一次函数与二次函数的综合

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。

一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。

一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。

二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。

2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。

一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。

二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。

二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。

3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。

一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。

二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。

二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。

4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。

二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。

5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。

二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。

综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。

它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。

中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．2．如图，已知二次函数y＝12x2－x－32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．3．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y 轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求∠MBC的面积．4．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值.5．已知，二次三项式﹣x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围.6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.（1）求A，B两点的坐标.（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.7．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣4n﹣2﹣101234…y…8 4.520.500.52 4.58…；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为．（4）进一步探究函数的图象发现：①若点A（x a，y a），点B（x b，y b）在函数y= 12x2的图象上；当x a＜x b＜0时，y a与y b的大小关系是；当0＜x a＜x b时，y a与y b的大小关系是；②直线y1恰好经过函数的图象上的点（﹣2，2）与（1，0.5）；当y＜y1时，x的取值范围是．8．如图所示，将抛物线y＝12x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE∠CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．9．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG∠AB于点G．求出∠PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得∠ABM与∠ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C （0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM∠BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若∠BCD和∠ABC面积满足S∠BCD= 35S∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5 3个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．14．如图，二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C。

一次函数与二次函数的综合应用题一、引言在数学中，一次函数和二次函数是我们经常遇到的两种函数类型。

一次函数以y = ax + b的形式呈现，其中a和b是常数，而x是自变量。

二次函数则以y = ax^2 + bx + c的形式表达，其中a、b和c都是常数，而x依然是自变量。

本文将基于一次函数和二次函数，介绍它们在实际问题中的综合应用。

二、一次函数的综合应用1. 直线的运动一次函数可以应用于描述直线的运动情况。

假设有一个小车匀速地沿直线前进，设x表示时间（单位：秒），y表示小车距离起点的距离（单位：米），小车的速度为v（单位：米/秒）。

则可以建立起以下一次函数表示小车的位置：y = vx通过该函数，我们可以轻松计算在不同时间点小车的位置，并预测未来的移动情况。

2. 商品价格和销量的关系一次函数还可以应用于描述商品价格和销量之间的关系。

假设某商品的售价为p（单位：元），销量为s（单位：件），根据市场调研，得到以下一次函数表达式：s = -ap + b通过该函数，我们可以研究价格对销量的影响，并进行销售策略的调整。

三、二次函数的综合应用1. 抛体运动二次函数常用于描述抛体在空中的轨迹。

假设有一个物体以初速度v0竖直向上抛出，设x表示时间（单位：秒），y表示物体的高度（单位：米），加速度为g（单位：米/秒^2）。

则可以建立起以下二次函数表示物体的高度：y = -0.5gt^2 + v0t通过该函数，可以计算物体在不同时间点的高度，并分析物体的抛体运动规律。

2. 二次方程的解析二次函数也可以用于解决实际问题中的二次方程。

一个经典的例子是求解一个矩形地块的最大面积。

假设矩形地块的长度为x米，宽度为y米，已知周长为p米。

可以建立以下方程：2x + 2y = p根据周长的限制条件，我们可以得出以下表达式：x = (p-2y)/2，进而得到矩形地块的面积表达式：A = xy = (p-2y)y通过求解该二次函数的极值，即可得到矩形地块的最大面积。

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−1584．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是()A．1＜x＜2B．x＜或x＞1C．＜x＜2D．-1＜x＜25．若min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，当y=min{x2,x+2,8−x}时(x≥0)，则y的最大值是（）A．4B．5C．6D．7 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y= x2−x+c（c为常数）在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−2<c<14B．−4<c<94C．−4<c<14D．−10<c<947．二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1<y2，则x的取值范围是（）A．2<x<3B．x>2C．x<3D．x<2或x>38．将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时b的值为（）A．−214或−3B．−134或−3C．214或−3D．134或−39．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2+bx+c的顶点，则方程12x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或210．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时P、Q同时停止移动。

一次函数与二次函数的综合练习题在数学学科中，一次函数和二次函数是我们经常接触到的两种函数类型。

它们在图像特点、方程性质以及实际问题应用等方面具有一定的差异。

为了加深对这两类函数的理解和掌握，下面将提供一些综合练习题来进行实践。

练习题1：已知函数y = 3x - 2和y = x^2 + 1，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为a，则有：3a - 2 = a^2 + 1将方程化为一般形式：a^2 - 3a + 3 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：a = (3 ± √5) / 2因此，交点的坐标为（(3 + √5) / 2，(3(3 + √5) / 2) - 2）和（(3 - √5) / 2，(3(3 - √5) / 2) - 2）。

练习题2：对于函数y = -2x + 3和y = 2x^2 - 1，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为b，则有：-2b + 3 = 2b^2 - 1将方程化为一般形式：2b^2 + 2b - 4 = 0将方程化简得：b^2 + b - 2 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：b = -2 或 b = 1因此，交点的坐标为（-2，-2）和（1，1）。

练习题3：已知函数y = 4x + 7和y = -x^2 + 3x，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为c，则有：4c + 7 = -c^2 + 3c将方程化为一般形式：c^2 - c + 7 = 0但这个方程没有实数解，说明两个函数在平面上没有交点。

练习题4：已知函数y = 5x和y = x^2 - 4，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为d，则有：5d = d^2 - 4将方程化为一般形式：d^2 - 5d - 4 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：d = 5 或 d = -1因此，交点的坐标为（5，25）和（-1，-5）。

练习题5：已知函数y = -3x和y = 2x^2 + 2，求二者的交点坐标。

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数y ={(x −1)2−1(x ≤3)(x −5)2−(x >3)，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为A ．0B ．1C ．2D ．33．已知二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)下列结论正确是( )①已知点M(4，y 1)，点N(−2，y 2)在二次函数的图象上，则y 1>y 2；②该图象一定过定点(5，1)和(−1，1)；③直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；④当−3≤x ≤1时y 的最小值是a ，则a =110； A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③④4．如图，二次函数 y =ax 2+bx +c 的最大值为3，一元二次方程 ax 2+bx +c −m =0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A ．m≥3B ．m≥-3C ．m≤3D ．m≤-35．二次函数y =−(x −b)2+4b +1图象与一次函数y =−x +5(−1≤x ≤5)只有一交点，则b的值为（）A．b=0.75B．b=2或b=12或b=0.75 C．2<b≤12D．2<b≤12或b=0.756．在平面直角坐标系中直线y=mx+n与x轴、y轴分别交于A(−10，0)、B(0，5)，已知抛物线y=ax2+bx经过点A，且顶点C在直线y=mx+n的上方，则a的取值范围是（）．A．a<−0.1B．a>−0.1且a≠0C．a<−0.1且a≠0D．a>0.17．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．反比例函数y=k x(k≠0)与二次函数y=2x2+kx-k的图象可能是() A．B．C．D．9．如图，点A是二次函数y=√3x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y=−√32x上一点，点B′与点B关于原点对称，连结AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（）A．( 13，19√3)B．( 23，49√3)C．(1，√3)D．( 43，169√3)10．两位同学在足球场上玩游戏，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB，小王从点A出发沿线段AB运动到点B，小林从点C出发，以相同的速度沿△O逆时针运动一周回到点C，两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示，结合图象分析以下结论：①小王的运动路程比小林的长②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇③当小王运动到点D的时候，小林已经过了点D④在4.84秒时两人的距离正好等于△O的半径上述说法正确的个数的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若y＝kx2﹣（2k﹣3）x+k﹣1是y关于x的二次函数，且函数值恒大于0，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k＞89C．k＞98D．0＜k＜9812．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−158二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1，p)，B(2，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是．14．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为.15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．16．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是．17．如图，在平面直角坐标系中抛物线y= 12x−212x与直线y=12x+32交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时点P的坐标：．18．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−3,4)，B(2,1)，则方程ax2=bx+c的解是.三、综合题(共6题；共68分)19．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点A(1，b)．（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点C右侧）．=−25x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）20．如图，二次函数y1和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2=mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D.（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；（2）求点D的坐标；（3）结合图象，请直接写出y1≤y2时x的取值范围：. 21．2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元.公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价x为多少元时每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．已知关于x的二次函数y=x2−2ax+a2+2a．（1）当a=1时求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a=2时直线y=2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y=x2−2ax+a2+2a与直线x=4交于点A，求点A到x轴的最小值．23．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{-1，-1}=-1，min{1，2}=1，min{4，-3}=-3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{-3，2}=，min{-1，-2}=；（2）若min{3x+1，-x+2}=-x+2，求x的取值范围；（3）求函数y=-x2-2x+4与y=-x-2的图象的交点坐标，函数y=-x2-2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y=-x-2，并根据图象直接写出min{-x2-2x+4，-x-2}的最大值。

第11讲 二次函数、一次函数、反比例函数综合【知识梳理】一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.一、二次函数与一次函数、反比例函数综合【例1】 已知一次函数2y x =的图象与反比例函数ky x=的图象交于M 、N 两点，且MN=． ⑴ 求反比例函数的解析式；⑵ 若抛物线2y ax bx c =++经过M 、N 两点，证明此抛物线与x 轴必有两个交点； ⑶ 设⑵中的抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若tan tan 3CAB CBA ∠+∠=，求此抛物线的解析式．（定义：在直角三角形中，θ的对边为a ，邻边为b ，则tan abθ=）【例2】 如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；（2）知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。

参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，例题精讲【例3】 已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，32-）。

二次函数与一次函数的综合应用一、综合题1．我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为W 万元.(毛利润=销售额−生产费用)（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式;(写出自变量x 的取值范围)（2）求W 与x 之间的函数关系式;(写出自变量x 的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大?最大毛利润是多少?（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润?2．如图，已知顶点为 (0,3)C - 的抛物线 2(0)y ax b a =+≠ 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线y x m =+ 过顶点 C 和点 B ．（1）求 m 的值；（2）求函数 2(0)y ax b a =+≠ 的解析式；（3）抛物线上是否存在点 M ，使得 15MCB ∠=︒ ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数 2222y x mx m m =-+--+ （ m 是常数）.（1）若该函数图象与 x 轴有两个不同的公共点，求 m 的取值范围；（2）求证：不论 m 为何值，该函数图象的顶点都在函数 2y x =-+ 的图象上；（3）()11,P x y ， ()22,Q x y 是该二次函数图象上的点，当 121x x << 时，都有 211y y << ，则 m 的取值范围是 .4．有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 1y （万元）与投资成本x （万元）满足如图①所示的二次函数 21y ax = ；种植柏树的利润 2y （万元）与投资成本x （万元）满足如图②所示的正比例函数 2y =kx ．（1）分别求出利润 1y （万元）和利润 2y （万元）关于投资成本x （万元）的函数关系式； （2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？5．如图，抛物线 21y ax c =+ 的顶点为 M ，且抛物线与直线 21y kx =+ 相交于 A B ， 两点，且点 A在 x 轴上，点 B 的坐标为 (23)，，连接 AM BM ， .（1）a = ， c = ， k = （直接写出结果）； （2）当 12y y < 时，则 x 的取值范围为 （直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P ，使得 ABP ∆ 的面积最大？若存在，求出 ABP ∆的最大面积及点 P 坐标.6．已知抛物线y=12 x 2﹣4x+7与y= 12x 交于A 、B 两点（A 在B 点左侧）. （1）求A 、B 两点坐标；（2）求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 面积.7．如图1，抛物线y ＝ax 2＋ax －2a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左边），与y 轴交于点C ，△ABC的面积为32（1）直接写出A 、B 两点坐标以及抛物线的解析式（2）点P （2，h ）在抛物线上，点D 在第三象限的抛物线上，△APD ＝2△BAP ，求点D 的坐标（3）如图2，直线EF ：y ＝mx ＋n （m ＞0）交抛物线于E 、F 两点，直线PF 、PE 分别与y 轴的正、负半轴交于N 、M 两点，OM·ON ＝4，求证：直线EF 必过定点，并求出这个定点的坐标8．如图，在平面直角坐标系中，直线 4y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线()213y x m n =--+ 的顶点P 在直线 4y x =-+ 上，抛物线与y 轴交于点C （点P 、C 不与点B 重合），以BC 为边作矩形BCDE ，且CD ＝2，点P 、D 在y 轴的同侧（1）写出n ＝ ；点C 的纵坐标是 （都用含m 的代数式表示） （2）当P 在第一象限且在矩形BCDE 的边DE 上时，求抛物线对应的函数表达式 （3）设矩形BCDE 的周长为d （d ＞0），求d 与m 之间的函数表达式9．如图，在 Rt ABC 中， 90BCA ∠=︒ ， CD AB ⊥ 于点 D ， 1CD AD -= ，为了研究图中线段之间的关系，设 CD x = ， BD y = ，（1）可通过证明ACD CBD ~ ，得到 y 关于 x 的函数表达式 y = ，其中自变量 x 的取值范围是 ；（2）根据图中给出的（1）中函数图象上的点，画出该函数的图象；（3）借助函数图象，回答下列问题：①BD 的最小值是 ；②已知当 AB CD k += 时，Rt ABC 的形状与大小唯一确定，借助函数图象给出 k 的一个估计值（精确到0.1）或者借助计算给出 k的精确值．10．如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A ，B两点，抛物线y=x2+bx+c过A 、B 两点，且交x 轴的正半轴于点C 。

中考数学高频考点--二次函数与一次函数综合1．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与⊥OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问⊥PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．2．如图所示，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C。

（1）求B、C的坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一动点，连结PA、PC，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：（1）（尝试）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；（4）（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．（5）（应用）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．4．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围.5．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于点A(−3,0)，点B(1,4) .（1）求抛物线的解析式；（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若A、O、M、N以为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标.6．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出⊥ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点Q，以Q点为圆心，以√2长为半径的⊥Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．8．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求⊥ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使⊥APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与⊥ABC相似，请求出点D的坐标．10．已知抛物线G：y=mx2−2mx−3有最低点.（1）求二次函数y=mx2−2mx−3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.11．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x （米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）00.160.20.40.60.640.86X（米）00.40.51 1.5 1.62…y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25…（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．12．如图，直线AB过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，B点的坐标为(1,1)．（1）求直线AB的表达式及抛物线y=ax2的表达式．（2）求点C的坐标．（3）点P(m,y1)在直线AB上，点Q(m,y2)在抛物线y=ax2上，若y2<y1，直接写出m的取值范围．（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得SΔAOD=SΔCOB，直接写出点D的坐标．13．综合与探究如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求⊥OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y=12x+ 1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当⊥CDM为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．15．某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，设销售单价为x（x≥250）元．（1）写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润=毛利润-经营费用）最大，超市对该商品定价为元，最大毛利润为元．16．先将二次函数L1：y=−2x2的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象L2与x 轴相交于点A和点B．（1）求线段AB的长；（2）设直线y=m与L2的图象交于Q点，当△ABQ的面积为18时，试确定Q点的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：{−1−b+c=0−16+4b+c=0，解得：b=3，c=4．抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．（2）解：如图1所示：∵令x=0得y=4，∴OC=4．∴OC=OB．∵⊥CFP=⊥COB=90°，∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与⊥OBC相似．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．∴|a2﹣3a|=a．解得：a=2，a=4．∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．（3）解：如图2所示：连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．∵S四边形PCEB= 12OB•PE=12×4（﹣a2+3a+4），S⊥CEB= 12EB•OC=12×4×（4﹣a），∴S ⊥PBC =S 四边形PCEB ﹣S ⊥CEB =2（﹣a 2+3a+4）﹣2（4﹣a ）=﹣2a 2+8a ． ∵a=﹣2＜0，∴当a=2时，⊥PBC 的面积S 有最大值． ∴P （2，6），⊥PBC 的面积的最大值为82．【答案】（1） 解：当x=0时，y=-3，∴点C （0，-3）； 当y=0时， x 2-2x-3 =0∴（x-3）（x+1）=0 x-3=0或x+1=0 解之：x 1=3，x 2=-1 ∴点B （3，0）；（2）解： ∵抛物线与x 轴交于点A ，B∴点A ，B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于点P,此时PA+PC 的值最小.∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4 ∴对称轴为直线x=1,；设经过点B ，C 的函数解析式为y=kx+b （k≠0） ∴{3k +b =0b =−3 解之：{k =1b =−3∴y=x-3 当x=1时，y=-2∴点P 的坐标为（1，-2）3．【答案】（1）（1，﹣2）（2）点A 在抛物线L 上（3）解：将x ＝﹣1代入抛物线L 的解析式中，得： n ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）＝6． （4）（2，0）、（﹣1，6）（5）解：将x ＝2代入y ＝﹣3x 2+5x+2，y ＝0，即点A 在抛物线上． 将x ＝﹣1代入y ＝﹣3x 2+5x+2，计算得：y ＝﹣6≠6， 即可得抛物线y ＝﹣3x 2+5x+2不经过点B ，∴二次函数y ＝﹣3x 2+5x+2不是二次函数y ＝x 2﹣3x+2和一次函数y ＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．4．【答案】（1）解：由于A （﹣1，0）在一次函数y 1=﹣x+m 的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A （﹣1，0）、B （2，﹣3）在二次函数y 2=ax 2+bx ﹣3的图象上，则有： {a −b −3=04a +2b −3=−3 ，解得 {a =1b =−2 ∴二次函数的解析式为y 2=x 2﹣2x ﹣3 （2）解：∵y 1=-x-1, y 2= x 2﹣2x ﹣3 , 当y 1=y 2时， -x-1= x 2﹣2x ﹣3 , 整理得（x-2）(x+1)=0, 解得x=2或x=-1,看图象可知：当1＜x ＜2时， 抛物线在直线的下方， ∴ 当y 1＞y 2时，﹣1＜x ＜2.5．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 与直线 AB 交于点 A(−3,0) ，点 B(1,4) ，∴{0=−9−3b +c 4=−1+b +c ，解得： {b =−1c =6 ，∴抛物线的解析式为： y =−x 2−x +6 （2）解：设直线AB 的解析式为：y=kx+m ，把 A(−3,0) ， B(1,4) ，代入得： {0=−3k +m 4=k +m ，解得： {k =1m =3 ，∴直线AB 的解析式为：y=x+3.∵以 A 、O 、M 、N 为顶点的四边形是以OA 为边的平行四边形， ∴AO=MN=3且AO⊥MN ，∵点 M 是 x 轴上方抛物线上一点，点 N 是直线 AB 上一点，∴设M(x ， −x 2−x +6 )，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，∴−x 2−x +6 =x+6或 −x 2−x +6 =x ，解得： x 1=0 ， x 2=−2 ， x 3=−1−√7 ， x 4=−1+√7 ，令y=0代入 y =−x 2−x +6 ，得： −x 2−x +6=0 ，解得：x=-3或x=2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2，0)， ∵点 M 是 x 轴上方抛物线上一点， ∴点M 的横坐标取值范围为：-3＜x ＜2，∴点M 的坐标为：(0，6)或(-2，4)或( −1+√7 ， −1+√7 )6．【答案】（1）解：当k=1时，抛物线解析式为 y =x 2−1， 直线解析式为y=x+1.联立两个解析式 {y =x 2−1y =x −1，得： x 2−1=x +1， 解得：x=−1或x=2，当x=−1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A(−1，0)，B(2，3).（2）解：设 P(x ，x 2−1). 如答图2所示，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AB 于点F ，则F(x ，x+1).∴PF =y F −y P =(x +1)−(x 2−1)=−x 2+x +2.S △ABP =S △PFA +S △PFB =12PF(x F −x A )+12PF(x B −x F )=12PF(x B −x A )=32PF ， ∴S △ABP =32(−x 2+x +2)=−32(x −12)2+278. 当 x =12 时， y P =x 2−1=−34.∴⊥ABP 面积最大值为278，此时点P 坐标为 (12，−34) （3）解：设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E. F ，则 E(−1k ，0)，F(0，1)，OE =1k，OF =1. 在Rt⊥EOF 中，由勾股定理得： EF =√(1k )2+1=√1+k 2k.令 y =x 2+(k −1)x −k =0， 即(x+k)(x−1)=0，解得：x=−k 或x=1. ∴C(−k ，0)，OC=k.设以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时 ∠OQC =90∘. 如图3所示，设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ⊥EF ， NQ =CN =ON =k2.∴EN =OE −ON =1k −k2.∵∠NEQ =∠FEO ，∠EQN =∠EOF =90∘，∴⊥EQN⊥⊥EOF ， ∴NQ OF =EN EF， 即： k 21=1k −k 2√1+k 2k解得： k =±2√55，∵k>0，∴k =2√55.即存在实数k 使得直线 y =kx +1 与以O 、C 为直径的圆相切7．【答案】（1）解：当x ＝0时，y ＝3，即C （0，3），当y ＝0时，x ＝3，即B （3，0），将B 、C 点坐标代入y ＝x 2+bx+c ，得 {c =39+3b +c =0 ， 解得 {b =−4c =3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x+3 （2）解：如图1，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即P（2，﹣1），∵对称轴为x＝2，∴设M（2，b），MP＝|b+1|，CP＝2 √5，MC＝√22+(b−3)2，当MC＝MP时，√22+(b−3)2＝|b+1|，化简，得8b＝12，解得b＝32，即M（2，32）；当MC＝CP时，＝√22+(b−3)2＝2 √5，化简，得b2﹣6b﹣7＝0，解得b＝7，b＝﹣1（舍），即M（2，7）；当MP＝CP时，|b+1|＝2 √5，化简，得b2+2b﹣19＝0，解得b＝﹣1+2 √5，b＝﹣1﹣2 √5，M（2，﹣1+2 √5），M（2，﹣1﹣2 √5），综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标为（2，32）；（2，7）；（2，﹣1+2 √5），M（2，﹣1﹣2 √5）（3）解：如图2，在y轴上取点D（0，1），过点D作DE⊥BC于E，则⊥CDE是等腰直角三角形．∵⊥CED＝90°，CD＝3﹣1＝2，∵OB＝OC＝3，∴⊥BOC是等腰直角三角形，∴DE＝CD•cos45°＝√2．过D点作BC的平行线l，交抛物线与点Q．∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴可设直线l的解析式为y＝﹣x+n，将D（0，1）代入，得n＝1，∴y＝﹣x+1．由{y=−x+1y=x2−4x+3，解得{x=1y=0或{x=2y=−1，∴Q1（1，0），Q2（2，﹣1）．8．【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a= 1 4，∴此函数的解析式为y= 14（x+2）2﹣4，即y= 14x2+x﹣3；（2）解：∵点C是函数y= 14x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y= 14x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S⊥ABC= 12|AB|•|OC|= 12×8×3=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x﹣3），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵直线AC 过点A （﹣6，0），C （0，﹣3），∴{−6k +b =0−3=b ，解得 {k =−12b =−3， ∴直线AC 的解析式为y=﹣ 12 x ﹣3，∴点F 的坐标为F （x ，﹣ 12x ﹣3），则|PF|=﹣ 12 x ﹣3﹣（ 14 x 2+x ﹣3）=﹣ 14 x 2﹣ 32 x ，∴S ⊥APC =S ⊥APF +S ⊥CPF = 12 |PF|•|AE|+ 12|PF|•|OE|= 12 |PF|•|OA|= 12 （﹣ 14 x 2﹣ 32 x ）×6=﹣ 34 x 2﹣ 92 x=﹣ 34 （x+3）2+ 274， ∴当x=﹣3时，S ⊥APC 有最大值 274，此时点P 的坐标是P （﹣3，﹣ 154）．9．【答案】（1）解：由x=0得y=0+4=4，则点C 的坐标为（0，4）；由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A 的坐标为（﹣4，0）； 把点C （0，4）代入y=x 2+kx+k ﹣1，得k ﹣1=4， 解得：k=5，∴此抛物线的解析式为y=x 2+5x+4， ∴此抛物线的对称轴为x=﹣ 52×1 =﹣ 52 ．令y=0得x 2+5x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=﹣4， ∴点B 的坐标为（﹣1，0）（2）解：∵A （﹣4，0），C （0，4），∴OA=OC=4，∴⊥OCA=⊥OAC．∵⊥AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，∴AC= √OA2+OC2=4 √2，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．∵点D在y轴负半轴上，∴⊥ADC＜⊥AOC，即⊥ADC＜90°．又∵⊥ABC＞⊥BOC，即⊥ABC＞90°，∴⊥ABC＞⊥ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与⊥ABC相似”可得⊥CAD⊥⊥ABC，∴CDAC=CAAB，即CD4√2= 4√23，解得：CD= 32 3，∴OD=CD﹣CO= 323﹣4=203，∴点D的坐标为（0，﹣20 3）．10．【答案】（1）解：∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.（2）解：∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），∴x=m+1，y=-m-3，∴x+y=m+1-m-3=-2.即x+y=-2，变形得y=-x-2.∵m＞0，m=x-1.∴x-1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.（3）解：如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，∴函数H的图象恒过点B（2，-4），∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.∴抛物线G恒过点A（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A，∴点P纵坐标的取值范围为-4＜y P＜-3.11．【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度（2）解：由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣1 5，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1= 52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是52m（3）解：①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（52，0），代入y=a（x﹣3）2+k，得（52﹣3）2a+k=0，化简得：k=﹣14a；②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，由题意可得，扣杀路线在直线y= 110x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣14a，令a （x ﹣3）2﹣ 14 a= 110x ，整理得：20ax 2﹣（120a+2）x+175a=0， 当⊥=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意， 解方程得：a 1= −6+√3510 ，a 2= −6−√3510， 当a 1= −6+√3510 时，求得x=﹣ √352 ，不符合题意，舍去；当a 2= −6−√3510 时，求得x= √352，符合题意12．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y =kx +b ，把 A(2,0) ， B(1,1) 代入得 {2k +b =0k +b =1 ，解得 {k =−1b =2所以直线 AB 的解析式为 y =−x +2 ； 把 B(1,1) 代入 y =ax 2 得 a =1 ， 所以抛物线解析式为 y =x 2 ；（2）解：解方程组 {y =−x +2y =x 2 得 {x =1y =1 或 {x =−2y =4 ， 所以 C(−2,4) （3）−2<m <1 （4）D(√3,3)13．【答案】（1）解：当x ＝0时，y ＝6，则点C （0，6），当y ＝0时，0＝﹣ 12x 2 +2x+6，∴x 1＝6，x 2＝﹣2，∴点A （﹣2，0），点B （6，0）， 设直线BC 解析式为：y ＝kx+b ， ∴{b =60=6k +b ∴{k =−1b =6∴直线BC 解析式为：y ＝﹣x+6；（2）解：∵y ＝﹣ 12x 2 +2x+6＝﹣ 12 （x ﹣2）2+8，∴对称轴为x ＝2，∵⊥OCD 周长＝OC+OD+CD ＝6+OD+CD ， ∴OD+CD 有最小值时，⊥OCD 周长的存在最小值， 作点O 关于对称轴x ＝2的对称点O'（4，0），∴OD+CD ＝O'D+CD ，∴当点C ，点D ，点O'共线时，O'D+CD 的值最小，最小值为CO'， ∵CO'＝ √36+16 ＝2 √13∴⊥OCD 周长的最小值为6+2 √13 ；（3）解：∵以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是以BC 为边的平行四边形， ∴x B ﹣x D ＝x C ﹣x E ，或x D ﹣x C ＝x E ﹣x B ，∴6﹣2＝0﹣x E ，或2﹣0＝x E ﹣6 ∴x E ＝﹣4或8，∴点E （﹣4，﹣10）或（8，﹣10）14．【答案】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A(−1，0)，B(3，0)两点，∴{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：令x=0，则y =12x +1=1，∴OD=1，过点P 作PH⊥OB 于H ，交EQ 于F ，则⊥COA=⊥PHO=90°， ∴PH⊥OC ，∴⊥P=⊥DOQ ，⊥PFQ=⊥ODQ ， 又Q 是OP 中点， ∴PQ=OQ ，∴⊥PFQ⊥⊥ODQ （AAS ）， ∴PF=OD=1，设点P 横坐标为x ，则−x 2+2x +3−(12x +1)=1，解得x 1=2，x 2=-12，当x=2时，y=3；当x=-12时y=74，∴点P 的坐标是P 1（2，3），P 2（-12，74）；（3）解：点M 的坐标为（85，95）或（-4√55，1-2√55）或（4√55，1+2√55）或（2，2）．15．【答案】（1）解：y=1000-10x（2）解：W=（1000-10x ）（x-40）=-10（x-70）2+9000 当50≤x≤70时，毛利润w 随x 的增大而增大 （3）75；500016．【答案】（1）解：由题意可得L 2的解析式为y =−2(x −2)2+8，对于L 2：y =−2(x −2)2+8，令y =0，则−2(x −2)2+8=0， 解得：x 1=0，x 2=4， ∴AB =x 2−x 1=4；（2）解：∵直线y =m 与L 2的图象交于Q 点， ∴y Q =m ．∵S △ABQ =12AB ⋅|y Q |=18，AB =4，∴|m|=9， 解得：m =±9．∵L 2的解析式为y =−2(x −2)2+8， ∴y Q =m ≤8， ∴y Q =m =−9．将y Q =−9，代入y =−2(x −2)2+8，即−9=−2(x −2)2+8解得：x =2±√342，∴Q 点坐标为(2+√342，−9)或(2−√342，−9)．。

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。

2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；2．已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax （x ﹣2）的图象相交于A （﹣1，b ）和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC⊥x 轴，与二次函数y=ax （x ﹣2）的图象交于点C ．（1）求a 、b 的值（2）求线段PC 长的最大值；（3）若⊥PAC 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．3．如图，已知一次函数 3y kx =+ 的图象与 x 轴交于 ()30A ，，与 y 轴交于点 B ．（1）求一次函数的解析式和点 B 的坐标；（2）若二次函数 2---y x bx c = 的图象经过点 A ， B ，结合函数的图象，直接写出不等式2---3x bx c kx >+ 的解集．4．如图，二次函数 26y x x n =++ 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣2，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足 26x x n ++ ≤kx+b 的x 的取值范围．5．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C（，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）请直接写出D 点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．6．如图，已知抛物线y=x 2﹣（m+3）x+9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴交于D 、E 两点．（1）求m 的值．（2）求A 、B 两点的坐标．（3）点P （a ，b ）（﹣3＜a ＜1）是抛物线上一点，当⊥PAB 的面积是⊥ABC 面积的2倍时，求a ，b 的值．7．如图，一次函数y=﹣12x+2分别交y 轴、x 轴于A ，B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A ，B 两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，⊥NAB 的面积有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．8．如图，二次函数y=(x-2)2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b 的图象上的点A （1，0）及B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≤（x-2）2+m 的x 的取值范围.9．如图，二次函数y=x 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （1，0）且与y 轴交卡点C，点B和点C 关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，一次函数y=kx+b 的图象经过点A 及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤x 2+bx+c 的解集.10．如图，二次函数y=（x+2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围．11．如图，二次函数的图象与 x 轴交于点 ()30A -，， ()10B ， ，交 y 轴于点 ()03C ， ，点 C ， D 是二次函数图象上关于抛物线对称轴的一对对称点，一次函数的图象过点 B ， D ．（1）请直接写出点 D 的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围．12．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 的顶点坐标为(2，-1)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)．与y 轴交于点C ，一次函数y=kx+c 经过点B 和点C ．（1）求点B 的坐标·（2）根据图象，直接写出不等式kx+c≤x 2+bx+c 的解集．13．如图,二次函数y 2=ax 2+bx+3的图象与x 轴相交于点A(−3,0)、B(1,0),交y 轴于点C,C 、D 是二次函数图象上的一对对称点,一次函数y 1=mx+n 的图象经过B.D 两点.（1）求a 、b 的值及点D 的坐标；（2）根据图象写出y 2>y 1时，x 的取值范围.14．如图，二次函数 2y=(x+2)+m 的图象与y 轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A(−1，0)及点B.（2）根据图象，写出满足 2(x+2)+m kx+b ≥ 的x 的取值范围。

二次函数代数综合一．二次函数与一次函数综合一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： 1．方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； 2．方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； 3．方程组无解时⇔l 与G 没有交点．二．二次函数与不等式综合二次函数与不等式的联系．如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=- 0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象不等式的解集20ax bx c ++>(0)a >1x x <或2x x >2b x a≠-任意实数20ax bx c ++<(0)a >12x x x <<无解 无解三．二次函数与方程及代数式综合二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代入”．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析二次函数代数综合一．考点：二次函数代数综合．二．重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合．三．易错点：1．二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限；2．二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来求解参数的取值范围；3．二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降次，整体代入”的方法来求解；4．二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论．题模一：与不等式综合例1.1.1如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）y=12x2-12x-1（2）（-1，0）（3）-1＜x＜4【解析】题模精讲（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点， ∵42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，∵a=12，b=-12，c=-1，∵二次函数的解析式为y=12x 2-12x -1； （2）当y=0时，得12x 2-12x -1=0； 解得x 1=2，x 2=-1， ∵点D 坐标为（-1，0）； （3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．例 1.1.2已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1112y x =-；2(,4)a a -（2）24x <≤；13562a ≤<【解析】（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分 ∴1112y x =--------------------------------------------2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且20y ≤，由图象得24x <≤．…… 6分 ②13562a ≤<．……………………………7分题模二：与一次函数综合例1.2.1在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线142y x m n =++经过点B ．①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G与直线142y x m n =++只有两个公共点时，d 的取值范围是________．【答案】（1）()4,0（2）2142y x x =--；122y x =-（3）502d -<<【解析】该题考查的是函数综合． （1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=．………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为()2,0-， ∴点B 的坐标为()4,0………………………2分（2）∵点B 在直线142y x m n =++上， ∴024m n =++①∵点A 在二次函数22y mx mx n =-+的图象上， ∴044m m n =++② ………………………3分 由①，②可得12m =，4n =-………………………4分 ∴抛物线的解析式为2142y x x =--，直线的解析式为122y x =-……………5分 （3）502d -<<………………………7分例1.2.2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y mx mx =--()0m ≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．【答案】（1）()1,0（2）22y x =-+（3）2242y x x =-- 【解析】该题考察的是一次函数和二次函数综合． （1）当0x =时，2y =∴ 点A 的坐标为()0,2-， …………………1分 将222y mx mx =--配方，得()212y m x m =---，∴ 抛物线的对称轴为直线1x =，∴ 点B 的坐标为()1,0， …………………2分（2）由题意，点A 关于直线1x =对称点的坐标为()2,2-．………………………………3分 设直线l 的解析式为y kx b =+ ∵ 点()1,0和点()2,2-在直线l 上， ∴022k b k b =+⎧⎨-=+⎩， 解得22k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 的解析式为22y x =-+．………………………………………………4分 （3）由题意可知，抛物线关于直线1x =对称，直线AB 和直线l 也关于直线1x =对称∵ 抛物线在23x <<这一段位于直线AB 的下方， ∴ 抛物线在10x -<<这一段位于直线l 的下方， 又∵ 抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，∴ 抛物线与直线l 的一个交点横坐标为1- ， …………………………………5分 ∴ 由直线l 的解析式22y x =-+ 可得这个店的坐标为()1,4-，………………6分 ∵ 抛物线222y mx mx =--经过点()1,4-， ∴2m =．∴ 所求抛物线的解析式为2242y x x =--． …………………………………7分 例1.2.3在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （3，2），B （﹣1，2）． （2）y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）． （3）2a<29≤．【解析】（1）当y=2时，则2=x ﹣1， 解得：x=3， ∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ， ∴B （﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx +c 得： 2=9+3b+c2=1-b+c ⎧⎨⎩解得：21b c =-⎧⎨=-⎩∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A （3，2）则9a=2，解得：a=29， 代入B （﹣1，2），则a （﹣1）2=2， 解得：a=2，∴2a<29≤． 题模三：与代数式综合例1.3.1已知关于x 的方程()03132=+++x m mx ．（1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且21y y =，求代数式81651242121++++n n n x x 的值． 【答案】（1）见解析（2）243y x x =++（3）24【解析】（1）当0m =时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. 当0m ≠时，原方程为一元二次方程.∵()()2223112961310m m m m m ∆=+-=-+=-≥． ∴此时方程有两个实数根．综上，不论m 为任何实数时，方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根． （2）∵令0y =, 则 03)13(2=+++x m mx ． 解得 13x =-，21x m=-． ∵ 抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，m 为正整数，∴1m =. ∴抛物线的解析式为243y x x =++. （3）∵点()11,F x y 与()12,Q x n y +在抛物线上， ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵12y y =，∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++. 可得 04221=++n n n x ，即 0)42(1=++n x n ． ∵ 点P , Q 不重合，∴ 0n ≠．∴ 124x n =--.∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=随练1.1如图，二次函数213y ax bx =++的图象与x 轴相交于点()3,0A -、()1,0B ，交y 轴点C ， C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数2y mx n =+的图象经过B 、D 两点． （1）求二次函数的解析式及点D 的坐标；（2）根据图象写出21y y >时，x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--+（2）2x <-或1x >随堂练习【解析】本题考查了一次函数和二次函数综合应用． （1）∵二次函数经过()3,0A -，()1,0B设二次函数解析式为()()31y a x x =+-，代入()0,3C ，解得1a =-， 二次函数解析式为()()23123y x x x x =-+-=--+∵C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为1x =- ∴()2,3D -（2）两函数的交点为()1,0B ，()2,3D -，所以当21y y >时，根据图象可得2x <-或1x >． 随练1.2已知：抛物线()2220y ax a x =+--=过点()3,4A ．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线()2220y ax a x =+--=在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为_________． 【答案】（1）22y x x =--（2）①10m -≤≤或12m ≤≤②4k ≤或4k ≤- 【解析】该题考查的是二次函数综合．（1）∵抛物线()222y ax a x =+--过点()3,4A ，∴()93224a a +--=． 解得1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分（2）①当0y =时，220x x --=．∴1x =-或2．∴抛物线与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ．-----3分 当2y =-时，222x x --=- ． ∴0x =或1．∴抛物线与直线2y =-交于点()0,2C -，()1,2D -．∴C ，D 关于直线1y =-的对称点()'0,0C ，()'1,0D ．----4分 ∴根据图象可得10m -≤≤或12m ≤≤．----------------5分m②的取值范围为4k ≥或4k ≤-．----------------7分随练1.3已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若△BOC 是等腰三角形，求抛物线的 解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点(),0P n 是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．【答案】（1）()1,0A m -;()1,0B m +（2）243y x x =-+-（3）1y x =-+ 【解析】该题考查的是二次函数综合． （1）令0y =，有22210x mx m -+-+=． ∴()210x m --+=． ∴()21x m -=． ∴11x m =+，21x m =-． ∵点B 在点A 的右侧，k∴()1,0A m -，()1,0B m +．…………………………………………2分（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下， 10m ->．∴1m >． ∴1OB m =+．令0x =，有21y m =-+．∴21OC m =-．∵△BOC 是等腰三角形，且 90BOC ∠=︒， ∴OB OC =．即211m m +=-． ∴210m m --=．∴12m =，21m =-（舍去）． ∴2m =．∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．………………………………4分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为()1,0和()4,3-．将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得043k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=⎩一次函数的解析式为1y x =-+．…………………………………………7分随练1.4已知关于x 的一元二次方程()2221230x k x k k -++--=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线()222123y x k x k k =-++--的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y x m =+有三个不同公共点时m 的值．yxO 123 4 12 3 4 5【答案】（1）1k >-（2）()1,0-或()3,0（3）1m =或134m =【解析】该题考查抛物线的性质与几何变换（1） 由题意，得，()()224142316160k k k k ∆=+---=+>∴1k >-∴k 的取值范围为1k >-．…………2分 （2）∵1k >-，且k 取最小的整数，∴0k = ∴()222314y x x x =--=--则抛物线的顶点坐标为()1,4-…………………3分 ∵223y x x =--的图象与轴相交， ∴2230x x --=∴13x =-或∴抛物线与轴相交于()1,0A -,()3,0B …………4分（3）翻折后所得新图象如图所示.…………5分平移直线y x m =+知: 直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于时，此时过点()1,0A - 1.01m =-+，即1m =………………6分②当直线位于时，此时与函数()22313y x x x =-++-≤≤的图象有一个公共点，∴方程223x m x x +=-++，即230x x m --+=有两个相等实根，∴()1430m ∆=--= 即134m =………………7分 x x 1l 2l 1l 1l 2l 2l当134m =时，1212x x ==满足13x -≤≤ 由①②知1m =或134m =． 随练1.5已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点()3,A m -，求m 与k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧 ），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

二次函数和一次函数的综合应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题的解决中具有广泛的应用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=mx+n。

在本文中，将探讨二次函数和一次函数的综合应用，并通过实际问题的例子，说明它们在现实生活中的应用价值。

1. 抛物线的模型应用二次函数可以用来建立抛物线的模型，抛物线在现实生活中的应用非常广泛。

例如，在物理学中，当考虑抛体在空中自由落体运动时，可以使用二次函数来描述物体的运动轨迹。

另外，抛物线也可用于炮弹的射程计算、杆塔的线拉力计算等工程问题。

2. 二次方程的求解二次函数与二次方程密切相关，二次方程是二次函数的零点问题。

二次方程的求解是解决许多实际问题的基础。

例如，在物理学中，当考虑自由落体运动时，可以通过求解二次方程来计算物体的时间、速度等参数。

在经济学中，二次方程可以用来解决成本、收益、利润等问题。

在工程领域中，二次方程可以应用于建筑、设计、模拟等方面。

3. 直线与曲线的交点问题一次函数和二次函数之间的交点问题是实际生活中常见的问题。

例如，在经济学中，我们可以通过求解一次函数和二次函数的交点，来分析生产成本与产量之间的关系，或者评估销售利润和销售数量之间的关系。

在几何学中，我们可以通过求解二次函数与一次函数的交点，来解决线段和抛物线的交点问题。

4. 最优化问题二次函数和一次函数也常用于解决最优化问题。

例如，在经济学中，我们可以通过建立成本函数和收益函数来优化生产和经营决策。

通过研究二次函数的顶点来确定最大值或最小值。

在物理学中，最优化问题也广泛应用于动力学、力学等领域。

综上所述，二次函数和一次函数的综合应用非常重要，并在许多领域中发挥着重要的作用。

通过建立模型、求解方程、分析交点和解决最优化问题，我们可以利用二次函数和一次函数来解决现实生活中的实际问题。

这些方法不仅在学术研究中有重要意义，也对我们的日常生活产生了积极的影响。

二次函数与一次函数结合问题二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为y=ax²+bx+c(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标。

需要知道a、b、c的值，要求出三个点的坐标，如果只知道两个系数，则需要两个点的坐标，如果只知道一个系数，则需要一个点的坐标。

将坐标代入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式。

例如：已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数）的图像经过三点A（2,0），B（4，-6），C（1，-2），求这个二次函数的解析式。

解：将A（2,0），B（4，-6），C（1，-2）代入y=ax²+bx+c，得到三个方程：①4a+2b+c=0②16a+4b+c=-6③a+2b+c=-2解方程组得到a=-1，b=5，c=-6，因此二次函数的解析式为y=-x²+5x-6.②顶点式法：设二次函数为y=a(x-h)²+k(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们对称轴和顶点坐标。

在所设的函数中，对称轴就是x=h，因此顶点坐标是（h，k）。

只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h和k两个未知数（a，h，k）的值。

需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式。

例如：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A（0,7），求这个二次函数的解析式。

解：由题意，可设该二次函数为y=a(x-1)²+5，因为函数经过点A（0,7），将A（0,7）代入函数得到：a(-1)²+5=7因此，a=2，所以二次函数的解析式为y=2(x-1)²+5，即y=2x²-4x+7.③交点式法：设二次函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们某二次函数与x轴的两个交点的坐标。