初中数学知识点精讲精析 视点

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

6 实数学习目标1. 了解无理数和实数的概念及实数的分类。

2. 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

知识详解1. 有理数和无理数统称实数。

2. 实数按正、负数来分类：实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧ 负有理数负无理数3. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

4. 有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方。

5. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满。

6.在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以根据精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

在计算的中间过程，所取的近似值要比要求的精确度多取一位小数，计算出最后结果，再将最后结果按精确度取近似值。

【典型例题】例1：下列各数中，是负数的是（ ）A ．-2B ．0C ．0.3D【答案】A【解析】根据小于0的数是负数即可判断。

例2：下列说法不正确的有 （只填序号）①有理数，无理数统称实数②任何实数的相反数都是非负数③数轴上的点都表示有理数⑤没有绝对值最小的实数【答案】②③④⑤【解析】①是实数的定义，正确；②正数的相反数是负数，故命题错误；③数轴上的点都表示实数，故命题错误；④没有最小的无理数，故命题错误；⑤绝对值最小的实数是0，故命题错误。

例3：和统称实数．【答案】有理数和无理数【解析】实数的定义：有理数和无理数统称实数。

【误区警示】易错点1：有理数和无理数1.现有下列说法：①有限小数一定是有理数；②无限小数一定是无理数；③无限不循环小数叫做无理数；④任何一个有理数的绝对值一定是正数；⑤若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0，±1．其中正确说法的序号是【答案】①③【解析】∵有限小数一定是有理数，∴①正确；∵无限小数不循环小数是无理数，∴②错误；∵无限不循环小数叫做无理数，∴③正确；∵任何一个有理数的绝对值一定是正数和0，∴④错误；∵若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0和1，∴⑤错误易错点2：实数的分类2. 3.14-π是．（填“有理数”或“无理数”）【答案】无理数【解析】根据实数的分类进行判断．【综合提升】针对训练1. 实数3的倒数是（）A．- 1 3B．1 3C．-3 D．32. 如图，数轴上A、B5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3. 如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．a+b＜0B．-a＜-bC．1-2a＞1-2bD．|a|-|b|＞01.【答案】B【解析】∵3×13=1，∴3的倒数是132.【答案】C【解析】∵12，5＜5.1＜6，∴A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个3.【答案】C【解析】a、b两点在数轴上的位置可知：-2＜a＜-1，b＞2，∴a+b＞0，-a＜b，故A、B错误；∵a＜b，∴-2a＞-2b，∴1-2a＞1-2b，故C正确；∵|a|＜2，|b|＞2，∴|a|-|b|＜0，故D错误．【中考链接】（2014年武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（）A．﹣2B． 0C． 2D． 3【答案】A【解析】﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2。

2.3 绝对值学习目标1．会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。

2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。

3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小。

知识详解1．相反数（1）相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。

相反数的理解：①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分。

（2）相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数。

一个有理数a，它的相反数是多少呢?有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m ＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．（3）相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

2．绝对值（1）绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4②绝对值是一个距离。

（2）绝对值的表示方法一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|。

（3）绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。

用式子表示为：|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.3．绝对值的性质（1）数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大。

1.3 绝对值学习目标1. 理解绝对值的概念及表示法。

2. 理解数的绝对值的几何意义。

知识详解1.绝对值的几何意义及表示方法（1）概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

（2）表示方法：数a的绝对值记作︱a︳。

注意：（1）绝对值最小的数是0.（2）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（3）绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数。

（4）绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数。

2. 绝对值的代数定义一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的代数定义，用式子可以表示为：︱a︳=a(a＞0)或0（a=0）或-a（a＜0）。

求一个数的绝对值有两种方法：（1）根据几何定义画数轴，利用它到原点的距离来求；（2）判断已知数的正、负或0，根据代数定义来求。

【典型例题】例1：下列说法正确的是( )．A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B．负数的绝对值等于它本身C．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1【答案】C【解析】例2①若|x|＝2 013，则x＝2 013；②2332-=+；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】绝对值是2 013的数是±2 013；2233-=，3322+=；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．例3：|-2|的值等于（）A．2B．-2C．±2D【答案】A【解析】|-2|=2【误区警示】易错点1：绝对值的值1. -4的绝对值是（）A．4B．1 4C．-4D．±4【答案】A【解析】-4的绝对值是4易错点2：化简2.化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]【答案】(1)－{－[＋(－10)]}＝－10；(2)－[－(＋5)]＝5.【解析】【综合提升】针对训练1.求下列各式的值：|＋2 013|，|－3.9|，－56-，－|＋18|2.求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，3 2 -3.13-=（）A．3 B．-3C．1 3D．1 3 -1.【答案】|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－56-＝－56，－|＋18|＝－18.【解析】2.【答案】|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，33 22 -=【解析】可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解。

2.6 分数的除法学习目标1. 理解互为倒数的概念，掌握求倒数的方法。

2. 理解分数除法的意义；掌握分数除以整数的计算法则并能正确计算。

知识详解1. 1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。

0没有倒数，a 的倒数是1a （a ≠0），q p 的倒数是pq （q ≠0，p ≠0），那么互为倒数的两个数的乘积自然就为1。

甲数除以乙数（乙数不为零）就等于甲数乘以乙数的倒数即：(0,0,0)m p n q n m p n q m÷=⨯≠≠≠q 2. 除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。

3. 被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算。

【典型例题】例1：计算：338÷= 【答案】331138838÷=⨯= 【解析】根据分数除法的计算法则，除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，据此解答。

例2：计算：447÷= 【答案】4415477428÷=⨯= 【解析】根据分数除法的计算法则，除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，据此解答。

例3：计算： ×6=310【答案】331161010620÷=⨯=【解析】依据“积÷一个因数=另一个因数”，以及分数除法的运算法则，代入数据即可求解。

【误区警示】易错点1：分数除法1. 计算：20×=5 6【答案】5511 20662024÷=⨯=【解析】依据“积÷一个因数=另一个因数”，以及分数除法的运算法则，代入数据即可求解。

易错点2：分数除法法则2. 计算：714 15÷=【答案】7711 1415151430÷=⨯=【解析】根据分数除法的计算法则，除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，据此解答。

【综合提升】针对训练1. 计算：105 13÷=2.计算：918 20÷=3. 计算：1751 21÷=1.【答案】10101251313513÷=⨯=【解析】根据分数除法的计算法则，除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，据此解答。

1·5测量物体的高度1.测量高度的仪器测角仪和皮尺测角仪是用来测量仰角和俯角的大小的，皮尺是用来测距离.2.测量倾斜角首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.制作测角仪时应注意支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ 的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下.用测角仪测仰角步骤：1.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M ，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M 的仰角.原理：如图，要测点M 的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA 的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB ＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA 、∠MCE 都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA ＝∠MCE.因此读出∠BCA 的度数，也就读出了仰角∠MCE 的度数.用测角仪测量一个低处物体的俯角和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.3.测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.测出旗杆的高度(设旗杆的底部可以到达)步骤：1.在测点A 处安置测倾器(即测角仪)，测得M 的仰角∠MCE=α.2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a(即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN 的高度.原因：因为在Rt △MEC 中，∠MCE=α，AN=EC=l ，所以tan α=ECME ，即ME=tana ·EC ＝l ·tan α.又因为NE ＝AC ＝a ，所以MN ＝ME+EN ＝l ·tan α+a. 4.测量底部不可以到达的物体的高度.“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.要测量底部不可以到达的物体的高度，可按下面的步骤进行(如图所示)：1.在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE ＝α.2.在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪(A 、B 与N 都在同一条直线上)，此时测得M 的仰角∠MDE=β.3.量出测角仪的高度AC ＝BD ＝a ，以及测点A ，B 之间的距离AB=b根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN 的高度。

3·3分式的加减法1．通分定义：分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CB AC B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.1. 将下列分式通分【解析】（），，1323542232a b c ab ab c - 最简公分母是12232a b c ∴=⋅⋅=32362618122222222232a b bc a b bc bc a b c【解析】2.通分：（1）x y 2,23y x ,xy41； （2）y x -5,2)(3x y -; （3）31+x ,31-x ; （4）412-a ,21-a 分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积.【解析】（1）三个分母的公分母为12 xy 2，则 c ab c ac ab ac ac a b c 343441232323232=⋅⋅=-=-⋅⋅=-545343151222322334232ab cab a b c a b a b a b c （），，221222222ab a b a b a b a ab b --+++() a b a b a b 22-=+-()()a ab b a b 2222++=+()∴+-最简公分母是：()()a b a b 22∴-=+-+-⋅+-=-+-2222223322ab a bab a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ()()()()()()()()1222222222()()()()()()a b a b a b a b a ab b a b a b -=+-⋅+=+++⋅-a b a ab ba b a b a b a b a a b ab b a b a b +++=+-+⋅-=--++⋅-222223223222()()()()()()x y 2=22626y x y ⋅⋅=23126xy y ; 23y x =x y x x 4342⋅⋅=22124xyx ; xy 41=y xy y 3431⋅⋅=2123xyy （2）因为（y －x ）2=（x －y ）2，所以两个分母的公分母为（x －y ）2. y x -5=))(()(5y x y x y x ---=2)()(5y x y x --; 2)(3x y -=2)(3y x -. （3）两个分母的公分母为（x +3）（x －3）=x 2－9. 31+x =)3)(3(3-+-x x x =932--x x ; 31-x =)3)(3(3-++x x x =932++x x . （4）因为a 2－4=（a +2）（a －2）,所以两个分母的公分母为a 2－4. 412-a =412-a ; 21-a =)2)(2(2+-+a a a =422-+a a .3. 计算（）12222a b ab a b ab +--=+--a b a b ab 222()=+-+a b a b ab 222=22b ab4. 计算【解析】【解析】【解析】=1a （）222m n n m n m n m n m +-+---=+-----m n n m n n m m n m 22=+---m n n m n m 22=--n m n m =1（）1562334xy xz xyz -+原式＝1012812912108912z xyz y xyz xyz z y xyz -+=-+（）24124122x x x x -+++-原式＝x x x x x ()()()()+-++--2212212=+--++-=+---+-=-+-222222222242226222x x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()（）322a b a b a b +---原式＝a b a b a b 22+--+()=+--+--a b a b a b a b a b 22()()5.【解析】解一：解二：=+---=+-+-=-a b a b a ba b a b a bb a b 2222222222()（）12132922a a a a a a -+-÷--原式＝a a a a a a a ()()()-+-⨯+--213332=-++-=--+-=-+-=---=-+-123212321322222a a a a a a a a a a a a ()（）222()b a ab a b aba b ab -+-÷-原式＝[()()]b a a b a b b a a b ab -+-÷-=---⨯-=--⨯-=-+--⨯-=-+-[()()]()()()()b ab a b a ab a b ab a bb a ab a b ab a ba b a b ab a b ab a ba b a b 2222原式＝[()()]b a a b a b b a ab a b -+-⨯-=---⨯-[()()]b a a b a b a b ab a b解：解一：解二：=-⋅---⋅-=---=--=-+--=-+-b a a b ab a b a b a b ab a bb a b a a b b a a b a b a b a b a b a b ()()()()()()()()22222222（）3111112()()---a a 原式=-----()()11111222a a a a a a =---⋅-=--⋅+-=-+11111111222a a a aa a a a a a a ()()（）4111122()()x a x a -÷-原式=-÷-()()a a x x a x a ax x ax 222222=-÷-=+-⋅-=+a x a xa x ax a x a x a x ax a x a x ax 222222()()原式=+-÷-[()()]()111111x a x a x a =+=+=+11x aa ax x axa x ax6.. 【解析】由题意得：7.甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？已知与互为相反数，求：的值。

识点总结(1)三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形状，三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等即:主视图和俯视图的长要相等主视图和左视图的高要相等左视图和俯视图的宽要相等。

在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地、表达和确定形体的形状和结构的。

三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。

可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。

一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

课后练习1.球的三视图是( )A.三个圆B.三个圆且其中一个包括圆心C.两个圆和一个半圆弧D.以上都不对2.若一个几何体的三视图都是正方形，则这个几何体是( )A.长方体B.正方体C.圆柱D.圆锥3.下列命题正确的是( )A.三视图是中心投影B.小华观察牡丹花，牡丹花就是视点C.球的三视图均是半径相等的圆D.阳光从矩形窗子里照射到地面上，得到的光区仍是矩形答案：1．A 2．B 3．C习题训练。

29.2 三视图1.三视图概念：物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。

如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的宽相等画三视图的注意点：1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。

2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

典型例题例1.画出下图所示的一些基本几何体的三视图.分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:1.确定主视图的位置，画出主视图;2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。

3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.解：例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构俯视图左视图主视图成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、前后位置关系.解:如图29.2-7是支架的三视图例3.右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.解:图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.例4．如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。

第1节 正弦和余弦要点精讲（包括正切）1. 正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的正弦。

（2）在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦。

（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。

当锐角A 确定后，这些比值都是固定值。

2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°设BC ＝k ，则AB ＝2k记作，即∠的对边斜边sin sin A A A ac ==记作，即∠的邻边斜边cos cos A A A bc ==记作，即∠的对边∠的邻边tan tan A A A A ab ==αααα3045601222323222123313°°°sin cos tan 由勾股定理得AC k =3∴°sin 30212===BC AB k k cos303232°===AC AB k k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。

3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系：∴sinA ＝cosB语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4. 同角的三角函数之间的关系：5. 0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律： 在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。

典型例题【例1】如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长． 【答案】 AB =31cos α【解析】所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．tan30333°===BC AC k k由定义知：，sin cos A a c B ac ==即°sin cos()A A =-90同理：°cos sin()A A =-90比如：°°sin cos 6030=cos sin 5238°°=sin cos 221A A +=tan sin cos tan tan()A A A A A ==-，°1900101<<<<sin cos A A ，在Rt △ADE 中，∵cos A =AE AD ，且∠A ＝α，AE ＝1，∴AD =cos AE A =1cos α， 在Rt △ADC 中，∵cos A =AD AC ，∴AC =cos AD A =1cos cos αα=21cos α， 在Rt △ABC 中，∵cos A =AC AB ，∴AB =cos AC A =1cos cos αα=31cos α.【例2】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆ 【答案】过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形．∴ACADC =sin ∴C b C AC AD sin sin =⋅=又∵AD BC S ABC ⋅=∆21∴C ab S ABC sin 21=∆【解析】已知△ABC 中∠C 是锐角，故可以构造直角三角形，利用三角函数有三角形的面积公式．D CB A。

第1节三角形要点精讲1．认识三角形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。

这三条线段就是三角形的边。

所有内角都是锐角——锐角三角形有一个内角是直角——直角三角形有一个内角是钝角——钝角三角形2．三角形的外角和（1）三角形的内角和等于180°（2）一个外角和它相邻内角和为180°（3）外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（4）三角形的外角和等于360°3．三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边典型例题【例1】已知各组线段的长度如下，判断以哪组线段为边能组成三角形：（1）3cm，4cm，8cm；（2） 4cm，5cm，9cm；（3）3cm，4cm，5cm.【答案】只有第（3）组能组成三角形【解析】由三角形三边关系：“任意两边之和必须大于第三边”得，只有第（3）组能组成三角形。

【例2】已知：如图所示，P为△ABC内任意一点.求证：（1） AB+AC>PB+PC(2) 12(BC+CA+AB)<PA+PB+PC<BC+CA+AB【答案】（1），延长BP交AC于点D.应用三角形三边关系定理得AB＋AD＞PB＋PD，①PD＋DC＞PC. ②把①，②两式左右各相加，并消去PD，便得 AB＋AC＞PB＋PC.（2）由于PB＋PC＞BC，PC＋PA＞CA，PA＋PB＞AB，三式左右各相加，得 2（PA＋PB＋PC）＞BC＋CA＋AB，即12(BC+CA+AB)<PA+PB+PC又由（1）得PA＋PB＜BC＋CA，PB＋PC＜AB＋CA，PC＋PA＜AB＋BC，三式左右各相加，得 PA＋PB＋PC＜BC＋CA＋AB.【解析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

初中数学知识归纳三视与展开在初中数学学习中，归纳是一项重要的能力。

而数学知识归纳的一种方法就是通过三视与展开。

三视与展开是一种将问题从不同的角度进行思考和解决的方法。

在本文中，我将为大家介绍初中数学知识归纳三视与展开的相关内容。

一、三视与展开的概念三视是指从问题的不同角度去观察和思考。

在数学学习中，我们通常可以通过几何视角、代数视角和实践视角来解决问题。

而展开则是指将问题进行适当的拓展和展开，使得问题变得更加具体和清晰。

二、几何视角的运用在几何学习中，几何视角是我们解决问题的一种重要方法。

通过几何视角，我们可以将问题进行图形化的表示，有助于我们更好地理解和解决问题。

例如，在学习面积和体积计算时，我们可以通过几何视角将问题进行图形化的表示。

对于一个长方体，我们可以通过观察它的三个视图（正视图、俯视图和侧视图）来理解和计算它的面积和体积。

三、代数视角的运用代数是数学学习中的另一个重要分支，代数视角的运用可以帮助我们将问题进行符号化的表示，从而更加深入和全面地理解问题。

例如，在学习方程和不等式时，我们可以通过代数视角将问题进行符号化的表示。

通过引入未知数、建立方程或不等式，并通过求解来得到问题的解。

四、实践视角的运用实践视角是将数学知识与实际问题相结合的一种方法。

通过实践视角，我们可以将抽象的数学概念与具体的实际情境相联系，使得问题更具体、更有意义。

例如，在学习数列时，我们可以通过实际应用来理解和应用数列。

比如，通过探索等差数列和等比数列在日常生活中的应用，我们可以更好地理解数列的性质和特点。

五、三视与展开的优势通过三视与展开的方法，我们可以从不同的角度和层次来思考和解决问题。

这种方法的优势在于可以促使我们从多个视角去理解问题，提高我们的问题解决能力和思维能力。

同时，三视与展开的方法也可以帮助我们深化对数学知识的理解和运用。

通过不断地展开和拓展问题，我们可以更好地理解数学知识的内涵和外延。

六、总结初中数学知识归纳三视与展开是一种重要的学习方法和思维方式。

第二节中位数要点精讲一、中位数的概念将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．二、中位数的特点1．中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．它的求出不需或只需简单的计算．2．作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据．但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适．3．与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响．4．像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”．5．是一个不完全“虚拟”的数．当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数．相关链接中位数，统计学中的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分．对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数．如果观察值有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数．典型解析1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180【答案】A．【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组数据的众数为180．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，180，180，180，180，180，200，200，∴中位数是第10和11个平均数，它们都是160，故这组数据的中位数为160．故选A．中考案例1．（2012广东肇庆）下列数据3，2，3，4，5，2，2的中位数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C．【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为2，2，2，3，3，4，5，∴中位数是按从小到大排列后第4个数，为：3．故选C．针对训练1．为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm）如下表所示：A．25．5 cm 26 cm B．26 cm 25．5 cm C．26 cm 26 cm D．25．5 cm 25．5 cm2．九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（）A．16，16 B．10，16 C．8，8 D．8，163．为参加2012年“河源市初中毕业生升学体育考试”，小峰同学进行了刻苦训练，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8、8．5、9、8．5、9．2．这组数据的众数和中位数依次是【】A．8．64，9 B．8．5，9 C．8．5，8．75 D．8．5，8．5 4．一组数据6、8、7、8、10、9的中位数和众数分别是（）A．7和8 B．8和7 C．8和8 D．8和95．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（）A．8，8 B．8．4，8 C．8．4，8．4 D．8，8．46．爱华中学生物兴趣小组调查了本地区几棵古树的生长年代，记录数据如下（单位：年）：200，240，220，200，210．这组数据的中位数是（）A．200 B．210 C．220 D．2407．702班某兴趣小组有7名成员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，15，则他们年龄的众数和中位数分别为（）A．13，14 B．14，13 C．13，13．5 D．13，138．永州市5月下旬11天中日最高气温统计如下表：日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31最高气温（℃）22 22 20 23 22 25 27 30 26 24 27则这11天永州市日最高气温的众数和中位数分别是（）A ．22，25B ．22，24C ．23，24D ．23，25参考答案1．【答案】B【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25．5 cm ，故这组数据的众数为25．5 cm ．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此这组10个数据的中位数是第5，6个数据的平均数，而第5，6个数据都是25．5 cm ，故这组数据的中位数为25．5 cm ． 故选B ．2．【答案】D【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．∴中位数是第5个数为：8．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是16，故这组数据的众数为16．故选D ．3．【答案】D【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是8．5，故这组数据的众数为8．5．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为8、8．5、8．5、9、9．2，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8．5．故选D ．4．【答案】C【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为6，7，8，8，9，10，∴中位数是按从小到大排列后第3，4个数的平均数，为（8＋8）÷2=8．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是8，∴这组数据的众数为．故选C ．5．【答案】B【解析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此，8，9，8，7，10的平均数为：15×（8＋9＋8＋7＋10）＝8．4．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为7，8，8，9，10，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8．故选B ．6．【答案】B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为200、200、210、220、240，位于最中间的一个数是210，所以这组数据的中位数是210．故选B ．7．【答案】D【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是13，故这组数据的众数为13．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为12，12，13，13，13，14，15，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：13．故选 D ．8．【答案】B【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是22，故这组数据的众数为22．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为20，22，22，22，23，24，25，26，27，27，30，∴中位数是按从小到大排列后第6个数为：24．故选B ．扩展知识设连续随机变量X的分布函数为F（X），那么满足条件P（X≤m）=F（m）=1/2的数称为X或分布F的中位数．对于一组有限个数的数据来说，它们的中位数是这样的一种数：这群数据里的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小．计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列．如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数．。

第二节 中位数要点精讲将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为M d 。

当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。

中位数简称中数。

当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。

中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。

（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。

1、当观测值个数n 为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x (n+1)/2为中位数；M d =2/)1(+n x2、当观测值个数为偶数时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：2)12/(2/++=n n d x x M（二）已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：)2(c n f i L M d -+= （3—5） 式中：L —中位数所在组的下限；i —组距；f —中位数所在组的次数；n —总次数； c —小于中数所在组的累加次数。

典型例题【例1】求下面这组数据的平均数、中位数、众数．249 252 250 246 251 249 252 249253 254 249 256 249 252 255 253【答案】取a=250，得到一组新数据：-1，2，0，-4，1，-1，2，-1，3，4，-1，6，-1，2，5，3把这组数据从小到大排列：246，249，249，249，249，249，250，251，252，252，252，253，253，254，255，256最中间的两个数据是251，252．在16个数据中，249出现了5次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是249．【解析】通过观察发现，上面16个数据都在250左右波动，可将上面各数据同时减去250，转化为计算一组数值较小的新数据的平均数．【例2】某文具厂生产一批铅球，其重量（单位：kg）如下：3求这组数据的中位数、众数和平均数【答案】由上表可知，这40个数中，位于最中间的两个数为3和3．所以中位数是3，众数是．平均数【解析】这组数据的中位数是3，说明生产的铅球中不低于3kg和不超过的个数各占一半；它们的众数是，说明生产的铅球 kg的个数最多；它们的平均数为 kg，说明生产出的铅球的平均重量为 kg．这说明中位数、众数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．。

5.1 圆学习目标1.理解、掌握圆的定义.2.经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系.3.初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.知识详解1.如图所示把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

2.圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合，如下图：如果⊙O的半径为r，点p到圆心O的距离为d，那么：点P在圆心内⇔d<r点P在圆心上⇔ d=r点P在圆心外⇔ d>r3. 弦：圆上任意两点之间的线段，如图中的CD。

直径是圆中最长的弦，如图中的AB。

4. 弧：圆上任意两点之间的部分，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。

完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）5.顶点在圆心的角叫圆心角，如下图中的∠AOB圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够互相重合的两个圆叫等圆，同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

【典型例题】例1. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=30°，则∠MON 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】D【解析】∵OM=ON ，∴∠M=∠N ，∵∠M=30°，∴∠N=30°，∴∠MON=180°-30°-30°=120°． 例2. 如图，甲顺着大半圆从A 地到B 地，乙顺着两个小半圆从A 地到B 地，设甲、乙走过的路程分别为a 、b ，则（ ）A ．a=bB ．a ＜bC ．a ＞bD ．不能确定【答案】A【解析】设甲走的半圆的半径是R ．则甲所走的路程是：πR ．设乙所走的两个半圆的半径分别是：1212r r r r R +=与，则．乙所走的路程是：1212r r r r R ππππ+=+=（）．因而a=b ． 例3. 如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O 为圆心，且OA=AB=BC=CD=5，那么周长是接近100的圆是（ ）A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆【答案】C【解析】根据圆的周长公式，得若2πR=100，则R≈16根据题意中的数据，OC最接近．【误区警示】易错点1：圆周长公式1.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n 的大小关系是（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能确定【答案】C【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n．易错点2：面积最值问题2.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（）A．正三角形B．正方形C．圆D．不能确定【答案】C【解析】当设计成正三角形，则边长是4米，则面积是边长是3米，则面积是9平方米；当设计成圆时，半径是6π米，则面积是36π平方米。

初中数学知识归纳立体的视与展开在初中数学中，我们学习了很多关于立体几何的知识，包括立体的视与展开。

立体的视与展开是指我们通过观察一个立体图形的各个面，将其展开成平面图形，并在平面上进行分析和计算。

本文将对初中数学中关于立体的视与展开进行归纳总结。

一、立体图形的视图表示在了解立体的视与展开之前，首先我们需要了解立体图形的视图表示。

在数学中，我们常常用正视图、侧视图和俯视图来表示一个立体图形。

1. 正视图：即我们从正面观察立体图形，得到的图形是其正视图。

正视图一般标记为Front View。

2. 侧视图：即我们从侧面观察立体图形，得到的图形是其侧视图。

侧视图一般标记为Side View。

3. 俯视图：即我们从上方观察立体图形，得到的图形是其俯视图。

俯视图一般标记为Top View。

通过正视图、侧视图和俯视图的表示，我们可以全面地了解一个立体图形的形状和结构。

二、立体图形的展开立体图形的展开是指将一个立体图形展开成为平面图形的过程。

展开后的平面图形就是这个立体的每个面的投影。

在展开过程中，我们需要根据立体图形的结构和形状来进行展开。

下面以几种常见的立体图形为例，进行展开的演示。

1. 立方体的展开：立方体是一种非常常见的立体图形，它有六个面，每个面都是一个正方形。

下图是一个立方体的展开示意图：A-------B/ /|/ / |D-------C E| | /| |/H-------G在展开后的平面图形中，我们可以清楚地看到正方形ABCD、正方形ABEF、正方形CDEF、正方形ABHG等面的形状。

通过这个展开后的平面图形，我们可以更好地分析和计算立方体的属性。

2. 圆柱的展开：圆柱是一个有两个平行底面的立体图形。

下图是一个圆柱的展开示意图：___________/ // //___________/在展开后的平面图形中，我们可以看到两个圆形底面和一个长方形面的形状。

通过这个展开后的平面图形，我们可以更好地分析和计算圆柱的属性。

13·2 立方根
要点精讲
1. 立方根的概念
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即：x3＝a，则x叫做a的立方
根，表示为3 a．
2. 立方根的性质
（1）一个正数有一个正的立方根．
（2）一个负数有一个负的立方根．
（3）0的立方根是0．
3. 互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数．例如8的立方根为2，而－8的立方根为－2.
3
－a＝－3
a，也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根，再取相反数．
4. 开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求一个数的立方根的运算叫开立方．
注意事项
（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是a，而平方根是±a．
（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．
典型例题
例1.如果要把两个棱长分别是2.15cm，3.24cm的正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大的正方体的棱长有多长？（结果保留3个有效数字）
分析：加工前两个正方体铁块的体积等于加工后一个正方体铁块的体积. 再根据正方体的体积与其棱长的关系便可求得.
解：设这个大正方体的棱长是xcm.
根据题意得x3＝2.153＋3.243，
∴x3≈9.938＋34.01，
x3≈43.948，
x≈3.53.
答：这个大的正方体的棱长是3.53cm.
评析：加工前后铁块的总体积不变是列方程解应用题中常见的一个等量关系.。

第2节 角要点精讲1.理解好角的定义角是由两条具有公共端点的射线组成的，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是这个角的边.由此定义知道构成角的要素有二：一是顶点，二是两条边.并且构成角的边是射线而不是线段，角的大小与边的长短无关，只与角的开口大小有关.另外，角还可以用运动的观点来定义，即角可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.掌握好角的表示法 角一般有三种表示法.1、3个字母记角法：用角的两边上的两个字母和顶点的字母表示角时，顶点字母一定要写在中间，如图1，角可以记作∠AOB 或∠BOA.2、一个字母记角法：在顶点处只有一个角时，可只用顶点处的一个字母来表示角，如图1中∠AOB 可计作∠O .3、数字或希腊字母记角法：可在角的靠近顶点处加上弧线，注上数字或希腊字母来记角，如图2中，∠ABC 可记作∠1，∠ACB 可以记作∠2，∠CAD 可记作∠α，∠BAE 可记作∠β.3.熟知几个特殊角 1、平角：如图3，射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所成的角叫做平角，图3中的∠AOB 就是一个平角.也就是说，平角的两条边成一条直线，但不能说平角就是一条直线.2、周角：如图4，射线OA 绕着点O 旋转，当终止位置OC 和起始位置OA 重合时，所成的角叫做周角，图4中∠AOC 就是一个周角.也就是说，周角的两条边重合成一条射线，但不能说周角就是一条射线.图2图1αβ21CAD E BABO图33、直角：平角的一半叫做直角，如图5中的∠AOC 、∠BOC 都是直角.注意：直角处通常坐上直角标记“┐”.4、锐角和钝角：小于直角的角叫做锐角，大于直角而小于平角的角叫做钝角，如图6中，∠AOB 是锐角，∠AOC 是钝角.所以，小于平角的角可以按照从小到大分成三类：锐角、直角和钝角.4.明辨几种关系1、1周角=2平角=4直角=3600.2、10=60′，1′=60″，10=3600″.3、互余：如果两个角的和是900，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角，如图7，∠AOC 与∠DOC 互余.注：互余只对两个角而言，如果∠1+∠2+∠3=900，不能说∠1、∠2、∠3互余.4、互补：如果两个角的和是1800，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角，如图8中，∠AOC 与∠BOC 互补，图7中∠AOD 与∠BOD 互补.注：互补也是只对两个角而言，如果∠1+∠2+∠3=1800，那么不能说∠1、∠2、∠3互补.5、邻补角：如图8，过平角∠AOB 的顶点画射线OC ，所得的∠1与∠2有一条公共边（OC ），这里∠1与∠2互为邻补角，互为邻补角是两个特殊的互补的角.6、对顶角：如图9，两条直线相交所成的四个角中，∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOC 与∠AOD 也是对顶角，对顶角相等.7、同角的余角相等，同角的补角相等，对顶角相等.如图10中，因为∠AOC 与∠COB 互余，∠COB 与∠DOB 互余，所以，∠AOC=∠DOB.如图9中，因为∠AOC 与∠COB 互补，∠DOB 与∠COB 互补，所以∠AOC=∠DOB.8、一个角的两边和另一个角的两边平行（或垂直），那么这两个角相等或互补，如图11中，∠α=∠β；图12中，∠α+∠γ=1800.图6图5图4ABCO CA O BO图10图9图8DOABCB A D OC 12CA BO在图13中，∠α=∠β；图14中，∠α+∠γ=1800. 5.明确角平分线的意义以角的顶点为顶点，把一个角分成两个相等的角的射线叫这个角的平分线.如图15中，若∠AOC=∠BOC ，则OC 是∠AOB 的角平分线，此时有∠AOC=∠BOC=21∠AOB. 6.学会角的画法1、会用量角器画一个角等于已知角，以及角的和、差、倍、分.使用时要注意三点：（1）对中,即角的顶点对量角器中心；（2）重合，即角的一边与量角器刻度尺上的零刻度线重合；（3）读数，即读出另一边所在的度数.2、借助三角板画一些特殊度数的角，如300、450、600、900.画其他的特殊角，关键在于设法把它写成上面这些特殊角的和或差，如150角，可以写成600角与450角的差，或450角与300角的差.用一副三角板可以画出小于平角的角有：150、300、450、600、750、900、1050、1200、1350、1500、1650这11种角，即用一副三角板可以画出00～1800之间的所有150角的整数倍的角.3、用直尺和圆规作一个角等于已知角.同学们可仔细阅读课本.在此不再重复.典型例题【例1】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是 （ ） A.∠2=45° B.∠1=∠3C.∠AOD 与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′【答案】D【解析】 ∵OE ⊥AB ，∴∠AOE=90°. ∵OF 平分∠AOE ，图12图11图13图14图15CBAOγαβαβαβαβαβα∴∠2=∠AOE =×90°＝45°. ∴A 正确.∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B 正确. ∵∠AOD 与∠1互为补角.∴C 正确.∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D 不正确.故选D. 【例2】（1）10条直线相交于一点，有几对对顶角？几对邻补角？ （2）100条直线相交于一点，有几对对顶角？几对邻补角？【答案】（1）90、180（2）9900、19800 【解析】（1）10n = 90)110(10)1n (n =-⨯=-∴ 所以有90对对顶角。