4.1.1圆的标准方程(2011.1.4)

2 2

例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）

（3）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
(4) 圆的标准方程有哪些特点？
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。
作业
习题4.1 P134 3、 4
4.1.1圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距 离等于r，所以圆C就是集合
M r C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，M适
O
x
合的条件可表示为：
说明：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
1、特点：明确给出了圆
把上式两边平方得：
心坐标和半径。
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
问题:试推导圆心是C(a,b)，半 y 径
是r的圆的方程。
r M(x,y)
C
.
O
x
(1) 圆是 平面内到定点的距离等于定长 的点的集合；
（2) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化；
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0 相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
补充练习：
（１）已知一圆过P（4，-2）,Q（-1， 3）两点，且在y轴上截得的线段长

高 中 数 学 【 人教A版 必修】 2第四 章4.1. 1圆的标 准方程 课件【 精品】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 2第四 章4.1. 1圆的标 准方程 课件【 精品】
作业：
1、求以两直线 l1:x y 5 ， l2:2 x y 4
交点为圆心，且与x轴相切的直线方程。 2、一圆与两平行直线 x 3 y 5 0 和 x 3 y 3 0 相切，圆心在直线 2xy10上，求圆方程。
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(1)
若点Mx，y在圆上，由上述讨论
可知，点M的坐标适合方程(1)；反之，若
点Mx，y的坐标适合方程(1)，这就说明
点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为
A的圆上.我们把方程(1)称为圆心为Aa，b，
半径长为r的圆的方程，把它叫做
圆的标准方程.
四、圆的标准方程：
例2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1)， B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
根据题意，可得(5a)2 (1b)2 r2
待定系数法
(7a)2 (3b)2 r2
(2
a)2
(8
b)2 r2
外心是三
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25边垂直平
建系设标、列式表标、化简证明
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点

4.1.1圆的标准方程1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？2. 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r21．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， 2 D．(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 23．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上．命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1 以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程．反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．例3 (1)点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．不确定(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是_________．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是________．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？2．若点P (x , y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．1．本例条件不变，试求y x的取值范围．2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x , y )和(a , b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x , y )到定点(a , b )的距离的平方的最值问题．例4 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值．引申探究1．若本例条件不变，求y －x 的最大值和最小值．2．若本例条件不变，求x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练4 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求： (1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．1．判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.2．求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．3．求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法．(2)直接法．一、选择题1．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝523．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝44．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．a ＜13C ．|a |＜15D ．|a |＜1135．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝56．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝18．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题9．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程为________．10．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值是______． 三、解答题13．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的标准方程．四、探究与拓展14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为() A．6 B．25 C．26 D．3615．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值．。