向量的直角坐标运算
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空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中,以$o$点为原点,分别以射线$oa$,$oc$,$od$′的方向为正方向,以线段$oa$,$oc$,$od$′的长为单位长,建立三条数轴:$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$,其中点$o$叫做坐标原点,$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$,那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol(x_1,y_1,z_1)$,$\boldsymbol B(x_2,y_2,z_2)$,然后(1)$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
(2) $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$(3)$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
(4) $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$(5)$λ\boldsymbola=(λx_1,λy_1,λz_1)$。
4.平行(共线)和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$,$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$,则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{r})$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
《平面向量的直角坐标运算》教材分析《向量的直角坐标运算》,主要研究两类问题:(一)、向量的直角坐标和向量的直角坐标运算(二)、培养学生的创新精神和实践水平,履行“以学生发展为本”的教育思想。
下面对这节课的内容实行分析:本节的授课内容为《向量的直角坐标》,选自中等职业教育国家规划教材《数学》(提升版)第一册第六章第六节,我从四个方面实行教材分析。
1、教材的地位和作用向量的直角坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系;向量的直角坐标运算,则使向量的运算完全数量化,将数与形紧密地结合起来,为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
这样,用向量的方法解决几何问题更加方便,从而极大地提升了学生利用向量知识解决实际问题的水平。
同时,这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的水平具有重要意义。
2、教材的处理结合教参和学生的学习水平,《向量的直角坐标》安排能够2课时。
本节为第一课时。
根据当前学生的状况和以往的经验,我发现,虽然这节课的内容比较简单,但由于老师讲解的过多,导致学生丢失了很多重要的知识。
为了激发学生的学习热情,在平面向量分解定理为背景下,能够以复习提问的形式,引出向量的直角坐标的定义;以讨论的形式得出向量直角坐标运算的规律,直接切入本节课的知识点。
之后,由浅入深,由低到高地设计了三个层次的问题,逐步加深学生对向量直角坐标的记忆和理解。
由此,可对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。
3、教学重点与难点根据学生现状、教学要求以及教材内容,确立本节课的教学重点为:明确平面向量的坐标和点的坐标的关系并熟练地掌握向量的直角坐标运算。
由学生的实际情况——使用所学知识分析和解决实际问题的水平较差,把本节课的难点定为:向量直角坐标运算的使用。
要突破这个难点,关键在于紧扣向量直角坐标运算的相关知识,去发现解决问题的方法。
4、教学目标的分析根据教学要求,教材的地位和作用,以及学生现有的知识水平和数学水平,本节课的教学目标可确定为三个方面:(1)知识教学目标:理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;(2)水平目标:利用向量的坐标能够使向量运算完全代数化,实现了形向数的转化;(3)情感、态度与价值观:理解向量与其他知识之间的紧密关系,培养学生的学习兴趣及探索精神.。
.空间向量的直角坐标运算律:(1)若,,则.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
(2)若,,则,,,,,;,.夹角公式:.(3)两点间的距离公式:若,,则或。
对于垂直问题,一般是利用进行证明;对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角,而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3.用向量法求距离的公式设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则点B到平面的距离为(如图)。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法:设n=(x,y,z),利用n与平面内的两个不共线的向a,b垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解,即得到平面的一个法向量(如图)。
线线角的求法:设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b,则直线AB与CD所成的角为。
(注意:线线角的范围[00,900])线面角的求法:设n是平面的法向量,是直线的方向向量,则直线与平面所成的角为(如图)。
二面角的求法:设n1,n2分别是二面角的两个面,的法向量,则就是二面角的平面角或其补角的大小(如图)利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离:,其中,是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离:,其中,是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离:,其中,是平面的法向量。
①线线平行的判定:判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结:从中可以看出,一般情况下,往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系:异面直线的判定。
判定方法:定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知:分析:利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明:过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知:AB是异面直线a、b的公垂线段,P是AB的中点,平面经过点P且与AB垂直,设M是a上任意一点,N是b 上任意一点。
直角坐标系中的向量运算直角坐标系中的向量具有非常重要的地位,在物理学、力学、几何学等领域中得到了广泛应用。
通过向量运算,可以描述和求解各种复杂的几何关系和物理问题。
本文将介绍直角坐标系中的向量基本概念、向量加法、向量减法、数量积和向量积,并探讨其相应的计算方法和几何意义。
1. 向量的基本概念在直角坐标系中,向量可以用有序数对或坐标表示。
例如,一个向量a可以表示为a = (a₁, a₂, a₃),其中a₁、a₂、a₃分别是向量a在x、y和z轴上的分量,也称作向量的坐标或分量。
2. 向量加法向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃),它们的和向量c = a + b的分量满足c₁ = a₁ + b₁,c₂ = a₂ + b₂,c₃ = a₃ + b₃。
直观上,向量加法表示将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
3. 向量减法向量的减法可通过向量加法来实现。
对于两个向量a和b,它们的差向量c = a - b可以表示为c = a + (-b),即向量a加上向量-b的结果。
向量-b即为向量b的每个分量取相反数得到的向量。
差向量的分量计算规则与向量加法相同。
4. 数量积(点积)数量积,也称点积(Dot Product),是两个向量的数量乘积再相加的结果。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃),它们的数量积a·b(或a*b)定义为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
数量积可以用来求解向量的模、夹角和判断两个向量是否垂直。
5. 向量积(叉积)向量积,也称叉积(Cross Product),是两个向量的向量乘积。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃),它们的向量积a×b定义为一个新的向量c = (c₁, c₂, c₃),其中c₁ = a₂b₃ - a₃b₂,c₂ =a₃b₁ - a₁b₃,c₃ = a₁b₂ - a₂b₁。
直角坐标系向量叉乘公式引言在数学中,向量是一个具有大小和方向的量,常用于描述物体在空间中的位置或运动。
在三维空间中,我们常使用直角坐标系来描述向量。
向量的叉乘是一种向量运算,用于求解两个向量的正交向量。
一、向量的定义在直角坐标系中,一个向量可以用其在坐标系的三个轴上的分量表示。
一个一般的向量可以表示为:A = (Ax, Ay, Az)其中,Ax、Ay和Az分别表示向量A在x、y和z轴上的分量。
二、向量的叉乘定义给定两个向量A = (Ax, Ay, Az)和B = (Bx, By, Bz),它们的叉乘结果可以表示为:C = A × B向量C称为向量A和向量B的叉乘结果。
叉乘的结果是一个新的向量,它的方向垂直于向量A和向量B所在的平面。
三、向量叉乘的计算公式向量的叉乘可以通过以下公式来计算:Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx其中,Cx、Cy和Cz分别表示向量C在x、y和z轴上的分量。
四、向量叉乘的几何意义从向量叉乘的计算公式可以看出,向量叉乘的结果是一个新的向量,其方向垂直于向量A和向量B所在的平面。
其长度等于以向量A和向量B为邻边所构成的平行四边形的面积。
五、叉乘的应用向量叉乘在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如,在力学中,当两个物体发生碰撞时,叉乘可以用来计算作用在物体上的力矩;在电磁学中,叉乘可以用来计算磁场的方向和强度。
六、向量叉乘的性质向量叉乘具有以下性质:1.叉乘的结果是一个垂直于原来两个向量所在平面的向量。
2.叉乘满足右手法则,即当右手的拇指指向向量A,食指指向向量B时,中指的方向即为叉乘结果C的方向。
3.如果两个向量平行或反向,则它们的叉乘结果为零向量。
结论向量的叉乘是一种重要的向量运算,它可以用来求解两个向量的正交向量。
叉乘的计算公式可以帮助我们准确地获得叉乘结果的各个分量。
叉乘在数学和物理学中有广泛的应用,并具有许多重要的性质。
向量的直角坐标运算
【教学目标】
1. 理解平面向量的坐标表示,掌握平面向量的坐标运算.
2. 能够根据平面向量的坐标,判断向量是否平行.
3. 通过学习,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养学生辩证思维能力.
【教学重点】
平面向量的坐标表示,平面向量的坐标运算,根据平面向量的坐标判断向量是否平行.【教学难点】
理解平面向量的坐标表示.
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法,教师可以充分发挥学生的主体作用,开展自学活动,通过类比、联想,发现问题,解决问题.引导学生分析归纳,形成概念.【教学过程】。