工程电磁场第二章静电场(二)解读
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第2章 静电场(二)
2.1 静电场的唯一性定理及其应用
静电场中的待求量:电场强度E ,静电力F 。 静电场求解方法:
(1) 直接由电场强度公式计算;
(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。
E ⇒-∇
=⇒-=∇ϕϕ
ε
ρϕE 2
唯一性定理的重要意义:确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理
静电场中,满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时,边界条件的分类
(1) 自然边界条件:
有限值参考点=∞
→ϕr r lim
(相当于指定电位参考点的值)
(2) 边界衔接条件:σϕ
εϕεϕϕ=∂∂-∂∂=n
n 221121
(该条件主要用于求解区域内部)
(3) 导体表面边界条件
(a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面,给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中,可通过积分运算确定任意常数。
S n ∂∂-=ϕ
εσ,(注:n 的正方向由介质导向导体内部)
q dS r S
=∂∂-⎰)(1
1ϕε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。
思考?
为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数,而条件(b)确定的电位函数相关任一常数? 答:边值问题的求解所需的边界条件有:自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a),(c)中,同时给定了边界条件和自然边界条件,与条件(2)结合,可唯一地确定场解;而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值),因而,其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义
唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据
2.1.4 等位面法
1 等位面法:静电场中,若沿场的等位面的任一侧,填充导电媒质,则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释:
等位面内填充导电媒质后,边界条件沿发生变化:
(1)边界k 的等位性不变;
(2)边界k 内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件)
3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用
现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释:边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。
现象二、封闭导体无论是否接地,则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释:(注意边界正方向的取向)
边界S 2为等位面;
边界S 2上的总电荷量不变。
2.2 平行双电轴法
1 问题的提出:
以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。
导体表面的面电荷密度未知,不可能由电场计算公式计算;电场分布不具有对称性,不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法,不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发,采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场
设 电轴上单位长度的电荷量为τ,电位参考点为Q 。 电场分布为平面场,根据叠加原理,
1100
1ln 22C d Q P +-==⎰ρπετρρπετϕ 2202ln 2C +--=ρπετϕ
C P +=+=12021ln 2ρρ
πετϕϕϕ
说明:式中Q 表示电位参考点。ρ表示由电荷到P 点的矢径。
以y 轴为参考点, C=0, 则
22220120)()(ln 2ln 2y
b x y b x P +-++==πετ
ρρπετϕ
*确定等位线方程: 常数令:=P ϕ 2
2
22
2)()(K y
b x y b x =+-++ 等位线方程为圆: 222222)1
2()11(-=+-+-K bK
y b K K x
圆心的坐标: ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=0,)11
(22b K K h 圆的半径为:122-=K bK a
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。 a 、h 、b 三者之间的关系满足:
22222
2222)1
1()12(h b K K b K bK b a =-+=+-=+
应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即 ))((222b h b h b h a -+=-=
-- a 为等位线的半径;2b 两电轴间的距离;h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。 附: 〖反演〗
没C 为一定圆,O 为圆心,r 为半径,对于平面上任一点M ,有一点M ’与它对应,使得满足下列两个条件: (1)O 、M 、M ’共线; (2)OM ·OM ’=r 2;
则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点,C 称为反演圆,O 称为反演中心,r 称为反演半径。 M 和M ’的关系是对称的,M 也是M ’的反演点。M 与M ’的对应称为关于定圆C 的反演。
*确定电力线方程:
根据 ϕ-∇=E 及E 线的微分方程为x
y
E E dx dy =
得E 线方程为 4
)2(2
12212K
b K y x +=-+
说明:电力线方程表明, E 线为圆,其圆心位于y 轴上。K 1的不同取值确定不同的电力线。
3 电轴法的基本思想
由三个思考题,引出电轴法的解题思想。
(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳,是否会影响电场分布? (2)、感应电荷是否均匀分布?
(3)、若在金属圆柱管内填充金属,重答上问。