空间点线面位置关系(经典例题训练)

空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.3．公理4平行于____________的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A 1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________________________________________________________________ ____．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC ＝，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.2、面面平行的判定例2在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC；3、平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m?α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A 1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。

专题08 立体几何第二十讲空间点线面的位置关系2019年1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．7.(2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．9.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．15.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.16.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．722．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是4．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥5．（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22 C3 D ．136．（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．8．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．ABCD M9（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．PFEDCBA(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD ．10．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．M A BCD11．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．D 11B 1A 1DCBA求证：(1)AB ∥平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．12．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．C 1B 1A 1CBA(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．13．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=． DCBA P(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积。

空间几何计算练习题求点线面的位置关系一、点、线、面的定义在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。

点是空间中的一个位置；线是由无数个点按照一定规律排列而成的；面是由无数个线按照一定规律排列而成的。

二、求点、线、面的位置关系在空间中，点、线、面可能存在不同的位置关系。

下面通过一些具体的计算练习题，来求解它们之间的位置关系。

1. 点与线的位置关系设空间中有一条直线L，以及一个点P，求点P与直线L的位置关系。

解题步骤：1) 判断点P是否在直线L上。

通过判断点P是否满足直线L的方程来确定。

若点P满足直线L的方程，则点P在直线L上；若点P不满足直线L的方程，则点P不在直线L上。

2. 点与面的位置关系设空间中有一个平面面，以及一个点P，求点P与平面面的位置关系。

解题步骤：1) 判断点P是否在平面面上。

通过判断点P是否满足平面面的方程来确定。

若点P满足平面面的方程，则点P在平面面上；若点P不满足平面面的方程，则点P不在平面面上。

3. 线与线的位置关系设空间中有两条直线L1和L2，求直线L1与直线L2的位置关系。

解题步骤：1) 判断直线L1是否与直线L2重合。

通过判断直线L1和L2是否满足同一方程来确定。

若直线L1和L2满足同一方程，则直线L1与L2重合；若直线L1和L2不满足同一方程，则直线L1与L2不重合。

4. 线与面的位置关系设空间中有一条直线L和一个平面面，求直线L与平面面的位置关系。

解题步骤：1) 判断直线L是否与平面面平行。

通过判断直线L的方向向量是否与平面面的法向量平行来确定。

若直线L的方向向量与平面面的法向量平行，则直线L与平面面平行；若直线L的方向向量与平面面的法向量不平行，则直线L与平面面不平行。

5. 面与面的位置关系设空间中有两个平面面1和面2，求面1与面2的位置关系。

解题步骤：1) 判断面1是否与面2平行。

通过判断面1的法向量是否与面2的法向量平行来确定。

若面1的法向量与面2的法向量平行，则面1与面2平行；若面1的法向量与面2的法向量不平行，则面1与面2不平行。

点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b =I ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：α⊂b 或A b =αI ；（2）由图（2）可知：α//b 或α⊂b ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ∆的中位线，∴OQ PC //．∵PC 在平面BDQ 外，∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论．分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a =''I ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ．求证：α//b ．证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β．设c =βαI ，∵α//a ，∴c a //．又∵b a //，∴c b //．∵α⊄b ，α⊂c ，∴α//b ．说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆．∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=． ∴22SE SF EF -=a a a 22414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角．连结FG ，在EFG Rt ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得 22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a a a a EF EG GF EF EG GEF ． ∴ο45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为ο45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线α//a ，α∈B ，b B ∈，a b //．求证：α⊂b ．分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且'b =αβI ．∵α//a ，∴α//'b ．这样过B 点就有两条直线b 和'b 同时平行于直线a ，与平行公理矛盾．∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβI ．∵α//a ，∴α//'b ． 这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴b 与'b 重合．∵α⊂'b ，∴α⊂b ．典型例题七例7 下列命题正确的个数是（ ）．(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；(2)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行；(4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当α//l 时，若α⊂m 且l m //，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线．(4)直线l 在平面α外，应包括两种情况：α//l 和l 与α相交，所以l 与α不一定平行．故选A ．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l 、m 都平行于α，则l 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线m l //、α//l ，则m 与α的位置关系可能是平行，可能是m 在α内．典型例题八例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线b a //，P a =α平面I ．求证：直线b 与平面α相交．分析：利用b a //转化为平面问题来解决，由b a //可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵b a //，∴a 和b 可确定平面β．∵P a =αI ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线l ．∵在平面β内l 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，∴l 必定与直线b 也相交，不妨设Q l b =I ，又因为b 不在平面α内（若b 在平面α内，则α和β都过相交直线b 和l ，因此α与β重合，a 在α内，和已知矛盾）．所以直线b 和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．典型例题九例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a 与b 是异面直线．求证：过b 且与a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b 存在一个平面α，且α//a ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线b 上任取一点A ，由点A 和直线a 可确定平面β．在平面β内过点A 作直线'a ，使a a //'，则'a 和b 为两相交直线， 所以过'a 和b 可确定一平面α．∵α⊂b ，a 与b 为异面直线，∴α⊄a ．又∵'//a a ，α⊂'a ， ∴α//a ．故经过b 存在一个平面α与a 平行．(2)如果平面γ也是经过b 且与a 平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b 和'a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a 和b ，过b 存在一平面α且与a 平行，同样过a 也存在一平面β且与b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a 和b 的距离，也可转化为直线a 到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：l =βαI ，α//a ，β//a ，求证：l a //．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与l 平行．证明：在平面α内取点P ，使l P ∉，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，γ⊂a ，b =αγI ，∴b a //．同理过a 作平面δ交β于c ．∵β//a ，δ⊂a ，c =βδI，∴c a //．∴c b //．∵β⊄b ，β⊂c ，∴β//b ．又∵α⊂b ，l =βαI ，∴l b //．又∵b a //，∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点M ，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线1l ，和β相交于直线2l ．∵α//a ，∴1//l a ，∵β//a ，∴2//l a ，但过一点只能作一条直线与另一直线平行．∴直线1l 和2l 重合．又∵α⊂1l ，β⊂2l ，∴直线1l 、2l 都重合于直线l ，∴l a //．说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且DQ AP =．求证：//PQ 面BCE ．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与PQ 平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作AB PM //交BE 于M ，在平面ABCD 内过Q 作AB QN //交BC 于N ，连结MN ．∵AB PM //，∴AE PE AB PM =． 又∵CD AB QN ////，∴BD BQ DC QN =，即BD BQ AB QN =．∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =．∵DQ AP =，∴BQ PE =．∴QN PM =．又∵AB PM //，AB QN //，∴QN PM //．∴四边形PQNM 为平行四边形．∴MN PQ //．又∵⊂MN 面BCE ，∴//PQ 面BCE ．证明二：如图，连结AQ 并延长交BC 于S ，连结ES ．∵AD BS //，∴QB DQ QS AQ =． 又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =，∵DQ AP =，∴QB PE =．∴QS AQ QBDQ PE AP ==． ∴ES PQ //，又∵⊂ES 面BEC ，∴//PQ 面BEC ．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点． 已知：a =βαI ，b =γβI ，c =αγI ．求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点．分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βαI ，b =γβI ，∴β⊂b a 、．∴a 与b 平行或相交．①若b a //，如图∵γ⊂b ，γ⊄a ，∴γ//a ．又∵c =αγI ，α⊂a ，∴c a //．∴c b a ////．②若a 与b 相交，如图，设O b a =I ，∴a O ∈，b O ∈．又∵βαI =a ，γβI =b ．∴α∈O ，γ∈O又∵c =γαI ，∴c O ∈．∴直线a 、b 、c 交于同一点O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中， M 、N 分别是1CC 、11B A 的中点，画出点D 、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线． 证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β．(1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾．(2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ．∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行．分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明EF AC //．证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF ．在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴EF AC //．于是AC //平面EFG ．同理可证，BD //平面EFG ．说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理．典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：ACD PQ 平面//．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD ，如图．证明：取BC 的中点E ．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ，则1∶3=PE AE∶，连结DE ， ∵Q 为BCD ∆的重心，∴1∶3=QE DE∶， ∴在AED ∆中，AD PQ //．又ACD AD 平面⊂，ACD PQ 平面⊄，∴ACD PQ 平面//．说明：(1)本例中构造直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目的条件：P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用．典型例题十六例16 正方体1111D C B A ABCD -中，E 、G 分别是BC 、11D C 的中点如下图．求证：D D BB EG 11//平面．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面D D BB 11内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、F D 1．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则DC EF //，且CD EF 21=．∵G 为11D C 的中点，∴CD G D //1且CD G D 211=，∴G D EF 1//且G D EF 1=，∴四边形G EFD 1为平行四边形，∴EG F D //1，而111B BDD F D 平面⊂，11B BDD EG 平面⊄，∴11//B BDD EG 平面．典型例题十七例17 如果直线α平面//a ，那么直线a 与平面α内的（ ）．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：本题主要考查直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）．A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系．综上，可知应选D ．说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力．典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）．A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一平面与b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与α平行了．B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有b a //，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点做直线b c //，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ．∴应填：α//b 或α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了．∴应填：1．说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．解：∵α//a ，ABD EG 平面I α=．∴EG a //，即EG BD //， ∴FC AF AF BD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++===．则9204545=+⨯=+⋅=FC AF BD AF EG ．∴应填：920．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//，又 ⊂B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D =I ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγI ，b =γβI ．∵βα//∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ．说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =αI． 求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ． ∴γ与α、β都相交．设a =αγI ，b =γβI．∵βα//∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．∵l 与b 相交．所以l 与β相交．典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ．∵F CD AG =I∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγI ，DG =βγI ．∵βα//，所以 DG AC //，∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，∴ △ACF ≌△DFG ．∴ FG AF =．又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ．故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ⊂1BB∴γ//1AA同理γ//AD又A AD AA =I 1∴γβ//又11D A =βαI ，11C B =γαI∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ =I ，N b MN =I ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN =I ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a =''I ，∴αβ//． 所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知： m =ρβI ，n =ργI ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线，∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF =I ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =αI ，平面BE QAF =βI ，又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ．由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE， ∴AF BE 21=由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167847267=⨯=．∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB。

1．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点E 为PC的中点，AC ∩BD ＝O ，求证EO ∥平面PAD ；(3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ·PC ＝23. (2)证明：∵EO ∥PA ，EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD .∴EO ∥平面PAD .(3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥F B ，∠BFC=90°，BF=FC ，H 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ；Ⅲ)求四面体B-DEF 的体积．(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结EC ，CH ，由于H 为BC 的中点，故，又，∴，∴四边形EFHC 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH ∥平面EDB 。

(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB 。

点点练27空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1.以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b .其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2.如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M3．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1D 1，AB ，C 1D 1的中点，则直线A 1G ，EF 所成角的余弦值为( )A ．3010B ．3015C ．3030D ．1554．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M 、N 、F 分别是B 1C 1、CC 1、AB 的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面5．已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( )A ．①③B．①④C．②③D．①②③④6．已知直线l 和平面α，若l ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，且在平面α内 C ．有无数条，一定在平面α内 D ．有无数条，不一定在平面α内7．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).8．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，O 为CD 上的动点，V P ­OAB 恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线PD 与直线AB 所成角的大小是________．二能力小题提升篇1.[2022·辽宁省实验中学高三模拟]如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是( )A.AB 与CF 成45°角B ．BD 与EF 成45°角C ．AB 与EF 成60°角D ．AB 与CD 成60°角2．[2022·广西柳州市高三摸底]三棱锥P ­ABC 中，若PA ＝PB ＝PC ，则P 在底面ABC 上的投影O 为△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 3.[2022·浙江省金华高三模拟]已知四面体A ­BCD ，AB ＝2，BC ＝BD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BE ⊥AC 于E ，BF ⊥AD 于F ，则( )A ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值B ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值 C ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值D ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值4．[2022·山西省大同市高三摸底]如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1C 1上的动点(点P 与A 1，C 1不重合)，则下列说法不正确的是( )A ．BD ⊥CPB ．三棱锥C ­BPD 的体积为定值C ．过P ，C ，D 1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值最大为135.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．6．[2022·西安模拟]如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是____________．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2．[全国卷Ⅱ]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A．22B．32C．52D．723．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p44．[2019·北京卷]已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．(答案不唯一)四经典大题强化篇1.已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．2．[2022·福建厦门质检]如图，在多面体ABCDEF中，AD，BE，CF均垂直于平面ABC，AC＝BC，AD＝2，BE＝4，CF＝3.(1)过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；(2)若∠ACB＝120°，AB＝43，求多面体ABCDEF的体积．点点练27 空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1．答案：A解析：如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．2．答案：D解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．3．答案：C解析：如图所示，易知A 1G ∥CF ，则∠EFC 为直线A 1G 与EF 所成角．不妨设AB ＝2，则CF ＝5，EF ＝6，EC ＝3，由余弦定理得cos∠EFC ＝5＋6－925×6＝3030，即直线A 1G 与EF 所成的角的余弦值为3030. 4．答案：D解析：设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连结EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋（2a ）2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连结DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ， 所以MN 与EF 异面，故选项B 错误． 5．答案：A解析：因为l ⊥α，α∥β，根据面面平行的性质知l ⊥β，又m ⊂β，则l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥α，则l 可能在β内或与β平行，则l 可能与m 相交、平行或异面，故②错误；由l ∥m ，l ⊥α可推出m ⊥α，又m ⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；若α，β的交线为m，则l⊥m，推不出α∥β，故④错误．6．答案：B解析：假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．7．答案：②③④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．8．答案：60°解析：因为V P­OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD 上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.二能力小题提升篇1．答案：D解析：由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB与CF成90°角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直于EF，所以BD与EF成90°角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成90°角，所以AB与EF成90°角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB与CD成60°角，故D正确．2.答案：B解析：由题意可得，∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，因为PA ＝PB ＝PC ，PO 为公共边，所以△POA ≌△POB ≌△POC ，所以OA ＝OB ＝OC ，所以O 为△ABC 的外心．3．答案：D解析：由AB ⊥平面BCD 知，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，则AC ＝AD ＝22＋（2）2＝6， 利用等面积法求得斜边上的高BE ＝BF ＝226＝233，从而有AE ＝AF ＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝63，则△AEF 为等腰三角形，AE 不可能与EF 垂直，即AC 不可能与EF 垂直，故AC 错误；由上知，EF CD ＝AE AC ＝13，设CD ＝x ，则EF ＝13x ，x ∈（0，4），由余弦定理知，cos∠FBE ＝BF 2＋BE 2－EF 22BF ·BE ＝43＋43－x 2983＝1－124x 2，则由x ∈（0，4）知，cos∠FBE ＝1－124x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，故∠FBE 为锐角，且sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，223，△BEF 的面积S ＝12BE ·BF ·sin∠FBE ＝23sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，429，当取得右侧边界点时，B ，C ，D 三点共线，不能构成三角形，故无最大值，故B 错误，D 正确．4．答案：D解析：由题可知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CP ，故A 正确；由等体积法得V C ­BPD ＝V P ­BCD＝13·S △BCD ·AA 1为定值，故B 正确；设A 1C 1的中点为M ，当P ∈MC 1时，如图1所示：图1图2此时截面是三角形D 1QC ，当P ∈MA 1时，如图2所示：此时截面是梯形D 1QRC ，故C 正确；在正方体中，连接D 1P ，则D 1P 为DP 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠D 1PD 为DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，设正方体的棱长为1，PD 1＝x ，则PD ＝1＋x 2，sin ∠D 1PD ＝11＋x2，当x 取得最小值时，sin ∠D 1PD 的值最大，即D 1P ⊥A 1C 1时，x 的值最小为22，所以sin ∠D 1PD 的值最大为63，故D 不正确． 5．答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .6．答案：②③④解析：还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合． 易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面． 又△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确的序号是②③④.三高考小题重现篇1．答案：B解析：过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上，∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，则EN＝EQ2＋QN2＝3＋1＝2，BE＝BC2＋CE2＝4＋4＝22，又在正方形ABCD中，BD＝22＋22＝22＝BE，∴△EBD 是等腰三角形，故在等腰△EBD中，M为DE的中点，∴BM＝BE2－EM2＝8－1＝7，∴BM ＝7>2＝EN，即BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线．2．答案：C解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝ 5.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAB ＝52.3．答案：①③④解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬p3是真命题；对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p4是假命题．综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，¬p2∨p3是真命题，¬p3∨¬p4是真命题．4．答案：①③⇒②或②③⇒①解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．四经典大题强化篇1．证明：（1）如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．（2）在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R 三点共线．（3）∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.2．解析：（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFHG即为所求截面．理由如下：∵AD ，BE ，CF 均垂直于平面ABC ，∴AD ∥BE ∥CF .∵AD ＝2，BE ＝4，∴四边形ABED 为梯形．又G ，H 分别为AB ，DE 的中点，∴HG ∥BE ，HG ＝3.∴HG ∥CF ，HG ＝CF ，则四边形CFHG 为平行四边形．∵AC ＝BC ，G 为AB 的中点，∴CG ⊥AB .又AD ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CG .又AB ∩AD ＝A ，∴CG ⊥平面ABED .又CG ⊂平面CFHG ，∴平面CFHG ⊥平面ABED .∴平行四边形CFHG 为所作的截面．（2）过点A 作AM ⊥BC ，交直线BC 于点M .∵BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AM . 又BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCFE ，∴AM ⊥平面BCFE .在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，AB ＝43，∴AC ＝BC ＝4，则AM ＝2 3.∴S △ABC ＝12×4×4×sin120°＝4 3. ∴V D －BCFE ＝13·S 四边形BCFE ·AM ＝13×[12×（3＋4）×4]×23＝2833， V D －ABC ＝13·S △ABC ·AD ＝13×43×2＝833.∴V 多面体ABCDEF ＝V D －ABC ＋V D －BCFE ＝833＋2833＝12 3.。

8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。

空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．②范围：____________. 3．公理4平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n 部分，则n 的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b 上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________________________________________________________________________．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1 在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC的中点，求证：MN ∥平面P AD .2、 面面平行的判定例2 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .变式迁移2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△P AB 、△PCB 、△P AC 的重心．求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；3、 平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC⊥PC .(1)求证：P A ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面P AD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l⊂α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2 a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA ＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面P AC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。

【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

空间中点线面的位置关系练习题1、下列有关平面的说法正确的是（ ）A 一个平面长是10cm ，宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形2、已知点A 和直线a 及平面α，则：①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33、下列图形不一定是平面图形的是（ ）A 三角形B 四边形C 圆D 梯形4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ）A.4、6、7B.3、4、6、7C.4、6、7、8D.4、6、85、共点的三条直线可确定几个平面 （ ）A.1B.2C.3D.1或36、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ∙ ∙ ∙7、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。

9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————10、空间两条互相平行的直线指的是（ ）A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）A 异面直线B 相交直线C 不平行直线D 不相交直线12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。