二次函数与几何综合典题题
例1．已知抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为（3，-2），且与x 轴两交点间的距
离为4，求其解析式。
例2.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 在点B 的左边，与轴交于点C ，若△AOC 与△BOC 的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a ），求这个二次函数的解析式。
例3.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像过点E （2，3），对称轴为x ＝1，它的图像与x 轴交于两点A 10,)0(),0,(2
22
12121=+x x x x x B x ＜且。
（1）求二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
例4.如图，抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于A （-1，0）、B （3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D 。
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；
（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？
若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。
例5：如图，已知抛物线4:2
1-=x y l 的图像与X 轴交于A 、C 两点。 （1）若抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，求2l 的解析式；
（2）若点B 是抛物线1l 上一动点（B 不与A,C 重合），以AC 为对角线，A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D ，求证：点D 在2l 上；
（3）探索：当点B 分别位于1l 在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
例 6.如图，已知：m ，n 是方程0562
=+-x x 的两个实数根，且m ＜n ，抛物线
c bx x y ++-=2的图像经过点A （m ，0）、B （0，n ）。
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D 。试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；
（3）P 是线段OC 上一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点坐标。
答案：
1．根据题意得：32=-a
b
，
2442-=-a b a ， 44)(4)(22122121=--=-+=-a c a b x x x x x x 。联立以上三式得：2
1
=a ，3-=b ，
25=
c 。∴抛物线解析式为：2
5
3212+-=x x y 。 另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：3=x ，又与x 轴两交点间的距离为4，∴两交点坐标分别为（1,0）、（5,0）。设表达式为)5)(1(--=x x a y ，代入顶点坐标得：
)53)(13(2--=-a ，解得：21=
a ，∴2
5
3212+-=x x y 。 ※2.顶点坐标（2，-a ）代入顶点坐标公式得：
)3)(1()34(34)2(222--=+-=+-=--=x x a x x a a ax ax a x a y ，（太好了，一箭三
雕！）
∴a c 3=，点A 、点B 的坐标分别为：（1,0）、（3,0），∴AB =2. ∵
62
333=+a
a ，∴1±=a ，
∴这个二次函数的解析式为34342
2
+-=-+-=x x y x x y 或。 3．（1）由题意知：c b a ++=243①，12=-
a
b
②， 又102)(2)(2212
212221=--=-+=+a
c a b x x x x x x ③。
联立①②③式可得：3,2,1==-=c b a ，∴解析式为：322
++-=x x y
（2）存在这样的点P 。由（1）可知4)1()1)(3(322
2
+--=+--=++-=x x x x x y ，∴点A 的坐标为（0,1-），点B 的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。
设点P 的坐标为（t ，322
++-t t ），则△POA 的高为322++-t t ，底边OA=1。 △EOB 的底边为3，高为3，∴△EOB 的面积=2
9
3321=⨯⨯。 令
2
9
321212=++-⨯⨯t t ， ∴9322
=++-t t ，∵9＞4，∴322++-t t =9-，解得：131131-+=或t 。
∴点P 的坐标为（131+，9-）或（131-，9-）.
4．（1）设抛物线的解析式为)1)(3(+-=x x a y ，代入点C 的坐标（0，3）得：
)10)(30(3+-=a ，解得：1-=a 。∴解析式为32)1)(3(2++-=+--=x x x x y 。
（2）由（1）可知4)1(322
2+--=++-=x x x y ，∴点D 的坐标为（1,4）. 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则点E 的坐标为（1,0）。 ∴四边形ABDC 的面积=9422
1
24313121=⨯⨯++⨯+⨯⨯=
++）（△梯形△BDE OCDE AOC S S S 。 （3）△BCD 与△COA 相似。理由如下：
由A 、B 、C 、D 四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=10312=+； BC=23332222=+=+OB OC ，CD=21)34(22=+-，
BD=524)13(22=+-。∵
2===OA
CD
CO BC CA BD ，∴△BCD ∽△COA 。 5．（1）∵2l 与1l 关于x 轴对称，∴4)4(2
2
+-=--=x x y 。
（2）设点B 的坐标为（4,2
-m m ），∵四边形ABCD 为平行四边形，点A 、C 关于原点O 对称，∴点B 和点D 关于原点O 对称，∴点D 的坐标为（4,2
+--m m ）。代入2l 的表达式可知左边等于右边，∴点D 在2l 上。
（3）∵点A 、C 是抛物线42-=x y 与x 轴的交点，∴点A 、C 的坐标分别为（0,2-）和（2,0），∴AC=4. 平行四边形ABCD 的面积=2△ABC 的面积=11442
1
2y y =⨯⨯
。 ①当点B 在x 轴上方时，14y S ABCD =四边形，ABCD S 四边形随1y 的增大而增大， ∴此时ABCD S 四边形既没有最大值也没有最小值；
②当点B 在x 轴下方时，14y S ABCD -=四边形，且041＜y ≤-，ABCD S 四边形随1y 的增大
而减小，ABCD S 四边形有最大值没有最小值。∴当1y 取最小值4-时，ABCD S 四边形有最大值，最大值为16；此时点B 、D 在y 轴上，AC ⊥BD ，平行四边形ABCD 是菱形。 综上所述，当点B 在x 轴下方时，平行四边形ABCD 有最大面积16，此时的四边形为
菱形。 6．（1）解方程0562
=+-x x 得：5,121==x x ，∵m ＜n ， ∴5,1==n m ，∴点A 、B 的坐标分别为（1，0），（0，5）。把A 、B
的坐标代入c bx x y ++-=2
得：⎩
⎨⎧==++-501c c b 解这个方程组，得5,4=-=c b ，
抛物线的解析式为542
+--=x x y 。
