向量的直角坐标运算.ppt
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课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
研一研·问题探究、课堂更高效
则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
空间向量的直角坐标运算ppt课件
r a(a1,a2,a3)
za
a3k
a1i
a2j
k
y
ij
.x
复习二：平面向量的坐标运算
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
则
ab(x1x2,y1y2)
aab((xx 11 , y x1 2),y 1 ( y2 R ))
abx1x2y1y2
若 A(x1, y1) B(x2,y2) 则 AB x 2 x 1 ,y 2 y 1
(2)若 a b ,求 x,y满足的 。 条件
.
例2：A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2)求
(1)AB,AC
(2)AC在AB上正投影的数量
z
C
o
B
y
D A
x
.
探索与研究
若 1 中 a ( 例 a 1 , a 2 的 , a 3 ) b , ( b 1 , b 2 , b 3 ), 求一向 a,b量 都与 垂直。
AB (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
.
复习三：
平面向量平行和垂直的条件
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
a //b (b 0 ) a b (R)
x1y2x2y10
a b ab0
x1x2y1y20
.
类比三：空间向量平行和垂直的条件
r
r
若 a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3)
a //b (b 0 ) a b2
a 3 b3
当b与三个坐标平面 行都 时不平
a a / /b (b b 0 ) a b ab110ab22
a3 b3
rr
a b a 1 b 1 a 2 .b 2 a 3 b 3 0
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
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例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算
|b|＝_____________________________，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
向量的直角坐标运算(共24张PPT)
A.(4,1) B.(-4,2)C.(-2,2) D.(-4,4)
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(
A.
【答案】B
B.
C.
D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(
A.
【答案】B
B.
C.
D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是
空间向量的直角坐标运算.ppt
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
利用向量的坐标表示求夹角和距离
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a1,a2,a3),( R)
a1b1 a2b2 a3b3
利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首 先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再 利用公式解决夹角、模等问题．
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
a1b1 a2b2 a3b3 0
二、距离与夹角
1.距离公式 | a |2 a a a12 a22 a32
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
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uuur AB
3
(2,1) 2 (3, 2) 3
(0, 7) 3
练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,
－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d
为
.
解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6).
uuur OA
uuur OB
的方向和长度.
解：OuuCur
uuur OA
uuur OB
= (3,2)+(－2，4)
= (1,6).
uuur | OC | 1 36 37
tan 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2, 1)、B(－1,
3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。
2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
r v
(4,
3)
,设起始P(－10,10),
则5秒钟后点P
的坐标为( ).
解：5秒种后，P点坐标为 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5).
3.设uAuur(2, 3u)u，ur B(5u,u4ur)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
解：
uuur AB
uuur OB
uuur OA
=(x2,y2)－(x1,y1) =(x2－x1，y2－y1)。
说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去始点的坐标。
例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。
解：设M(x,y)是线段AB的中点，则
(a1, a2)就是向量a在基底{e1, e2}下的坐标，
即a=(a1, a2).
y B2
a
A2 A a1 e2 O e 1A1
B a2
x B1
0=(0, 0)，e1=(1, 0)，e2=(0, 1).
设向量a= (a1, a2)， a 的方向相对于x轴正 方向的转角为θ ，由三角函数定义知
a1=|a|cosθ , a2=|a|sinθ
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则
(2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 ,
所以x=5λ+5，y=7λ+4.
解得λ =
1 2
所以λ<－1.
例1. 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方
向和长度如图,
r b
(
3
,
3
3)
r 22
c (2 3, 2)
2.向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2), b=(b1,b2), 求a+b的值。 a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，
uuuur OM
1
uuur (OA
uuur OB)
2
1
( x, y) 2 [( x1, y1) ( x2, y2 )]
例3得到的公式， 叫做线段中点的 坐标公式，简称
x x1 x2 , y y1 y2 中点公式。
2
2
例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),
B(－2，4)，求向量
即a+b=(a1+b1，a2+b2). 用同样的方法可以证明
a－b=(a1－b1，a2－b2),
λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）
说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的
相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应
坐标的积。
uuur 例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标.
2.2.2向量的正交分解与 向量的直角坐标运算
1.向量的直角坐标
1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两 个向量互相垂直 ;
2. 如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称 {e1，e2} 为正交基底 3. 若向量e1、e2为单位正交基底,且a xe1 ye2 则称(x，y)为向量a的坐标.
在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面 向量基本定理可知，存在唯一有序实数对 (a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，
解：OuuDur
uuur OA
uuur AD
uuur OA
uuur BC
uuur uuur uuur
OA OC OB
=(－2,1)+(3,4) －(－1,3)
=(2, 2) 所以D点的坐标是(2, 2).
例6. 已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .
解：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公
式可知M(－ 1 ，2)
2
(2) 因为
uuur uuur uuur AB OB OA
=(1，3)－(－2，1)
=(3，2)
uuur OP
uuur OA
1
uuur AB
3
(2,1) 1 (3, 2) 3
(1, 5)
3
uuur OQ
uuur OA
2