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第3讲平行线辅助线一、知识回顾：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．一、加截线(连接两点或延长线段)1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．(第1题)【解析】：∠BFE＝∠FEC.理由一：连接BC，如图①.∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC＝∠ECB.∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．(第1题)理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.∵AB∥CD，∴AG∥CD.∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠G.∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．二、过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．(第2题)【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝25°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.(第2题)方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.∵AB∥PM，∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°. 方法三：连接BC，略。
当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展．1、常用的辅助线有：（1）联结两个点得到线段；（2）过某一点做平行线或者垂线；（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形．辅助线的添加知识结构模块一：根据图形补形添线知识精讲内容分析【例1】 如图，已知AD ∥BC ，∠B =∠C ，求证：AB =CD ．下列添加辅助线不正确的是（）．A ．延长BA 、CD 交于点E ；B ．过点A 、D 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ； C ．联结AC 、BD ；D ．过点B 、C 作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，AB =AD ，BC =CD ，求证：∠ABC =∠ADC ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC =DE ，∠ABC =∠AED ，求证：∠BCD =∠EDC ． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDB CDAABC DE【例4】 如图，AB ∥EF ，∠B +∠C +∠D +∠E =____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例5】 如图，△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE =CF ．求证：AE=AF ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABC D EFABCDEFAB CDE【例7】 如图，在△ABC 中，CE 是∠ACB 的平分线，AF ⊥CE 于点F ，求证：∠CAF =∠EAF +∠ABC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，且C 是AE 的中点，∠B +∠D =180°，求证：AB =DE ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】两个全等的含30°、60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并求证． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDEMABCEF【例10】如图，△ABC 中，BD 、CE 相交于点O ，∠1=∠2=12∠A ，求证：BE =CD ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】如图，在直角△ABC 和直角△ADE 中，∠C =∠E =90°，BC =DE ，∠BAE =∠DAC ，BC 与DE 交于点F ，求证：BF =DF ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例12】如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =a ，在线段AC 上有动点M ，在射线CB 上有动点N ，且AM =BN ，连接MN 交AB 于点P ．（1）当点M 在边AC （与点A 、C 不重合）上，线段PM 与线段PN 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M 作边AB 的垂线，垂足为点Q ，随着M 、N 两点的移动，线段PQ 的长能确定吗?若能确定，请求出PQ 的长；若不能确定，请简要说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCPN MABCDEFABCDEQ1 2【例13】已知：如图，△ABC是等边三角形，BD =DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：23AMN ABCC C∆∆=．【难度】★★★【答案】【解析】【例14】如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF = 45°，（1）求证：AE+CF = EF；（2）若BF=103，BC=1，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEFAB CDMN常做辅助线：遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形．【例15】已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】如图，△ABC 中，BD =DC =AC ， E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE ．【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：倍长中线AB CD AB CD E【例17】已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线，且BE=AC，延长BE交AC于点F．求证：AF=EF．【难度】★★【答案】【解析】【例18】已知：如图，AD是△ABC的中线，AB = BD，点E在BD上且BE =ED．求证：AC =2AE．【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知，如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．求证：12AM EF．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEAB CDEMGFABCDEF【例20】已知：如图，在△ABC 中，BD=DC ，ED ⊥DF ． 求证：BE +CF >EF ．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例21】已知：如图，点M 是△ABC 的边BC 的中点，射线ME 、MF 互相垂直，且分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ．（1） 求证：线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2） 若∠A =120°，且BE =CF ，试判断BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状，并证明 ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEFABCM EF遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形．【例22】 如图，在三角形ABC 中，O 是AC 边上的一点，过点O 作MN ∥BC ，交∠ACB的平分线于点E ，交∠ACB 的邻补角的平分线于点F ，求证：OE =OF ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD =CD ，BD 平分ABC ∠，求证：︒=∠+∠180C A ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析模块三：角平分线翻折知识精讲ABCDEOFCB NM【例24】如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，∠B =2∠C ．求证：AB +BD =AC ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，并且1+2AE AB AD （），求∠ABC +∠ADC 等于多少度? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：OE =OD ．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDABCD EO【例27】如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，MF //DA交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ，求证：BE =CF ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例28】已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ．求证：CE =BH ．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等） 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDE FMACEFH【习题1】 如图，在△ABC 中，∠A =120°∠ABC =∠C ，BD 是∠ABC 的角平分线，如果将△ABD 沿BD 翻折过来，点A 与BC 边上的点E 重合，那么△CDE 是___________三角形． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 如图，已知AC =BD ，∠D =∠C ，求证：∠A =∠B ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，在三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB +BD =DC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDEAB CD ABCD【习题4】 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AC =AB +BD ，∠C =30°．求∠BAC 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 、ACGF ，DP ⊥BC 于点P ，GQ ⊥BC 于点Q ，求证：DP +GQ =BC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，且AE +CF =EF ，求证：∠EBF =45°．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDACBDEFG QPABCDEF【习题7】 已知，如图，D 为等边△ABC 内一点，DA =DC ，P 为等边△ABC 外一点，PC =AC ，且CD 平分∠BCP ，求∠P 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 如图，在△ABC 中，AC BC =，∠C =90°，AD ⊥BD 交于点D ，BD 与AC相交于点E ，当BE =2AD 时，求证：BD 平分ABC ∠． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 如图，已知在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BF =CD +DF ，若∠ABE 为α，求∠CBF 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDPABCDEAB CDE F【习题10】 在△ABC 中，AB =AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD =60°，∠ACD =60°．求证：BD +DC=AB ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上一点，点D 在BC 的延长线上且CD =AB ，∠BAE =∠D ，AC 平分∠EAD ．求证：AD =2AE ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDAB C DE【作业1】 如图，将△ABC 的中线AD 加倍到点E ，联结CE 后，以下结论错误的是 （ ）．A ．ABD ECD △△；B ．AD =DC ；C ．CE =AB ；D ．AB ∥CE ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业2】 已知：AD 是△ABC 的角平分线，∠C =2∠B ，将△ACD 沿AD 翻折，点C 落在AB 边上的E 处，△EBD 是____________；AB 、AC 、CD 之间的数量关系是_____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业3】 已知：在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：AB =AC +CD ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCDABCDAB CD【作业4】已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，求证：BD +DC =AD ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 已知直角△ABC 中，∠CAB=90°点D 、E 在边BC 上，∠CAE =∠B ，E 是CD 的中点，且AD 平分∠BAE ；求证：BD =AC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，已知点C 是AB 的中点，点E 在CD 上，AE =BD ，求证：∠AEC =∠CDB ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEACBDEA BCDE【作业7】 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，联结DE 交BC 于点M ，DM =ME ，求证：BD=CE ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 已知，如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点F ，∠C =60°，求证：AB =AE +BD ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，已知在△ABC 中，BD 、CE 相交于点Q ，BE =CD ，∠1=∠2．求证：∠A =2∠1．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDMEABCDEQ12 ABC DEF【作业10】 如图所示，正方形ABCD 中，∠EAF =45°，AP ⊥EF 于点P ，求证：AP =AB ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABEF 、ACGH ，联结FH ，AD ⊥BC 于点D ，延长DA 交FH 于点M ． 求证：（1）FM =MH ；（2）BC =2AM ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEFGHMA BCDE FP。
平面几何添加辅助线的技巧第一讲注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的需要.例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP = CQ,A为BC外一动点（如图1）.当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在厶DBP = /AQC 中,显然/ DBP = /AQC, / DPB = /C. 由BP =CQ,可知△ DBPAQC.有DP = AC, / BDP = / QAC.C 于是,DA // BP, / BAP=Z BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB= DP. 所以AB= AC.这里,通过作平行线，将/ QAC “平推”到/ BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆，使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形, / BAF =/ BCE.求证：/ EBA=Z ADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线,得交点P,连PE.由AB £ CD,易知△ PBA^A ECD.有FA = ED, PB = EC.显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有/ BCE =Z BPE, / APE =/ ADE.由/ BAF = / BCE,可知 / BAF =/ BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是，/ EBA =Z APE. 所以，/ EBA =Z ADE.这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过 P 、B 、A 、E 四点共圆，紧密 联系起来./ APE 成为/ EBA 与/ ADE 相等的媒介，证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添 加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题.例3在厶ABC 中，BD 、CE 为角平分线，P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、 BC 的垂线，M 、N 、Q 为垂足.求证：PM + PN = PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于 K 、G,连 PG.由BD 平行/ ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ = PN. 显然，旦=巨=C G ,可知PG// EC.PD FD GD由CE 平分/ BCA,知GP 平分/ FGA.有PK = PM.于是， PM + PN = PK + KQ = PQ.这里,通过添加平行线，将PQ “掐开”成两段，证得PM = PK,就有PM + PN = PQ. 证法非常简捷.3 为了线段比的转化C图3由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到/ FDA _Z EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分 别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于 Q 、P 、N 、M.DCAM 有 BD - AM _ DC - AN. 亠 AP AF AM 由—_ _ ,BD FB BC显然,BD _ KD_ AN KA ⑴BD •M有 AP_ BC例4 设M i 、M 2是厶ABC 的BC 边上的点且BM i = CM 2.任作一直线分别交 AB 、 AC 、AM i 、AM 2于 P 、Q 、N i 、N 2.试证:AB AC AM 1AM 2+ = + .AP AQAN iAN 2证明：如图4,若PQ // BC,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D.过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于 E.由 BM i = CM 2,可知 BE + CE = M i E + M 2E,易知AB _ BE AC _ CE AP _ DE ，AQ _ DE，AM i M i E AM 2 M 2E AN i _ DE ，AN 2 _ DE .则 AB + AC _ BE +CE _ M i ^M 2E _ AM i + AM 2 贝寸 + + AP AQ DE DE AN i AN 2AB , ACAM i , AM 2+ _ + -------------- AP AQ AN i AN 2这里,仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE, 于是问题迎刃而解.例5 AD 是厶ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK 交AC 于E, CK 交AB 于F.求证:图5,AQ AE ANi~n————由--- - ,DC EC BC（（有AQ =竺型BCAP = AQ.显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分/ PDQ.这里,原题并未涉及线段比，添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生，恰当地运用 这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递 当题目给线段相等的关系传递开去例6在厶ABC 中,AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且 1 2 2 (AB 2+ AC 2).4/ MDN = 90° .如果 BM 2+ CN 2 = DM 2 + DN 2,求证:证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E.连ME.由BD = DC,可知ED = DN.有△ BEDC显然，MD 为EN 的中垂线.有EM = MN. 由 BM 2+ BE 2= BM 2 + NC 2= MD 2+MN2_ EM 2,可知△ BEM 为直角三角z ABC +Z ACBABC +Z EBC = 90°.于是,z BAC = 90.所以，AD 2=扌212 2BC =一 （AB 2 + AC 2）.、这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. 例7如图7, AB 为半圆直径，D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使EA = DA, FB = DB.过D 作AB 的垂线,交半圆于C.求证:CD 平分EF.证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线，G 、H 为垂足,连FA EB.易知C此式表明，DM _ ME 的充要条件是 BN _ NC.DB 2= FB 2= AB • HB, AD 2=AE 2= AG • AB.二式相减,得 DB 2— AD 2=AB • (HB — AG)或(DB — AD) • AB = AB • (HB — AG). 于是,DB — AD = HB — AG, 或 DB — HB = AD — AG.就是 DH = GD. 显然，EG // CD // FH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明CD 平分EF,想到可先证CD 平分GH.为此添加CD 的两条平行线EG 、 FH,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束，DE 是与BC 平行的直线.于是,有DM _ AM _ ME BN _ AN _ NC DMME 卡 DM BN_ 或 _—— BN NC ME NC 利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮 例8如图9, ABCD 为四边形，两组对边延长 后得交点E 、F,对角线BD // EF, AC 的延长 线交EF 于G.求证：EG _GF.证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、 AF 于 M 、N.由 BD // EF,可知 MN // BD.易知BEF _ S ^DEF . 有 S\BEC _ S ^n KG — *5 n DFC .可得 MC _ CN. 所以,EG _ GF.例9 如图10, O O 是厶ABC 的边BC 外的旁 切圆，D 、E 、F 分别为O O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K,求证：AK 平 分BC.证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别图7交直线AB 、AC 于Q 、P 两点，连OP 、OQ 、 OE 、OF.由OD 丄BC,可知OK 丄PQ.由OF 丄AB,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 / FOQ =/ FKQ. 由OE 丄AC,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有/ EOP =Z EKP. 显然，/ FKQ = / EKP, 可知/ FOQ = / EOP.由 OF = OE,可知 Rt △ OFQ 也Rt A OEP.贝U OQ = OP. 于是，OK 为PQ 的中垂线，故QK = KP.所以,AK 平分BC.综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用•同学们在实践中应注意适时添 加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用第二讲巧添辅助圆在某些数学问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 ，通过圆的 有关性质找到解题途径•下面举例说明添置辅助圆的若干思路•1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信息，恰当 补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，就会使题设和结论的逻辑关系明朗化•1.1作出三角形的外接圆例1 如图1,在厶ABC 中，AB = AC, D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点且/ BED = 2 / CED = / A.求证：BD = 2CD.分析：关键是寻求/ BED = 2/CED 与结论的联系. 容易想到作/ BED 的平分线,但因BE M ED,故不能 直接证出BD = 2CD.若延长AD 交厶ABC 的外接圆 于F,则可得EB = EF,从而获取.证明：如图1,延长AD 与厶ABC 的外接圆相交于点F,连结CF 与BF,则/ BFA =Z BCA =Z ABC =Z AFC,即/ BFD = / CFD.故 BF:CF = BD: DC.又/ BEF = / BAC, / BFE =Z BCA,从而/ FBE =Z ABC =Z ACB =Z BFE. 故 EB = EF.AG'" F图1作/ BEF的平分线交BF于G,则BG = GF.又S ABCD = S k ABD + S A BCD = 3.32故曲AOB=害.因/ GEF =丄/ BEF=/ CEF, / GFE = / CFE,故厶FEG ◎△ FEC.从而GF= FC.2于是,BF = 2CF.故BD= 2CD.1.2利用四点共圆例 2 凸四边形ABCD 中，/ ABC = 60° , / BAD =/ BCD = 90° ,AB= 2, CD = 1,对角线AC、BD交于点O,如图2. 贝U sin/AOB= _______________ .分析：由/ BAD = / BCD = 90° 可知A、B、C、D四点共圆,欲求sin/ AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.解：因/BAD = / BCD = 90° ,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则/ ADP=/ ABC= 60设AD = x,有AP= ,3x, DP = 2x.由割线定理得(2 + , 3x)、、3x= 2x(1 + 2x).解得AD=x= 2 . 3 —2, BC= 1 BP = 4— 3 .2由托勒密定理有BD • CA= (4 —.3)(2 3 —2) + 2X 1 = 10.3 —12.例 3 已知：如图3, AB= BC= CA= AD, AH 丄CD于H, CP丄BC, CP交AH于P.求证：73△ ABC 的面积s= —AP • BD.4分析：因S k ABC=3 BC2= 3 AC • BC,只4 4须证AC • BC= AP • BD,转化为证厶APC sk BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证（Q为BD与AH交点）.证明：记BD与AH交于点Q,则由AC = AD, AH丄CD得/ACQ=/ ADQ.又 AB = AD,故/ ADQ = / ABQ.从而，/ ABQ =Z ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. vZ APC = 90°+/ PCH = / BCD, / CBQ =/ CAQ, •••△ APC sA BCD.二 AC • BC = AP • BD. 于是，S = 3 AC • BC =3AP • BD.442 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的 信息，此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加 以解决•2.1联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中，AB // CD, AD = DC =DB = p, BC = q.求对角线AC 的长. 分析：由“ AD = DC = DB = p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的。
平行四边形中辅助线问题知识点一：平行四边形有关的辅助线作法第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形。
求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =证明：第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例5已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ，求BD BF :综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
知识点二：和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例7 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EF//BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形.分析：要证明四边形CDEF 是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD 是∠BAC 的平分线，AE=AC ，可通过连接CE ，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD 垂直CE.求AD 平分CE.例8 如图，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长.分析：要证明EF+BF 的最小值是DE 的长，可以通过连结菱形的对角线BD ，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF ，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.知识点三：与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例9如图，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD ，可过P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长.知识点四：与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例10如图，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.分析：由BE//AC ，CF//AE ，AE=AC ，可知四边形AEFC 是菱形，作AH ⊥BE 于H ，根据正方形的性质可知四边形AHBO 是正方形，从AH=OB=21AC ，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.知识点五：与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例11 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AC ，∠BAC=90°，BD=BC ，BD 交AC 于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD ，可证明∠COD=∠CDO ，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题.说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例12 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E.求DE 的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.知识点六：和中位线有关辅助线的作法例13 如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD 中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD 中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.。
