高中数学二面角的教案

二面角一、素质教育目标(一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．(三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P．39中图1—43）,等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角"叫二面角，那么如何定义二面角呢?阅读课本P．39-40，回答下列问题．师:我们先来回忆：什么是角?如何表示？生:从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1-117）,表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生:棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式(如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同,根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。

《二面角》教学设计第二课时◆教学目标1、进一步理解线面角的定义.提升学生的数学抽象素养.2、掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法，提升学生的数学运算素养◆教学重难点◆教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第50-52页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第二课时用空间向量求二面角的大小．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知问题2：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：由图（1）（2）易知，〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ追问：根据上述解答过程,请同学们探究二面角为锐角和钝角时的余弦值情况.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：已知θ为锐角,当〉〈21n n ，为锐角时,θ=〉〈21n n ，,〉〈=21,cos cos n n θ,当〉〈21n n ，为钝角时,〉〈-=21,n n πθ,〉〈-=21,cos cos n n θ,所以恒有|,cos |cos 21〉〈=n n θ.设计意图：该内容探究的是如何用两个平面的各自一个法向量去研究两个平面所成角的大小.教师可以在前面方法回顾的基础上,引导学生进行自主学习与尝试．三、初步应用例3： 如图所示，已知四棱锥ABCD S -中，ABCD ABCD SA ,面⊥为直角梯形，,90 =∠=∠ABC DAB 且AD BC AB SA 3===,求平面SCD SAB 与所成角的正弦值．师生活动：学生尝试建系解答，做完同桌总结思路，给出本体解答的一般步骤，由老师指定学生解答．预设的答案：解：依题意可得，AD ,AB ,AS 两两互相垂直，以A 为原点, AS AB AD ,,的方向分别为z y x ,,轴正方向，AD 的长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，则：)0,0,1(),0,3,3(),3,0,0(),0,0,0(D C S A 所以)0,3,2(),3,0,1(),0,0,1(=-==DC DS AD 显然，AD 是平面SAB 的一个法向量，设平面''BCD A 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅03203y x DC n z x DS n 取3=x ，可得1,2=-=z y ，此时)1,2-,3(=n 因为14143||||,cos ==〉〈n AD nAD n AD 所以所求的角的正弦值为14701491=- 设计意图：例3是以条件较为特殊的几何体来示范用空间向量求平面所成角的问题.教师可以通过师生的探究与交流．教师讲解：在解题的过程中应该注意的方面：(1)条件的特殊性.存在共顶点的三条棱两两互相垂直,利于建系,可以直接确定其中一个平面的一个法向量;有三条棱长相等,因此,此四棱锥可视为某正方体中的一部分.可以合理利用题目中条件的特殊性,灵活确定点的坐标及平面的一个法向量．(2)所求的问题是两个平面所成角的正弦值.虽然前面有“尝试与发现”的结论,但是向量公式中没有正弦值,可以先求余弦值,再求正弦值,这是通法.事实上,两个平面所成角为特殊角的情况还是非常少的,因此,多数情况下为求所成角的三角函数值．(3)直观上看,平面SAB 与平面SCD 没有公共的棱,因此用作二面角的平面角去解答就会很困难,这也体现了向量方法在解答较复杂的立体几何问题时的优势.在条件不变的前提下,教师还可以让学生求平面SAD 与平面SBC 所成角的正弦值,以巩固学生本小节知识与方法的掌握．例4：如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中,2,1,901====∠AA BC AC ABC ,且D 是1AA的中点.求平面BDC 与平面1BDC 所成角的大小.师生活动：学生先尝试自己建立坐标系，并给出解答，由老师指定学生解答．预设的答案：依题意可得，CA,CB,1CC 两两互相垂直，以C 为原点, 1,,CC CB CA 的方向分别为z y x ,,轴正方向，建立如图所示直角坐标系，则：)2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,0(1C D B C 所以)2,1,0(),1,0,1(),1,0,1(),0,1,0(11-=-===BC DC CD CB设平面BCD 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅00z x DC n y CB n 取,1=z ，可得0,1=-=y x ，此时)1,0,1-(=n设平面D BC 1的一个法向量为),,(z y x m =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020m 11z y BC m z x DC 取,1=z ，可得2,1==y x ，此时)1,2,1(=m因为0=⋅n m所以所求的角的大小为90°．设计意图：法向量的方向决定了法向量的夹角与二面角的平面角的大小的关系是相等或互补.这就需要结合算出的法向量,将坐标原点作为始点,根据横、纵、竖坐标的正负,判断其终点所在的空间直角坐标系的卦限,从而确定其方向.法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题3：根据例4所求问题中的不能直接确定平面的一个法向量.解答过程也是给出了证明空间中两个平面垂直的一种方法.请学生归纳解题的一般过程.师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：根据题目条件合理地建立空间直角坐标系;根据所设长度写出必要的点的坐标;根据点的坐标求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量;用方程组分别求出两个平面的一个法向量;利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值;写出所求问题的结论．设计意图：法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题4：根据所学，请学生总结求二面角的平面角的一般方法．师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：一定义法:在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角；二是利用三垂线定理及其逆定理:自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角,就是二面角的平面角；三是射影面积公式法:SS 'cos =θ(其中'S 表示射影图形面积,S 表示原图形面积)．设计意图：使用向量方法解决二面角的平面角问题,不能离开对立体几何图形的分析.实际上,向量方法与综合几何方法也是相互关联的.向量在立体几何中的应用的灵活性来源于立体几何图形位置关系和向量运算的联系,也就是实现向量语言对立体几何问题的描述.学习二面角的内容,对学生的空间想象力有着较高的要求．四、归纳小结，布置作业问题5：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：在教师的指导下共同讨论． 预设的答案：〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确利用空间向量求二面角的大小 布置作业：教科书第52页练习B1,2,3．五、目标检测设计1已知二面角α­l ­β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角α­l ­β的大小可能为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角的正弦值．2．三棱锥A ­BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A ­BD ­C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3设计意图：考查学生对空间向量求夹角．3、已知向量m ，n 分别为直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则直线l 与平面α所成的角为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角．参考答案：1．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12， ∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角α­l ­β的大小为60°或120°．]2．C [当二面角A ­BD ­C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3． 当二面角A ­BD ­C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]3、60° [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]。

二面角教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角的平面角。

（2）掌握二面角平面角的一般求法，能运用定义法、三垂线法等求二面角的大小。

2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

（2）经历二面角概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过合作学习，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。

二、教学重难点1、教学重点（1）二面角的概念及二面角平面角的定义。

（2）二面角平面角的求法。

2、教学难点（1）二面角平面角的寻找和确定。

（2）灵活运用不同的方法求二面角的大小。

三、教学方法讲授法、启发式教学法、探究式教学法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课（1）通过展示实际生活中的例子，如打开的书本、半开的门等，引导学生观察这些物体中两个平面所形成的角。

（2）提出问题：如何度量两个平面所形成的角呢？从而引出本节课的主题——二面角。

2、新课讲授（1）二面角的概念①结合实例，给出二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②让学生观察二面角的图形，理解二面角的构成要素，并通过举例加深对二面角概念的理解。

（2）二面角的表示方法①用三个字母表示，如二面角\（A l B\），其中\（A\）、＼（B\）分别为两个半平面上的点，＼（l\）为棱。

②用一个数字表示，如二面角\（＼alpha\）。

③用两个平行四边形的相对顶点表示，如二面角\（M N\）。

（3）二面角的平面角①提出问题：如何度量二面角的大小呢？引导学生思考。

②给出二面角平面角的定义：在二面角\（＼alpha l ＼beta\）的棱\（l\）上任取一点\（O\），以点\（O\）为垂足，在半平面\（＼alpha\）和\（＼beta\）内分别作垂直于棱\（l\）的射线\（OA\）和\（OB\），则\（＼angle AOB\）叫做二面角\（＼alpha l ＼beta\）的平面角。

高中数学教案《二面角》教案标题：二面角教学目标：1. 了解二面角的定义及相关概念。

2. 掌握计算二面角的方法。

3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。

教学重点：1. 二面角的定义及性质。

2. 二面角的计算方法。

教学难点：1. 掌握二面角的计算方法。

2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。

教学准备：教材、教具、多媒体设备教学过程：Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念，引导学生思考如何定义二面角。

2. 给出一个具体例子，让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。

3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。

Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义：二面角是由两个不重合的平面所围成的角。

2. 介绍常见的二面角：直角（90°）、平角（180°）等。

3. 讲解二面角的计算方法：a. 当两个平面为互相垂直的平面时，二面角等于两个平面的夹角。

b. 当两个平面不垂直时，可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。

Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目，让学生运用所学知识计算出它们的大小。

2. 引导学生分析解题思路，解释计算过程。

Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题，要求学生运用二面角的知识来解决。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。

Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。

2. 强调二面角的重要性和应用价值。

Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。

2. 解答学生提出的疑问。

Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题，要求学生在家完成。

2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。

拓展活动：1. 考察学生对二面角的理解，出示一些实际问题，让学生用二面角的知识解决问题。

2. 给学生一些创设问题的任务，要求他们设计一些与二面角相关的实际问题，并解答。

教学反思：本节课通过引入、讲解和练习，让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法，同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。

§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。

2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。

难点：二面角性质的应用。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。

（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。

（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。

（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。

3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。

（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。

（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。

4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。

（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。

5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。

（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。

（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。

四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。

在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。

但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。

五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。

2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。

3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。

4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。

高中数学教案《二面角》标题：高中数学教案《二面角》摘要：简要介绍教案的教学目标、重点难点、教学方法和预期的学习成果。

关键词：二面角；高中数学；空间几何；教案设计目录：教学目标教学内容学生背景分析教学重点与难点教学方法与手段教学过程设计6.1 导入新课6.2 讲解新知6.3 课堂练习6.4 互动讨论6.5 课堂总结作业布置教学评价教学反思附录：教学资源与参考资料正文：教学目标知识与技能：学生能够理解二面角的概念，掌握求解二面角的方法。

过程与方法：通过实例分析，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

情感态度与价值观：激发学生对空间几何的兴趣，提高学习数学的积极性。

教学内容二面角的定义二面角的分类二面角的求法二面角在实际问题中的应用学生背景分析描述学生在空间几何方面的学习基础和可能遇到的困难。

教学重点与难点重点：二面角的求解方法。

难点：发展学生的空间想象能力，理解二面角与平面角的关系。

教学方法与手段讲授法引导发现法合作学习多媒体辅助教学教学过程设计6.1 导入新课通过生活中的实例引出二面角的概念。

6.2 讲解新知详细讲解二面角的定义、分类和求解方法。

6.3 课堂练习学生完成几个关于二面角计算的练习题。

6.4 互动讨论小组讨论二面角在实际问题中的应用。

6.5 课堂总结总结二面角的知识点，强调求解二面角的步骤和技巧。

作业布置布置相关的习题，要求学生巩固和深化课堂所学。

教学评价描述如何评价学生的学习成果，包括课堂表现、作业完成情况等。

教学反思教师对教学过程的回顾，包括成功之处和需要改进的地方。

附录：教学资源与参考资料列出用于教学的资源和参考的资料。

正文示例（部分）：教学目标通过本教案的学习，学生应能够：理解二面角的概念和意义。

掌握二面角的分类和求解方法。

应用二面角的知识解决一些简单的空间几何问题。

教学内容本教案主要内容包括：二面角的定义：两条相交平面间所形成的角。

二面角的分类：锐角二面角、直角二面角、钝角二面角。

◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。

(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。

3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。

4、情感、态度、价值观目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2)通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。

(3)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。

在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。

难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。

【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。

(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。

通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。

二面角复习课一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．三、教学过程1．复习二面角的平面角的定义．空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．看右图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景．特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB 于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．所以AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．四、作业：1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。

高三数学《二面角》说课稿高三数学《二面角》说课稿「篇一」一、教材简析:1．地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关§96二面角的求解问题。

是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。

二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的`视角。

2．教学内容及目标教学内容:将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。

教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标：（1）.推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。

（2）.通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。

情感目标：通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。

3．教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；难点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；二、学情分析：1．起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法，并成为本节的学习基础。

2．一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。

三、教法分析：本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。