(完整版)角平分线经典题型

高中角平分线练习题及讲解### 高中角平分线练习题及讲解角平分线是高中数学中的一个重要概念，它将一个角平分为两个相等的角。

本文将提供几个关于角平分线的基础练习题，并给出相应的解题思路和步骤。

#### 练习题一题目：在三角形ABC中，BD是角B的平分线，求证：AB/AC = BD/DC。

解题思路：1. 利用角平分线定理，即角平分线将对边按比例分割。

2. 根据角平分线定理，我们知道AB/AC = BD/DC。

证明步骤：- 由于BD是角B的平分线，根据角平分线定理，我们有AB/AC =BD/DC。

- 证明完成。

#### 练习题二题目：在三角形ABC中，点D在BC上，且AD是角A的平分线。

求证：AB/AC = BD/DC。

解题思路：1. 根据角平分线的定义，AD将角A平分为两个相等的角。

2. 利用相似三角形的性质来证明比例关系。

证明步骤：- 由于AD是角A的平分线，角BAD = 角DAC。

- 根据角角相似准则，三角形ABD与三角形ACD相似。

- 因此，AB/AC = BD/DC。

- 证明完成。

#### 练习题三题目：在三角形ABC中，已知AB = AC，BD是角B的平分线，求证：AD垂直于BC。

解题思路：1. 利用等腰三角形的性质，即底角相等。

2. 利用角平分线的性质，结合等腰三角形的性质来证明垂直。

证明步骤：- 由于AB = AC，三角形ABC是等腰三角形，角B = 角C。

- BD是角B的平分线，所以角ABD = 角CBD。

- 由于角B = 角C，我们有角ABD = 角CBD = 角C / 2。

- 因此，角ADB = 90度，即AD垂直于BC。

- 证明完成。

#### 练习题四题目：在三角形ABC中，点D在BC上，AD是角A的平分线，且AB/AC = 2。

求BD/DC的值。

解题思路：1. 根据角平分线定理，找到AB和AC的比例关系。

2. 利用给定的比例关系求解BD/DC。

解题步骤：- 根据角平分线定理，AB/AC = BD/DC。

三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________ °．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β° （α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE= _________ =_________（2）∠BAD=_________ _________（3）∠AFB=_________ =90°（4）S△ABC= _________ S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB 的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC 的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED =S△ABC =×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．3．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BA C﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．6．∵AD是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD，∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD，∵∠BAC=180°﹣∠DAB，∴∠BAC=180°﹣∠O，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC =AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC 的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠B AC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．17．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．19．∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．20．（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°∠BIC的度数110° 120° 135°∠BDI的度数110° 120°135° （2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．22．（1）∵AE是中线，∴BE=CE =BC，（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S△ABC =，S△ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，223．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM=AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。

角平分线专题练习题1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ，给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ；⑤S △ADB ＝2S △BDF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 交于P ，过P 作MN ∥AB 交AC 于M ，交BC 于N ，且AM ＝8，BN ＝5，则MN ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE ＝DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B ＝180°；②∠CDE ＝∠CAB ；③AC ＝12( AB ＋AE )；④S △ADC ＝12S 四边形ABDE ．其中正确的结论个数为（ ）A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝1800，AD ＝DC ，DE ⊥BC 于点E ，若AB ＝4，BC ＝6，则BE 的长为A FB E D C第10题图EAB D CE D CB AM P 第8题图CBA EDB C A5、如图，△ABC 中，点D 是BC 上一点 ，已知∠DAC ＝30°，∠DAB ＝75°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，连接D E ，则∠DEC ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6、如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC ＝CD ，AB ≠A D.（1）求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，若△ABC 和△ACD 的面积分别为40和58，求△BCE 的面积。

专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=核心技巧4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯二、典型例题例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D .（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长.第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论解答过程：根据余弦定理，，即，解得利用第(1)问结论由（1）知∴，得，；在与中，根据余弦定理得，且解得，即的长为．例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD .第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式解答过程：由（1）知，由角平分线面积公式∴，∴．代入数据计算例题3．在ABC 中，3,AB =4,BC =线段BD 是B ∠的角平分线，且 6.ABDS =求BCD S △.思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系解答过程：平分由，代入代入例题4．在ABC中，D是BC的中点，1AB=，2AC=，32 AD=．（1）ABC的面积为________．（2）若AE为BAC∠的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为________．第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式解答过程：由可得即，从而.代入，计算例题5．在△ABC 中， AM 是BAC ∠的角平分线， 且交BC 于M . 已知23,2,3AM BM MC ===， 则AC = __________；思路点拨：在中，是的角平分线， 且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系解答过程：由是的角平分线，又，得，设，则因为，则，利用余弦定理代入得：，整理得，解得或（舍）.所以.利用角互补关系（不适合面积公式）三、题型归类练1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知ABC 中，AD 为角平分线，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =（ ）A ．127B ．157C ．7D ．72．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则4b c +的最小值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．183．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin a A c C b c B =+-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3AD c b ==，则a 的值为（ ）A ．72BC ．3D4．在ABC 中，CD 是ACB ∠的角平分线且4,||AB AD AD ==若||3CD =，则CDA ∠=__________，ABC的面积为__________．5．在ABC 中，60A ∠=，∠A 的角平分线与BC 边相交于D ．AD =BC =AB 边的长度为___．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，AD ＝2，且AD 平分∠BAC ，求△ABC 的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR 中，点M 在边QR 上，且PM 为∠QPR 的内角平分线，有PQ QMPR MR=．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=． (1)求C ；(2)若a ，b 为方程210200x x -+=的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求CD ．8．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BD 为∠ABC 的角平分线．(1)求证：::AD AB CD CB =；(2)若2BD =且26c a ==，求△ABC 的面积．9．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++. (1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD 是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC 的面积为(1)求A 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若4c =，求BD 的长．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a =1b =，c =M 是BC 上的点． （1）若AM 是BAC ∠的角平分线，求BMCM的值； （2）若AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在AC 边上，BD 为ABC ∠的角平分线．32ABC ABD S S =△△．(1)求sin sin CA∠∠； (2)若BD b =，求cos ABC ∠的大小．。

全等三角形与角平分线1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。

12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。

（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

角平分线的性质和判定复习一知识要点:1。

角平分线的作法(尺规作图)思考：这一画法的根据是什么？2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达:∵OP平分∠MON（∠1＝∠2)，PA⊥OM，PB⊥ON，(已知）∴PA＝PB．(角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON,PA＝PB(已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）(角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1。

用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASA C。

AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等例题2如图，BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点,△ABC的面积等于90，AB=18,BC=12,则求DE的长.例题3已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF , 求证:CF=EB 。

D FE C BA例题4已知:AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.例题5 已知:如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC 。

例题6 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB,垂足为E ，且AB=10 cm ，求△DEB 的周长.A F DE B例题7如图所示,在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上,BE=CF,求证：BD=FD.例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E，F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°。

角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。

检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。

yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。