用博弈论解释需求定理
企研08 282120202001 胡雁南
摘要：经济学中需求是指消费者在某一特定的时期内，在每一价格上愿意并且能够购买的商品和劳务的数量。需求定理或称需求规律，表明了某商品的价格与其需求量之间的关系。其基本内容是：在其他条件不变的情况下，某种商品的需求量与价格之间成反方向变动，即某种商品价格上升，则其需求量减少；反之，需求量增加。
一、背景介绍
商品的交易可以理解为供给者与需求者相互之间的博弈。供给者提供商品的时候可以考虑索取高价或者低价，需求者则考虑选择购买或者不购买。需求者对商品的需求是指消费者在某一特定的时期内，在每一价格上愿意并且能够购买的商品和劳务的数量。消费者对商品的需求量是指在某一特定时期内，消费者在特定价格水平上愿意并且能够购买的商品和劳务的数量。
很多因素都可能影响商品的需求，有经济因素，也有非经济因素。其影响因素主要有：1，商品本身的价格。商品本身价格高，需求少；价格低，需求多。2，消费者的偏好。一个消费者偏好某种商品，即使这种商品的价格不变，需求量也会增加。3，消费者的收入。当消费者收入增加时，消费者对某些商品在一定价格下的需求量也会增加，对另一些商品在一定价格下的需求量则可能会减少。4，其它商品的价格。有两种情况：两种商品为替代品，如果商品的价格上升则对其替代品的需求量就会增加（如茶叶和咖啡），反之亦然；两种商品为互补品，商品的价格上升会导致对其互补品需求量的下降（如汽车和轮胎），反之亦然。
本文将利用博弈论，通过建立一个供给者与需求者之间的博弈模型，来解释价格对消费者购买行为的影响。
二、博弈模型的建立
根据需求理论可以建立起供给者与需求者（为叙述方便，下文简称卖方和买方）的博弈模型。我们作如下假设：
假设1：两个参与者——卖方，买方。参与人Ⅰ是卖方，参与人Ⅱ是买方。 假设2：卖方仅提供一种商品A ，该商品仅有一种替代品B 。商品A 的单价为
1P ，商品B 的单价为2P ,买方的总购买能力为M ，M 总是不变。
假设3：
依据以上假设，可建立博弈模型的支付矩阵如表1-1.
表1-1 卖方与买方的支付矩阵
买方
购买y
不购买（1-y ） 卖 方
低价x （111CQ Q P -，111Q P CQ -）
（1CQ ,11Q P ）
高价（1-x ）
（*1*1*1CQ Q P -,*1*1*1Q P CQ -）
（*1CQ ,*
1*1Q P ）
其中：
1P 是卖方采取低价时商品A 的价格； 1Q 是商品A 的价格为1P 时的需求量；
C 是每件商品A 的成本；
当买方购买商品A 时付出购买商品的价格11Q P ，同时得到商品的成本1CQ ，于是买方购买商品时的支付为111Q P CQ -；而卖方则得到买方付给的价格但同时交付商品的成本，于是卖方的支付为111CQ Q P -；
当买方未购买商品A 时，卖方仍然持有商品的成本1CQ ，而买方仍然保有着商品的价格11Q P 。
当商家采取更高的价格*
1P 时，同理。
x 和y 分别代表卖方出低价和买方选择购买的概率。
三、模型的分析
首先用划线法分析表1-1：
由于1P C ≤,所以111Q P CQ ≤,必有111110Q P Q P CQ ≤≤-,同理可知
*
1*1*1*1*10Q P Q P CQ ≤≤-,对于买方来讲购买严格劣于不购买，所以纳什均衡只可能是
（低价，不购买）或者（高价，不购买）。在经济上可以解释为，买方购买商品所付出的价格总要高于其成本，因此消费者购买商品的支付总是负的，总是亏损的；而消费者亏损的部分正是供应商所赚取的利润。（如表2-1）
表2-1 卖方与买方的支付矩阵
买方
购买y
不购买（1-y ） 卖 方 低价x
（111CQ Q P -，111Q P CQ -）
（1CQ ,11Q P ）
高价（1-x ） （*1*1*1CQ Q P -,*
1*1*1Q P CQ -）
（*1CQ ,*
1*1Q P ）
对于卖方来说，其采取的策略将直接取决于*1Q 与1Q 的大小。如果价格从1P 上
升到*1P ,需求量*1Q 小于低价时的需求量1Q ，则该博弈的纳什均衡应为（低价，不
购买）。该纳什均衡表面看是卖方提供低价，买方不购买，似乎与事实矛盾，其实不然，该求解过程是先得出参与人Ⅱ也就是买方的最优方案，再考虑参与人 参与人Ⅰ的预期支付为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=y y CQ Q C P CQ Q C P x x y x E 1)()()1,(),(*1*1*1111
1 将上式化简可得：
*11*
1*1111)1)(
1()1()()1()(),(CQ y x CQ y x Q C P y x Q C P xy y x E --+-+--+-= 另其一阶条件等于零：
0)1()1()()(),(*
1*1*1*1111=---+---=∂∂CQ y CQ y Q C P y Q C P y x
y x E 解上式得：
)(2)
(1*
1*1*1111*1Q Q C Q P Q P Q Q C y -+--= 同理参与人Ⅱ的预期支付为
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x x Q P Q P CQ Q P Q P CQ y y y x E 1)1,(),(*1*1*1*1*
1111
112 将上式化简可得：
*
1*111*1*1*11112)1)(1()1())(1()(),(Q P y x Q P x y Q P CQ y x Q P CQ xy y x E --+-+--+-=
另其一阶条件等于零：
0)1()1()()(),(*
1*111*1*1*11112=---+---=∂∂Q P x Q P x Q P CQ x Q P CQ x y
y x E 解上式得：
)
()()(11*
1*1*1*1111
1*1*1Q P Q P Q P C Q P C Q P Q P x -+----= 这样，该博弈的混合策略纳什均衡即为()())1,(1,y y x x --，
其中)()()(11*
1*1*1*1111
1*
1*1Q P Q P Q P C Q P C Q P Q P x -+----= )()()()()(11
1*
1*1*1*111*
1
*111Q P Q P Q P C Q P C Q P C Q P C x -+------=- )
(2)
(1*
1*1*1111*1Q Q C Q P Q P Q Q C y -+--= )
(2)(11*1*1*1111*
1*1*111Q Q C Q P Q P Q Q C Q P Q P y -+--+-=- 即卖方以)()()(1
1*
1*1*1*1111
1*
1*1Q P Q P Q P C Q P C Q P Q P x -+----=的概率低价出售，以)()()()()(111*
1*1*1*111*1
*111Q P Q P Q P C Q P C Q P C Q P C x -+------=-的概率高价出售；而买方则以)(2)(1*1*1*1111*1Q Q C Q P Q P Q Q C y -+--=的概率购买，以)(2)(11
*
1*1*1111*
1*1*111Q Q C Q P Q P Q Q C Q P Q P y -+--+-=-的概率不进行购买。
