3.1.4空间向量的直角坐标运算 【 2014年】

菜单
RB ·数学 选修2-1
教
学
易
教
错
法
易
分
●教学建议
析
误 辨
析
教
本节课以空间向量分解定理为基础，从空间向量的正交
学
当
方 案
分解出发，研究了空间向量的坐标表示及坐标运算，为了突
堂 双
设
基
计 出重点，突破难点，建议在教学中采取以下策略：
达 标
课
前 自
为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、 课
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2-1
教
学
易
教
错
法
易
分 析
2．过程与方法
误 辨
析
教 学
通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概 当
方
堂
案 括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思 双
设
基
计
想方法，对向量加深理解．
达 标
课
前 自
3．情感、态度与价值观
课
主
时
导 学
通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不 作 业

r rxr
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．

解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)

3.1.4 空 间向量的 直角坐标
运算
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量的坐标运算. 3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直. 4.会计算向量的长度及两向量的夹角.
1.空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底.
建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向
量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则������������ = ������������ − ������������ = (������2, ������2, ������2) − (������1, ������1, ������1) = (������2 − ������1, ������2 − ������1, ������2 − ������1).
题型一
题型二
题型三
解:∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), ∴ ������������ = (−2,1,6) − (0,2,3) = (−2, −1,3), ������������ = (1, −1,5) − (0,2,3) = (1, −3,2).
∴|������������| = (-2)2 + (-1)2 + 32 = 14,
∴h∥g. 答案:B
123456
3.已知a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c-a)·2b=-2,则x的值为( ) A.3 B.4 C.2 D.1 解析:∵(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,
∴2(1-x)=-2,x=2. 答案:C
123456
=
������2 ������2

3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14【解析】 由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y ， ∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( )A.55B.555C.355D.115 【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ (1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝ 5(t －15)2＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．±6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2.∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C. 【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →， P A →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，由P A →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由P A →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2)三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴sin a ，b ＝1－cos 2(a ，b )＝1－72121＝711. ∴S ▱＝|a |·|b |sina ，b ＝22×11×711＝7 2. ∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】 以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． MC 1→＝(a ，a ，a 2)，MN →＝(x,0，－a 2)， MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4. 所以点N 的坐标为(a 4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。

( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4

Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。 那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。
一一对应
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫

4. 1已知向量a 2, 4,5 , b 3, x, y , 若a / / b, 求x, y的值. a 2, 4, x , b 2, y, 2 , 若 a 2已知： 的值. 6, 且a b, 求x y
2 4 5 15 解： 1因为a / /b, 所以 , 得x 6, y . 3 x y 2 2 2 4 y 2 x 0 2 因为a b且 a 6, 所以 2 2 2 2 4 x 6, x 4, x 4, 或 所以x y 1或x y 3. y 3, y 1.
3.1.4
空间向量的直角坐标运算
z
O
k
a
y
i j
x
思考：如上图，在空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴的 正方向上分别作出三个单位向量i, j , k , 对于空间中的任 一向量a，如何表示为这三个向量的线性组合？
1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标
及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用
C

2.已知点A 1, -2,11 , B 4, 2,3 , C 6, -1, 4 , 则ABC的形状是
直角三角形 . ____________
3.已知a 2,3,1 , b 2, 0,3 , c 0, 0, 2 则a b c
9 a 6b - 8c （ 14,3,3） ____, ________ .
坐标运算法则求向量的坐标.（重点）
2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两
个向量的平行和垂直.（重点、难点）
3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. （重点）

4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)

七、 当堂训练（ 8 分钟）
15
OA与BO的夹角
5. 已知 a (3, 2,5), b (1, 3,0), c (7, 2,1) ，求 2 | a b c | (4) cos a, b (1) a b c （2）(a b) c （3）
三、学习目标：(10s)
1. 掌握向量的坐标表示、坐标运算。 2．掌握平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3．掌握两个向量夹角与向量长度的坐标计算 公式。 4.体会类比思想在空间向量公式推导当中的 应用。
四、自学指导:（7分钟）
认真阅读课本P89-P91，并注意以下问题：
1.空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系 的方法以及如何用坐标表示向量的加减、数乘、 数量积？ 2.空间向量平行和垂直的条件是什么？ 3.怎样表达两个向量的夹角？ 4.向量长度的坐标计算公式是什么？ （限时7分钟，7分钟后进行检测，看谁能利用本节 知识做对检测题）
3.空间向量平行和垂直的条件
若 a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
a // b (b 0)
当b 与三个坐标平面都不平 行时
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
b1 a ___ 1 a b ( R) b2 a2 ___ a ___ 3 b
则 a
a a a
2 1 2 2
————————
Cos a, b
AB
2 2 2 a12 a 2 a3 b12 b2 b32 若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则
a b ———————— = ab

a b a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 b1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ( R ) a // b a b a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 0.( a , b都 不 是 零 向 量 )
D1 C1 B1 E D A
A1
F
B
C
a
j
例 1、如图， M 、 N 分别是四面体
OABC 的边 OA 、 BC 的 OA ， ， 来表 OB OC
中点， P 、 Q 是 MN 的三等分点，用向量 示 OP 和 OQ 。
ห้องสมุดไป่ตู้
变式：若四面体 各棱长均为
OABC 的
O M Q A B P C
a ， L 是 OC 的
中点求 MN NL 。
x
空间向量运算的坐标表示 设 a ( a 1 , a 2 , a 3 ), b ( b1 , b 2 , b 3 ) , 则 a b ( a 1 b1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ) a b ( a 1 b1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ) a ( a 1 , a 2 , a 3 )( R )
以空间的一组单位正交 得空间的任意向量都与 基底可以建立空间坐标 其坐标一一对应。 系，使
果三向量 i , j , k 不共面，那么
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 { i , j , k } 以点O为原 点，分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴， 这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标 平面. z

3．1．4 空间向量的直角坐标运算(2)一、学习目标掌握空间向量数量积的坐标运算法则，掌握空间向量的模、夹角等数量的计算． 二、知识梳理选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．设A ＝(3，3，1)、B ＝(1，0，5)、C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离||＝( )A ．453B ．453 C ．253 D ．213 3．已知a (2，－1，3)，b (－4，2，x )，若a 与b 夹角是钝角，则x 取值范围是( ) A ．)310,(-∞且x ≠－6 B ．(－∞，2) C ．),310(+∞D ．)310,(--∞ 4．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QB QA ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A ．)31,43,21( B ．)43,32,21(C ．)38,34,34(D ．)37,34,34((二)填空题5．设点A (2，－1，3)是点P 关于坐标平面yoz 的对称点，则OP 的坐标是____________． 6．已知a ＝(2，－3，0)，b )3,0,(k =，若a 与b 成120°的角，则k ＝______． 7．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则a 在b 方向上的投影是______．8．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，||b ＝12，则>=<c b ,______. 9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当||B A 取最小值时，x 的值等于______． (三)解答题10．如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC 与PB 所成角的余弦值．11．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求><11,cos CB BA 的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M ．12．已知空间几何体P －ABCD 的底面ABCD 是一个直角梯形，其中∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．(1)若8=⋅，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE ⊥PD ；(3)在条件(2)之下，PB 上是否存在点F ，使得EF ∥BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．三、自我评价参考答案3．1．4 空间向量的直角坐标运算(2)1．C 2．C 3．A 4．C 提示：设出Q 点的坐标，对数量积的结果配方即可． 5．(－2，－1，3) 6．39- 7．722 8．120°提示：⋅+=⋅+⋅=-=⋅+8210)2(,所以18·-=b c 再利用夹角公式算得其余弦值为21-． 9．78提示：=(1－x ，2x －3，3－3x )， =||AB 222)33()32()1(x x x -+-+-1932142+-=x x ．10、如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (3，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，2)=(3,1,0)，＝(3，0，－2)1473723||||===PB AC PB AC ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473．11、如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz (1)由题得B (0，1，0)，N (1，0，1)3)01()10()01(||222=-+-+-=∴．(2)由题得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)B 1(0，1，2)． ∴)2,1,0(),2,1,1(11=-=CB ∴5||,6||,31111===⋅CB BA CB BA∴1030||||,cos 111111=>=<CB BA CB BA CB BA ． (3)由题得C 1(0，0，2)，M )2,21,21(，∴)0,21,21(),2,1,1(11=--=C A ．∴011=⋅C A ．∴M C B A M C B A 1111.⊥∴⊥．12、如图，建立空间直角坐标系，则各点的坐标为：A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (a ，a ，0)，D (0，2a ，0)，P (0，0，a 332) (1)＝(0，a ，0)，)332,2,0(a a -=∴2.822=∴==⋅a a ．此时3383342)24(2131=⨯⨯+⨯⨯=V ．(2)由三角函数知识可得)23,2,0(a a E ．)23,2,()0,0,()23,2,0(a a a a a a -=-=∴．220)23,2,()332,2,0(a a a a a a a BE PD -+=-⋅-=⋅ ＝0． ∴⊥．∴BE ⊥PD ．(3)由EF ∥BD ，E 点的竖坐标为a 23，∴F 点的竖坐标为a 23．∴设F (x ，0，a 23)，由FE ∥，得x ＝4a．∴存在)23,0,4(a a F。

高二数学高效课堂资料学案三十二：3．1.4 空间向量的直角坐标运算【课标要求】1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用坐标运算法则求向量的坐标.2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两个向量的平行和垂直.3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式.【学习目标】1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．【学习过程】[课前预习]1.空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做________________．单位向量i，j，k都叫做____________．(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的________．上式可简记作a＝________________.2.空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．3.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，23123[课堂探究]探究点一 空间向量的坐标表示 思考 平面向量的坐标是如何表示的？命题角度1 空间向量的坐标表示例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．规律小结：用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练1 已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．命题角度2 空间向量的坐标运算例2 已知a ＝(1，－2，1)，a －b ＝(－1，2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4，2) B ．(－2，4，－2) C ．(－2，0，－2) D ．(2，1，－3)规律小结：关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．跟踪训练2 若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，且满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.探究点二 空间向量平行、垂直的坐标表示例3 已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →.求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 引申探究若将本例(2)中改为“若k a －b 与k a ＋2b 互相垂直”，求k 的值．规律小结：(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程． ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练3 在正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点． 证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ； (2)A 1G ⊥平面EFD .探究点三 空间向量的夹角与长度的计算例4 棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF →与CG →所成角的余弦值； (3)求CE 的长．规律小结：通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．跟踪训练4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．课堂小结：1. 空间向量的坐标表示2. 空间向量平行、垂直的坐标表示3. 空间向量的夹角与长度的计算【课后巩固】1．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4)2．若a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，2，2)，则a ·(b ＋c )的值为( ) A ．4 B ．15 C ．3 D ．73．已知a ＝(2，－3，1)，则下列向量中与a 平行的是( ) A ．(1，1，1) B ．(－4，6，－2) C ．(2，－3，5) D ．(－2，－3，5)4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.755．已知A (2，－5，1)，B (2，－2，4)，C (1，－4，1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【作业布置】 完成课后巩固。