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第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
第13章 第13.1节一、基本概念(1)偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如F(x,y,...u,x u ∂∂,y u ∂∂,22x u ∂∂,22yu∂∂,...)=0其中u(x,y,...) 是未知多元函 数x u ∂∂,yu∂∂...为u 的偏导数. 有时为了书写方便，通常记 x uu x ∂∂=,yuu y ∂∂=,....22x u u xx ∂∂=,... (2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的阶．(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的次数(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次 以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．二阶线性非齐次偏微分方程u xy =2y −x 的通解为 u(x,y)=xy 2-y x 221+F(x)+G(y)其中 F(x), G(y)是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数F(x),G(y)指定为特殊的F(x)=2x 4−5, G(y)=2sin y ，则得到的解u(x,y)=xy 2-21x 2y+2x 4−5+2siny 称为方程的特解．n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方 程的通解含有n 个任意函数．第13.2节一、二阶线性偏微分方程的分类两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为),(),(),(),(),(),()(,22222y x G u y x F xu y x E x u y x D y u y x C y x u y x B x u y A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂ （13.2.1） 其中 A, B, C, D, E, F , G 为(x,y)的已知函数．定义A(dy)2−Bdydx+C(dx)2=0 (13.2.3) 为方程13.2.1的特征方程 它所对应的积分曲线族称为特征曲线族 在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情 况讨论判别式∆=B 2−4AC 1.双曲型偏微分方程当判别式∆=B 2−4AC>0 时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解φ(x,y)=C 1及ψ(x,y)=C 2也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令ξ=φ(x, y), η=ψ(x,y)作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：),(),(),(),(1112ηξηξηξηξηξηξG u F u E u D u+++=∂∂∂ (13.2.4)此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式 或者进一步作变换 α=ξ+, β=ξ−η偏微分方程(13.2.4)变为：),(),(),(),(11112222βαβαβαβαβαβαG u F u E u D uu +++=∂∂-∂∂ 此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式 U tt =a 2u xx +f(x,t) 波动方程即为双曲型偏微分方程例题13.2.1原方程为02222=∂∂+∂∂yuy x u (Y<0)在y<0的区域中，其判别式∆=B2−4AC=0-4y>0,所以方程为双曲型。
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高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
数学物理方法什么是数学物理方法，想必大家都有很多疑惑吧。
下面是由小编为大家整理的“数学物理方法”，欢迎大家阅读，仅供大家参考，希望对您有所帮助。
数学物理方法数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。
所以，本课程受到了广大学生的高度重视。
数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
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《数学物理方法》作者郭玉翠，由清华大学出版出版，该书是物理系本科各专业以及部分工科专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为学习物理专业课程提供基础的数学处理工具。
一、出版信息清华大学出版书名：数学物理方法ISBN：9787302140047作者：郭玉翠定价：34元出版日期：2006-12-29出版社：清华大学出版社定价: 33.00元二、清华版本书是在北京邮电大学出版社出版的《数学物理方法(研究生用)》的基础上修订而成的.此次修订除了对一些章节的内容作了调整，以便更适合教学外，主要增加了计算机软件Maple在求解定解问题中的应用，以及用Maple将一些结果可视化的内容.全书内容分为10章，分别介绍矢量分析与场论的基础知识、数学物理定解问题的推导、求解数学物理问题的分离变量法、行波法与积分变换法、Green函数法、变分法、二阶线性常微分方程的级数解法与Sturm?Liouville本征值问题、特殊函数(一)——Legendre多项式、特殊函数(二)——Bessel函数以及积分方程的基本知识.本书从理论到实例都考虑了电子、通信类各专业的特点，兼顾数学理论的严谨性和物理背景的鲜明性，体现了数学物理方法作为数学应用于物理和其他科学的桥梁作用.本书可以作为高等学校工科硕士研究生的教材，也可以供对这门课程要求较高的专业的本科生使用，或作为教学参考书.前言本书第1版于2003年1月出版后，曾蒙广大师友和读者的关怀与厚爱，于2005年9月进行了第2次印刷.此次修订主要是增加了应用数学软件Maple来辅助求解数学物理定解问题，并将部分结果用Maple进行可视化的内容.因为“数学物理方法”这门课程作为众多理工科学生的基础课之一，在后续课程和完成学业后的科研工作中都有许多应用，需要学生清楚地理解其中的概念，娴熟地掌握解题方法，并且了解结果的物理意义.但是由于课程本身的内容多而难，题目繁而杂，被公认为是一门难学的课程，主要体现在公式推导多，求解习题往往要计算复杂的积分或级数等.随着计算机的深入普及，功能强大的数学软件(如Maple等)为复杂数学问题的求解提供了有力的工具，目的在于：(1)将繁难的数学运算，比如求解常微分方程、计算积分、求解复杂代数方程等借助于计算机完成，可使读者更专注于模型(数学物理方程)的建立、物理思想的形成和数学方法应用于物理过程的理论体系;(2)借助于计算机强大的可视性功能，把一些抽象难懂但又非常有用的知识变成生动的、“活”的物理图像展现在读者面前，这无疑有益于读者对知识的理解和掌握.数学软件Maple的符号运算功能强大，它的最大好处是不用编程，可以直接进行符号运算，因此读者不用另外学习编程的知识，更不要求以会编程为学习基础，这会带来极大的方便，读者只要在计算机上装上Maple软件，直接输入命令即可.本次修订除了增加上述内容外，还对原版的内容作了以下调整：将第1章“场论初步”改成“矢量分析与场论初步”，增加了矢量分析的内容，删去了矢量场的梯度、张量及其计算，以及并矢分析两节内容;将第5章“特殊函数”分成两章“特殊函数(一)——Legendre 多项式”和“特殊函数(二)——Bessel函数”;在“变分法”一章中，增加了复杂泛函Euler方程的推导，因为在数学物理问题中经常会遇到求解复杂变分的问题;在“积分方程的一般性质和解法”一章中，按照积分核的类型讲解相应的解法，以便使内容更加清晰和系统.全书的文字内容进行了重写或修改，也改正了第1版中几处印刷错误.书中加“*”号内容可作为选学内容，读者可根据需要取舍.编著者十分感谢清华大学出版社对本书再版的大力支持和帮助，尤其感谢刘颖和王海燕两位编辑，其严谨、辛勤的敬业精神令人钦佩.目录第1章矢量分析与场论初步1.1矢量函数及其导数与积分1.1.1矢量函数1.1.2矢量函数的极限与连续性1.1.3矢量函数的导数和积分1.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式1.2.1直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子1.2.2正交曲线坐标系中的“三度”1.2.3“三度”的运算公式1.3正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式1.4算子方程第2章数学物理定解问题2.1基本方程的建立2.1.1均匀弦的微小横振动2.1.2均匀膜的微小横振动2.1.3传输线方程2.1.4电磁场方程2.1.5热传导方程2.2定解条件2.2.1初始条件2.2.2边界条件2.3定解问题的提法2.4二阶线性偏微分方程的分类与化简2.4.1两个自变量方程的分类与化简2.4.2常系数偏微分方程的进一步简化2.4.3线性偏微分方程的叠加原理第3章分离变量法3.1(1+1)维齐次方程的分离变量法3.1.1有界弦的自由振动3.1.2有限长杆上的热传导3.22维Laplace方程的定解问题3.3高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用3.4非齐次方程的解法3.4.1固有函数法3.4.2冲量法3.4.3特解法3.5非齐次边界条件的处理第4章二阶常微分方程的级数解法本征值问题4.1二阶常微分方程系数与解的关系4.2二阶常微分方程的级数解法4.2.1常点邻域内的级数解法4.2.2正则奇点邻域内的级数解法4.3Legendre方程的级数解4.4Bessel方程的级数解4.5Sturm?Liouville本征值问题第5章特殊函数(一)Legendre 多项式5.1正交曲线坐标系中的分离变量法5.1.1Laplace方程5.1.2Helmholtz方程5.2Legendre 多项式及其性质5.2.1Legendre多项式的导出5.2.2Legendre多项式的性质5.3Legendre多项式的应用5.4一般球函数5.4.1关联Legendre函数5.4.2球函数第6章特殊函数(二)Bessel函数6.1Bessel函数的性质及其应用6.1.1柱函数6.1.2Bessel函数的性质6.1.3修正Bessel函数6.1.4Bessel函数的应用6.2球Bessel函数6.3柱面波与球面波6.3.1柱面波6.3.2球面波6.4可化为Bessel方程的方程6.5其他特殊函数方程简介6.5.1Hermite多项式6.5.2Laguerre多项式第7章行波法与积分变换法7.1一维波动方程的d′Alembert公式7.2三维波动方程的Poisson公式7.3Fourier积分变换法求定解问题7.3.1预备知识——Fourier变换及性质7.3.2Fourier变换法7.4Laplace变换法解定解问题7.4.1Laplace变换及其性质7.4.2Laplace变换法第8章Green函数法8.1引言8.2Poisson方程的边值问题8.2.1Green公式8.2.2解的积分形式——Green函数法8.2.3Green函数关于源点和场点是对称的8.3Green函数的一般求法8.3.1无界区域的Green函数8.3.2用本征函数展开法求边值问题的Green函数8.4用电像法求某些特殊区域的Dirichlet?Green函数8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函数及其物理意义8.4.2用电像法求Green函数*8.5含时间的定解问题的Green函数第9章变分法9.1泛函和泛函的极值9.1.1泛函9.1.2泛函的极值与泛函的变分9.1.3泛函取极值的必要条件——Euler方程9.1.4复杂泛函的Euler方程9.1.5泛函的条件极值问题9.1.6求泛函极值的直接方法——Ritz方法9.2用变分法解数学物理方程9.2.1本征值问题和变分问题的关系9.2.2通过求泛函的极值来求本征值9.2.3边值问题与变分问题的关系*9.3与波导相关的变分原理及近似计算9.3.1共振频率的变分原理9.3.2波导的传播常数γ的变分原理9.3.3任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算第10章积分方程的一般性质和解法10.1积分方程的概念与分类10.2积分方程的迭代解法10.2.1第二类Volterra方程的迭代解法10.2.2第一类Volterra方程的迭代解法10.2.3第二类Fredholm方程的迭代解法10.2.4叠核、预解核10.3退化核方程的求解10.4弱奇异核的Abel方程的解法10.5对称核的Fredholm方程10.6微分方程与积分方程的联系10.6.1二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系10.6.2微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系参考文献三、西科大版第1章数学物理方程的定解问题1.1 基本概念1.1.1 偏微分方程的基本概念1.1.2 三类常见的数学物理方程1.1.3 数学物理方程的一般性问题1.2 数学物理方程的导出1.2.1 波动方程的导出1.2.2 输运方程的导出1.2.3 稳定场方程的导出1.3 定解条件与定解问题1.3.1 初始条件1.3.2 边界条件1.3.3 三类定解问题1.4 本章小结习题1第2章行波法2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义2.1.3 依赖区间和影响区域2.2 半无限长弦的自由振动2.3 三维波动方程的泊松公式2.3.1 平均值法2.3.2 泊松公式2.3.3 泊松公式的物理意义2.4 强迫振动2.4.1 冲量原理2.4.2 纯强迫振动2.4.3 一般强迫振动2.5 三维无界空间的一般波动问题2.6 本章小结习题2第3章分离变量法3.1 双齐次问题3.1.1 有界弦的自由振动3.1.2 均匀细杆的热传导问题3.1.3 稳定场分布问题3.2 本征值问题3.2.1 斯特姆-刘维型方程3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质3.3 非齐次方程的处理3.3.1本征函数展开法3.3.2 冲量原理法3.4 非齐次边界条件的处理3.4.1 边界条件的齐次化原理3.4.2 其他非齐次边界条件的处理3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法3.6 本章小结习题3第4章特殊函数4.1 二阶线性常微分方程的级数解4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点4.1.2 方程常点邻域内的级数解4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解4.2勒让德多项式4.2.1 勒让德多项式4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示4.3 勒让德多项式的性质4.3.1 勒让德函数的母函数4.3.2 勒让德多项式的递推公式4.3.3 勒让德多项式的正交归一性4.3.4 广义傅里叶级数展开4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用4.5 连带勒让德函数4.5.1 连带勒让德函数本征值问题4.5.2 连带勒让德函数的性质4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用4.6 球函数4.6.1 一般的球函数定义4.6.2 球函数的正交归一性4.6.3 球函数的应用4.7贝塞尔函数4.7.1 三类贝塞尔函数(贝塞尔方程的解) 4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题4.8 贝塞尔函数的性质4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示4.8.2 贝塞尔函数的递推关系4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开4.9 其他柱函数4.9.1 球贝塞尔函数4.9.2 虚宗量贝塞尔函数4.10 贝塞尔函数的应用4.11 本章小结习题4第5章积分变换法5.1 傅里叶变换5.1.1傅里叶积分5.1.2 傅里叶变换5.1.3 傅里叶变换的物理意义5.1.4 傅里叶变换的性质5.1.5 δ函数的傅里叶变换5.1.6 n维傅里叶变换5.2 傅里叶变换法5.2.1 波动问题5.2.2 输运问题5.2.3 稳定场问题5.3 拉普拉斯变换5.3.1 拉普拉斯变换5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质5.4 拉普拉斯变换的应用5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程5.5 本章小结习题5第6章格林函数法6.1δ函数6.1.1 δ函数的定义6.1.2 δ函数的性质6.1.3 δ函数的应用6.2 泊松方程边值问题的格林函数法6.2.1 格林函数的一般概念6.2.2 泊松方程的基本积分公式6.3 格林函数的一般求法6.3.1 无界空间的格林函数6.3.2 一般边值问题的格林函数6.3.3 电像法6.3.4 电像法和格林函数的应用6.4 格林函数的其他求法6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数6.5 本章小结习题6第7章数学物理方程的其他解法7.1 延拓法7.1.1 半无界杆的热传导问题7.1.2 有界弦的自由振动7.2 保角变换法7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义7.2.2 拉普拉斯方程的解7.3积分方程的迭代解法7.3.1 积分方程的几种分类7.3.2 迭代解法7.4变分法7.4.1 泛函和泛函的极值7.4.2 里兹方法第8章数学物理方程的可视化计算8.1 分离变量法的可视化计算8.1.1 矩形区泊松方程的求解8.1.2直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用8.2 特殊函数的应用8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加8.2.2 平面波展开为球面波的叠加8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用8.2.4 球体雷达散射截面的解析解8.3 积分变换法的可视化计算8.4 格林函数的可视化计算参考文献四、北理工版基本信息作者: 闫桂峰出版社: 北京理工大学出版社ISBN: 9787564023485装帧:平装页码: 279开本: 16中文:简体中文简介本书主要介绍了三类典型数学物理方程定解问题的多种求解方法。
