3.1.4空间向量的直角坐标运算 【 2014年】
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3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1.在空间直角坐标系Oxyz 中,下列说法正确的是( )A .向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B .向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C .向量AB →与向量OB →的坐标相同D .向量AB →与向量OB →-OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点,所以A 不对,B 、C 都不对,由于AB →=OB →-OA →,故D 正确.【答案】 D2.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2,-5,1)、C (3,7,λ),若AB →⊥AC →,则( )A .λ=28B. λ=-28 C .λ=14 D .λ=-14【解析】 由题意可得AB →=(-2,-6,-2),AC →=(-1,6,λ-3),∵AB →⊥AC →,∴AB →·AC →=(-2)×(-1)+(-6)×6+(-2)(λ-3)=0.∴λ=-14.【答案】 D3.已知向量a =(2,-3,5)与向量b =(-4,x ,y )平行,则x ,y 的值分别是( )A .6和-10B .-6和10C .-6和-10D .6和10【解析】 ∵a ∥b ,∴2-4=-3x =5y , ∴x =6,y =-10.故选A.【答案】 A4.已知a =(1-t,1-t ,t ),b =(2,t ,t )则|b -a |的最小值是( )A.55B.555C.355D.115 【解析】 b -a =(1+t,2t -1,0),∴|b -a |= (1+t )2+(2t -1)2+02= 5(t -15)2+95. ∴当t =15时,|b -a |min =355. 【答案】 C5.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),OA →+λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点),则λ的值为( )A .±66B.66 C .-66 D .±6【解析】 ∵OA →+λOB →=(1,-λ,λ),∴(OA →+λOB →)·OB →=λ+λ=2λ,|OA →+λOB →|=1+2λ2,|OB →|= 2.∴cos 120°=2λ1+2λ2·2=-12, ∴λ=-66,故选C. 【答案】 C二、填空题6.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则向量AB →与AC →的夹角为________.【解析】 ∵AB →=(0,3,3),AC →=(-1,1,0),∴|AB →|=32,|AC →|=2,AB →·AC →=0×(-1)+3×1+3×0=3,∴cos AB →,AC →=AB →·AC →|AB →||AC →|=12, ∴AB →,AC →=60°.【答案】 60°7.(2013·南通高二检测)已知向量a =(0,-1,1),b =(4,1,0),|λa +b |=29,且λ>0,则λ=________.【解析】 ∵a =(0,-1,1),b =(4,1,0),∴λa +b =(4,1-λ,λ).又∵|λa +b |=29,∴16+(1-λ)2+λ2=29,∴λ=3或-2.又∵λ>0,∴λ=3.【答案】 38.已知点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x,0,z ),若P A →⊥AB →, P A →⊥AC →,则P 点的坐标为______.【解析】 P A →=(-x,1,-z ),AB →=(-1,-1,-1),AC →=(2,0,1),由P A →⊥AB →,得x -1+z =0,由P A →⊥AC →,得-2x -z =0.解得x =-1,z =2.【答案】 (-1,0,2)三、解答题9.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).若|a |=3,且a 分别与AB →、AC →垂直,求向量a 的坐标.【解】 设a =(x ,y ,z ),AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ -2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1,z =1或⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1).10.已知a =(3,-2,-3),b =(-1,3,1),求:(1)(a -2b )·(2a +b );(2)以a ,b 为邻边的平行四边形的面积.【解】 (1)a -2b=(3,-2,-3)-2(-1,3,1)=(5,-8,-5),2a +b =2(3,-2,-3)+(-1,3,1)=(5,-1,-5).∴(a -2b )·(2a +b )=(5,-8,-5)·(5,-1,-5)=5×5+(-8)×(-1)+(-5)×(-5)=58.(2)∵cos a ,b =a ·b |a ||b |=-1222×11=-6211, ∴sin a ,b =1-cos 2(a ,b )=1-72121=711. ∴S ▱=|a |·|b |sina ,b =22×11×711=7 2. ∴以a ,b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是AA 1的中点,问当点N 位于AB 何处时,MN ⊥MC 1?【解】 以A 为坐标原点,棱AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为a ,则M (0,0,a 2),C 1(a ,a ,a ),N (x,0,0). MC 1→=(a ,a ,a 2),MN →=(x,0,-a 2), MN →·MC 1→=xa -a 24=0,得x =a 4. 所以点N 的坐标为(a 4,0,0),即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时,MN ⊥MC 1.。
3.1.4空间向量的直角坐标运算(课前预习案)
班级:___ 姓名:______
一、新知导学
1、空间向量的直角坐标运算律:
(1)若123(,,)a a a a =,(,,)123b b b b =,则
a b += , a b -= ,
a λ= , a
b ⋅= ,
//a b ⇔ a b ⊥⇔ . (2)若(,,)111A x y z ,222(,,)B x y z ,则AB = .
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式:
若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =, 则||a a a =
⋅= ,||b b b =⋅= .
3、夹角公式:2cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅==
⋅+
4、两点间的距离公式:
若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2
||(AB AB x ==,
或,A B d =
;,,i j k ⎤⎣,求下列向量的坐标:)346a i j k =+- ()2
323
b i j k =--+
若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-,则a +b =____________,32a b -=___________, a b ⋅=_____,(2)(3)a b a b +⋅-=______________1)(0,0,4),(0,0,7) (2)((3,4,0),(0,0,6) (2)(-2,1,,-5,7)
已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-,则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算(课堂探究案)一、空间向量的直角坐标 向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算 已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===,,2p a b q a b c =-=+-,求: ,p q ,p q ⋅。
学案 跟踪练习:已知向量(2,3,1),(2,0,3),(0,0,2)a b c =-==,
)()a b c ⋅+(2)(6)(6)a b a b +⋅- 三、向量的平行与垂直问题 已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b =-=-,求向量n 使,n a ⊥且n b ⊥。
跟踪练习:已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-四、向量的夹角与长度问题 ,AB AC ; )AC 在AB 上正投影的数量。
跟踪练习:已知,a b ,求,a b :(1)(1,2,0),(2,0,5)a b ==; )(3,4,5),(2,1,0)a b ==-。
当堂检测
人教B 选修2-1学案 汗水点燃希望,信念成就梦想!
组】
若(2,1,3)a x =,(1,2,9)b y =-,如果a 与b 为共线向量,则(2 C.x =6,y =-2向量a =(1,1,,b =(-1,0k a +b 与2a -b 垂直,则A.1
B.
5
5
D.
5。