联系三角形测量

联系三角形法在地下工程中的应用【摘要】在地下工程施工中建立地面与地下统一的坐标系是工程建设过程中的关键，只有统一的坐标才能使隧道的贯通得以顺利进行，而如何使地上、地下的坐标得以统一联系测量是工程施工中的关键。

本文介绍的一井定向方法解决了地上与地下的坐标统一问题，解析了联系三角形的计算方法，提出了利用一井定向进行地下工程的联系测量不但可以保证工程的进度，同时可以保证工程的精度。

【关键词】一井定向；联系三角形；贯通；统一坐标系0 引言一井定向是指经过一个竖井进行定向的方法，亦可称为联系三角形定向。

一井定向的方法是通过测量角度、距离等几何量来完成定向的，属于几何定向方法。

这种方法需要在竖井、车站或投点孔等处进行。

进行一井定向时，在竖井井筒中悬挂两根钢丝垂球，在地面上利用地面控制点测定两垂球线的平面坐标及其连线方位角，在井下使用全站仪测角量边把垂球线与井下起始控制点连接起来，通过计算确定井下起始控制点的坐标和方位角。

一井定向测量工作可分为投点（即在井筒中下放钢丝）和连接测量两项工作。

1 联接测量暗挖隧道采用竖井联系三角形测量即通过竖井悬挂两根钢丝，由近井点测定与钢丝的距离和角度，算得钢丝的坐标以及它们的方位角，然后在井下认为钢丝的坐标和方位角已知，通过测量和计算便可得出地下导线的坐标和方位角，从而将地上和地下联系起来。

图1所示为一井定向的示意图。

图1 联系三角形定向测量联系三角形法，一般适合于井口小、深度大的竖井进行联系测量。

虽然其作业工作量较大，但其精度很稳定，在城市轨道交通联系测量工作中该法也得到广泛应用。

井上、井下联系三角形应满足下列要求：1）竖井中悬挂钢丝间的距离c应尽可能长；2）联系三角形锐角γ、γ’，一般应小于1°，呈直伸三角形；3）a/c及a’/c比值，一般应小于1.5，a为近井点至悬挂钢丝的最短距离。

钢丝宜选用Φ0.3mm，悬挂10kg重锤，并将重锤浸没在阻尼液中。

联系三角形边长测量可采用光电测距或经检定的钢尺丈量，每次应独立测量三测回，每测回三次读数，各测回较差应小于1mm。

一、情境导入如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？二、合作探究探究点：利用三角形全等测量距离【类型一】利用三角形全等测量物体的高度小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线P A与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？解析：根据题意可得△CPD≌△P AB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD 和△P AB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△P AB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：楼高AB是26米．方法总结：在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将这些距离进行转化，从而达到测量目的．【类型二】利用三角形全等测量物体的内径要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA ＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()A．SSS B．SASC．ASA D．AAS解析：如图，连接AB、CD.在△ABO和△DCO中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故选B.方法总结：利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离，关键是构造全等三角形．【类型三】与三角形全等测量距离相关的方案设计问题如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．解析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，则CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS)．方法总结：在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决．【类型四】利用三角形全等解决实际问题如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．解析：由OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一条直线上，通过说明△AOB≌△COD可得D，O，B三点在同一条直线上．解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA.∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°.又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°.在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB.∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴钻头正好从B点出打出．三、板书设计1．利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”2．运用三角形全等解决实际问题A.SASB.ASAC.SSSD.AAS3.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS4.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图②,连接BO并延长BO到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO.那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离.理由:在△COD和△BOA中,所以△COD≌△BOA( ).所以CD= .所以只要测出C,D两点间的距离就可知A,B两点间的距离. 5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)6.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.8.如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?9.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x.10.如图,在△ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.(1)若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动,同时．．点Q在线段CA上从点C向终点A运动.①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1 s后,请说明△BPD≌△CQP.②若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ?(2)若点P以3 cm/s的速度从点B向点C运动,同时．．点Q以5 cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P?11.如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明:∠ABC=∠DCB.12.如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA的延长线于点D,求∠ABD的度数.13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组。

地下隧道竖井联系测量方法比较探讨姚顺福1 测量原理1.1 陀螺定向法陀螺定向法是综合利用全站仪、光学垂准仪（或重锤球）以及陀螺经纬仪等仪器进行导线联系测量的一种方法。

首先利用光学垂准仪（或重锤球）将地面车站端头井的点位沿同一铅锤线方向投影到端头井的井底，同时利用全站仪测量井上、井下各导线点的角度与距离、利用陀螺经纬仪测量井上、井下的相关导线边的陀螺方位角，从而求算出井上、井下投影点在空间的平面夹角，最终把地面趋近导线的平面坐标和方位传递到地下隧道施工控制导线上。

如下图1所示，K0、K1为地面趋近导线点，其中K0为近井点；T1、T2为地面车站端头井投影点；T1´、T2´分别为T1、T2投影到车站端头井底部的投影点；X1、X2、X3……Xn为地下隧道施工控制导线点；a1、a2、a5、a6、a7和d1、d2、d3、d4、d5、d6分别为全站仪实测的角度和距离。

X2图1：陀螺定向法竖井联系测量导线联测示意图实际测量时，利用陀螺经纬仪测量地面趋近导线边K0K1和地下隧道施工控制导线边X2X3的陀螺方位角，求出陀螺经纬仪的定向常数，结合全站仪实测数据求出a3、a4的角度值，最终按导线平差的原理求出地下隧道施工控制导线点X1、X2、X3的坐标和方位角，作为区间隧道施工控制导线的起算数据。

1.2 钻孔投点法钻孔投点法实际上是根据长边投影时投影点的点位投影误差对投影边的坐标方位角影响将大大削弱的原理进行导线联系测量的一种方法。

其基本思想是在隧道前进（或后退）的方向上已开挖的地方离开车站端头井一定的距离（一般应大于150m ），从地面钻孔直达地下隧道中，然后利用光学垂准仪（或重锤球）分别通过车站端头井和钻孔将地面点位沿同一铅锤线方向投影到地下，最终把地面趋近导线的平面坐标和方位传递到地下隧道施工控制导线上。

如下图2所示，K0、K1为地面趋近导线点；T1、T2分别为地面车站端头井和钻孔井上的投影点；T1´、T2´分别为T1、T2投影到车站端头井和区间隧道底部的投影点，T1´、T2´同时又为地下隧道施工控制导线的起算点；X1、……Xn 为地下隧道施工控制导线点；a1、a2、a3、a4和d1、d2、d3分别为全站仪实测的角度和距离。

三角测量法的原理应用1. 简介三角测量法是一种常见的测量方法，广泛应用于地理测绘、建筑设计、工程测量等领域。

它通过观察和测量三角形的边长和角度来确定未知点的位置或距离。

本文将介绍三角测量法的基本原理以及其在实际应用中的常见场景。

2. 原理三角测量法基于三角形的几何性质，利用三角形的边长和角度关系进行测量。

其基本原理可以概括如下：•正弦定理：对于任意三角形ABC，边长a、b、c与对应的角A、B、C之间有如下关系：正弦定理•余弦定理：对于任意三角形ABC，边长a、b、c与对应的角A、B、C之间有如下关系：余弦定理3. 应用场景三角测量法在各个领域都有广泛的应用。

以下是三角测量法在几个常见场景中的应用示例：3.1 地理测绘三角测量法在地理测绘中被广泛使用，用于确定地球表面的位置和距离。

例如，在地图制作过程中，可以通过测量三角形的边长和角度来确定未知地点的坐标，并将其绘制在地图上。

通过不断测量和绘制多个三角形，可以构建起整个地图的坐标系统。

3.2 建筑设计在建筑设计中，三角测量法常用于测量建筑物或地形的尺寸和角度。

例如，在建筑物的规划阶段，可以利用三角测量法测量不同建筑物之间的角度和距离，从而确定最佳的布局和位置。

此外，三角测量法还可以用于测量地形的坡度和高度差，以便进行土地开发和地形设计。

3.3 工程测量工程测量中的三角测量法主要用于测量地面的距离和高度。

例如，在道路建设中，可以利用三角测量法测量两个地点之间的距离，并确定最佳的道路线路。

此外，三角测量法还可以用于测量建筑物的高度、塔吊的高度以及电线和树木的高度等。

3.4 导航和定位三角测量法在导航和定位系统中也有重要应用。

例如，在全球定位系统（GPS）中，通过测量接收机和卫星之间的角度和距离，可以确定接收机的位置。

另外，在航海和航空领域，三角测量法也被广泛用于确定船舶和飞机的位置以及行进方向。

4. 总结三角测量法是一种常用的测量方法，通过观察和测量三角形的边长和角度来确定未知点的位置或距离。

测绘中的三角测量原理与方法在测绘学中，三角测量是一种常用的测量方法，通过测量物体之间的角度和距离来确定其位置和形状。

三角测量包含着丰富而复杂的原理和方法，它是测绘学的基石之一。

本文将探讨测绘中的三角测量原理与方法。

一、三角测量的基本原理三角测量是基于几何学原理的一种测量方法。

它利用三角形的角度和边长的关系来确定未知物体的位置和形状。

在三角测量中，常用的原理包括正弦定理、余弦定理和正切定理。

正弦定理表达了三角形的边长与角度之间的关系。

它的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。

其数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c为三角形的斜边长，a、b为对边的长度，C为夹角。

正切定理给出了三角形的边长与角度之间的关系。

其数学表达式为：tanA =a/b。

基于以上的几何学原理，我们可以通过测量三角形的角度和边长，从而求解出三角形的未知量。

二、三角测量的方法在测绘中，三角测量有多种方法，主要包括定向三角测量、仰角三角测量和距离三角测量。

定向三角测量是一种通过测量方向角和距离来确定未知物体位置的方法。

它常应用于航空航天领域和大范围测量中。

在定向三角测量中，测量人员需要测定未知物体和已知基准点之间的角度和距离，通过计算和推理，确定未知物体的位置。

仰角三角测量是一种通过仰角和斜距来确定物体高度或高差的方法。

它常应用于地理测量、建筑测量和工程测量中。

在仰角三角测量中，测量人员需要测量观测点与目标物体的仰角，以及观测点与目标物体之间的水平距离。

通过计算和推理，可以确定物体的高度或高差。

距离三角测量是一种通过测量斜距和水平方向角来确定物体位置或距离的方法。

它常应用于地理测量、建筑测量和导航系统中。

在距离三角测量中，测量人员需要测量观测点与目标物体之间的斜距和水平方向角。

通过计算和推理，可以确定物体的位置或距离。

解读借助三角形相似测量旗杆的高度学习了相似三角形的有关知识，我们可以借助三角形相似测量旗杆的高度，下面从三个不同的方面介绍测量旗杆高度的方法.方法一：利用阳光下的影子测量：如图，身高为a 的小明站在旗杆AB 的影子的顶端处D 处，同时测量小明的影长DE=b ，和旗杆AB 的影长BD=c.计算：因为CE BD DE AB CD =c b AB a =b ac bac 思路概括：由于太阳离地球非常远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把太阳光线近似看成平行线.借助太阳光下的影子测量旗杆的高度，基本思路是利用太阳光是平行光线以及人，旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解.方法二：利用标杆测量：如图，小华的眼睛到地面的高度CD=m ，标杆GF 的高度为n ，小明与标杆的水平距离DF=a ，旗杆与标杆的水平距离BF=b.计算：作CE ⊥AB 于E ，交GF 于H ，因为GF ⊥BD ，AB ⊥BD ，所以GH CB CH AE GH =b a a AE m n +=-a b a m n ))((+-ab a m n ))((+-所以旗杆的高度为ab a m n ))((+-+m. 思路概括：借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人，标杆，旗杆与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对边成比例列式计算.方法三：利用镜子的反射测量：测量小亮的眼睛与地面的距离CD=a ，测量小亮的脚部与镜面的距离DE=b ，旗杆的低端B 与镜子的距离BE=c.计算：因为CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，所以∠CDE=∠ABE=90°，根据入射角等于反射角可得∠CED=∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ， 所以BE DE AB CD =，所以c AB b a =，所以AB=b ac ，所以旗杆的高度为bac . 思路概括：利用镜子反射测量旗杆的高度，思路是根据入射角等于反射角，人、旗杆与地面垂直，构造相似三角形，根据对应边成比例列出算式.。

(1)瞄直法。

在竖井井筒中吊两根垂线A、B，在地上定出BA的延长线，得C点，在地下定出AB 的延长线，得C′点，因此有C、A、B、C′在同一方向上。

分别在C、C′点安置经纬仪，测出联接角，量出CA、AB、BC′的长度。

然后根据地上点C点坐标及DC的方位角推算出地下点C′的坐标及C′D′边的方位角。

瞄直法操作简单、计算方便，由于其精度较低，一般适用于简易竖井定向。

(2)联系三角形法在竖井井筒中从地面到地下坑道自由悬挂两根吊锤线A、B，在地面设临时点C，在地下设临时点C′，则C和C′与以AB为公用边的狭长三角形ABC和ABC′称为联系三角形。

当已知地面点D的坐标及DE的方位角时，在地上观测联系角以及联系三角形ABC 的一个内角γ，丈量地面三角形的边长a、b、c，则可计算出α、β角，从而可按导线DCAB 算出垂线A、B的坐标及AB的方位角。

然后在地下，观测角度φ′、γ′、δ′，丈量边a′、b′、c′，则可根据A、B的坐标和方位角，按导线ABC′D′E′算出地下控制点D′的坐标和起始边D′E′的方位角。

为提高方位角传递的精度，联系三角形的C、C′点，一般应力求靠近AB的延长线。

在使用“一井定向”方法时，为了提高投点精度，通常采取的措施有：1）减少风流对钢丝的影响，定向时最好能暂停风机运转；2）采用直径小，抗拉强度高的钢丝，适当加重悬锤的重量并将它浸入液体中；3）减少滴水的影响，采取防水措施；4）尽量增大钢丝间的距离。

１瞄直法一井定向测量概述矿山生产离不开矿山测量，在日常矿山测量技术管理工作中，经常会遇到通过一个竖井对上下分段巷道进行联系测量，即通常所说的一井定向，其主要原理是应用连接三角形法进行连接测量。

在实际操作过程中需要严格按规范选择连接三角形的连接点，并视连接三角形的形状，选择不同的计算公式来解算连接三角形、计算并分配三角形闭合差，而后按导线测量的程序计算定向分段连接点的坐标和定向边方位。

这种测量方法只要连接三角形形状选择有利、布设连接点合理、投点仔细并按规范测量，一般均能达到要求的精度。

三角法测量原理三角法测量原理是指利用三角形的性质和几何关系进行测量的方法。

三角法测量是现代测量技术中最基本的一种方法，它在地理测量、工程测量、导航定位等领域有着广泛的应用。

三角法测量原理的核心是利用三角形的边长、角度和高度等信息，通过计算和观测来确定未知位置或距离。

本文将从三角法测量的基本原理、应用方法和注意事项等方面进行介绍。

首先，三角法测量的基本原理是利用三角形的相似性和三角函数的关系进行测量。

在实际测量中，我们常常利用测量仪器如经纬仪、测距仪等来获取三角形的边长和角度信息，然后利用三角函数如正弦、余弦、正切等来计算未知的距离或高度。

在这个过程中，我们需要注意测量的精度和准确性，确保所得到的测量结果符合实际要求。

其次，三角法测量的应用方法包括三角形的边测量、角度测量和高度测量等。

在实际测量中，我们可以利用三角形的边长和角度信息来确定未知位置的坐标，也可以利用三角形的高度信息来确定物体的高度或深度。

在工程测量中，三角法测量常常用于确定地形地貌、建筑物的位置和高度、道路的设计等方面。

在地理测量中，三角法测量常常用于确定地理位置、航线规划、地图制作等方面。

在导航定位中，三角法测量常常用于确定船舶、飞机、车辆等的位置和航向。

最后，三角法测量需要注意的事项包括测量精度、测量误差和环境影响等。

在实际测量中，我们需要选择合适的测量仪器和方法，确保测量的精度和准确性。

同时，我们需要注意测量误差的来源和影响，采取相应的措施进行修正和校正。

在复杂的环境中，如山区、森林、城市等，我们需要考虑环境因素对测量的影响，采取相应的措施进行适应和补偿。

综上所述，三角法测量原理是一种基于三角形的性质和几何关系进行测量的方法，它在地理测量、工程测量、导航定位等领域有着广泛的应用。

通过对三角法测量的基本原理、应用方法和注意事项的介绍，相信读者对三角法测量有了更深入的了解，也能更好地应用于实际工作中。