初中数学知识点精讲精析 有理数的减法

第六讲 有理数的减法【基础知识精讲】1．有理数减法的意义：已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法运算。

减法是加法的逆运算，即减法运算可以转化为加法运算．2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3．减法运算的步骤是： (1)将减法转化为加法：a －b ＝a +(－b )；(2)按有理数的加法法则运算．注意：（1） 在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号减号变为加号，二是性质符号减数变成它的相反数；（2）减法法则不能与加法法则中的两个异号的数相加混淆；（3）有理数的减法法则中，被减数与减数不能互换，减法没有交换律。

【例题巧解点拨】例1 计算：（1）5.2－（－3.6）； （2）．(－10) －3 （3）)5.9()19(+-- （4）(－4) －16 （5）)437()835(+-+ （6）)79.6()79.6(---（7）)743()743(+--； （8）)1651347(0+- （9）1.84.5---练习: 计算:(1) －7－(－3) (2) 615)312(-- (3) 33－(－27)(4) 0－12 (5) (－11) －0 (6) )524()314(--- 例3．井下A 、B 、C 三处的标高分别是A(－37.2m)、B(－129.2m)、C(－73.2m)，哪处最高？哪处最低？最高处与最低处相差多少？例4．计算： （1）)2.5()3.4()6.3()4.9()5.1(+--++----； （2）)61()41()31()21(0+-----+-．【同步达纲练习】一．填空题：1．比－3少2的数是____； 两个加数的和是－10，其中一个加数是－1021，则另一个加数是____. 2．______)(+=--a b a ； ______-=+a b a ．3．若0,0<>b a ，则_____0a b -； 4．若b a ->0则___a b ；5．若0,0>>b a ，则___0.a b - 6．0减去a 的相反数是_______. 7．-32与52的差的相反数是_______； 8．数轴上表示－7和－1两点之间的距离为_____． 9.如果a<0，那么a 和它的相反数的差的绝对值等于________. 10．143的相反数与绝对值是141的数的差是 ________. 二．选择题：1．下面说法中正确的是（ ）A ．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数B ．两个负数的差一定是负数C ．正数减去负数差是正数D ．两个正数的差一定是正数 2．下面说法中错误的是（ ）A ．减去一个数等于加上这个数的相反数B ．减去一个数等于减去这个数的相反数C ．零减去一个数就等于这个数的相反数D ．一个数减去零仍得这个数 3．甲数减乙数差大于零，则（ ）A ．甲数大于乙数B ．甲数大于零，乙数也大于零C ．甲数小于零，乙数也小于零D ．以上都不对 4．下面说法中正确的是（ ）A ．两个数之差一定小于被减数B ．减去一个负数, 差一定大于被减数C ．减去一个正数, 差不一定小于被减数D ．0减去任何数, 差都是负数 5．如果a<0, 那么a 的相反数的绝对值与a 的差等于（ ）A ．2aB ．－2aC ．0D ．－a 6．如果a>0, 且|a |>|b|, 那么a －b 的差的值等于（ ）A ．正数B ．负数C ．正数或负数D ．0 三．判断题：(1) 两个数相减，就是把绝对值相减． ( ) (2) 减去一个数，等于加上这个数． ( )(3) 零减去一个数仍得这个数． ( ) (4)若两数的差为0，则这两数必相等． ( ) (5) 两数的差一定小于被减数． ( (6)两数的差是正数时，被减数一定大于减数． ( ) (7) 两个负数之差一定是负数． ( ) (8)两个数的和一定大于这两个数的差． ( )(9) 任意不同号的两个数的和一定小于它们的差的绝对值． ( ) (10) 两个数的差的绝对值一定不小于这两个数的绝对值的差． ( ) 四．计算：（1）2.7－（－3.1） （2）0.15－0.26 （3）（－5）－（－3.5） （4）)54(32-- （5）617)657(-- （6）.433212-（7）10－（－5）+（－9）－（+3）+－（－7）（8）3125()4632-++-- （9）343156(5)(4)7575+-++-五．解答题:1．已知：1118,3,2442a b c =-=-=-，求b c a --的值。

《有理数的减法》知识点解读知识点一：有理数减法法则（重点）1．有理数减法的意义：就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算．2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a－b=a+(－b)归纳总结：(1)进行有理数减法运算时，关键是把减法运算转化为加法运算，再按有理数的加法法则和运算律进行计算，体现了数学的转化思想．(2)把减法运算转化为加法运算要注意：将减号变为加号，同时减数变成原来的相反数．(3)数轴上A、B两点间的距离实际就是它们表示的数a、b差的绝对值即：AB=|a－b|．(4)一个数减去0比较容易，而减去一个数，一定要按法则，写成加上这个数的相反数．例1：计算2－（－3）=_____．分析：先把减法转化为加法运算，再进行有理数的加法运算，即2－（－3）=2+3=5．变式练习：计算：－3－（－7）= ．参考答案：4知识点二有理数的减法运算（难点）★有理数减法运算的步骤：（1）减法运算变加法运算；（2）运用加法法则进行计算，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法，再按有理数的加法法则运算.注意：①在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号，减号变为加号，二是性质符号，减数变成它的相反数；②减法法则不能与加法法则的异号两数相加混淆；③有理数的减法中，被减数与减数不能互换，即减法没有交换律.例2：计算下列各题：（1）－（17）－（+14）；（2）（+32）－（－78）；（3）（－114）－14； （4）0－（－5.2）.解析：这是有理数的减法，根据有理数的减法法则，先将减法变为加法，再运用有理数加法法则进行计算.答案：（1）－（17）－（+14）=（－17）+（－14）=－31；（2）（+32）－（－78）=（+32）+（+78）=110；（3）（－114）－14=－114+（－14）=－112； （4）0－（－5.2）=0+5.2=5.2.错因分析：减法转化加法时，减号与后面的减数的性质符号要同时改变，如0－（－5.2），初学时容易出现0－（－5.2）=0－5.2的错误.【类型突破】计算：（1）（－32）－（－12）－5－（－15）；（2）2151()()()().3263--+---- 答案：原式=（－32）+（+12）+（－5）+（+15）=[（－32）+（－5）]+[ （+12）+（+15）]=(－37)+(+27)]= －10;（2）原式=2151()+()()()32632151[()+()][()()]32632151()()3263770.66--++++=--++++=-+++=-+=。

七年级数学有理数的减法知识精讲 人教义务代数重点难点1．会进行有理数的减法运算。

2．能运用减法运算性质进行化简运算。

3．理解有理数减法法则，能熟练地运用有理数减法法则进行有理数的减法运算。

4．注意“化归”的数学思想方法的学习。

（将有理数的减法转化为有理数的加法来运算，这种思想方法称为“化归”思想）重点分析 有理数的减法有理数的减法与有理数的加法是代数运算的基础，也是中考的必考内容之一。

有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

对大家而言，做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。

有理数的减法法则是：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(-b)。

到目前为止，我们在两种不同的意义上使用“-”号：（1）把“-”看成是减法的运算符号。

如3-7中的“-”即为运算符号，意思是“3减去7”。

（2）把“-”看成是取相反数的符号，即性质符号，如数-a 中的“-”即表示a 的相反数。

在使用减法法则进行减法运算时，经常要同时改变两个符号，即将运算符号“-”（减号）改变为“+”（加号）。

同时，把减数改变为它的相反数。

例题分析 [例1]计算：（1）(+5)-(-4) （2）4522- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-413413 （4）0)31.8(--（5）0-23 思路分析做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。

解：（1）(+5)-(-4) =(+5)+(+4)=9. （2）531)4(5224522-=-+=-. （3）0)413(413413413=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-. （4）31.80)31.8(0)31.8(-=+-=--.（5）0-23=0+(-23)=-23（将减法转化为加法时，必须把减号改成加号，减数改成它的相反数。

特殊地，0减去一个数得这个数的相反数）[例2]已知a 是5的相反数，b 比a 的相反数大3，求b-a 的值。

知识点解读：有理数的减法知识点一：有理数减法法则1．有理数减法的意义：就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算．2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+(-b)归纳总结：(1)进行有理数减法运算时，关键是把减法运算转化为加法运算，再按有理数的加法法则和运算律进行计算，体现了数学的转化思想．(2)把减法运算转化为加法运算要注意：将减号变为加号，同时减数变成原来的相反数．(3)数轴上A、B两点间的距离实际就是它们表示的数a、b差的绝对值即：AB=|a-b|．(4)一个数减去0比较容易，而减去一个数，一定要按法则，写成加上这个数的相反数．例1：计算2-（-3）=_____．分析：先把减法转化为加法运算，再进行有理数的加法运算，即2-（-3）=2+3=5．变式练习：计算：-3-（-7）= ．参考答案：4知识点二：有理数加减混合运算1．有理数加减混合运算的方法：(1)将减法统一成加法，并写成省略加号的形式．(2)运用加法的交换律和结合律，简化运算．(3)计算出结果．2．有理数加减混合运算的技巧：(1)把互为相反数的两个数先加．(2)几个数相加的结果是整数时可以先加．(3)同分母分数先加．(4)正数与正数、负数与负数分别先加．归纳总结：在进行有理数运算时，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，这样的式子叫做代数和．例2：计算下列各式(1)（-7）+5-（+3）-（-4）；(2)（-4）-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32221322．分析：对于有理数的加减混合运算，先按照有理数减法法则，先把减法化成加法，然后按照有理数的加法法则运算，在解决问题时，要先进行全面分析，找出特点，采用适当的步骤，才能计算正确、简便和迅速．根据题目特点，若能应用加法交换律或结合律的一定要尽量先用这些运算律，这样不但可以简便运算，而且还能防止出错． 解：(1)原式=-7+5-3+4=（-7-3）+（5+4）=（-10）+9=-1；(2)原式=214214322322214322213224-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+-． 变式练习： 计算下列各式：(1)9-（-4）+（-3）-（+1）； (2)5-（124-）+12+（124-）. 参考答案：(1)9；(2) 152.2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是() A．B．C．D．2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85°B．75°C．60°D．30°3．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( )A．22B．4 C．32D．424．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C（3，2），连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y＝kx的图象恰好经过点A′、B，则k的值是（）A．9 B．133C．16915D．35．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤7．下列说法正确的是( )A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形8．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°9．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）10．下列计算正确的是A ．a 2·a 2＝2a 4B ．(－a 2)3＝－a 6C ．3a 2－6a 2＝3a 2D ．(a －2)2＝a 2－4 11．如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，∠ABG＝46°，则∠FAE 的度数是（ ）A ．26°．B ．44°．C ．46°．D ．72°12．12233499100++++++++L 的整数部分是( )A ．3B ．5C ．9D ．6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数ky x=的图象经过点B ，则k 的值是_____．14．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为_____．15．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．16．不等式组21736xx->⎧⎨>⎩的解集是_____．17．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n 18．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．20．（6分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：本次抽样调查共抽取了多少名学生？求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为»BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．求证：EF为半圆O的切线；若DA＝DF＝3求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）23．（8分）如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．求证：四边形ABCD是矩形；若DE=3，OE=9，求AB、AD的长.24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．求证：DE是⊙O的切线；若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．26．（12分）如下表所示，有A、B两组数：第1个数第2个数第3个数第4个数……第9个数……第n个数A组﹣6 ﹣5 ﹣2 ……58 ……n2﹣2n﹣5 B组 1 4 7 10 ……25 ……（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．27．（12分）某水果批发市场香蕉的价格如下表购买香蕉数(千克) 不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克的价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克,已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克?参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力．2．B【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．详解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B．点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．3．B【解析】【分析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA 证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC 和△BDF 中CAD DBF AD BD FDB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．4．C【解析】【分析】设B （2k ，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC＝A′（526，613），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ．【详解】如图，过点C 作CD⊥x 轴于D ，过点A′作A′G⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF⊥x 轴于F ，设B （2k，2），在Rt△OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC＝90°， 222232OD CD +=+13由翻折得，AA′⊥OC，A′E＝AE ， ∴sin∠COD＝AECDOA OC =， ∴AE＝213213kCD OA OC ⨯⋅==，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE＝∠OCD， ∴sin∠OAE＝EFODAE OC =＝sin∠OCD， ∴EF＝1331313OD AEk OC ⋅==， ∵cos∠OAE＝AFCDAE OC =＝cos∠OCD， ∴1321313CDAF AE k OC =⋅==，∵EF⊥x 轴，A′G⊥x 轴，∴EF∥A′G， ∴12EFAFAEA G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213AG AF k ==， ∴14521326OG OA AG k k k =-=-=，∴A′（526k，613k），∴562613k k k⋅=，∵k≠0，∴169=15 k，故选C．【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A′的坐标．5．B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．6．C【解析】【分析】根据二次函数的性质逐项分析可得解.【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＜0，c ＞0，则①当x=1时，y=a+b+c ＜0，正确；②当x=-1时，y=a-b+c ＞1，正确；③abc＞0，正确；④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；⑤对称轴x=-2b a=-1，b=2a ，又x=-1时，y=a-b+c ＞1，代入b=2a ，则c-a ＞1，正确． 故所有正确结论的序号是①②③⑤．故选C7．D【解析】分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答. 详解：A 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B 、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C 、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D 、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选D ．点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．8．B【解析】【详解】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．9．C【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．10．B【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.【详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；B. (－a2)3＝－a6，正确；C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，故选B.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.11．A【解析】【分析】先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵图中是正五边形．∴∠EAB＝108°．∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．故选A．【点睛】此题考查平行线的性质，多边形内角与外角，解题关键在于求出∠EAB.12．C【解析】21 +2﹣123+=3299100+=99100式23299100=﹣1+10=1．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）133【解析】【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x =中，即可求出k 的值.【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，BC=3，∴点B 的坐标是()1,3,把()1,3代入k y x=，得3k =． 故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标； 14．4π﹣1【解析】分析：连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．详解：连接OC∵在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是»AB 的中点，∴∠COD=45°， ∴OC=2CD=42，∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积 =22451(42)43602π⨯⨯-⨯=4π-1． 故答案是：4π-1.点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 15．【解析】【分析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.16．x ＞1【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．【详解】解：21736xx->⎧⎨>⎩①②，由①得：x＞1，由②得：x＞2，不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握解不等式的方法.17．3n+1．【解析】试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．考点：规律型：图形的变化类．18．823 3π-【解析】试题解析：连接,CE∵四边形ABCD是矩形，4,2,90 AD BC CD AB BCD ADC∴====∠=∠=o，∴CE=BC=4，∴CE=2CD，30DEC ∴∠=o ，60DCE ∴∠=o ，由勾股定理得：23DE =， ∴阴影部分的面积是S=S 扇形CEB′−S △CDE 260π4218223π2 3.36023⨯=-⨯⨯=- 故答案为8π2 3.3- 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）13；（2）这个游戏不公平，理由见解析. 【解析】【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：13； （2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）=59，P（乙胜）=49．∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20．（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解析】【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（1）证明见解析；（2）BD＝23．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB=，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CD BD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，＝【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．22．（1）证明见解析（2）2﹣6π【解析】【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，在Rt△ODF中，DF＝∴OD＝DF•tan30°＝6，在Rt△AED 中，DA ＝63，∠CAD＝30°， ∴DE＝DA•sin30°＝33，EA ＝DA•cos30°＝9，∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，由CO ＝DO ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠DCO＝∠AOC＝60°，∴CD∥AB，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝2736π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）AB 、AD 的长分别为2和1．【解析】【分析】（1）证Rt△ABO≌Rt△DEA（HL ）得∠AOB=∠DAE，AD∥BC．证四边形ABCD 是平行四边形，又90ABC ∠=︒，故四边形ABCD 是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，AB=DE=2．设AD=x ，则OA=x ，AE=OE －OA=9－x ．在Rt△DEA 中，由222AE DE AD +=得：()22293x x -+=.【详解】（1）证明：∵AB⊥OM 于B ，DE⊥ON 于E ，∴90ABO DEA ∠=∠=︒.在Rt△ABO 与Rt△DEA 中，∵AO AD OB AE =⎧⎨=⎩∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL ）． ∴∠AOB=∠DAE．∴AD∥BC．又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．∴四边形ABCD 是平行四边形．∵90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB=DE=2．设AD=x ，则OA=x ，AE=OE －OA=9－x ．在Rt△DEA 中，由222AE DE AD +=得：()22293x x -+=，解得5x =．∴AD=1．即AB 、AD 的长分别为2和1．【点睛】矩形的判定和性质;掌握判断定证三角形全等是关键.24．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为83π． 【解析】【分析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE 是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC ， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，∵AC 平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．25．（1）证明见解析；（2）MC=154.【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，5∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，()221045-5∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OD AOBC AC=2545=可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.26．（1）3；（2）32n -，理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将n=4代入n 2-2n-5中即可求解；（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n 个数是3n-2；（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n 2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．【详解】解：（1））∵A 组第n 个数为n 2-2n-5，∴A 组第4个数是42-2×4-5=3，故答案为3；（2）第n 个数是32n -．理由如下：∵第1个数为1，可写成3×1-2；第2个数为4，可写成3×2-2；第3个数为7，可写成3×3-2；第4个数为10，可写成3×4-2；……第9个数为25，可写成3×9-2；∴第n 个数为3n-2；故答案为3n-2；（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；由题意得，22532n n n --=-，解之得，n = 由于n 是正整数，所以不存在列上两个数相等．【点睛】本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．27．第一次买14千克香蕉,第二次买36千克香蕉【解析】【分析】本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数=50；第一次出的钱数+第二次出的钱数=1．对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论：①当0＜x≤20，y≤40；②当0＜x≤20，y ＞40③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2．【详解】设张强第一次购买香蕉xkg ，第二次购买香蕉ykg ，由题意可得0＜x ＜3．则①当0＜x≤20，y≤40，则题意可得5065264x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 解得1436x y ⎧⎨⎩＝＝． ②当0＜x≤20，y ＞40时，由题意可得5064264x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 解得3218x y ⎧⎨⎩＝＝．（不合题意，舍去） ③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y ）=5×50=30＜1（不合题意，舍去）；④当20＜x≤40 y＞40时，总质量将大于60kg ，不符合题意，答：张强第一次购买香蕉14kg ，第二次购买香蕉36kg ．【点睛】本题主要考查学生分类讨论的思想．找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答．。

七年数学第二章第五课时有理数的减法课堂详讲有理数的减法是指两个有理数相减的运算。

在进行有理数的减法时，可以通过以下步骤进行：步骤1：将减法问题转化为加法问题。

将减法问题转化为加法问题可以简化计算过程。

即：a - b = a + (-b)。

步骤2：确定被减数和减数的符号。

在进行减法计算时，要先看被减数和减数的符号。

对于有负号的数，可以先将其负号去掉，转化为加减。

如果被减数和减数都有负号，可以将其转化为相应正数的加法。

步骤3：计算绝对值的差。

在确定了被减数和减数的符号后，可以计算它们的绝对值的差。

如果被减数的绝对值大于减数的绝对值，则差为正数；如果被减数的绝对值小于减数的绝对值，则差为负数。

步骤4：确定差的符号。

根据被减数和减数的符号以及绝对值差的正负情况，确定差的符号。

如果被减数和减数的符号相同，差为正；如果被减数和减数的符号不同，差为负。

步骤5：加上符号得到最终的差。

根据步骤4的结果，加上差的符号，得到最终的差。

例如，计算 -7 - (-3)：步骤1：将减法问题转化为加法问题，即 -7 - (-3) = -7 + 3。

步骤2：确定被减数和减数的符号。

被减数为-7，减数为-(-3)= 3。

步骤3：计算绝对值的差。

绝对值的差为 | -7 + 3 | = | -4 | = 4。

步骤4：确定差的符号。

被减数和减数的符号不同，差的符号为负。

步骤5：加上符号得到最终的差，即 -7 - (-3) = -4。

通过以上步骤，可以求解有理数的减法问题。

需要注意的是，在减法中，可以通过转化为加法问题来简化计算，然后根据被减数和减数的符号以及绝对值大小来确定差的符号，最后加上符号得到最终的差。

知识点解读：有理数的减法知识点一：有理数减法法则1．有理数减法的意义：就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算．2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+(-b)归纳总结：(1)进行有理数减法运算时，关键是把减法运算转化为加法运算，再按有理数的加法法则和运算律进行计算，体现了数学的转化思想．(2)把减法运算转化为加法运算要注意：将减号变为加号，同时减数变成原来的相反数．(3)数轴上A 、B 两点间的距离实际就是它们表示的数a 、b 差的绝对值即：AB=|a-b|．(4)一个数减去0比较容易，而减去一个数，一定要按法则，写成加上这个数的相反数． 例1：计算2-（-3）=_____．分析：先把减法转化为加法运算，再进行有理数的加法运算，即2-（-3）=2+3=5．变式练习：计算：-3-（-7）= ．参考答案：4知识点二：有理数加减混合运算1．有理数加减混合运算的方法：(1)将减法统一成加法，并写成省略加号的形式．(2)运用加法的交换律和结合律，简化运算．(3)计算出结果．2．有理数加减混合运算的技巧：(1)把互为相反数的两个数先加．(2)几个数相加的结果是整数时可以先加．(3)同分母分数先加．(4)正数与正数、负数与负数分别先加．归纳总结：在进行有理数运算时，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，这样的式子叫做代数和． 例2：计算下列各式(1)（-7）+5-（+3）-（-4）；(2)（-4）-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32221322． 分析：对于有理数的加减混合运算，先按照有理数减法法则，先把减法化成加法，然后按照有理数的加法法则运算，在解决问题时，要先进行全面分析，找出特点，采用适当的步骤，才能计算正确、简便和迅速．根据题目特点，若能应用加法交换律或结合律的一定要尽量先用这些运算律，这样不但可以简便运算，而且还能防止出错．解：(1)原式=-7+5-3+4=（-7-3）+（5+4）=（-10）+9=-1；(2)原式=214214322322214322213224-=--=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+-．变式练习：计算下列各式：(1)9-（-4）+（-3）-（+1）；(2)5-（124-）+12+（124-）.参考答案：(1)9；(2) 152.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列运算正确的为（ ）A ．2(3)9-=-B ．382-=-C ．4293=±D ．2(1)1-=-【答案】B【解析】根据有理数的乘方、开方的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A ，平方结果为正，错误.B,正确.C,二次开方为正，错误.D, 二次开方为正，错误.故选B.【点睛】此题考查了有理数的乘方、开方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．如图，A 、B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据平移的性质，由对应点横坐标或纵坐标的变化情况推出a 和b,再求a+b 的值.【详解】由平移的性质可得，a=0+2=2,b=0+2=2,所以.a+b=2+2=4.故选B【点睛】本题考核知识点：用坐标表示平移.解题关键点：熟记平移中点的坐标变化规律.3．下列各数中是无理数的是( )A B C．227D．3【答案】A【解析】根据无理数的定义解答即可．，227，3是有理数，故选A．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等这样的数．4．下列分解因式正确的是（）A．－a＋a3=－a(1＋a2) B．2a－4b＋2=2(a－2b)C．a2－4=(a－2)2D．a2－2a＋1=(a－1)2【答案】D【解析】根据因式分解的定义进行分析.【详解】A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．故选D．【点睛】考核知识点：因式分解.5．下列调查最适合于抽样调查的是（）A．某校要对七年级学生的身高进行调查B．卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度C．班主任了解每位学生的家庭情况D．了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩【答案】B【解析】解：A. 某校要对七年级学生的身高进行调查，调查范围小，适合普查，故A错误；B. 卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度无法进行普查，适合抽样调查，故B正确；C. 班主任了解每位学生的家庭情况，适合普查，故B错误；D. 了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩，适合普查，故D错误；故选B.【点睛】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.6．如图AD∥BC,∠B=30,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30B．60C．90D．120【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BD E=60°．故选B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．7．某种商品的进价为80元，出售时的标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多打（）A．九折B．八折C．七折D．六折【答案】C【解析】设打x 折，利用销售价减进价等于利润得到120•10x -80≥80×5%，然后解不等式求出x 的范围，从而得到x 的最小值即可．【详解】解：设打x 折，根据题意得120•10x -80≥80×5%， 解得x≥1．所以最低可打七折．故选C ．【点睛】 本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．注意打x 折时，标价要乘0.1x 为销售价．8．下列计算正确的是（ ）．A ．2233a a -=B ．236a a a ⋅=C ．()326a a =D ．623+=a a a 【答案】C【解析】根据整式的加减与幂的运算法则逐一解答判断.【详解】A. 22232a a a -=，故错误；B. 23235a a a a +⋅==，故错误；C. ()326a a =，该选项正确；D. 62a a ，不是同类项，不能相加减，故错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了整式的加减与幂的运算，熟练运用法则进行计算是关键.9．定义：对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]11=，[]1.22-=-.对数字65进行如下运算：①8=；②2=；③1=，这样对数字65运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字255经过（ ）次运算后的结果为1.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据[a]表示不超过a 的最大整数计算，可得答案．【详解】255进行此类运算：①25515⎡⎤=⎣⎦；②153⎡⎤=⎣⎦；③31⎡⎤=⎣⎦，即对255经过了3次运算后结果为1，故选A.【点睛】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率.10．在方程组2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足x+y ＞0，则m 的取值范围在数轴上的表示应是如图所示的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解：2122x y m x y +-⎧⎨+⎩＝①＝② ， ①+②得，3（x+y ）=3-m ，解得x+y=1-3m ， ∵x+y＞0，∴1-3m ＞0， 解得m ＜3，在数轴上表示为：．故选B ．二、填空题题11．因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x ﹣3）．【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x 2-9）=2（x+3）（x-3）.考点：因式分解.12．分解因式：2a 3—2a=____________．【答案】2a(a-1)(a+1).【解析】322a a -=22(1)a a -=2(1)(1)a a a +-.13．数据0.0005用科学记数法表示为______．【答案】5510⨯﹣ 【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n -，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0005=5510⨯﹣故答案为：5510⨯﹣.【点睛】此题考查科学记数法—表示较小的数，解题关键在于掌握其一般形式.14．如图的七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数是________.【答案】40°【解析】∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，∵五边形OAGFE 内角和=(5−2)×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°−500°=40°，故答案为40°.15．使分式13xx--有意义，x的取值应满足__________．【答案】3x≠【解析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，再根据不等式的基本性质解不等式即可得解．【详解】解：∵分式13xx--有意义∴30x-≠∴3x≠∴x的取值应满足3x≠．故答案是：3x≠【点睛】本题考查了分式有意义的条件---分母不为零以及解不等式，解决本题的关键是能够根据分式有意义的条件列出关于x的不等式．16．将方程2x+y＝25写成用含x的代数式表示y的形式，则y＝_____．【答案】25-2x【解析】试题分析：将方程2x+y=25移项即可得y=—2x+25.考点：二元一次方程的变形.17．计算()1327-=__________．【答案】1 3【解析】根据乘方的运算，即可得到答案.【详解】解：()131273-==；故答案为：13.【点睛】本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟练掌握乘方的运算法则进行解题.三、解答题18．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．【答案】 (1) 2（a2﹣b2）；(2)1.【解析】（1）影部分面积等于大长方形的面积减去中间两个正方形的面积；（2）把a＝15.7，b＝4.3带入（1）中的最终结果，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝1．【点睛】本题主要考查了矩形面积的计算以及因式分解中的公式法，熟练矩形面积的计算以及因式分解的方法是解题关键．19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2），（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B（，）（2）将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′（3）写出三个顶点坐标A′（、）、B′（、）、C′、）（4）求△ABC的面积．【答案】（1）A(2,-1)、B(4,3)；（2）如图所示：（3）A′(1, 1)、B′(3,5)、C′(0,4)；（4）5【解析】（1）根据图可直接写出答案；（2）根据平移的方向作图即可；（3）根据所画的图形写出坐标即可；（4）利用长方形的面积减去四周三角形的面积可得答案．【详解】（1）A(2,-1)、B(4,3)；（2）如图所示：（3）A′(1, 1)、B′(3,5)、C′(0,4)；（4）△ABC的面积：11134-13-24-13=5222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移的方向和平移的距离，通过关键点作出平移后的图形.20．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球实验.他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：模球的次数n50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m14 33 95 155 241 298 602摸到红球的频率mn0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301（1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近______；（精确到0.1）（2）假如你去摸一次，则估计摸到红球的概率为______；（3）试估算盒子里红球的数量为______个，黑球的数量为______个. 【答案】 (1)0.3;(2)0.3;(3)9,21【解析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得； （2）概率接近于（1）得到的频率；（3）红球个数=球的总数×得到的红球的概率，让球的总数减去红球的个数即为黑球的个数，问题得解．【详解】（1）当次数n 足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3， （2）摸到红球的概率的估计值为0.3，（3）估算盒子里红球的数量为30×0.3=9个，黑球的个数为30-9=21个. 【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．21．在Rt ABC 中，AC BC =，90C =∠，D 为AB 边的中点，90EDF ︒∠=，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 和CB （或它们的延长线）于E ，F .（1）当DE AC ⊥于E 时（如图1），可得DEF CEF S S +=△△______________ABCS.（2）当DE 与AC 不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABCS的关系.（3）当点E 在AC 延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABCS 的关系.【答案】（1）12；（2）成立，理由详见解析；（3）12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【解析】（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形，边长是AC 的一半，即可得出结论；（2）成立；先证明△CDE ≌△BDF ，即可得出结论； （3）不成立；同（2）得：△DEC ≌△DBF ，得出12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五方形【详解】解:（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC=8C=a ，则正方形CEDF 的边长为号12a ， ∴212ABCSa =，正方形CEDP 的面积221124CEDF S a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ∴12ABC CEDF S S =△,故答案为：12；（2）成立.证明：连接CD ，∵AC BC =（已知） ∴A B ∠=∠（等边对等角）∵90ACB ∠=（已知），180A B ACB ︒∠+∠+∠=（三角形内角和为180度） ∴45A B ︒∠=∠=（等式性质）∵AC BC =（已知），BD AD =（中点的意义） ∴CD AB ⊥（等腰三角形的三线合一） ∴90CDB =∠（垂直的意义）∵180DCB B CDB ︒∠+∠+∠=（三角形内角和为180度） ∴45DCB =∠(等式性质) ∴DCB B ∠=∠（等量代换） ∴CD DB =（等角对等边）∵CD AB ⊥（已证）∴90CDF FDB ︒∠+∠=（垂直的意义） ∵90EDF =∠（已知） ∴CDE BDF ∠=∠（等式性质） 在CDE △与BDF 中，ECD BCD BDEDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已证） ∴(...)CDE BDF A S A △≌△∴CDE BDF S S △≌△（全等三角形的面积相等） ∴12DEF CEF CDB ABC S S S S +==△△△△（等量代换）（3）不成立；12DEF CEF ABC S S S -=△△△；理由如下：连接CD ，如图3所示： 同（2）得：,135DEC DBF DCE DBF ︒∠=∠=≌ ∴DEF DBFEC S S ∆=五方形12CFE DBC CFE ABC S S S S ∆∆∆∆=+=+12DEF CFE ABC S S S ∆∆∆∴-=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键.22．如图，已知AB ∥DC ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于点F ，∠CFE ＝∠E ．试说明AD ∥BC ，并写出每一步的根据．【答案】见解析【解析】由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：∵AB∥DC（已知）∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵AE平分∠BAD（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）∴∠CFE＝∠2（等量代换）∵∠CFE＝∠E（已知）∴∠2＝∠E（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．23．“村村通”是国家的一个系统工程，其中包涵公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、A B C周边修公路，公路从A村沿北偏东65 方向到B村，从B村沿北偏西25互联网等等，现计划在,,CE沿什么方向修，可以保证CE与AB平行？方向到C村，那么要想从C村修路,【答案】CE 应沿北偏东65︒方向修．【解析】根据平行线的性质定理得115ABF ∠=︒，90ECB ABC ∠=∠=︒，过点C 作MN ∥BF ，可得∠MCE=65°，进而即可得到结论．【详解】使CE 沿北偏东65︒方向，即可保证CE 与AB 平行．理由如下： 如图，由题意得，//AD BF ，18065115ABF ∴∠=︒-︒=︒， 1152590ABC ∴∠=︒-︒=︒，要使//CE AB ，则90ECB ABC ∠=∠=︒， 过点C 作MN ∥BF ， ∴∠BCN=∠CBF=25°，∴∠MCE=180°-90°-25°=65°， ∴CE 应沿北偏东65︒方向修．【点睛】本题主要考查方位角，掌握平行线的性质定理是解题的关键．24．为了响应国家“节能减排，绿色出行”号召，长春市在多个地区安放共享单车，供行人使用.已知甲站点安放518辆车，乙站点安放了106辆车，为了使甲站点的车辆数是乙站点的2倍，需要从甲站点调配几辆单车到乙站点？【答案】甲调102辆车到乙站点.【解析】设从甲站点调配x 辆单车到乙站点，根据甲站点单车数量-x=2（乙站点单车数量+x ）列出方程解答即可．【详解】设从甲站点调配x辆单车到乙站点，根据题意得，518-x=2×(106+x)解得，x=102答：从甲站点调配102辆单车到乙站点【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．25．为迎接边境贸易博览会，组织部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【答案】设搭配A种造型x个，则B种造型为个，依题意，得：解得：，∴∵x是整数，x可取31、32、33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．【解析】解：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：解这个不等式组，得：，.是整数，可取，所以可设计三种搭配方案：①种园艺造型个，种园艺造型个；②种园艺造型个，种园艺造型个；③种园艺造型个，种园艺造型个．（2）由于种造型的成本高于种造型，所以种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：（元）七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．计算：（8x 3﹣12x 2﹣4x ）÷（﹣4x ）＝（ ） A ．﹣2x 2+3x B ．﹣2x 2+3x+1C ．﹣2x 2+3x ﹣1D ．2x 2+3x+1【答案】B【解析】用多项式的每一项分别处以﹣4x 即可. 【详解】（8x 3﹣12x 2﹣4x ）÷（﹣4x ） ＝﹣2x 2+3x+1． 故选：B ． 【点睛】本题考察了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．2．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得【 】A ．()x+y=5010x+y =320⎧⎪⎨⎪⎩B ．x+y=506x+10y=320⎧⎨⎩C ．x+y=506x+y=320⎧⎨⎩D ．x+y=5010x+6y=320⎧⎨⎩【答案】B 。

有理数的减法1.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：a-b=a+(-b)。

2.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.3.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：（1）.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)（2）.把和为整数的加数相结合 （凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)（3）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） -53-21+43-52+21-87（4）.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25)（5）.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -351+10116-12221+4157（6）.分组结合 （7）.先拆项后结合2-3-4+5+6-7-8+9...+66-67-68+69 （1+3+5+7...+99）-（2+4+6+8 (100)巩固练习一、填空题1、＋8与－12的和取＿＿＿号，＋4与－3的和取＿＿＿号。

2、小华记录了一天的温度是：早晨的气温是－5℃，中午又上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的温度是＿＿℃。

3、3与－2的和的倒数是＿＿＿＿，－1与－7差的绝对值是＿＿＿＿。

4、小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有＿＿＿＿元。

5、－0.25比－0.52大＿＿＿＿，比－521小2的数是＿＿＿＿。

6、若b a ，b a -<>则0,0一定是＿＿＿＿（填“正数”或“负数”）7、已知21,43,32-=-==c b a ，则式子=--+-)()(c b a ＿＿＿＿＿。

有理数的加减法(基础)知识讲解有理数的加减法(基础)知识讲解有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数。

有理数的加减运算是我们学习数学的基础，本文将对有理数的加减法进行详细讲解。

一、有理数的加法有理数的加法满足以下规则：1. 同号相加，取相同符号，数值相加。

例如：2 + 3 = 5，-2 + (-3) = -5。

2. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，数值取两数绝对值之差。

例如：2 + (-3) = -1，-2 + 3 = 1。

3. 加0不变。

例如：5 + 0 = 5，-3 + 0 = -3。

二、有理数的减法有理数的减法可以看作是加法的逆运算，减法满足以下规则：1. 一个数减去另一个数，可以转化为加上这个数的相反数。

例如：5 - 3 可以转化为 5 + (-3)。

2. 减0不变。

例如：5 - 0 = 5，-3 - 0 = -3。

三、加减法综合运算有理数的加减法可以综合运算，按照运算顺序依次计算。

例如：计算4 + (-3) - 2 + 5 - (-1)。

首先，根据加法规则，4 + (-3) = 4 - 3 = 1。

然后，依次计算 1 - 2 = -1，-1 + 5 = 4，4 - (-1) = 4 + 1 = 5。

四、简便计算方法对于一些较为复杂的加减法计算，我们可以利用简便的计算方法来简化运算过程。

1. 数字和0相加或相减，结果不变。

例如：28 + 0 = 28，13 - 0 = 13。

2. 相同数字相加或相减，可以直接运用倍数法则。

例如：3 + 3 = 6，4 - 4 = 0。

3. 在连续加减运算中，可以根据加法交换律和结合律进行合并运算。

例如：2 + 3 - 4 + 6 = (2 + 6) + (3 - 4) = 8 + (-1) = 7。

五、实际应用有理数的加减法在我们日常生活中有很多应用，例如：1. 温度计的读数变化可以看作是有理数的加减运算。

当温度从20℃降低3℃，再上升5℃，我们可以计算出最终的温度。

七年级数学有理数的减法（第一课）知识精讲人教义务几何学习目标1.掌握有理数的减法法则，能够准确而熟练地进行有理数减法运算.2.了解并体验把减法运算转化为加法运算，渗透转化思想.基础知识讲解1.有理数减法的意义（理解）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算.减去一个数，等于加上这个数的相反数.这里体现了有理数的减法运算可以转化为加法运算，揭示了加与减两种运算的对立统一关系.重点难点1.重点：有理数减法法则和运算.2.难点：有理数减法法则的推导.易混易错点拨例1.计算：0-（-5）错解：0-（-5）=-5正解：0-（-5）=0+5=5错误原因：把0-（-5）与（-5）-0相混淆，受小学的减法运算知识影响而产生的负迁移.例2.已知：a=-6，b=-7，c=-8求：a-b-c的值.错解：当a=-6，b=-7，c=-8时，a-b-c=（-6）-7-8=（6）+（-7）+（-8）=-21正解：当a=-6，b=-7，c=-8时，a-b-c=（-6）-（-7）-（-8）=（-6）+（+7）+（+8）=+9错解分析：将运算符号减号与字母取值的负号混淆，所以减号后面是负数时，要添上括号.典型例题（1）（+5）-（-4） （2）252-4 （3）（-341）-（-341） （4）（-8.31）-0 （5）0-23思路分析：做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数. 解：（1）（+5）-（-4）=（+5）+（+4）=9（2）252-4=252+（-4）=-153 （3）（-341）-（-341）=（-341）+（+341）=0（5）0-23=0+（-23）=-23.将减法转化为加法时，必须把减号改成加号，减数改成它的相反数.特殊地，0减去一个数得这个数的相反数.例2.已知a 是5的相反数，b 比a 的相反数大3，求b-a 的值.解：因为a 是5的相反数，所以a=-5；又因为b 比a 的相反数大3，所以b-（-a ）=3，所以b-5=3，所以b=8，所以b-a=8-（-5）=13.例3.已知a ＜0，b ＜0，|a|＜|b|，判断a-b 的符号. 负数的相反数是正数解：因为a ＜0，b ＜0，所以-b ＞0 转化为异号两数相加a-b=a+（-b ），又因为|a|＞|b|，所以取绝对值大的加数的符号；所以a-b ＜0，即a-b 的符号为负号.例4.求数轴上表示+421与-321的两点间的距离. 分析与解答：求数轴上两点间距离就是求这两点所示的有理数之差的绝对值. 解：|+421-（-321）|=|+421+321|=8数轴上表示有理数a 、b 的两点间的距离等于|a-b|. 例5.计算：（-543）-{352-[-（-31）-（-43）]} 分析与解答：在一个算式中，如果遇有中括号，大括号时应从里到外依次运算.即先算中括号里的，再算大括号里的.注意运算顺序.解：原式=（-543-{352-[31+43]} =（-543）-{352+（-1213）}=（-543）-（+60139）=-8151点拨：在进行有理数减法运算中，要搞清运算顺序.随堂演练 一、填空题1.被减数是a ，减数是b ，那么有理数的减法法则可以用式子表示为.2.心算：（-2.7）-0= 0-（-100）=2-（-5）= -3-（+2）=.32比-11大. . . 小18. .二、判断正误1.-7-7=0 （ ）21-31=-61（ ） 3.（-40）-（-10）=-（40-10）=-30 （ ） 4.两个有理数的差一定小于被减数. （ ） 5.若两个数的绝对值相等,则其差为零. （ ） 三、设A 是-4的相反数与-12的绝对值的差，B 是比-6大5的数.求：（1）A-B （2）B-A （3）从（1）、（2）的计算结果，你能知道A-B 与B-A 之间有什么关系？四、若a ＞0，6＜0，试比较-a ，-b ，-（a+b ），-（a-b ）的关系.五、全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：（1）第一名超出第二名多少分？ （2）第一名超出第五名多少分？参考答案一、填空题 ，100，7，-5 3.28324.-75.216.97.-30 二、判断正误1.×2.×3.√4.×5.×三、A=-8，B=-1 （1）-7 （2）7 （3）互为相反数关系 四、-（a-b ）＜-a ＜-（a+b ）＜-b 五、（1）200 （2）750。

初中数学知识点：有理数减法
有理数的减法：
已知两个有理数加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法，减法是加法的逆运算。

有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）。

两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成： a－b=a+（－b）。

计算步骤：
（1）把减法变为加法；
（2）按加法法则进行。

有理数减法点拨：
1.引进负数之后，对于任意两个有理数都可以求出其差，不存在“不够减”的问题，并有如下结论：
大数减小数，差为正数；
小数减大数，差为负数；
某数减去零，差为某数；
零减去某数，差为某数的相反数；
相等两数相减，差为零。

2.在减法转化为加法时，减数必须同时变成其相反数，即“同时改变两个符号”。