简整理可以得到试验台等效的转动惯量换算公式为：
刚体因为旋转所具有的旋转动能E是刚体的转动惯量J与角速度 的平方乘积的一半；
即E = (2.2)
车辆平动时所具有的动能 为车的质量m与车速 的平方乘积的一半；
即 = (2.3)
模型建立
符号说明
:车轮的半径；
:实际要进行模拟的车与其负载总质量；
:路试过程中制动中轮胎承受的载荷；
:路试过程中在制动以后车轮胎实际线速度变化函数；
对问题三，本文首先假设车辆是在水平路面上行驶的，建立了水平制动模型。在该模型中运用能量守恒原理找到了驱动电流产生的扭矩与实际观测到的扭矩之间的方程关系（式（4.10）），将已知数据代入上述方程计算得到驱动电流为175.05A（仅使用飞轮一）和-262.26A（仅使用飞轮三）。然后本文对上述模型进行了拓展，研究了汽车在斜坡行驶的情况，建立起了斜坡制动模型。模型中引入了重力扭矩对制动过程的影响，假设汽车行驶在坡度为 的斜坡上，将此时制动器的负载等效为惯性动能和重力功，得出了驱动电流产生的扭矩随制动力扭矩和重力扭矩的关系式（式4.17），此关系式当 = 时还原为水平制动模型，说明斜坡制动模型更具有一般性。
4.物理知识：刚体的转动惯量的计算公式为 (3.1)
式中：r——刚体到转轴的垂直距离；
——刚体的质量。
模型建立与求解
符号说明
:飞轮的密度；
:飞轮的外直径；
:飞轮的内直径；
:第i个飞轮的厚度；
:第i个飞轮填补之后的总质量；
:第i个飞轮所填补的小飞轮的质量；
:第i个圆盘的转动惯量；
:第i个飞轮的转动惯量。
2.
问题分析
本问题的目的是根据车辆实际制动时的相关条件，求出在制动器模拟过程中的一个重要参数——等效惯量。解决此问题首先要抓住问题的关键，那就是何为等效惯量？解决问题的过程一定要严格按照等效惯量的定义执行。然后根据这个定义的需要求出相关的物理量，按照物理知识并结合定义就可以解决此问题，因此这个题目的本质定格为一个物理知识的应用问题。
已具备的条件
通过上述对此问题的分析，已经初步掌握了问题的目的以及问题的关键，进一步在题目中搜索相关信息，获得了与解决此问题相关的信息如下：
(1)等效惯量的定义：路试车辆的制定车轮在制动时承受载荷，将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量；
模型二
通过查找与刚体转动部分相关的文献资料，对于像圆环或者圆盘这类的刚体要计算它们的转动惯量要采用填补法和微分法进行，下面就结合这两种方法的来推导转动惯量的计算公式。
填补法顾名思义就是在类似圆环这种刚体的内部填补一个与已知刚体密度、厚度、内径均相同的圆盘，如下图所示：
图一 填补法示意图
经过填补过后，第i个飞轮的质量为 ，用来填补的小圆盘的质量为 = 。并且经过填补之后圆环转动惯量的求解问题就转化成求两个圆盘的转动惯量之差的问题。
d = ，
因此对于整个圆盘的转动惯量为
= ，
因此第i个飞轮的转动惯量为两个圆盘的转动惯量之差，将以上公式进行代入化简可以得到第i个飞轮的转动惯量为：
= -
化简得： [(
通过上述讨论得到了对于任何一个飞轮转动惯量的计算公式为:
[(
模型应用
根据上述模型二讨论的计算公式 [( ，并结合题目所给的已知条件：外直径 =1m，内直径 =0.2m，厚度 =0.0392m， =0.0784m， =0.1568m， =7810kg/ 。可以求出这三个环形飞轮各自的转动惯量，数据见下表。
对问题四，本文以能量误差百分比（定义参见式5.1）为评价指标，分别计算了各个时间段路试时制动器与相对应实验台上制动器在制动过程中的能量。对于实验台上制动器每个时间段的能量，本文用扭矩能量与机械转动惯量产生的动能之和来衡量，而对于路试时的能量本文将转速差按时间段均分，用各个时间段的动能（等效为等效惯量与该时间段转速平方之积的一半）来衡量，最后算出平均能量误差为25 ，得出结论：该控制方法不好，应该进一步改进使得能量误差百分比缩小。
对问题五，由于试验台数据无法事先预知，只有以前的数据，因此对电流的控制带来了困难，有时滞和其他干扰的影响，使得想要达到的目的模糊化，加上有补偿转动惯量这一因素，因而有考虑电流控制的必要。本文根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩设计了本时间段的电流值的计算机控制方法—位置式数值PID控制法。本控制法以电流为实际输出，以该电流产生的扭矩为反馈量（本文将电流转化为它产生的扭矩来做研究），利用电流扭矩的反馈不断地缩小误差，从而改变输入的驱动电流值。最后本文对特定系统，利用第四问的数据给出了位置式数字PID控制的参数值（表四）和控制前后的电流扭矩图（图十二）。针对这个特定的系统本文给出了它不足之处：当给定系统一个冲击 (t)(即系统出现不稳定时)时它会出现很大的波动。
模型一
由于路试车轮胎角速度的变化规律与模拟实验台上制动以后车轮角速度的变化规律相同，也即下式成立：
(t) = (t)
根据式(2.1)刚体旋转时线速度与角速度的关系，路试过程中制动后轮胎的线速度与角速度有下式的关系：
(t) = × (t)
由以上两式可以得出制动后路试轮胎的线速度与试验台上制动后的角速度之间的关系为：
对于计算圆盘的转动惯量要利用到微分法，如下图所示，在圆盘上任意取定一个宽度很小的圆环，宽度为dr，圆环的宽度很小，以至于可以利用圆环的内半径r近似代替整个圆环到圆心的距离，且有dr<<r，
图二微元法计算转动惯量示意图
那么此圆环的质量微元为:
d
根据转动惯量的定义,式(3.1)可得此小段的转动惯量微元为:
表一各飞轮的转动惯量
飞轮
外直径(m)
内直径(m)
厚度(m)
密度( )
转动惯量
飞轮一
1
0.2
0.0392
7810
29.99
飞轮二
1
0.2
0.0784
7810
59.99
飞轮三
1
0.2
0.1568
7810
119.97
根据问题一所求得的等效的转动惯量为 =52.0(kg. )，以这个数值为组合目标，对于上述得到的三个飞轮转动惯量和已知给出的机械惯量进行不同的组合，在理论上应该有 =8种组合，但由于实际电流补偿的惯量范围为[-30,+30]kg. 。因此不同的组合并不一定符合要求，详见下表。
已具备的条件
通过上述对本问题的分析，已经了解了要解决的相关问题是什么。进一步在题目中搜索相关信息，获得了与解决此问题相关的信息如下：
1.基础惯量的定义：实验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量；