2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(六)(带答案解析)

客观题提速练六(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017·南开区二模)设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A,且2-x∉A},则B等于( )(A){1} (B){-2}(C){-1,-2} (D){-1,0}2.甲、乙两人下棋,和棋概率为,乙获胜概率为,甲获胜概率是( )(A)(B)(C)(D)3.(2017·衢州期末)设i是虚数单位,复数1-3i的虚部是( )(A)1 (B)-3i (C)-3 (D)3i4.(2018·浙江模拟)不等式组所围成的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.(2018·四川宜宾一诊)若将函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位,则平移后的函数的对称中心为( )(A)（-,0）(k∈Z) (B)（+,0）(k∈Z)(C)（-,0）(k∈Z) (D)（+,0）(k∈Z)6. (2018·榆林三模)已知a,b为直线,α,β为平面,在下列四个命题中,①若a⊥α,b⊥α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a⊥α,a⊥β,则α∥β;④若α∥b,β∥b,则α∥β.正确命题的个数是( )(A)1 (B)3 (C)2 (D)07.(2018·河北承德质检) 设k是一个正整数,（1+）k的展开式中第四项的系数为,记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S(如图所示),任取x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好取自阴影区域S的概率P为( )(A) (B) (C) (D)8.(2018·乐山一模)一算法的程序框图如图所示,若输出的y=,则输入的x可能为( )(A)-1 (B)1(C)1或5 (D)-1或19.(2018·四川南充二模)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)610.(2018·台州一模)设数列{a n},{b n}满足a n+b n=700,=a n+b n,n∈N*,若a6=400,则( )(A)a4>a3 (B)b4<b3(C)a3>b3 (D)a4<b411.已知m,n为两个非零向量,且|m|=2,|m+2n|=2,则|2m+n|+|n|的最大值为( )(A)4(B)3(C)(D)12.(2018·浦江县模拟)已知函数f(x)=(ax3+4b)·e-x,则( )(A)当a>b>0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减(B)当b>a>0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减(C)当a<b<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增(D)当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·宿州期末)若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为.14.(2018·湖北荆门模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(单位:cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足4cos2-cos2(B+C)=,若a=2,则△ABC的面积的最大值是.16.(2018·河南信阳二模) 如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF ∥AE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°,则AE= .1.A 因为集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A,且2-x∉A},-1∈A,且2-(-1)=3∉A,故1∈B;0∈A,但2-0=2∈A,不满足题意;2∈A,但2-2=0∈A,不满足题意.故B={1},故选A.2.C 甲获胜概率是1--=,故选C.3.C 复数1-3i的虚部是-3.故选C.4.B 作出不等式组对应的平面区域如图:则阴影部分为三角形,其中A(-,0),C(,0),由得即B(0,),则三角形的面积S=×2×=2,故选B.5.D 函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位得y=3sin 2（x-）=3sin（2x-）,由2x-=kπ得x=+(k∈Z),所以y=3sin（2x-）的对称中心为（+,0）(k∈Z).故选D.6.C 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真;由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假;由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真;在长方体中可以找到不满足要求的平面和直线,易知④假,故选C.7.C 根据题意,结合二项式定理得()3=,得·=,解得k=4或k=(舍去),由得x=0或4,由定积分的几何意义得阴影部分的面积为(4x-x2)dx= (2x2-x3)︱=,任取x∈[0,4],y∈[0,16],点(x,y)对应区域的面积为4×16=64,由几何概型的概率计算公式得P==,故选C.8.B 这是一个用条件分支结构设计的算法,该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值,输出的结果为,当x<2时,sin =,解得x=1+12k,或x=5+12k,k∈Z,即x=1,-7,-11,…当x≥2时,2x=,解得x=-1(不合题意,舍去),则输入的x可能为1.故选B.9.C 如图,直线l与x轴的交点为D,过Q点作QQ′⊥l,Q′为垂足,设|QF|=d,由抛物线的定义可知QQ′=d,又|PF|=|PQ|,所以|PF|=4d,|PQ|=5d,由△PDF∽△PQ′Q得,所以=,解得d=5,即|QF|=5,故选C.10.C 由a n+b n=700,=a n+b n,可得b n=700-a n,即有a n+1=a n+280,可得a n+1- 400= (a n-400),可得a n-400=(a6-400)·()n-6=0,由于a6=400,所以a n=400,b n=300,a4= a3,b4=b3,a3>b3,a4>b4,故选C.11.D由|m+2n|=|m|两边平方化简得m·n=-|n|2,则|2m+n|+ |n|= +|n|=+|n|,所以16-3|n|2≥0,即|n|≤,令|n|=cos θ,θ∈［［0,］,则|2m+n|+|n|=+|n|=4sin θ+cos θ=sin(θ+),当θ=时取得最大值,故选D.12.D f′(x)=3ax2·e-x-(ax3+4b)·e-x=e-x·(-ax3+3ax2-4b),令g(x)= -ax3+ 3ax2- 4b,则g′(x)=-3ax2+6ax=-3ax(x-2).若a<0,则当x<0时,g′(x)>0,当0<x<2时,g′(x)<0,当x>2时,g′(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x>0时,g(x)≥g(2)=4a-4b,所以当b<a时,g(x)> 4a-4b>0,即f′(x)>0,所以当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选D.13.解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(±,0),由题意,所以a2=4,b2=2.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=114.解析:依题意有ae-b×8=a,所以b=,所以y=a.若容器中的沙子只有开始时的八分之一,则a=a,解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16 min.答案:1615.解析:因为B+C=π-A,所以cos2(B+C)=cos(2π-2A)=cos 2A=2cos2A-1,cos2= ,所以4cos2-cos 2(B+C)=,可化为4cos2A-4cos A+1=0,解之得cos A=,又A为三角形的内角,所以A=,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos A≥2bc-bc=bc,即bc≤4,当且仅当b=c时取等号,所以S△ABC=bcsin A≤×4×=,即面积的最大值为.答案:16.解析:如图,以O为原点,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系,设AE=a,则B(0,,0),D(0,-,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以=(-1,0,3), =(0,2,0),=(-1,,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则即则y=0,令z=1,得x=-a,所以n=(-a,0,1),所以cos<n,>= =.因为直线FO与平面BED所成角的大小为45°,所以=,解得a=2或a=-(舍去),所以AE=2.答案:2。

小练（十）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.） 1. 若噸z=（1+i ）（3-石）（«中i 为疊单位）为^贝|」实数。

=（）A. 3B. -3C. 2D. -2日+3 = 0,树：选BN=（1+i ）（3-«9i） = 3 + 3i-』+ a=3 + a+（3-ai, •:.-J :.a= - 3.B -詳0,2. 已知集合初={0, 1, 3, 5, 7）, /V={2, 3, 4, 5}, P=M^\N,则集合，的子集才救为（）解析：选N.P=M^\N={i, 5},其子集个数为4.3, 已知函数個=cost 3」图象的一条对称轴为直线x=：则实数原值不可能是（）6A. -2B. 4C. 12D. 16解析：选C.由题可得畠+ 土如，kwZ,得s= -2 + 6k,虹Z,故令奸-2,得4=0;令s=4,得4=1;6 3令妇6,得心;令妇2,得尾火故如2*4. 在如图所示的正方形中随机投掷’0 000个点，则落入阴影部 夕-2, 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A. 430B. 215D, 1 359 附：若X 〜眄 /),则 。

〈后〃+6 = 0.682 6, - 2t7<X</J + 2d) = 0.9544, R 卩-3(J<X 《卩+36 = 0.997 4.C, 2 718 分（曲线。

为正态分布解析：选B.不妨4~M-2, 1),所以阴影部分的面积S=R0＜昭1)=」R-5＜X顼)-/-4＜於0)]= 21-(0.997 4-0.9544) = 0.021 5.2所塩入阴影部分的点的个数的估计值为10 000x0.021 5 = 215.故选B.5,已知函数犬力=4 + /,函数p(彳是定义在R上且周期为2的奇函数，贝!]()A.Ap(”)是偶函数，不是周期函数B.心(为)是偶函数，且是周期函数C.仞切是奇函数，不是周期函数D. XpW)是奇函数，且是周期函数通解：选B.・.•函数伺=孑+必是偶函数,-力=個.令心= g),则久顼=的5) = X5) = 3力)=久力,.商”是偶函数，•.•pU+2) =p(M, .•.4p(x+2))=/(pW), .•./Ip(功是周期函数，选B.优解：•.•函数p(力是定义在R上且周期为2的奇函数，不妨设p(M = sin TIX,则A血) = (sin n力％(sin TL^2,.Mp(力)是偶函数，44X+ 2)) = [sin TI(X+ 2)『+ [sin n(x+ 2)]2 = (sin TL# + (sin n^2 =仞M), .••/(p(为朝期函数.6.有4, B, C, D,£五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A 8两位学生去问成续，老师对/说：你的名次不知道，但肯定没復第一S；又对g说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名湘冽的种数为()B.18A. 6C.20D. 24解析：选B.由题怠知，•W排第三名，从C、D、£中选一S排第一S有C；神E法；余下的三位学生鋁清A；种，所以名湘冽的种数为C；A： = 18.7.如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是()9,已知/•为执行如图所示的程序框图输出的结果，贝|」二项式I i=L=0 I /输出j /角为鑑等腰三角形，cos e=~,若"化=3,贝I 」有I 化| = |絲| = 2c,在RW 以 中，|以|=|絲|cos e,即c 8 号2蜀,所以离，曜弋=2； 52则有聞=岡=2。

小题提速练㈣一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)设集合A = {x|y=々M + 3x-4)}, B = {y|y = 21-X2},贝iJAAB = (1.B.A.C.(0, 2][2, 4)B. (1, 2]D. (-4, 0)树：B::K = {xlx2 + 3x - 4> 0} = (x|x> 1 sgx< -4}, B = {y|0<y<2}, .-AnB = (1, 2],螭負2,已知复数z满足z（1-/旅=1+心为虚数单位），贝！］&|为（A-2树:选8.解*:因为或z满足"胪=1+匕所以z=〔 " 2 = '= 所以％=业蠣（1 - 7）2 - 2 / 2 2 2 解法二：因为复数Z满足Z（1 -,2=1+/；所以|z| = (1-/)23.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0, +的上单调递减的函数是（A. y = - x3B. y = /〃x|C. y= cos xD. y = 2-M解析：选々显然函数y = 2-x是偶函数，当x>0时，函数y = B在区间（0, +8）上是减函数.故选4.命题Wx>0, ——>0"的否定是(x-1A. 3x<0, ------ <0x-1B. 3x>0, 0<x<1D. Vx<0, 0<x<1树：选气島＞。

，*。

或3,.=＞。

的査依。

油，命题的査依*＞。

，。

女顼，蠣B.5.某単位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人中年人青年人的人数是（）A. 7, 11, 18B. 6, 12, 18C. 6, 13, 17D. 7, 14, 21解析：选。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝ln|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D. 4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，x x －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴xx －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－62，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3， ∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝± 2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312π C.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

“12＋4”提速专练卷(六)一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x>1}，B ＝{x|x 2－3x －4>0}，则A∩B＝( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<－1或x>0} C ．{x|x>4}D ．{x|－1≤x≤4}解析：选C A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>4或x<－1}，所以A∩B＝{x|x>4}． 2．已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q|的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13. 3．若设平面α、平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由α⊥β和b ⊥m ，知b ⊥α，又a ⊂α，∴a ⊥b ，“α⊥β”可以推出“a⊥b”；反过来，不一定能推出，即“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．4.如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正(主)视图为( )解析：选B 通过分析可知，两个截面分别为平面AMN 和平面DNC 1，所以易知正(主)视图为选项B. 5．设函数f(x)定义在实数集R 上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)D ．f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选C ∵f(2－x)＝f(x)，x≥1时，f(x)＝ln x ，∴函数f(x)以x ＝1为对称轴且左减右增，∴当x ＝1时，函数f(x)有最小值，离x ＝1越远，函数值越大．6．已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：选A 抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的半焦距c ＝3.由9＝4＋b 2得b ＝5，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±52x.由点到直线的距离公式，得双曲线焦点到其渐近线的距离d ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪35254＋1＝5.7．已知两点A(1,0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π6，设OC ＝－2OA ＋λOB (λ∈R)，则λ等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1解析：选B 已知∠AOC ＝5π6，根据三角函数的定义可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，其中r>0.∵OC ＝－2OA ＋λOB ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝(－2,0)＋(λ，3λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3r 2＝λ－2，r 2＝3λ，解得λ＝12.8．(2018·深圳模拟)设偶函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34解析：选D 由题意知，M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cos ωx ，又半周期是1，所以12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.9．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4D ．2 2解析：选C 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cos θ，|BF|＝21＋cos θ，则|AF|·|BF|＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.10．(2018·济宁模拟)若函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛ π6x＋⎭⎪⎫π3(－2<x<10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 由f(x)＝0，解得x ＝4，即A(4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以OB ＋OC ＝2OA ，所以(OB ＋OC )·OA ＝2OA ·OA ＝2×42＝32.11．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－＋4m 22mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0.因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m<－12或m>12(舍去)，故m<－12.12．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f(x)－log a (x ＋2)＝0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：选D 依题意得f(x ＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x －2)，即f(x ＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x ∈(－2,6)上的图像与函数y ＝log a (x ＋2)的图像，结合图像分析可知，要使f(x)与y ＝log a (x ＋2)的图像有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log a＋，由此解得a>8，即a 的取值范围是(8，＋∞)．二、填空题13．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若{a n }的前n 项和S n ＝127，则n 的值为________． 解析：由题意知S n ＝1－2n1－2＝2n－1＝127⇒n ＝7.答案：714．已知正方体的外接球的体积是4π3，则这个正方体的棱长是________．解析：设正方体的外接球半径为r ，正方体棱长为a ，则43πr 3＝43π，r ＝1.所以3a ＝2r ＝2，则a ＝233.答案：23315．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0上到直线x －2y ＝0的距离为5的点的个数是________．解析：圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0化为标准式为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝20，其圆心坐标为(－1，－2)，半径r ＝25，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －2y ＝0的距离d ＝|－1－－12＋－2＝355，如图所示，圆上到直线x －2y ＝0的距离为5的点有4个．答案：416．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，…，2 013，从第二行起每一个数等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是________．解析：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2 010行公差为22 009，第2 013行只有M.令每行首项组成新数列{a n }，则a 1＝1＝1＋12×20，a 2＝2＋12×21；a3＝3＋12×22，a4＝4＋12×23，…，a n＝n＋12×2n－1，∴a2 013＝2 013＋12×22 012＝1 007×22 012，得出M是1 007×22012.答案：1 007×22 012。

小题提速练(七)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2＋x －2＝0}，则A ∪B ＝( ) A ．∅ B ．{－2}C ．{0，－1，－2}D ．{－2，0，1，2}解析：选D.由x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或1，所以B ＝{－2，1}，A ∪B ＝{－2，0，1，2}，故选D.2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1＋i)z ＝2，则|z |＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2 解析：选B.由(1＋i)z ＝2得z ＝21＋i＝1－i ， ∴z ＝1＋i ，|z |＝|z |＝2，故选B.3．设a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若a ⊥α，且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α，且γ⊥β，则α∥β C ．若γ∥α，且γ∥β，则α∥βD ．若a ∥α，且a ∥β，则α∥β解析：选C.若a ⊥α，且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 不对；若r ⊥α，且r ⊥β，则α∥β或α，β相交，故B 不对；若a ∥α，且a ∥β，则α∥β或α，β相交，故D 不对；根据平面平行的传递性可知，C 对．故选C.4．已知角α满足2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α≠0，则sin 2α＝( ) A.18 B ．－18C.78D ．－78解析：选D.解法一：由2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α得，2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝14，sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1＋18＝－78，故选D. 解法二：由2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α可得，2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)．因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α≠0，所以cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝24，将此式两边平方得1＋sin 2α＝18，所以sin 2α＝－78，故选D. 5．已知函数f (x )＝x －1x ，若a ＝f (log 26)，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 229，c ＝f (30.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解析：选A.因为f (x )＝x －1x ，所以f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以b ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 229＝f ⎝⎛⎭⎫－log 229＝f ⎝⎛⎭⎫log 292，且log 26＞log 292＞2＞30.5，结合函数f (x )的单调性可知a ＞b ＞c ，故选A.6．一个四面体的三视图为三个如图所示的全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该四面体的表面积是( )A ．2B ．3＋32C ．3＋ 3D ．3＋232解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形，直线顶点处的棱垂直于底面且长为1的三棱锥，即三条棱都等于1且两两垂直相交于一点的三棱锥，所以四个面中有三个为全等的等腰直角三角形，第四个面为边长等于2的正三角形，所以该四面体的表面积等于3×12×1×1＋34×(2)2＝3＋32，故选B.7．已知a m ＝2，a n ＝3(a ＞0，a ≠1)，则log a 12＝( ) A.2mnB ．2mnC ．2m ＋nD ．m ＋n解析：选C.解法一：由a m ＝2，a n ＝3，则log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以log a 12＝log a (4×3)＝log a 22＋log a 3＝2log a 2＋log a 3＝2m ＋n .故选C.解法二：由a m ＝2，a n ＝3可知，a 2m a n ＝12，即a 2m ＋n ＝12，log a 12＝log a a 2m ＋n ＝2m ＋n .故选C.8．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1，且f (－1)＝8，则f (1)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．8D ．－8解析：选B.令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)，又f (x )＝g (x )＋1，∴f (－1)＝g (－1)＋1， ∴g (－1)＝7，∴g (1)＝－7，f (1)＝g (1)＋1＝－7＋1＝－6.故选B.9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝y ＋4x －4的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．[－1，1]C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－2，2)解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝y ＋4x －4表示可行域内的点与点(4，－4)连线的斜率，易求得临界位置的斜率为－1，1，由图易知z 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．10．某种最新智能手机市场价为每台6 000元，若一次采购数量x 达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y ＝513 000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为( )A ．80B ．85C ．90D ．100解析：选C.依题意可得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x ，x ≤80，6 000×0.95x ，80＜x ≤120，6 000×0.85x ，x ＞120.当6 000x ＝513 000时，解得x ＝85.5，不合题意，舍去；当6 000×0.95x ＝513 000时，解得x ＝90；当6 000×0.85x ＝513 000时，解得x ≈100.6，不合题意，舍去．故该采购商一次采购该智能手机90台．故选C.11．已知三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，点P 在底面△ABC 上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为92，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为( )A ．2B ．3 3C ．2 3D ．3解析：选D.设三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，△ABC 的外接圆圆心为O 1，又AB ⊥BC ，所以O 1为AC 的中点．连接PO 1，∵点P 在底面△ABC 上的射影为AC 的中点，∴PO 1⊥平面ABC .∴P ，O ，O 1三点共线．连接OB ，O 1B ，如图．由已知三棱锥P -ABC 的底面△ABC 为等腰直角三角形，设AB ＝a ，三棱锥高PO 1＝h ，∴三棱锥P -ABC 的体积V ＝13×12a 2h ＝92，即a 2＝27h ，设OB ＝R ，又OB 2＝BO 21＋OO 21，∴R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋(h －R )2，∴R ＝2h 2＋a 24h ＝h 2＋274h 2，由球O 的体积V 球＝43πR 3知，当R 最小时，其外接球体积最小，由R ＝h 4＋h 4＋274h 2≥94，当且仅当h 4＝h 4＝274h 2，即h ＝3时取等号，因而三棱锥P -ABC的高为3时，外接球体积最小，故选D.12．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝2π3，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(0，2)D ．(2，＋∞)解析：选A.解法一：不妨设椭圆：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21；双曲线：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22.不妨设P 是它们在第一象限的公共点，点F 1，F 2分别为它们的左、右焦点，则由椭圆与双曲线的定义得：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得（a 1＋a 2）2＋（a 1－a 2）2－4c 22（a 1＋a 2）（a 1－a 2）＝－12，整理得4c 2＝3a 21＋a 22，即3a 21c 2＋a 22c 2＝4，即3⎝⎛⎭⎫1e 12＋⎝⎛⎭⎫1e 22＝4，则⎝⎛⎭⎫1e 22＝4－3⎝⎛⎭⎫1e 12，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜e 1＜1，e 2＞1得，⎩⎨⎧1e 1＞1，0＜1e 2＜1，令t ＝⎝⎛⎭⎫1e 12，则t ＝⎝⎛⎭⎫1e 12＝13⎣⎡⎦⎤4－⎝⎛⎭⎫1e 22∈⎝⎛⎭⎫1，43， ∴⎝⎛⎭⎫1e 12·⎝⎛⎭⎫1e 22＝⎝⎛⎭⎫1e 12·⎣⎡⎦⎤4－3⎝⎛⎭⎫1e 12＝－3t 2＋4t ＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43∈(0，1)，e 21e 22∈(1，＋∞)，即e 1e 2的取值范围为(1，＋∞)．解法二：不妨设椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22，不妨设P 是它们在第一象限的公共点，点F 1，F 2分别为它们的左、右焦点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＞n ＞0，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得m 2＋n 2＋mn ＝4c 2，则由椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，∴1e 1·1e 2＝a 1a 2c 2＝m 2－n 24c 2＝m 2－n 2m 2＋n 2＋mn ＝m 2＋n 2＋mn －（2n 2＋mn ）m 2＋n 2＋mn ＝1－2＋mn ⎝⎛⎭⎫m n 2＋m n＋1，令t ＝mn ＋2，则t ＞3，∴1e 1·1e 2＝1－t t 2－3t ＋3＝1－1t ＋3t－3， ∵函数f (t )＝1－1t ＋3t －3在(3，＋∞)上单调递增，∴1e 1·1e 2∈(0，1)，即e 1e 2的取值范围为(1，＋∞)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 解析：由题意得，a ＋c ＝(3，3m )，由(a ＋c )⊥b 得3(m ＋1)＋3m ＝0，所以m ＝－12，a＝(1，－1)，所以|a |＝ 2.答案： 214．某老师在一个盒子里装有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，现让某孩子从盒子里任取2张卡片，则他取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为________．解析：从盒子里任取2张卡片的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，其中2张卡片上的数字之积是偶数的基本事件有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7个，所以取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P ＝710.答案：71015．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，所得图象关于直线x ＝－π3对称，则f (x )＝________________．解析：解法一：由函数f (x )的最小正周期为π可知ω＝2，将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象， 又g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，所以2×⎝⎛⎭⎫－π3＋π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z .因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 解法二：由函数f (x )的最小正周期为π可知ω＝2，将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象， 又g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，所以g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫－π2，即sin φ＝sin ⎝⎛⎭⎫φ－2π3.因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6.答案：sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6 16．已知点M (－4，0)，椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左焦点为F ，过F 作直线l (l 的斜率存在)交椭圆于A ，B 两点．若直线MF 恰好平分∠AMB ，则椭圆的离心率为________．解析：如图，作点B 关于x 轴的对称点C ，则点C 在直线AM 上．设l ：y ＝k (x ＋c )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋c ），x 24＋y 2b 2＝1，消去y 得(4k 2＋b 2)x 2＋8k 2cx ＋4k 2c 2－4b 2＝0，则x 1＋x 2＝－8k 2c 4k 2＋b 2，x 1x 2＝4k 2c 2－4b 24k 2＋b 2，由角平分线的性质定理知|MA ||MB |＝|AF ||BF |，所以x 1＋4x 2＋4＝x 1＋c －x 2－c (*)，可得2x 1x 2＋(4＋c )(x 1＋x 2)＋8c ＝0，故8b 2(c －1)＝0，所以c ＝1，故离心率e ＝ca ＝12.答案：12。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是()A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( ) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝12(0.954 5－0.6827)＝0.135 9，故选B.5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝ 127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为22，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝（22）2＋（22）2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －y A ，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2D ．2＜x 0＜3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 2，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________． 解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CDBD ＝52x.在△ACD中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5. 答案：5。

小题提速练(六) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·江西上饶中学月考)若集合A ＝{x |x 2－7x ＜0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈A中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8等于( )【导学号：04024192】A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] B3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图1中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36 D.677[答案] B4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C5．(2016·全国卷Ⅰ)如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图2A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案] A6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) 【导学号：04024193】A ．－13B ．－23C.13D.23 [答案] D7．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )图3A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B8．若将一个质点随机投入如图4所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图4A.π2B.π4C.π6D.π8[答案] B9．已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【导学号：04024194】[答案] A11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图5所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( )图5A ．2＋ 3B. 3C.33D ．2－ 3[答案] B12．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．[解析] 公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－52＝4 5.[答案] 4 514．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.【导学号：04024195】[解析] f ′(x )＝e x －2，可得f ′(x )＝0的根为x 0＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，可得函数在区间(－∞，ln 2)上为减函数，当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，可得函数在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，∴函数y ＝f (x )在x ＝ln 2处取得极小值f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，并且这个极小值也是函数的最小值．由题设知函数y ＝f (x )的最小值要小于或等于零，即2－2ln 2＋a ≤0，可得a ≤2ln 2－2，故答案为(－∞，2ln 2－2]． [答案] (－∞，2ln 2－2)15．已知△PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．[解析] 如图在Rt △PAD 中，AD ＝4＋4＝22，过△PAD 的外心M 作垂直于平面PAD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则点O 为四棱锥P ­ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P ­ABCD 外接球的半径)，即R ＝3，∴四棱锥P ­ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. [答案] 12π16．已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.[解析] 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA →＋3bGB →＝－3cGC → ＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0，又因为GA →，GB →不共线，则2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，即2a ＝3b ＝3c ， 所以a ＝3b 2，c ＝3b 3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.[答案] 112。

小题提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B.复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1.2．已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．4解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，A ∩B ＝{－2，2}，A ∩B 中有2个元素，故选A.3．已知角α，β满足tan αtan β＝13，若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为( )A.15 B ．23C.25D ．35解析：选C.解法一：由tan αtan β＝13，cos(α－β)＝45得，⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.解法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由cos(α－β)＝45得，cos αcos β＋sinαsin β＝45 ②，由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x225＋x 2＝13，解得x ＝25，故cos(α＋β)＝25.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，可知当x ＞0时，f (x )＞2，当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，排除选项A 、B 、C ，故选D.5．已知直线m ，平面α，β，p ：“直线m 与平面α，β所成的角相同”，q ：“α∥β”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若“直线m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1为例，面对角线A 1D 与底面ABCD 及侧面ABB 1A 1所成的角均为45°，但底面ABCD ⊥侧面ABB 1A 1，所以充分性不成立；必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m 与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．9，2B ．10，2C ．9，12D ．9，－1解析：选D.当n ＝1时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；当n ＝2时，a ＝1－1a ＝1－112＝－1；当n ＝3时，a ＝1－1a＝1－1－1＝2；当n ＝4时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；….则a 的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n ＝8时，a ＝－1，则n ＝9，跳出循环，执行输出，故选D.7．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋43y ＝－3的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：选D.圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：x 2＋(y ＋23)2＝9，则C 1(2，－1)，圆C 1的半径r 1为2；C 2(0，－23)，圆C 2的半径r 2为3.两圆的圆心距d ＝22＋（23－1）2＝17－43∈(r 2－r 1，r 2＋r 1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.8．已知各项均为正的等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n ，则“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件通解：选A.因为等比数列{a n }的各项均为正，所以a 1＞0.若q ＞1，则S 2＋2S 6－3S 4＝a 1（1－q 2）1－q＋2a 1（1－q 6）1－q －3a 1（1－q 4）1－q ＝a 1q 2（1＋2q 4－3q 2）q －1＝a 1q 2（2q 2－1）（q 2－1）q －1＞0，所以S 2＋2S 6＞3S 4.而当q ＝1时，S 2＋2S 6＞3S 4也成立．所以“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的充分不必要条件，故选A.优解：因为等比数列{a n }的各项均为正，所以q ＞0，S 2＞0.令S 2＋2S 6－3S 4＝q 2S 2(2q 2－1)＞0，所以q ＞22.所以“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的充分不必要条件，故选A.9．已知函数f (x )＝ax 3＋ax 2＋x ＋b (a ，b ∈R )，则下列图象一定不能表示f (x )的图象的是( )解析：选D.结合选项，令b ＝0，f (x )＝ax 3＋ax 2＋x ，则f ′(x )＝3ax 2＋2ax ＋1，分三种情况讨论：当a ＝0时，f ′(x )＝1，f (x )单调递增；当a ＜0时，方程3ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝(2a )2－4×3a ＞0，此时f (x )不可能单调递减；当a ＞0时，函数f ′(x )＝3ax 2＋2ax ＋1不可能恒小于0，即函数f (x )不可能在R 上单调递减，结合各选项，知f (x )的图象不可能为D 中图象，故选D.10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是( )A.233＋23π B ．233＋163π C ．4＋163πD ．43＋23π解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．图1在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A ­BEF ，顶点A ，B ，E ，F 分别是正方体棱的中点． 解法一：如图2，取EF 的中点C ，连接AC ，BC ，则EF ⊥AC ，EF ⊥BC ，所以EF ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×2＝2，三棱锥A ­BEF 的体积V 1＝13×S △ABC ×EF ＝43.半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图2解法二：如图3，C ，D 分别为正方体两棱的中点，连接CD ，G 为CD 的中点，连接EG ，FG ，过CD ，EF 作截面EFDC ，则正方体和三棱锥A ­BEF 都被一分为二，因为S △EFG ＝12×2×2＝2，所以三棱锥A ­BEF 的体积V 1＝2×13×S △EFG ×AG ＝43，半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43 B ．34C.53D ．45解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a＋a ＝8，b 2＋a 2－8a ＝0，得(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝ba ＋1，则k 表示点(a ，b )与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知k max ＝43.故选A.12．已知函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )－f (－x )＝0，f (x ＋2)－f (－x )＝0，当x ∈[ 0，1]时，f (x )＝x 12·g (x )＝4x －2x －2是定义域为R 的函数．给出以下四个命题：①存在实数a ，使得关于x 的方程|g (x )|＝a 有两个不相等的实根； ②存在x 0∈[0，1]，使得g (－x 0)＝－g (x 0)；③当x ∈(－∞，2]时，关于x 的方程f [g (x )]＝0有7个实根； ④关于x 的方程g [f (x )]＝0有1个实根． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.因为f (x )＝f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T ＝2.结合已知条件画出函数f (x )的图象，如图所示．图1命题①是真命题．当a ＝1时，4x －2x －2＝±1，所以4x －2x －3＝0或4x －2x －1＝0，解得2x ＝1±132或2x ＝1±52，又2x ＞0，所以x ＝log 21＋132或x ＝log 21＋52，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x －2－x －2＝－(4x －2x －2)，整理得(2x ＋2－x )2－(2x ＋2－x )－6＝0，所以(2x ＋2－x －3)(2x ＋2－x ＋2)＝0，因为2x ＋2－x ＞0，所以2x ＋2－x －3＝0，所以(2x )2－3×2x ＋1＝0，解得2x ＝3±52.由x 0∈[0，1]，得2x 0∈[1，2]，而3±52∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x 0，使得g (－x 0)＝－g (x 0)，命题②是假命题．命题③是真命题．设t ＝2x ，由x ∈(－∞，2]，得t ∈(0，4]．构造函数φ(t )＝t 2－t －2(4≥t ＞0)，则g (x )＝φ(t )，函数φ(t )的图象如图2所示．图2易得φ(t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，10，结合函数f (x )的图象可知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，10上有零点－2，0，2，4，6，8，10，当g (x )分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f [g (x )]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．命题④是假命题．函数g (x )只有唯一零点x ＝1，所以f (x )＝1，结合f (x )的图象可知，当f (x )＝1时，x ＝2k ＋1，k ∈Z ，所以方程g [f (x )]＝0有无数个实根，且x ＝2k ＋1，k ∈Z ，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．解析：由题意得，抽取的比例为120，因为从所有学生中抽取120人，所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×120＝40.答案：4014．已知向量a ＝(1，m )，|b |＝1，|a ＋b |＝7，且向量a ，b 的夹角是60°，则m ＝________． 解析：由|a ＋b |＝7，得|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|a |＋1＝7，解得|a |＝2，所以m 2＋1＝2，故m ＝± 3.答案：±315．已知在等差数列{a n }中，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S k a k＝6，则正整数k ＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×（13－1）2d ＝91，根据a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k＝k ＋12＝6，所以k ＝11.解法二：在等差数列{a n }中，S 13＝91，根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，又a 1＝1，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k＝k ＋12＝6，所以k ＝11.答案：1116．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD 测量塔高，当在升降机底部C 时，测得点A 的仰角为45°、点B 的仰角为60°；当升降机上升10米至D 时，测得点A 的仰角为30°，则塔高AB 为________米．解析：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝120°，得∠DAC ＝15°，又CD ＝10，由正弦定理CD sin 15°＝ACsin 120°，得AC ＝53sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB ＝60°－45°＝15°，∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin 30°＝ABsin 15°，得AB＝AC sin 15°sin 30°＝2×53sin 15°·sin 15°＝103.答案：10 3。

小题提速练(十)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(其中i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－2解析：选B.z ＝(1＋i)(3－a i)＝3＋3i －a i ＋a ＝3＋a ＋(3－a )i ，∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3.2．已知集合M ＝{0，1，3，5，7}，N ＝{2，3，4，5}，P ＝M ∩N ，则集合P 的子集个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.P ＝M ∩N ＝{3，5}，其子集个数为4.3．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3图象的一条对称轴为直线x ＝π6，则实数ω的值不可能是( )A ．－2B ．4C ．12D ．16解析：选C.由题可得π6ω＋π3＝k π，k ∈Z ，得ω＝－2＋6k ，k ∈Z ，故令ω＝－2，得k ＝0；令ω＝4，得k ＝1；令ω＝16，得k ＝3；令ω＝12，得k ＝73∉Z ，故ω≠12.故选C.4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．430B ．215C ．2 718D ．1 359附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解析：选B.不妨设X ～N (－2，1)，所以阴影部分的面积S ＝P (0≤X ≤1)＝12[P (－5＜X ≤1)－P (－4＜X ≤0)]＝12(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5. 所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.021 5＝215.故选B.5．已知函数f (x )＝x 4＋x 2，函数g (x )是定义在R 上且周期为2的奇函数，则( ) A ．f (g (x ))是偶函数，不是周期函数 B ．f (g (x ))是偶函数，且是周期函数 C ．f (g (x ))是奇函数，不是周期函数 D ．f (g (x ))是奇函数，且是周期函数 通解：选B.∵函数f (x )＝x 4＋x 2是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．令h (x )＝f (g (x ))，则h (－x )＝f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))＝h (x )，∴h (x )是偶函数，∵g (x ＋2)＝g (x )， ∴f (g (x ＋2))＝f (g (x ))，∴f (g (x ))是周期函数，选B.优解：∵函数g (x )是定义在R 上且周期为2的奇函数，不妨设g (x )＝sin πx ，则f (g (x ))＝(sin πx )4＋(sin πx )2，∴f (g (x ))是偶函数，f (g (x ＋2))＝[sin π(x ＋2)]4＋[sin π(x ＋2)]2＝(sin πx )4＋(sin πx )2＝f (g (x ))，∴f (g (x ))是周期函数．6．有A ，B ，C ，D ，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A ．6B ．18C ．20D ．24解析：选B.由题意知，∵B 排第三名，从C 、D 、E 中选一名排第一名有C 13种排法；余下的三位学生全排有A 33种，所以名次排列的种数为C 13A 33＝18.7．如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是( )A ．22＋ 2B ．23＋ 2C ．22＋22D ．23＋22解析：选A.根据题中三视图知，该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分，因此表面积为6×22－1×1×2＋2×1＝22＋2.8．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是直线x ＝a2上一点，△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ＝58，则双曲线E 的离心率为( )A.32 B ．2C.52D ．3解析：选B.由题意知∠PF 1F 2＝θ或∠PF 2F 1＝θ，设直线x ＝a2与x 轴的交点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，因为△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，cos θ＝58，若∠PF 1F 2＝θ，则有|F 1F 2|＝|PF 1|＝2c ，在Rt △PDF 1中，|DF 1|＝|PF 1|cosθ，即c ＋a2＝2c ×58，所以离心率e ＝ca ＝2；若∠PF 2F 1＝θ，则有|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ，在Rt △PDF 2中，|DF 2|＝|PF 2|cosθ，即c －a2＝2c ×58，不合题意．综上，双曲线E 的离心率为2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫i x －1x 6的9．已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式展开式中x －2的系数是( )A ．－21B ．21C ．－42D ．42解析：选C.第一次运行：s ＝1，i ＝2；第二次运行：s ＝3，i ＝3； 第三次运行：s ＝7，i ＝4； 第四次运行：s ＝15，i ＝5； 第五次运行：s ＝31，i ＝6； 第六次运行：s ＝63，i ＝7；第七次运行：s ＝127，不满足循环继续的条件，故输出的i ＝7.所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7x －1x 6的展开式的通项为C r 6(－1)r 76－r x 3－r ，当r ＝5时，得x －2的系数为－42.10．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35 B ．59C.110 D ．25解析：选B.第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59，故选B.11．已知M ，N 是双曲线x 24－y 2＝1上关于坐标原点O 对称的点，P 为双曲线上异于M ，N 的点，若直线PM 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则直线PN 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12解析：选A.设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (m ，n )(m ≠±x 0，n ≠±y 0)，则k PM ＝n －y 0m －x 0，k PN ＝n ＋y 0m ＋x 0.又P ，M ，N 均在双曲线x 24－y 2＝1上，则m 24－n 2＝1，x 204－y 20＝1，两式相减得（m －x 0）（m ＋x 0）4－(n －y 0)(n ＋y 0)＝0，n －y 0m －x 0·n ＋y 0m ＋x 0＝14，即k PM ·k PN ＝14，又12≤k PM ≤2，即12≤14k PN ≤2，解得18≤k PN ≤12.故选A.12．若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(1，e 2－2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1e 4，e 2－2C.⎝⎛⎦⎥⎤1，4＋1e 4D ．[1，＋∞)解析：选C.令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x . 令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －2x ＝2（x －1）（x ＋1）x，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4＋1e 4，g (e)＝e 2－2，4＋1e 4＜5，e 2－2＞2.72－2＞5，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤1，4＋1e 4，故答案选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝－12，则x 1＋y 1x 2＋y 2＝________．解析：因为|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为180°，即a ＝－34b ，又a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴x 1＝－34x 2，y 1＝－34y 2.所以x 1＋y 1x 2＋y 2＝－34.答案：－3414．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解：设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 P15p45－p 由E (ξ)＝1，得p ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫45－p ＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：2515．如图，点A 的坐标为(1，0)，函数y ＝ax 2过点C (2，4)，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：因为函数y ＝ax 2过点C (2，4)，所以a ＝1，即y ＝x 2，又A (1，0)，所以S 矩形ABCD ＝4，阴影部分的面积S 1＝4－⎠⎜⎛12x 2d x ＝4－13x 3|21＝4－13(23－13)＝53，所以在矩形ABCD 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率P ＝S 1S 矩形ABCD ＝512.答案：51216．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是________．解析：如图所示，以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨令D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.设△ABC 的外接圆圆心为M ，半径为R ，则2R＝3sinπ3，∴R ＝ 3.∵|MA|＝|MB|＝|MC|＝R ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，∴点A 在圆x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝3上， ∴|AD|max ＝|MD|＋R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋3＝1＋3，故AD 的最大值是3＋1. 答案：3＋1。