0653高一数学-江苏省大丰市新丰中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

大2006届高三第二次月考数学试卷命题人：徐中尧 审核人：季明宏一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、若集合{}x y y M -==2，{}1-==x y y N ，则=N M （ ）A 、 ),1(+∞B 、),1[+∞C 、),0(+∞D 、),0[+∞ 2、不等式321≤-+-x x 的最小正整数解为（ ）A 、0B 、-1C 、1D 、23、若p,q 为简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ） A 、p 假q 假 B 、p 真q 假 C 、p 假q 真 D 、p 真q 真4、若函数f(x),g(x)的定义域均为R ，则)()(x g x f >()R x ∈成立的一个充分不必要条件是（ ） A 、存在一个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B 、有无数个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C 、对R 中任意一个x 总有f(x)>g(x)+1成立D 、在R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)5、函数)10)(2(log <<+=a x y a 的图象不通过（ ）A 、第一象限B 、第二象限形C 、第三象限D 、第四象限 6、与sin 20080的值最接近的数是（ ）A 、21B 、23 C 、21- D 、23-7、函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx 的最小正周期为1则（ ）A 、1=ω，f(x)在[-π,0]上为增函数，f(x)为偶函数B 、πω=，f(x)在]0,21[-上为减函数，f(x)为偶函数 C 、1=ω，f(x)在]0,[π-上为减函数，f(x)为奇函数 D 、πω=，f(x)在]0,21[-上为增函数，f(x)为奇函数8、已知n S 是等差数列的前n 项和，2S =3 6S =4 则12S 等于（ ） A 、-7 B 、35- C 、-10 D 、2 9、如果数列{a n }满足1a =2，2a =1，并且)2(1111≥-=-++--n a a a a a a a a n n n n n n n n 则100a =（ ） A 、10021 B 、501 C 、1001 D 、992110、已知数列{}n a 的通项公式cbn ana n +=（a 、b 、c 均为正数）则n a 与1+n a 的大小关系为（ ）A 、1+>n n a aB 、1+<n n a aC 、1+=n n a aD 、不确定 11、在△ABC 中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C=（ ） A 、30o B 、150o C 、30o 或150o D 、60o 或120o 12、设)0()(2>+-=a a x x x f 若0)(<n f ，则（ ） A 、0)1(>-n f B 、0)1(<-n f C 、0)1(=-n f D 、不确定二、 填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 13、已知函数b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f -的图象过点Q （5，2），则=b ；14、已知53sin =x ，则)22sin(x -π= ；15、函数x x x y cos sin cos 2+=的周期为 ；16、阅读古诗“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”回答古诗中提出问题，答案是 ； 17、如果函数)(x f 满足：对于任意的R b a ∈,，都有)()()(b f a f b a f =+，且2)1(=f ，则=+++++)1225()1274()10()14()6()9()3()5()1()2(f f f f f f f f f f ； 18、给出如下命题：（1） 若α、β为第一象限角，且α>β,则βαsin sin >; （2） 函数x y tan =在定义域中为增函数;（3） 函数)252cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程为4π-=x ;（4） 函数)24sin(2x y -=π的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---ππππ83,8k k (Z k ∈) （5） 把函数x x y 2cos 32sin -=的图象向左平移3π个单位,得到函数)32sin(2π+=x y 的图象;其中正确命题的序号有 。

2015-2016学年大丰区新丰中学第二学期期中考试高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上。

） 1.直线y=3-x+3的倾斜角的大小为 . 2.点M (-1,2，－3)关于原点的对称点是________．3.已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与032)3(2:2=+--y x k l 平行，则k = ．4.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 的形状是________________三角形．5.在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B= ． 6.两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．7.若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为，则a = ．8.已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列命题：① 若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ② 若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③ 若α∥β，l ∥α，则l ∥β； ④ 若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．9.从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是______．11.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是____________．12.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ． 13.过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

江苏省大丰市新丰中学【精品】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,4A =，{}2,3,4B =，则AB =（ ） A ．{}4B ．{}3C ．{}1,4D ．{}1,2,3,4 2．函数()f x =） A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞C ．[0,2)(2,)⋃+∞D ．[2,)+∞ 3．已知函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，则()f x 的值域是（ ）A ．[]0,3B ．{}1,0,3-C ．{}0,1,3D ．[]1,3- 4．已知函数f(x)＝221,1{?1log ,1x x x x -≤+>，则函数f(x)的零点为( ) A ．12 ，0 B ．－2,0 C ．12 D ．05．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．1y x =+D ．1y x = 6．已知1335a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1453b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a << 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f (x )＝x 2－3x+1，则f (1)+f (0)等于（ ） A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－6 8．设奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②f (1)＝0，则不等式(x +1)f (x )>0的解集为（ ）A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)9．函数y =2﹣|x |的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设25a b m ==，且112a b +=，则m =（ ）A B ．C 或D ．1011．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若f(a )＝f(a ＋1)，则1(1)f a -＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．212．已知函数()()356,4,2, 4.x a x a x f x a x -⎧-+-≤=⎨>⎩，且()f x 是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．14,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．14,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,5D ．()1,5二、填空题13．设幂函数()a f x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．14．已知1(1)252f x x -=-，且()7f a =，则a 的值为__________．15．函数32x y m =-+的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是（用区间表示）__________16．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为__________.三、解答题17．已知集合U =R ，21{|0}1x A x x -=≥+，2{|230}B x x x =--< 求（1）U C B ；（2）A B .18．求值：（1）)()1410231102208500--⎛⎫-+⨯+- ⎪⎝⎭； （2）222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⋅+； 19．函数()21ax b f x x +=+为R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()235f x m ≤-区间[]2,4恒成立，求m 的取值范围． 20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为1y a =，2=y bx ，（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线1C 、2C 如图所示．（1）求函数1y 与2y 的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．21．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()322x x f x m =++ （1）确定实数m 的值及函数()f x 在R 上的解析式；（2）求函数()y f x =的零点22．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数，满足()()()f xy f x f y =+，当1x >时，()0f x <．（1）求(1)f 的值，试证明()f x 是偶函数．（2）证明()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）若(3)1f =-，()(8)2f x f x +-≥-，求x 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】由交集定义即可得到结果【详解】根据交集的定义可得{}4A B ⋂=,故选：A【点睛】本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题2．C【分析】利用偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】函数的定义域满足020x x ≥⎧⎨-≠⎩，即为[0,2)(2,)x ∈⋃+∞． 故选：C .【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3．B【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，所以2101x =--，，，；对应的函数值分别为：0103-，，，；所以函数的值域为：{}1,0,3-故答案为B ．考点：函数值域4．D【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0，故选D.5．C【分析】对四个选项逐一分析奇偶性和在(0,)+∞上的单调性，由此确定正确选项.【详解】对于选项A ，33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，不符合题意； 选项B 是偶函数，但由于二次函数的开口向下，在(0,)+∞上单调递减.不符合题意； 选项C 是偶函数，且在(0,)+∞上是单调递增，符合题意；选项D 是奇函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意．故选：C .【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6．A【分析】先将指数均整理为正数的形式,即1435b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据函数35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得b a >；再借助中间值1313⎛⎫ ⎪⎝⎭,由函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得1313c ⎛⎫< ⎪⎝⎭；由函数13y x =单调递增,可得1313a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,进而c a <,故可得到a 、b 、c 的大小关系 【详解】由题,11445335b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则当35x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,11433355b a ⎛⎫⎛⎫∴=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,31531133c ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当13y x =时,函数单调递增,11331335a ⎛⎫⎛⎫∴<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即c a < c a b ∴<<故选：A【点睛】本题考查比较指数的大小关系,需灵活利用指数函数的单调性及幂函数的单调性,比较大小时可借助中间值来处理.7．C【分析】根据0x <的函数解析式以及奇函数计算()1f 的值，注意()0f 的特殊性.【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()21113115f f ⎡⎤=--=----+=-⎣⎦且()00f =，所以()()105f f +=-.故选C.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在0x =处有定义时，一定要注意：()00f =.8．D【分析】由于()()110f f =-=，故可分四段：()()()(),11,00,11,-∞--+∞、、、去考虑.【详解】因为()f x 在()0,∞+递增且()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f <=，所以()()10x f x +<，当()1,x ∈+∞时，()()10f x f >=，所以()()10x f x +>；又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在(),0-∞递增且()10f -=，所以当(),1x ∈-∞-时，()()10f x f <-=，所以()()10x f x +>，当()1,0x ∈-时，()()10f x f >-=，所以()()10x f x +>；综上()()10x f x +>解集为：()()(),11,01,-∞--+∞，故选D.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合.9．C【分析】根据函数的单调性以及特殊值的函数值即可判断.【详解】当0x >时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是单调减函数， 又()01f =，故选：C.【点睛】本题考查指数型函数图象的辨识，涉及单调性的判断，属基础题.10．A【解析】由题意可得，由等式2,5a b m m ==（0m >）两边取对数，可得2511log ,log ,log 2,log 5,m m a m b m a b====，所以11log 2log 5log 102,m m m a b+=+==可得m = A. 【点睛】指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算．如本题把指数利用指数式与对数式互化用m 表示，从而进行运算．11．C【解析】【分析】利用已知条件，求出a 的值，然后求解所求的表达式的值，即可得到答案.【详解】由题意，当(0,1)a ∈时，()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，可得2a =， 解得14a =，则1(1)(3)2(31)4f f a -==⨯-=； 当[1,)a ∈+∞时，()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，可得2(1)2a a -=，显然无解， 综上可得1(1)4f a-=，故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中分类讨论由题设条件()(1)f a f a =+，转化为a 的方程，求解a 的值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.12．A【分析】根据指数函数以及一次函数的图像与性质求出a 的范围即可．【详解】解：由()f x 是单调递增函数，可知： ()5014562a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-+-≤⎩， 解得：14a 55≤< 故选：A ．【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，考查函数的单调性，注意分界点处函数值的关系. 13．32【解析】 由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 14．2【分析】先令112x a -=,可得()21x a =+,代回函数关系式可得()41f a a =-,进而求得a 【详解】 令112x a -=,()21x a ∴=+, ()()2215417f a a a ∴=⋅+-=-=,2a ∴=,故答案为：2【点睛】本题考查已知函数值求参数,考查函数转换的思想,属于基础题15．(],2-∞-【分析】 作出函数32xy =-的图象，结合图象可知实数m 的取值范围【详解】 作出函数32x y =-的图象：由图可知，若函数32x y m =-+的图象不经过第二象限，则将32x y =-至少向下移动2个单位，则2m ≤-故答案为：(],2-∞-【点睛】本题考查了与指数相关的函数的图像与性质，考查了图像平移变换，属于中档题． 16．3(,)2-+∞【分析】根据题意，分析可得f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g（x +1）＞g （x +2），由函数奇偶性的定义分析可得g （x ）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＞|x +2|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）+x 2，则f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2）， 若f （x ）为偶函数，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）+（﹣x ）2＝f （x ）+x 2＝g （x ），即可得函数g （x ）为偶函数，又由当x ∈（﹣∞，0]时，g （x ）单调递增，则g （x ）在[0，+∞）上递减， 则g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＜|x +2|⇒（x +1）2＜（x +2）2，解可得x 32-＞， 即不等式的解集为（32-，+∞）； 故答案为（32-，+∞）． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g （x ）的奇偶性与单调性，属于中档题．17．（1）{=|1U C B x x ≤-或}3x ≥；（2）132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合B 中表示元素的范围，然后直接求解补集；（2）将A B 、中的表示元素范围写出，然后根据交集定义求解交集. 【详解】（1）因为2230x x --<，所以13x ，所以{}|13B x x =-<<，则{|1U C B x x =≤-或}3x ≥；（2）因为2101x x -≥+，所以12x ≥或1x <-，所以1|2A x x ⎧=≥⎨⎩或}1x <-，且{}|13B x x =-<<，所以A B =1|32x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算,难度较易.18．（1）16；（2）3 【分析】（1）利用指数幂的运算法则求值,即可得解；（2）利用对数的运算法则,凑出lg 2lg51+=,即可得解 【详解】 解：（1）)()141231102208500--⎛⎫-+⨯+- ⎪⎝⎭()()()41123450020810220220201616⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=+-=++=（2）222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⋅+ ()()()()22322222lg 5lg8lg 5lg 45lg 22lg 5lg 4lg 52lg 2lg 5lg 22lg 52lg 22lg 5lg 2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 2lg 5213=++⋅⨯+=++⋅++=++⋅++=+++=+= 【点睛】本题考查利用指数运算法则,对数运算法则求值,考查运算能力 19．（1）()21xf x x =+；（2）(][),11,-∞⋃+∞. 【分析】（1）根据奇函数的性质求b ，再代值计算求出a ；（2）求出函数f （x ）的最大值即可，根据基本不等式即可求出． 【详解】 （1）()()f x f x -=-，()()0f x f x ∴-+=，22011ax b ax bx x -++∴+=++对一切x 成立，即2201b x =+恒成立，0b ∴=，()21axf x x ∴=+． 又1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，1a ∴=. ()21x f x x ∴=+． （2）在区间[]2,4上任取1x ，2x ，且1224x x ≤≤≤，则()()()()()()221222121222221212111111x x x x x x f x f x x x xx +-+-=-=++++，()()()()()()()()12211221122222121211111x x x x x x x x x x x x x x -+---==++++．1224x x ∴≤≤≤，210x x ∴->，1210x x ->， 又2110x +>，2210x +>，故知()()()()211222121011x x x x x x -->++，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x >．故知，函数在[]2,4上单调递减．()()max 225f x f ∴==． 若()235f x m ≤-区间[]2,4恒成立，()2max 35f x m ≤-，即22355m ≤-，21m ∴>，21m ∴≤-或1m ≥，m ∴的取值范围是(][),11,-∞⋃+∞．【点睛】本题考查了函数恒成立的问题以及奇函数的性质和基本不等式，属于中档题． 20．（1）14(0)5y x =≥，21(0)5y x x =≥；（2）该商场所获利润的最大值为1万元. 【分析】（1）分别将()0,0与88,5⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中,即可求得m ,a ,b ,需注意标出x 范围 ； （2）设总利润12y y y =+,设甲商品投资x 万元,乙投资()4x -万元,分别代入1y ,2y ,可得41(4)(04)55y x x =+-≤≤,利用换元法,(1t t =≤≤,则2141555y t t =-++,即可求得最大值.【详解】(1)由题意,将()0,0与88,5⎛⎫⎪⎝⎭代入1y a =得,0835m am a =+⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得44,55m a ==-,∴14(0)5y x =≥ 将88,5⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2=y bx 中,可得818,55b b =∴=,21(0)5y x x ∴=≥；(2)设销售甲商品投资x 万元,则乙投资()4x -万元,则0x ≥,40x -≥,04x ∴≤≤设总利润1241(4)(04)55y y y x x =+=+-≤≤,(1t t =≤≤,则21x t =-,∴()2241141415555554y t t t t ⎡⎤=-+--=-++⎣⎦当2t =即3x =时,y 取到最大值为1.答：该商场所获利润的最大值为1万元. 【点睛】本题考查由图象求解析式,考查函数的应用问题,考查函数的最值问题,考查运算能力21．（1）4m =-，()1324,02324,02xx x x x f x x ⎧-⋅-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩；（2）122320,log 3,log 3x x x ===-【分析】（1）由奇函数的定义可得当0x =时,()00f =,即可解得4m =-；设0x <,则0x ->,将x -代入()3242xxf x =+-中,整理可得()()132402x x f x x =-⋅-+<,进而得到解析式. （2）先求当0x ≥时,令()0f x =,求得零点,再根据奇函数的性质解得0x <时的零点即可 【详解】 （1）()f x 是定义在R 上的奇函数,∴当0x =时,()40f x m =+=∴4m =-,∴当0x ≥时,()3242x xf x =+- 设0x <,则0x ->,∴()312432422x xx x f x ---=+-=⋅+-, ()()f x f x -=-,()()132402x x f x x ∴=-⋅-+< ()1324,02324,02xx x x x f x x ⎧-⋅-+<⎪⎪∴=⎨⎪+-≥⎪⎩（2）当0x ≥时,()3242xx f x =+-， 令()0f x =,得()32402xxf x =+-= 即()224230xx -⋅+=,解得21x =或23x =,1220,log 3x x ∴==()f x 是定义在R 上的奇函数所以当0x <时的根为：32log 3x =-所以方程的根为：122320,log 3,log 3.x x x ===- 【点睛】本题考查利用奇偶性求值,利用奇偶性求解析式,考查求零点,考查运算能力 22．(1) (1)0f =；证明见解析. (2) 证明见解析.(3)[1,0)(0,4[4(8,9]-⋃-⋃+⋃. 【解析】分析：（1）先求得()10f =，再求得()10f -=，令1y =-，则()()()()1f x f x f f x -=+-=，从而可得结论；（2）设1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵211x x >，则210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，从而可得结果；(3)求得()()9232f f ==-， 可得()()()()889f x f x f x x f ⎡⎤+-=-≥⎣⎦，化为()()8980x x x x ⎧-≤⎪⎨-≠⎪⎩，从而可得结果. 详解：（1）∵()()()f xy f x f y =+ 令1x y ==得()()11f f = ∴()10f =．令1x y ==-，，()()110f f -==，()10f -=， 令1y =-，则()()()()1f x f x f f x -=+-=． 即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数． （2）∵()()()f xy f x f y =+， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵211x x >， 则210x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭， 即()()21f x f x <，即()f x 在()0,+∞上单调递减．（3）∵()31f =-， ∴()()9232f f ==-，∴()()()()889f x f x f x x f ⎡⎤+-=-≥⎣⎦， ∵()f x 为偶函数，且在()0,+∞上单调递减，∴()()8980x x x x ⎧-≤⎪⎨-≠⎪⎩， 综上，x 的取值范围为[)[()(]1,00,448,9-⋃⋃+⋃．点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.。

2012-2013学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，把答案直接填在答题纸相应位置上．1．（5分）函数的最小正周期T= π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期公式结合题意可得最小正周期T==π，即可得答案．解答：解：∵函数，∴由周期公式可得最小正周期T==π，故答案为：π点评：本题考查三角函数的周期公式，属基础题．2．（5分）已知A={y|y=sinx}，x∈R，B={y|y=x2}，x∈R，则A∩B=[0，1] ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A中的正弦函数y=sinx，得到值域y的范围确定出集合A，由集合B中的二次函数y=x2，得到值域y的范围确定出集合B，然后求出两集合的交集即可．解答：解：由集合A中的正弦函数y=sinx，得到y∈[﹣1，1]；由集合B中的二次函数y=x2≥0，得到y∈[0，+∞），在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则A∩B=[0，1]．故答案为：[0，1]点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴会得到意想不到的收获．3．（5分）幂函数的图象过点，则其解析式为y=x2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的概念设f（x）=x n，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．解答：解：设f（x）=x n，∵幂函数y=f（x）的图象过点（，2），∴（）n=2∴n=2．这个函数解析式为 y=x2．故答案为：y=x2点评：解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．4．（5分）若函数，则= 0 ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接根据分段函数的定义域以及特殊角的三角函数值解答即可．解答：解：∵＞0∴f（）=tan=tan（π﹣）=﹣tan=﹣1又∵﹣1＜∴f（﹣1）=log21=0∴=0故答案为：0点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，熟记公式是解题的关键，属于基础题．5．（5分），的值域为[1，2] ．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据x的取值范围，得到∈[，]，由此结合正弦函数的图象与性质，即可得到≤sin（）≤1，从而得到所求函数的值域．解答：解：∵≤x≤∴≤≤结合正弦函数的图象与性质，可得：≤sin（）≤1当x=或时，sin（）的最小值为；当x=时，sin（）的最大值为1．由此可得，当时的最大值为2，最小值为1∴函数，的值域为[1，2]故答案为：[1，2]点评：本题给出正弦型函数表达式，求函数在闭区间上的值域．着重考查了正弦函数的图象与性质和复合三角函数的单调性等知识，属于基础题．6．（5分）已知函数（e为常数）是奇函数，则a= ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的关系式列出f（1）=﹣f（﹣1），代入解析式化简后求出a的值．解答：解：∵（e为常数）是奇函数，∴f（1）=﹣f（﹣1），则a+=﹣a﹣∴2a=﹣﹣==1，解得a=，故答案为：．点评：本题考查了利用奇函数的关系式求参数的值，注意在定义域中取简单的值进行求解要容易的多．7．（5分）（2007•浙江）已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围确定2θ的范围，最后利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．解答：解：∵，∴两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即．∴．∵≤θ≤，∴π≤2θ≤．∴．故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．8．（5分）若，x为第二象限角，则m的值为8 ．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由x为第二象限角，得到cosx的值小于0，根据sin2α+cos2α=1，列出等式求出m 的值．解答：解：∵sinx=，x是第二象限的角，∴cosx=﹣=∴m=8故答案为：8．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．（5分）设P为曲线C：y=x2﹣x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[﹣1，3]，则点P纵坐标的取值范围是[，3] ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲求点P纵坐标的取值范围，即求y=x2﹣x+1的值域问题，其中x为切点的横坐标，设切点P（x0，y0），先利用导数求出在点P处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，由斜率的范围求出x0范围．从而问题解决．解答：解：设P（x0，y0），y′=2x﹣1，∴﹣1≤2x0﹣1≤3⇒0≤x0≤2，有．故答案为：[，3]．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数值等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10．（5分）（2010•扬州二模）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（﹣2，1）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；新定义．分析：根据题中已知得新定义，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围．解答：解：由a⊙b=ab+2a+b，得到x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，即x2+x﹣2＜0 分解因式得（x+2）（x﹣1）＜0，可化为或，解得﹣2＜x＜1所以实数x的取值范围为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）点评：此题属于以新定义为平台，考查了一元二次不等式的解法，是一道基础题．11．（5分）已知函数f（x）满足，则f（x）的最小值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：先用替代x得到2，然后联立方程组即可求出函数f（x）的解析式，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可．解答：解：∵…①∴2…②联立①②解得：f（x）=而f（x）=≥×=当且仅当|x|=时取等号故答案为：．点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的最值及其几何意义，解题时注意等号成立的条件．12．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则a的取值范围a ＜﹣4 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用分离参数法，原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，设y=2x2﹣8x﹣4，y=a，要使等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在{x|1＜x＜4}内有解，只须a小于y=2x2﹣8x ﹣4在1≤x≤4内的最大值时即可，从而求得实数a的取值范围．解答：解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0可化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1≤x≤4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4=2（x﹣2）2﹣12∴y=2x2﹣8x﹣4在1≤x≤4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故答案为：a＜﹣4点评：本题主要考查一元二次不等式有解问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是将不等式有解问题，转化为求函数的最值，应注意区分有解与恒成立问题．13．（5分）（2009•闵行区一模）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为﹣4 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：由所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，建立a，b，c关系式，求得答案．解答：解：设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2∵s为定义域的两个端点之间的部分，就是[x1，x2]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）max]，且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区∴|x 1﹣x2|=∵|x1﹣x2|==∴=∴a=﹣4故答案为：﹣4点评：本题借助二次函数及二次方程的有关性质，探讨函数的定义域和值域问题，注意二次函数的开口方向，形式比较新颖，是个中档题．14．（5分）（2009•天津）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：由关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．解答：解：∵不等式等价于（﹣a+4）x2﹣4x+1＜0，当a≥4时，显然不满足要求，故4﹣a＞0且△=4a＞0，故0＜a＜4，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集．所以，解得a的范围为故答案：点评：本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．二．解答题：本大题共6小题共90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时写出相应文字说明，证明过程和演算步骤．15．（14分）若函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（x2﹣（2a+1）x+a2+a）的定义域为集B（1）求集合A，B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据二次根式的被开方数大于0，以及对数的真数大于0，解关于x的不等式即可得到两个函数的定义域，从而得到集合A和集合B；（2）根据题意，集合A是集合B的子集．由此结合数轴建立关于x的不等式，解之即可得到满足条件的实数a的取值范围．解答：解：（1）∵函数的定义域满足≥0，解之得x≤﹣1或x＞2∴集合A={x|x≤﹣1或x＞2}又∵数g（x）=lg（x2﹣（2a+1）x+a2+a）的定义域满足x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0即（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，解之得x＜a或x＞a+1∴集合B={x|x＜a或x＞a+1}…（6分）（2）∵A∩B=A，∴A⊆B结合（1）的结论，可得，解之得﹣1＜a≤1∴满足A∩B=A的实数a的取值范围为（﹣1，1]…（14分）点评：本题给出含有根号和对数的两个函数，求函数的定义域并讨论它们的包含关系．着重考查了基本初等函数的定义域求法和集合的基本运算等知识，属于基础题．16．（14分）（2009•湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．考点：平面向量的坐标运算．分析：（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．（2）由|a|=|b|化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．解答：解：（1）∵a∥b∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ即4sinθ=cosθ∴tanθ=（2）由|a|=|b|∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=﹣1故有sin（2θ+）=﹣又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）∴2θ+=π或2θ==π∴θ=或θ=π点评：本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．17．（15分）如图，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB=100公里，甲火车从A站出发，沿AC方向以50公里/小时的速度行驶，同时乙火车以v公里/小时的速度从B站沿BA方向行驶至A即停止前行，甲仍继续行驶（1）求甲，乙两车的最近距离（两车的长忽略不计）；（2）若甲，乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近所用时间为t0小时，问v为何值时t0最大．考点：基本不等式；函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）设乙车行驶t小时到D，甲车行驶t小时到E，分类讨论，利用二次函数确定最值；（2）利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）设乙车行驶t小时到D，甲车行驶t小时到E若0≤vt≤100，则DE2=AE2+AD2=（100﹣vt）2+（50t）2=（2500+v2）t2﹣200vt+10000 ∴时，DE2取到最小值，DE也取到最小值，最小值为若vt＞100，乙车停止，甲车继续前行，DE越来越大，无最大值综上，甲，乙两车的最近距离为公里；（2）=≤=1，当且仅当，即v=50公里/小时，t0最大点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．18．（15分）（2011•郑州三模）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且+=（1）求角A 的大小；（2）若=+，a=，求b的值．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）在已知的等式两边同时乘以a+b+c，变形后得到一个关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）根据正弦定理=化简已知的等式，然后由A+B+C=π，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinA，cosA 的值代入即可求出tanB的值，然后再由同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值．解答：解：（1）由题意+=3，即+=1，整理得：b2+c2﹣a2=bc，（2分）由余弦定理知cosA==，∵在△ABC中，0＜A＜π，∴A=；（6分）（2）由正弦定理得：===，所以+cosA=+=+，解得tanB=，则cos2B===，又B∈（0，π），所以sinB==，（10分）又a=，sinA=，由正弦定理得b===2．（12分）点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（16分）已知函数．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：综合题．分析：（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（II）由 t∈[1，2]时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．解答：解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，故m的取值范围是[﹣5，+∞）．点评：本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．20．（16分）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．解答：解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）=3x2﹣6ax+3，当a=2时，f′（x）=3x2﹣12x+3=3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0 解得：或∴f（x ）的单调增区间是；（2）∵f′（x）=3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3=0可得a=，令g（x）=，求导函数可得g′（x）=∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a ＜，此时满足△＞0，故a 的取值范围是＜a ＜．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．11。