认识无理数2【公开课教案】(含反思)

北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。

《认识无理数》教学设计第2课时一、教学目标1.探索无理数的定义，，并从中体会无限逼近的思想；2.能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力；4.充分调动学生参与数学问题的积极性，同时培养学生的合作精神，提高辨识能力.二、教学重难点重点：比较无理数与有理数的区别，能辨别出一个数是无理数还是有理数.难点：探索无理数是无限不循环小数的过程.三、教学用具多媒体、课件、计算器四、教学过程设计从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）.问题：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？能不能确定一下a的大致范围？预设答案：∵a2=2, 而12=1, 22=4,···∴12<a2<22 , 1< a< 2,而1.52=2.25, 2.25＞2∴a的值一定小于1.5∴a的大致范围在1~1.5之间.问题：(1)如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？预设答案：通过对比观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1<a<2.问题：(2)a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.预设答案：分析：使用计算器计算a取不同值时的平方值，整理得到表格：预设答案：a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4.追问：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？通过想一想提出问题来解决该追问.【想一想】边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？预设答案：假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.【做一做】（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计.预设答案：使用计算器计算a取不同值的平方值，整理得到表格：列表格：从表格观察可知，面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，经过计算器验证b≈2.2（结果精确到0.1）（2）如果结果精确到0.01呢？预设答案：使用计算器计算a取不同值的平方值，整理得到表格：列表格，在（1）的基础上面积为5的正方形的边长b 的值满足：b 2=5，经过计算器验b ≈2.24(结果精确到0.01) 结论：在等式a 2=2中，a =1.41421…，它是一个无限不循环小数.在等式b 2=5中，b =2.23606…，它是一个无限不循环小数.a ，b 不是整数，也不是分数，是无限不循环小数.【议一议】把下列各式表示成小数，你发现了什么？ 4358235894511-，，，，，预设答案： 3 3.0=；40.85=；30.3758=；50.59=；80.1745-=-； 20.18.11=- 发现：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.0.57，0.1010001000001的个数逐次加0.57是0.57，是有理数.…是无限不循环小数，∴根据无理数的定义，0.10100010000010.57；3.7，-判断下列说法是否正确：3.7，-思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

《认识无理数2》教学设计一、教学目标1、掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.3、在掌握估算方法的过程中,开展学生的数感和估算能力.二、教学重难点【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.三、教学准备【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.四、教学过程〔一〕导入新课前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.〔二〕新知建构1、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如下图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数局部是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.2、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把以下各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·. 分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?〔三〕例题讲解以下各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·; 无理数有:0.…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.〔四〕拓展确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数局部.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数局部.例如:求x 2=5中的正数x 的整数局部,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数局部为2.2.确定x 的小数局部十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比拟,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数局部的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.〔五〕课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数〔六〕随堂训练1.以下说法中正确的是( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.应选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).五、板书设计第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.六、布置作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.。

课时课题第二章第1节第2课时认识无理数课型新授课授课人授课时间星期三第4节教学目标1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数.3.让学生掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.教法学法指导本节课是在上一节课知道存在无理数的基础上，借助于计算器，感知无理数的大小，从而发现无理数的无限不循环特征.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作，以学生自主探索为主，自我归纳得出概念.课前准备计算器（每个学习小组3个）《认识无理数》教学过程一、创设情境，导入新课前面我们发现在勾股定理的运算中，出现了有理数无法表示的现象，因此出现了无理数.但无理数到底是什么样子，就让我们走进今天的旅程.（教师在黑板上画图）师：大家现在能计算一下面积为2的正方形的边长a究竟是多少吗？（不能）能不能估计大正方形的边长a在什么范围内呢？生：（观察后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为112=，422=，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.【设计意图】不经过研究的结论是缺少灵魂的，所以在此一定要让学生直观的感受到，面积为2的正方形边长是怎么样的，既使简单动脑的真实探究也会使学生有强烈的印象，又同时向学生传授了验证猜想的简单途径，体现教育的方法育人.二、探究研讨，质疑问难既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？1、下面老师为大家提供了计算器，你们会怎样利用呢？（学生小组内思考，教师参与其中）生1：我们用计算器依次计算21.1、22.1……，通过比较，就能发现大约是1点几．生2：那样太慢，我发现面积2更接近1离4远，所以边长不会超过1.5，所以不要全验证．（教师竖起大拇指，学生给以掌声）2、应用计算器，探索小数位数．师：很棒，那我们就进行一场比赛，看哪一组精确的位数多，（学生跃跃欲试）开始．（学生活动，教师指导学生在活动中分工合作）师：时间到，哪一组说一说你们探索的结果？生：a在1.41与1.42之间.生：a在1.414与1.415之间.师：有算出具体是多少吗？生：没有.师：大家可以看一下小明同学的探索过程.（观看教材图表）师：如果继续探索下去，你会有什么发现？生：这个数不是循环小数.师：事实上，它是一个无限不循环小数.【设计意图】在探究研讨中，先以方法思考开始，是为了提高验证的效率，再有小数位数的探索，加快了课堂节奏.本环节主要意图让学生直观感受无理数的数的特性，打破学生思维中固化的有理数思维，将无理数真实的展现在学生面前.三、展示交流，建构知识那么，咱们给无理数来个描述吧.（学生思考，小组交流）1、概念描述交流生：无理数就是无限不循环小数.（学生都很同意）师：很棒，那么要是无理数，必须满足哪些条件？生：一是无限小数，二是不循环小数.（师板书）师：你们能举出几个实例吗？生：π，1.2578879…师：你们居然没忘了π这个老朋友，通过大家的举例，我忽然发现了“无理数”命名的原因.（师边指黑板上的数，边强调“无理”二字）生：奥，我知道了，无理数就是没有道理的数.（学生笑了）师：想到老师心里去了，你是老师的亲学生.（学生又笑了）2、例题强化理解例1：下列各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？3.14，34-，••75.0， 0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 生：无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).师：你们有没有不同意见？（没有）那0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中不也是有规律的吗？生：有规律也不是，它是无限不循环小数，所以是无理数.师：回答得很好，我明白了，无理数也不一定是没有道理啊.师：那你们判断无理数的时候，观察到什么特征就可以判断了呢？生：只要你抓住了无理数的两个特征，就能把它识别出来.（师在黑板上圈画重点） 那么，这个无理数是谁先发现的呢？3、无理数的理论论证．借助“读一读”，让学生了解数学史，认识严密的数学论证．师：数学是严谨的，但也是发展的，我们一定要有一个科学的头脑，实事求是的态度．【设计意图】教学中我有意弱化有理数的数类的区分，而一味强化无理数，因为过多的信息量必将影响数类的区分，当学生接受了无理数概念后，有理数的辨别就水到渠成了.在了解数学史的问题上，我认为是必不可少的，虽然学生会存在不理解，但学生会存下一个严谨论证意义的认识，会更加认识到无理数的存在. 四、运用拓展，收获讲评实事求是的说：了解什么是无理数了吗？（知道了）那我们实战一下.1、处理24页的随堂练习（要求学生思考后小组交流，由小组中的后进生发言）2、抢答训练：25页知识技能第1题3、师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），而无理数是无限不循环小数.4、达标检测1.数学理解第3题，班内交流论坛判断下列说法是否正确:(1) 所有无限小数都是无理数; （）(2)所有无理数都是无限小数; （）(3)有理数都是有限小数; （）(4)不是有限小数的不是有理数. （）让学生充分交流个人想法，互相质疑，在争论中，辨明原因，以便观察学生的知识掌握情况.2. 填空:0.351,.68.4，-32, 3.14159, -5.2323332…,3π，0.1234567891011…(由相继的正整数组成).有理数有：无理数有：板书设计：§2.1（2）认识无理数看出1＜a＜2.因为112=，422=，而a 的平方等于2，所以1＜a ＜2. 无限不循环小数称为无理数一是无限小数，二是不循环小数.边长a面积S1＜a＜2 1＜S＜4例讲你本节课的学习收获是什么？学情分析八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，在此基础上，学生能在“需要—探究—发现—论证”式的课堂中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的操作中发现问题，实现数的发展，发展学生的合情推理能力。