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【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案_专题4-立体几何课件_(浙江文科专用)

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高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题4第14讲 空间向量与立体几何 理 北师大

高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题4第14讲 空间向量与立体几何 理 北师大

第14讲 │ 主干知识整合
2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量 分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别 为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面 所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的 平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是 cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.
于是 cos〈A→C，A→1B1〉＝|AA→→CC|·|AA→→11BB11|＝3×42
＝ 2
32.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 32.
第14讲 │ 要点热点探究
(2)易知A→A1＝(0,2 2，0)，A→1C1＝(－ 2，－ 2， 5)． 设平面 AA1C1 的法向量 m＝(x，y，z)，
第14讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 利用空间向量求空间角和距离 例 2 [2011·天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H ＝ 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值； (3)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平 面 A1B1C1，求线段 BM 的长．
图 14－1
第14讲 │ 要点热点探究
【分析】 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明 E→F∥A→B即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线 垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向 量的方法求解．

高三数学高考二轮复习教案、考案(3)立体几何(精品)

高三数学高考二轮复习教案、考案(3)立体几何(精品)

立体几何初步【专题要点】1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．【考纲要求】（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。

2012届高考数学第二轮考点专题复习教案

2012届高考数学第二轮考点专题复习教案

导数应用的题型与方法一．复习目标：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, logx的a导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。

掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

二．考试要求：⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, logx的a导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4-立体几何文数

2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4-立体几何文数

A．32 C．48
图 12－5 B．16＋16 2 D．16＋32 2
第12讲 │ 要点热点探究
【分析】 根据三视图的特征可以反映空间几何体是正 四棱锥，根据正四棱锥的特点不难求各个面的面积，表面积 是各个面的面积之和，于是得到该四棱锥的表面积．
B 【解析】 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为 4，高为 2 的正四棱锥，所以其表面积为 4×4＋4×12×4×2 2 ＝16＋16 2，故选 B.
3a，所以 V1＝43π 23a3＝ 23πa3，V1－V2＝ 23π－1 a3≈1.7a3.
(2)EF∥AC，所以 AC⊥DE.又 AC⊥BD，所以 AC
⊥平面 ABD，所以正三棱锥的三条侧棱互相垂直且相
等，AB＝AC＝AD＝
22，V＝16×
223＝
【点评】 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关 键，其解题技巧是熟练掌握一些简单几何体的三视图，在脑 中想象该几何体的构成，甚至在草纸上画出其直观图，然后 再反回来由三视图验证，确保准确无误．另外要熟记简单几 何体的表面积和体积公式．
第12讲 │ 要点热点探究
[2011·湖南卷] 设图 12－6 是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为( )
第12讲 │ 规律技巧提炼
3．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表 面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外 的所有面的面积，在计算时要注意区分是侧面积还是 表面积．
4．实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、 台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组 合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”， 将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球 或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的 结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或 差．

(新课标)高考数学二轮专题复习-第三部分 讲重点解答题专练 专题4 立体几何课件 理

(新课标)高考数学二轮专题复习-第三部分 讲重点解答题专练 专题4 立体几何课件 理

∴cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝1＋1 λ2＝12，λ∈(0,1]⇒λ＝1.∴λ＝1 为所求．
预测 1．(2015·四川内江期末)如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC 交 AC 于点 M，EA⊥平面 ABC，FC ∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.
∵AB∥CD，∴AB⊥平面 ADE.
(2)由(1)得平面 EAD⊥平面 ABCD.取 AD 中点 O，取 BC 中点 F，连接 EO，OF.∵EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面 ABCD.以 OA，OF，OE 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不 妨设 AB＝2，则 A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)．设 M(x，y，z)，则B→M ＝(x－1，y－2，z)，B→E＝(－1，－2,1)．∵B，M，E 三点共线， 设B→M＝λB→E(0≤λ≤1)，∴M(1－λ，2－2λ，λ)，∴A→M＝(－λ，2－2λ，
以点 O 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系 O－xyz，则 A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2， 3)，
A→B＝(2,2,0)，B→B1＝C→C1＝(0,1， 3)，设 m＝(x，y，z)是平面
ABB1A1 的法向量，则 m·A→B＝0，m·B→B1＝0，即2y＋x＋23yz＝＝00，. 取 z
又cosnac由图可知二面角apbc为锐角所以二面角abpc的余弦值为2015湖北九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑
第三部分 讲重点•解答题专练
第4讲 立体几何
热点调研
立体几何常见的类型主要有：①考查线线、线面、面面关系 的证明，此类题目常以解答题的第一问出现；②计算空间的角和 距离，此类题目常以解答题的第二问出现；③求简单几何体的截 面积、侧面积、表面积、体积等，此类题目通常以解答题的第三 问出现；④作简单几何体，并求出其中的有关量，此类题目以图 形为基础，形成新题型；⑤考查常见几何体为三棱、四棱、五棱 锥或柱，在条件中一定有一些垂直关系如侧棱与底面垂直的锥体 或柱体、面面垂直、线面垂直等，为建立直角坐标系提供模型．

2012高考数学二轮复习课件第5单元-立体几何(新课标江苏专用)

2012高考数学二轮复习课件第5单元-立体几何(新课标江苏专用)
1．位置关系的基本定理考查有两种：一是以基本定理构成命题的判断；二 是运用基本定理证明位置关系．无论是哪一种形式的考查，在复习时都需要关注 定理的三种表示形式和基本特征以及在解答题中的规范表达．
2．在解答题中出现的几何体的位置关系证明题，在复习时需要关注两个方 面：一是空间几何体的结构的研究；二是证明位置关系时，不仅可以用综合法， 也可以用分析法和反证法．
3．在空间几何体的结构研究中还需要关注将平面图形折叠成空间几何体的 研究、将空间几何体展开成平面图形的研究这两个问题．
4．空间几何体的体积和表面积的研究，其中点到平面的距离是作为体积求 解的一部分，也需要了解．
第五单元 │ 考情分析预测
专题十九 表面积和体积
专题十九 表面积和体积
专题十九 │ 主干知识整合
要点热点探究
► 探究点一 与基本定理有关的命题真假判断
例1 已知m，n，l是直线，α、β是平面，下列命题中， 正确命题的序号是________．
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行； ③若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
专题二十 │ 要点热点探究
专题十九 │ 要点热点探究
► 探究点二 与球有关的体积 与球有关的体积求解主要指的是几何体的外接球和内切
球的问题，这类问题关键在于轴截面特征的确定，将问题从 空间转化为平面中多边形与圆的位置关系问题．
例3 如图19－2，在△ABC中，∠C＝90°，∠A ＝30°，BC＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边 AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交 于N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋 转体的体积为________．
专题十九 │ 要点热点探究

广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题4 第19课时 立体几何综合问题


解析 1证明：连接BD.
易得 ABD为等边三角形，所以BQ AD. 又PA PD，所以PQ AD，BQ PQ Q， 所以AD 平面PQB. 而AD 平面PAD，所以平面PQB 平面PAD.
第二十五页，编辑于星期日：九点 三十五分。
2 连接AC交BD于O，交BQ于N，连接MN .
3．证明面面垂直，要注意根据面面垂直的判定定 理去寻找线线垂直．
第五页，编辑于星期日：九点 三十五分。
变式1 如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示， M、N分别为AF、BC的中点．
1求证：MN //平面CDEF； 2求多面体A CDEF的体积； 3求证：CE AF.
第六页，编辑于星期日：九点 三十五分。
所以OO1 平面AO1B，
所以VO
O1 AB
1 3
S
ABO1 OO1，
所以要使三棱锥O O1AB体积最大，
只需 AO1B的面积最大，
而S
O1 AB
1 2
Aห้องสมุดไป่ตู้1
BO1
sinAO1B，
故当且仅当sinAO1B 1时，即AO1 BO1时
三棱锥的体积最大．
第十八页，编辑于星期日：九点 三十五分。
切入点：1问可通过证明线面垂直得到面面垂直； 2 问的关键是建立sin 关于x的函数关系，转化
为函数的值域．
第二十页，编辑于星期日：九点 三十五分。
解析 1证明：在SDC中，
因为SC SD 2，CD AB 2， 所以DSC 90，即DS SC. 因为底面ABCD是矩形，所以BC CD. 又因为平面SDC 平面DBC, 平面SDC 平面DBC CD， 所以BC 平面SDC，即得DS BC. 而BC SC C，所以DS 平面SBC. 因为DS 平面SAD，所以平面SAD 平面SBC.

【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案 第4单元-不等式专题课件 (江苏文理通用)

例 2 已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足 b＋2c≤3a， c＋2a≤3b，则ba的取值范围为________．
专题十七│ 要点热点探究
34，53 【解析】 依题意可知
b＋2c≤3a， c＋2a≤3b， a＋b>c， a＋c>b， b＋c>a， a>0，b>0，c>0
ba＋2·ac≤3， ac＋2≤3·ba， ⇒1＋ba>ac， 1＋ac>ba， ba＋ac>1，
数式化成整式的途径之一．
专题十七│ 江苏真题剖析
【答案】 27
【解析】
方法1：
xy22∈[16,81]，
1 xy2
∈
18，13，xy43
＝
x2
y
2·x1y2∈[2,27]，所以xy43的最大值是27.
方法2：由条件得lg3≤lgx＋2lgy≤3lg2,2lg2≤2lgx－
lgy≤2lg3，
设m＝lgx，n＝lgy，则lg3≤m＋2n≤3lg2,2lg2≤2m－
专题十七│ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例
[2010·江苏卷]
设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤
x2 y
≤9，
则xy43的最大值是________．
【分析】 运用待定系数法，则线性多项式mx＋ny的取值 范围都可以求解，当然形如xmyn的取值范围也可以用此方法求 解．或用取对数的方法将问题转化为线性规划问题，这是把指
(ii)当－
6
2
<a<
6 2
时，Δ>0，原不等式组等价于
x－a－
33－2a2x－a＋
33－2a2≥0，
x>a.
令a>a＋ 33－2a2即2a> 3－2a2，平方得a2>12且a>0，得a≥ 22.

【60天冲刺】2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件第5单元-立体几何专题(江苏文理通用)


专题十九 │ 要点热点探究
已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PBC、 △PAC的面积分别为1.5 cm2,2 cm2,6 cm2，则过P，A，B，C四点的 外接球的表面积为________ cm2.(注S球＝4πr2，其中r为球半径)
1PA· 2 PB＝1.5， 1 2PB· PC＝2， 1PC· 2 PA＝6，
专题十九│ 课本挖掘提升
课本挖掘提升
(教材必修2 P49练习1) 例 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是 3 5 cm，则这个正四棱柱的侧面积是________．
【分析】 在求解棱柱的侧面积时，要注意直角三角形 的运用．由于几何体是正四棱柱，故不需要将侧面展开，只 需要直接计算一个侧面的面积，再乘以面数即可．
1 3 AOsinA＝ ( 3－OM)，即OM＝ ， 2 3 所得旋转体为圆锥去掉一个内切球， 1 4 1 3 3 4 3 故体积为 × 3 ×π－ π ＝ － π＝ 3 3 3 3 27 5 3π . 27
专题十九│ 要点热点探究
【点评】 本题应该首先弄清楚轴截面旋转后所形成的 几何体，再确定轴截面的特征，构建直角三角形研究边之 间的关系，从而将问题转化为解三角形．
专题二十 │ 要点热点探究
②④ 【解析】 ①中只有当两条直线相交时，l⊥α才 恒成立，所以①不正确；若l∥α，则过l任作平面β与α相交， 则交线必与l平行，由于β的任意性，故②正确；③中只有当n 是α与β的交线时结论才恒成立，故③不正确；④正确．
专题二十 │ 要点热点探究
【点评】 在判断命题真假时要注意两个常见易错点：一 是线线没有公共点包含平行和异面两种情况；二是线不在平面 内包含线面相交和线面平行两种情况，不可以偏概全．

2012届高考数学立体几何备考复习教案

2012届高考数学立体几何备考复习教案专题四：立体几何【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1．全面掌握空间几何体的概念及性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念和性质，这是进行计算和证明的基础。

2．多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念。

3．注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想。

4．特别关注空间三种角落计算问题以及涉及到探究点的位置的问题。

第一讲空间几何体【最新考纲透析】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4．会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

．了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

【核心要点突破】要点考向1：空间几何体的三视图考情聚焦：1．三视图是新标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。

2．常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。

考向链接：1．解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。

2．掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。

例1：（2010&#8226;陕西高考理科&#8226;Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）(A) (B) () 1 (D) 2【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。

【思路点拨】三视图几何体是直三棱柱该几何体的体积【规范解答】选由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为和1的直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积要点考向2：几何体的表面积与体积考情聚焦：1．几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视。

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第12讲 │ 要点热点探究
[2011· 浙江卷] 若某几何体的三视图如图 12－3 所示， 则 这个几何体的直观图可以是( )
图 12－3
图 12－4
B 【解析】 由正视图可排除 A，C；由侧视图可判断 该几何体的直观图是 B.
第12讲 │ 要点热点探究
例 2 [2011· 北京卷] 某四棱锥的三视图如图 12－5 所示，该 四棱锥的表面积是( )
第12讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视 图和侧视图的 “ 高平齐 ” ，正视图和俯视图的 “ 长对 正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、 侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的 长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽 就是空间几何体的最大宽度． 2．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面 积之比是 2 2.
图 12－7
第12讲 │ 要点热点探究
4 【解析】 (1)设球的半径为 R，则 V1＝ πR3.设正方体的 3 边长为 a，则 V2＝a3.又因为 2R＝ 3a， 3 3 4 3 3 3 3 所以 V1＝ π a ＝ πa ，V1－V2＝ π－1a ≈1.7a3. 3 2 2 2 (2)EF∥AC，所以 AC⊥DE.又 AC⊥BD，所以 AC⊥平面 ABD， 所以正三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等， 2 1 23 2 AB＝AC＝AD＝ ，V＝ × ＝ . 2 6 2 24 (1)D (2)B
第12讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由： 例 1 已知三视图来考查空间几何体的表 面积；例 2 考查三视图和几何体的体积问题；例 3 是一 个难度题目， 其中点评给出的三视图可以提高考生的空 间想象能力；例 4 考查四棱锥与其外接球的相关知识， 考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力， 是难题．
第12讲 │ 要点热点探究
例 6 [2011· 课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的 顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面 3 积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值 16 为________．
第12讲 │ 要点热点探究
1 【解析】 如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，则球面 3 面积为 4πR2，圆锥底面面积为 πr2， 12 2 3 2 由题意 πr ＝ πR ，所以 r＝ R， 16 2 3 1 所以 OO1＝ OA2－O1A2＝ R2－ R2＝ R， 4 2 1 3 1 1 所以 SO1＝R＋ R＝ R， S1O1＝R－ R＝ R， 2 2 2 2 R S1O1 2 1 所以 ＝ ＝ . SO1 3R 3 2
图 12－6
A．9π＋42
B．36π＋18
9 C. π＋12 2
9 D. π＋18 2
第12讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一 个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3，高为2的长方体 3 3 4 所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝ ×π× 2 ＋ 3 9 3×3×2＝ π＋18，故选D. 2
第12讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 三视图与直观图
例 1 [2011· 江西卷] 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何 体如图 12－1 所示，则该几何体的侧视图为( )
图 12－1
图 12－2
第12讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为 正方体的面对角线， 它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形) 的两条边重合，另一条为正方体的对角线，它在右侧面上的 投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有 选项 D 符合．
专题四 │ 考情分析预测
(1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图 以及表面积和体积的计算． 对空间几何体的三视图的考查有难 度加大的趋势，通过这个试题考查学生的空间想象能力；空间 几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体， 交汇考查三 视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明以及两 条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计 算问题．
第12讲 │ 要点热点探究
► 探究点三 多面体与球
例 5 如图 12－11 所示，在正三棱锥 S－ABC 中，M、N 分别是 SC、 BC 的中点， 且 MN⊥AM， 若侧棱 SA＝2 3， 则正三棱锥 S－ABC 外接球的表面积是( )
图 12－11
A．12π
B．32π
C．36π
D．48π
第12讲 │ 要点热点探究
图12－9
第12讲 │ 要点热点探究
(1)B (2)4 【解析】 (1)由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图， 其中 M，N 是中点，矩形 MNC1C 为左视图．
1 由于体积为 2 3，所以设棱长为 a，则 ×a2×sin60° ×a＝2 3，解 2 得 a＝2.所以 CM＝ 3，故矩形 MNC1C 面积为 2 3，故选 B. (2)由三视图知 V＝2×1×1＋1×1×2＝4.
C
【解析】 因为 M、N 分别为 SC、BC 的中点，
所以 MN∥BS.因为 MN⊥AM， 所以 SB⊥AM.又 SB⊥AC， AM∩AC＝A，所以 SB⊥平面 ASC，所以侧面三角形为 等腰直角三角形，所以 SA＝SB＝SC＝2 3，设外接球半 径为 R，则 2R＝ 3×(2 3)＝6，所以 S＝π(2R)2＝36π.
第12讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 空间几何体的表面积与体积
例 3 (1)[2011· 湖北卷] 设球的体积为 V1， 它的内接正方体的体积为 V2， 下列说法中最合适的是( ) A．V1 比 V2 大约多一半 B．V1 比 V2 大约多两倍半 C．V1 比 V2 大约多一倍 D．V1 比 V2 大约多一倍半 (2)如图 12－7，在正三棱锥 A－BCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中 点，EF⊥DE，且 BC＝1，则正三棱锥 A－BCD 的体积是( ) 2 A. 12 3 C. 12 2 B. 24 3 D. 24
图 12－5
A．32
B．16＋16 2
C．48
D．16＋32 2
第12讲 │ 要点热点探究
【分析】 根据三视图的特征可以反映空间几何体是正四棱锥， 根据正四棱锥的特点不难求各个面的面积， 表面积是各个面的面积之 和，于是得到该四棱锥的表面积．
B 【解析】 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为 4，高 1 为 2 的正四棱锥，所以其表面积为 4×4＋ 4× ×4×2 2＝ 16＋ 2 16 2，故选 B.
第12讲 │ 规律技巧提炼
3． 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分， 表面 积就是全面积，是一个空间几何体中 “暴露”在外的所 有面的面积， 在计算时要注意区分是侧面积还是表面积． 4． 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、 锥、 台、 球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体， 解决这类组合体体积的基本方法就是 “分解”，将组合 体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个 部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整 个的体积转化为这些“部分体积”的和或差．
第12讲 │ 主干知识整合
2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直 的 Ox，Oy，建立直角坐标系； (2) 画出斜坐标系．在画直观图的纸上 ( 平面上 ) 画出对应的 Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45° (或 135° )，它们确定的平面表示水 平平面； (3)画对应图形．在已知图形平行于 x 轴的线段，在直观图中画 成平行于 x′轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 y 轴的线段， 在直观图中画成平行于 y′轴，且长度变为原来的一半； (4)擦去辅助线．图画好后，要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的 辅助线(虚线)． 3．基本面积公式 4．空间几何体的基本体积计算公式
第12讲 │ 要点热点探究
例4 (1) [2011· 辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体 积为2 3 ，它的三视图中的俯视图如图12－8所示，左视图是一个矩 形，则这个矩形的面积是( )
图12－8
A. 4
B．2 3
C.2
D. 3
第12讲 │ 要点热点探究
(2) [2011· 天津卷] 一个几何体的三视图如图12－9所示(单位：m)， 则该几何体的体积为________ m3.
【点评】 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解 题技巧是熟练掌握一些简单几何体的三视图，在脑中想象该几何体的 构成，甚至在草纸上画出其直观图，然后再反回来由三视图验证，确 保准确无误．另外要熟记简单几何体的表面积和体积公式
第12讲 │ 要点热点探究
[2011· 湖南卷] 设图 12－6 是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为( )
第12讲 │ 教师备用例题
第12讲 │ 要点热点探究
如图 12－10，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是 边长为 1 的正方形，且△ADE、△BCF 均为正三角形，EF∥AB， EF＝2，则该多面体的体积为( )
图 12－10
A.
2 3
B.
3 3
4 C. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.
3 2
第12讲 │ 要点热点探究
A 【解析】 过 A、B 两点分别作 AM、BN 垂直于 EF，垂足 分别为 M、N，连接 DM、CN，可证得 DM⊥EF、CN⊥EF，多面 体 ABCDEF 分为三部分，多面体的体积为 VABCDEF＝VAMD－BNC＋ 1 3 VE－AMD＋VF－BNC.∵NF＝ ，BF＝1，∴BN＝ .作 NH 垂直于 BC 于 2 2 2 1 2 点 H，则 H 为 BC 的中点，则 NH＝ ，∴S△BNC＝ · BC· NH＝ ， 2 2 4 1 2 2 ∴VF － BNC ＝ · S · NF ＝ ， VE － AMD ＝ VF － BNC ＝ ， VAMD － BNC ＝ 3 △BNC 24 24 2 2 S△BNC· MN＝ ，∴VABCDEF＝ ，故选 A. 4 3