与中点有关的辅助线 PPT

有关中点的定理及辅助线一、 遇到中线想到线等、联想到三线合一二、 遇到中线想到面积等例：用不同的方法把三角形的面积四等分例：在图12— 1至图12— 3中，已知△ ABC 的面积为a . （1）如图12— 1,延长△ ABC 的边BC 到点D ，使 CD = BC ,连结DA .若厶ACD 的面积为 S,则S= _____________________ （用含a 的代数式表示）；（2）如图12—2,延长△ ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ,使CD=BC , AE=CA ，连结DE .若厶DEC 的面积为 S 2,则S 2= __________ （用含a 的代数式表示）;（3）在图12—2的基础上延长 AB 到点F ，使BF=AB ，连结FD , FE ，得到△ DEF （如 图12—3）.若阴影部分的面积为 S 3,则S 3= _____________________ （用含a 的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由.发现：像上面那样，将 △ ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到 △ DEF （如图12— 3）,此时，我们称 △ ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的 面积是原来△ ABC 面积的 _________ 倍.应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在厶ABC 的空地上种红花，然后将厶 ABC 向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图 案）.在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如 果种红花的区域（即△ABC ）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积. 三、遇到中线想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半例：如图 BD 、CE 是厶ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 和ED 的中点。

求证： MN 丄ED练习：（1）、在三角形 ABC 中，AB=AC , BD 平分角ABC ，过点D 做DE 垂直于BD 交BC 于点E ,求证：CD=1/2BE（2）、如图，过矩形 ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点 E , F 是AE 的中点，连接FC 、FD 求证：/ FDA= / FCB四、遇到中线加倍延 例：已知：如图， AD ABC 的中线，点 E 在AC 边上，BE 交AD 于点F ，且AE=EF练习：（1）已知△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别紧 AB 边，AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形求证：EF=2AD（2）已知：如图， AB=BC=CE , AD ABC 中BC 边的中线，求证：/ 1 =/ 2求证：AC=BFE（3）BC平分/ EBD , AF平行于BC, F是ED的中点求证：EG=AD五、多中点想到中位线1三角形中位线的性质(1) _____________________________________ 、任意四边形的中点四边形都是 __________ 平行四边形的中点四边形是 _____________________ ;矩形的中点四边形是 _______________ ；菱形的中点四边形是 _____________________ ；正方形的中点四边形是 ___________________ ；梯形的中点四边形是 __________________ ； 直角梯形的中点四边形是 _________________ ；等腰梯形的中点四边形是 _______________ 。

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N AMN ABEF DC(N )M F EDCBA2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： （1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBAEDEDBC5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3图【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NMEDCBA举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。

与中点有关的辅助线作法李述文中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题得到迅速解决。

一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的中线例1. 已知：如图1，△ABC 中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点。

求证：PM ⊥DE 。

证明：联结EM 、DM ，则EM BC DM BC ==1212， 故EM ＝DM又P 为DE 的中点，所以PM ⊥DE 。

二、已知三角形一边的中点，构造中位线例2. 已知：如图2，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，且∠EBC ＝30°。

求证：AD ＝BE证明：取CD 的中点F ，联结EF ，则EF AD =//12又AD ⊥BC ，故△BEF 为直角三角形又∠EBC ＝30°，所以EF BE =12故AD ＝BE三、已知中线，常倍长中线例3. 如图3，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F ，且AF ＝EF 。

求证：BE ＝AC证明：延长中线AD 至A’，使A’D ＝AD联结A’B ，易证△A’BD ≌△ACD ，故∠A’＝∠CAD ，A’B ＝AC 又因为AF ＝EF ，所以∠AEF ＝∠CAD又∠AEF ＝∠A’EB ，所以∠A’＝∠A’EB ，A’B ＝BE故有BE ＝AC四、已知中点且结论为比例式时，常过中点作平行线例4. 过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E 。

求证：AE ：ED ＝2AF ：FB证明：如图4，过点D 作DM ∥AB 交CE 于M ，则 AE ：ED ＝AF ：DM ∵BD ＝CD ，DM ∥AB∴MF ＝CM ，DM 是△BCF 的中位线∴=∴=DM FB AE ED AF FB1212::即AE ：ED ＝2AF ：FB五、已知梯形一腰的中点，构造梯形的中位线或全等三角形例5. 如图5，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，E 是AB 的中点。

“中点”辅助线模型归纳姓名：__________指导: ___________日期：__________（二）多个中点的辅助线【基本模型1】已知任意三角形两边的中点，连接三角形两边上的中点.DE//BC,DE= Y BC三角形的中位线A.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.B.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.C.中点三角形: 三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.【基本模型2】已知任意一个四边形及各边的中点，连接四边形四边上的中点及对角线. 连接四边形的对角线•顺次连接各边中点E,F,G,乩如图所示.在ZUDC 屮,EE//AC,且EF二y AC,同理可得HC〃AC,且=所以四边形EFGH为平行四边形中点四边形A.连接任意四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形.B.连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形•C.连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形•D.连接正方形四边的中点得到的四边形是正方形.总结：1.已知三角形两边的中点，可以连接这两个中点构造中位线；2.已知三角形一边的中点,可以在另一边上取中点，连接两中点构造中位线；3.已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线可构造相似三角形［典型例题1］如图，在四边形ABCD中，厶DAB =90。

，DB二DC,点E,F分别为DB,BC的中点，连接AE,AF.当AF = AE^,设6DB 二a,厶CDB=0,求a,0之间的数量关系.D【思路分析］根据模型做辅助线，延长EF.【答案解析】连接EF,如图.•・•点分别为DB.BC的中点，/. EF = *CD ,EF//DC、A = 90°, AE = DE =•.• DB = DC,:. AE 二EF.又AF = AE,：. ZUEF是等边二角形，/. A4EF = 60°.T AE = DE、EF"CD.:./ADE 二乙DAE 二&，厶REF 二乙BDC 二0,:./LAEB - /LDAE I Z.4DE ®2a,・•・乙AEF= MEB + 乙FEB =2a 亠0二60。