带电粒子在圆形有界磁场中的运动

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。

带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。

带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。

如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。

带电粒子在圆形有界磁场中运动的总结结论一、沿径向射入必沿径向射出【例1】如图1所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。

现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为()A. 12Δt B. 2Δt C. 13Δt D. 3Δt 解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB ＝m v 2r故粒子第一次通过磁场区时的半径为r ＝mv qB圆弧AC 所对应的圆心角∠AO 'C ＝60°，粒子经过的 Δt ＝60°360°T T 为粒子在匀强磁场中运动的周期，大小为T ＝2em qB，与粒子速度大小无关。

当粒子速度减小为v 3后，根据r ＝mv qB 知其在磁场中的轨道半径变为r 3，粒子将从D 点射出，根据图2中几何关系得圆弧AD 所对应的圆心角∠AC 'D ＝120°，经历的时间为Δt ＝60°360°T ＝2Δt由此可知选项B正确。

答案：B结论二、电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点的切线射出磁场；相反，若带电粒子以相互平行的速度射入磁场时，这些带电粒子在磁场中做圆周运动后，将会聚于磁场区域圆周上一点，该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行。

【例2】如图3所示，在xOy坐标系中，以(r，O)为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。

在y＞r的足够大的区域内，存在沿Y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。

带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。

试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。

解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。

一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。

1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。

首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。

(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。

圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

微专题72 带电粒子在圆形边界磁场中的运动1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、将轨迹圆圆心与两交点连线、将轨迹圆与磁场圆圆心连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．1.如图所示，圆心为O 、半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B .氦核(42He)和质子(11H)先后从A 点沿AO 的方向射入磁场，均从C 点射出磁场，OA与OC 的夹角为106°.氦核(42He)的质量为m 、电荷量为q ，不计粒子的重力，sin 53°＝0.8，下列说法正确的是( )A ．质子与氦核在磁场中运动的时间相等B ．质子在磁场中运动的时间是氦核的2倍C ．氦核(42He)的速度大小为4qBR 3mD ．质子(11H)的速度大小为2qBR 3m 答案 C解析 作出质子(11H)和氦核(42He)在磁场中的运动轨迹，如图所示根据题意可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的圆心角相等，运动周期为T ＝2πm qB ，运动时间为t ＝θ2πT ，可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的时间之比为t 1t 2＝12，故A 、B 错误；对质子(11H)和氦核(42He)，根据几何关系可得tan 53°＝rR ，又q v B ＝m v 2r，可得氦核(42He)的速度大小为v 1＝4qBR 3m ，质子(11H)的速度大小为v 2＝8qBR3m，故C 正确，故D 错误． 2.(多选)(2023·河北张家口市高三模拟)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD ＝60°.在A 点有一个粒子源，沿与AC 成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．则从A 点射出的粒子的比荷qm可能是( )A.v BRB.3v 2BRC.3v BRD.3v 3BR答案 AD解析 带电粒子从C 点射出磁场时，轨迹如图所示由几何关系得sin 30°＝Rr 1，解得r 1＝2R ，带电粒子从D 点射出磁场时，轨迹如图所示，由几何关系得AODO 2是菱形，所以粒子的轨迹半径r 2＝R ，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r 2≤r ≤r 1，由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r ，解得从A 点射出的粒子的比荷满足v2BR ≤q m ≤vBR，故选A 、D.3.(多选)如图所示，半径为R 、圆心为O 的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a 点先后沿直径ac 和弦ab 方向射入磁场区域，ab 和ac 的夹角为30°，已知沿ac 方向射入的粒子刚好从b 点射出，沿ab 方向射入的粒子刚好从O 点正下方射出，不计粒子重力．则( )A ．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为RB ．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(3＋1)RC ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1D ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为2－33答案 BC解析 沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r 1＝R tan 30°＝3R ，故A 错误；沿ab 方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2所示，根据几何关系可知，该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 2满足r 2sin 45°＝R sin 15°，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r 2＝(3＋1)R ，故B 正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T ＝2πmqB ，可知在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C 正确；根据q v B ＝m v 2r ，可得v＝qBrm ，则沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为3－32，故D 错误．4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d 为( )A.12RB.33RC.22R D.32R 答案 B解析 粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r ＝Rtan 30°，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．由图乙可知sin θ＝R r ，平移距离为d ＝R sin θ，解得d ＝33R ，故B 正确，A 、C 、D 错误．5.(多选)(2023·湖北省联考)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等．圆心在(O ，R )，半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .磁场右侧有一长度为R ，平行于y 轴的光屏，其中心位于(2R ，R )．已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则( )A ．粒子速度大小为qBRmB ．所有粒子均能垂直射在光屏上C ．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为2πm3qBD ．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135° 答案 AC解析 由题意，初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qB v ＝m v 2r ，r ＝R ，解得v ＝BqRm ，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离原点的竖直高度最大值为2R ，并不会垂直打在光屏上，B 错误；如图甲，打在光屏上端的粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为23π，甲根据周期公式T ＝2πr v ，可得t ＝2π32πT ＝13T ＝2πm3Bq ，C 正确；粒子初速度方向与x 轴夹角为θ 时，若能打在光屏下端，如图乙乙由几何关系可得圆心角为60°，即初速度与x 轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时(如图甲)，初速度与x 轴夹角为θ2＝120°，D 错误．6.如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)．一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，以大小为v 的速度沿＋x 方向自磁场边界上的点P (L ,3L )射入，从点Q (L ,0)射出时速度方向与x 轴负方向成60°角，粒子重力不计．求：(1)磁感应强度的大小和方向； (2)圆形有界磁场的最小面积．答案 (1)m v qL 方向垂直于纸面向外 (2)34πL 2解析 (1)由于PQ 平行于y 轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 上，由几何关系可得r ＋rcos 60°＝3L由牛顿第二定律可得q v B ＝m v 2r联立解得B ＝m vqL由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外．(2)设带电粒子从点F 飞出后经过Q 点，则以PF 为直径的圆形有界磁场的面积最小，设圆形磁场的最小半径为R ，由几何关系可得R ＝r sin 60°＝32L 则最小面积为S ＝πR 2＝34πL 2.7.如图所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相切于坐标原点O .O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍. 已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ，不考虑带电粒子的重力．(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； (2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角． 答案 (1)m vqB(2)60°解析 (1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bq v ＝m v 2r ，则r ＝m vBq .(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sinφmax 2＝R r ＝12，即φmax ＝60°.8.如图所示，真空中有两个以O 为圆心的同心圆，内圆半径为R ，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B .在内圆边界上有一粒子源S ，所发出的粒子质量为m ，电荷量为＋q ，速度大小为v 0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S ，则v 0应该满足什么条件(写出v 0与m 、q 、B 、R 之间的关系)?(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S 处的时间是多少？答案 (1)R ＋2m v 0qB (2)v 0＝qBR m tan πn (n ≥3，且取整数) (3)见解析解析 (1)粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 02r解得r ＝m v 0qB当粒子轨迹与外圆内切时外圆半径最小，如图由图中几何关系得，外圆半径R 1＝R ＋2r 故外圆半径至少为R 1＝R ＋2m v 0qB(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将内圆均分成n 段圆弧(n ≥3，且取整数)，如图由图中几何关系得θ＝2π2n ＝πn且tan θ＝rR故tan πn ＝m v 0qBR(n ≥3，且取整数)则v 0应满足：v 0＝qBR m tan πn (n ≥3，且取整数)(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ＝2πr v 0＝2πmqB粒子相邻两次经过内圆，在内圆外运动的时间t 1＝2π－(π－2θ)2πT ＝(π＋2θ)mqB粒子相邻两次经过内圆，在内圆内运动的时间t 2＝π－2θ2πT ＝(π－2θ)mqB当(2)中n 为奇数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝(n －1)2(t 1＋t 2)＋t 1＝(n 2＋2)πmnqB (n ≥3，且取奇数)当(2)中n 为偶数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝n 2(t 1＋t 2)＝n πmqB (n ≥3，且取偶数)．。

带电粒子在磁场中的活动例1.如图所示,在宽度为d磁感应强度为B.程度向外的匀强磁场矩形区域内,一带电粒子以初速度v入射,粒子飞出时偏离原倾向60°,运用以上数据可求出下列物理量中的哪几个变式.若带电粒子以初速度v从A点沿直径入射至磁感应强度为B,半径为R 的圆形磁场,粒子飞出时偏离原倾向60°,运用以上数据可求出下列物理量中的哪几个运用1.如图所示,长方形 abcd 长 ad = ,宽 ab = , O.e分离是 ad.bc 的中点,以 ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（鸿沟上无磁场）,磁感应强度 B＝0.25T .一群不计重力.质量 m ＝3 ×10-7 kg .电荷量 q ＝＋2×10－3C 的带电粒子以速度v ＝5×l02m/s 沿垂直 ad 倾向且垂直于磁场射入磁场区域 ( )A．从 Od 边射入的粒子,出射点全体散布在 Oa 边 B．从 aO边射入的粒子,出射点全体散布在 ab 边C．从Od 边射入的粒子,出射点散布在Oa 边和 ab 边D．从aO边射入的粒子,出射点散布在ab 边和bc边运用2.在以坐标原点O为圆心.半径为r的圆形区域内,消失磁感应强度大小为B.倾向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图10所示.一个不计重力的带电粒子从磁场鸿沟与x轴的交点A处以速度v沿-x倾向射入磁场,正好从磁场鸿沟与y轴的交点C处沿+y倾向飞出.（1）请断定该粒子带何种电荷,并求出其比荷q/m;（2）若磁场的倾向和地点空间规模不变,而磁感应强度的大小变成B′,该粒子仍从A处以雷同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度倾向相对于入射倾向转变了60°角,求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中活动所用时光t是若干？例2.如图所示,一束电子流以不合速度,由鸿沟为圆形的匀强磁场的鸿沟上一点A,沿直径倾向射入磁场,已知磁感应强度倾向垂直圆平面,则电子在磁场中活动时：（）A轨迹长的活动时光长B速度大的活动时光长C偏转角大的活动时光长D速度为某一值时不克不及穿出该磁场变式.如右图所示,直角三角形ABC中消失一匀强磁场,比荷雷同的两N O M P Q B B N O M P Q BB 个粒子沿AB 倾向射入磁场,分离从AC 边上的P.Q 两点射出,则例3.如右图所示,在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场,MN 是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电.电荷量为q.质量为m.速度为v 的粒子,不斟酌粒子间的互相感化力,关于这些粒子的活动以下说法准确的是A.只要对着圆心入射,出射后均可垂直打在MN 上B.对着圆心入射的粒子,其出射倾向的反向延伸线不必定过圆心C.对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中经由过程的弧长越长,时光也越长m qBR v /=,沿不合倾向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上（出射速度有什么关系？）若雷同速度平行经由p 点的直径进入磁场,出射点又有什么纪律？ 例4.如图所示,半径为R 的绝缘筒中为匀强磁场区域,磁感强度为B,磁感线垂直纸面向里.一个质量为m.电量为q 的正离子,以速度v 从圆筒上C 孔处沿直径倾向射入筒内,假如离子与圆筒碰撞两次（碰撞时不损掉能量,且碰撞所用的时光不计),从C 孔飞出,则离子在磁场中活动的时光为：（ ）A.v R π2B.v R π3C.qB m πD.qBm π32 拓展：一个质量为m.电量为q 的离子,以速度v 从圆筒上C 孔处沿直径倾向射入筒内,从R 孔飞出,则离子在磁场中活动的时光为（ ）例5.如图所示,直线MN 下方无磁场,上方空间消失一个匀强磁场,其鸿沟线是半径为R 的半圆,磁场倾向相垂直于纸面,磁感应强度大小为B.现有一质量为m.电荷量为q 的带负电微粒从P 点沿半径倾向向左侧射出,不计微粒的重力.P.O.Q 三点均在直线MN 上.（1）微粒在磁场中活动的周期？（2）可否回到Q 点？（3）若在半圆形内加一磁场强度也为B 的磁场,可否回到Q 点,若能请画出粒子的活动轨迹（至少三种）.（4）小结：圆形磁场区域中速度与轨迹的几何特色？ 运用1：如图所示,直线MN 下方无磁场,上方空间消失两个匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,其分界限是以O 为圆心.半径为R 的半圆弧,Ⅰ和Ⅱ的磁场倾向相反且垂直于纸面,磁感应强度大小都为B.现有一质量为m.电荷量为q 的带负电微粒从P 点沿PM 倾向向左侧射出不计微粒的重力.P.O.Q 三点均在直线MN 上,求：（1）若微粒只在磁场Ⅰ中活动,可否到达Q 点？ （2）画出可以或许到达Q 点的离子活动轨迹（至少二种） （3）求出可以或许到达Q 点的离子的最大速度.运用2.如图所示,直线MN 下方无磁场,上方空间消失两个匀强磁场,其分界限B 是半径为R 的半圆,两侧的磁场倾向相反且垂直于纸面,磁感应强度大小都为B ．现有一质量为m.电荷量为q 的带负电微粒从P 点沿半径倾向向左侧射出,最终打到Q 点,不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中活动的周期．（2）从P 点到Q 点,微粒的活动速度大小及活动时光．（3）若向里磁场是有界的,散布在以Ｏ点为圆心.半径为R 和2R 的两半圆之间的区域,上述微粒仍从P 点沿半径倾向向左侧射出,且微粒仍能到达Q 点,求其速度的最大值．3.结论：带电粒子进入圆形磁场,,中垂线经由两圆的圆心,课后演习1.在直径为d 的圆形区域内消失着平均磁场,磁感应强度为B,磁场倾向垂直于圆面指向纸外．一电荷量为q.质量为m 的带正电粒子,从磁场区域的一条直径AC 上的A 点沿纸面射入磁场,其速度倾向与AC 成︒=15α角,如图所示．若此粒子在磁场区域活动进程,速度的倾向一共转变了90º．重力可疏忽不计,求：（1）该粒子在磁场区域内活动所用的时光?（2）该粒子射入时的速度大小?3.如图,半径为R=10cm 的圆形匀强磁场,区域鸿沟跟y 轴相切于坐标原点O,磁感应强度B = 0.332T,倾向垂直纸面向里,在O 处有一放射源S,可沿纸面向各个倾向射出速度均为v=3.2×106m/s 的α粒子,已知α粒子质量为m=6.64×10-27kg,电荷量q=3.2×10-19C.(1)画出α粒子经由过程磁场空间做圆周活动的圆心点的连线线外形;(2)求出α粒子经由过程磁场的最大倾向角;(3)再以过O 并垂直纸面的直线为轴扭转磁场区域,能使穿过磁场区域且偏转角最大的α粒子射出磁场后,沿y 轴正倾向活动,则圆形磁场直径OA 至少应转过多大角度？4.如图(a)所示,在以O 为圆心,表里半径分离为R1和R2的圆环区域内,消失辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场,表里圆间的电势差U 为常量,R1=R0,R2=3R0.一电荷量为+q.质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域,不计重力.(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出,求粒子在A 点的初速度v0的大小(2)若撤去电场,如图(b),已知粒子从OA 延伸线与外圆的交点C 以速度v2射出,倾向与OA 延伸线成45°角,求磁感应强度的大小及粒子在磁场中活动的时光(3)在图19(b)中,若粒子从A 点进入磁场,速度大小为v3,倾向不肯定,要使粒子必定可以或许从外圆射出,磁感应强度应小于若干？解：（1）由 200v Bqv m R = （2分） 02r T v π= （2分）得2m T qBπ= （1分） （2）粒子的活动轨迹将磁场鸿沟分成n 等分（n=2,3,4……） 由几何常识可得：2n πθ= ;tan r Rθ= ; （1分）又 200v Bv q m r = （1分）得 0tan 2BqR v m n π= （n=2,3,4……） （1分） 当n 为偶数时,由对称性可得 2n nm t T Bqπ== （n=2,4,6……） （1分） 当n 为奇数时,t 为周期的整数倍加上第一段的活动时光,即21(1)22n n m n t T T nBqππππ+-+=+= （n=3,5,7……） （1分）得 2cos 1sin 22n n ππ>+ （当n=2时 不成立,如图 （1分）比较当n=3.n=4时的活动半径,知 当n=3时,活动半径最大,粒子的速度最大．tan 2mv r R n Bq π=== （2分）得：0v = （1分）。

带电粒子在磁场中的运动因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷非平行与磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提==2/。

带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做供向心力，即F qvB mv R完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。

无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。

1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。

方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。

2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。

一般可运用平面几何知识来求半径的长度。

3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。

4. 应用对称规律带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。

一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。

当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。

做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122=(/)/tan(/)B r mU e二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。

高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。

等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。

当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。

物理建模：模型：如图所示。

当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。

O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。

图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。

由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。

反之也成立。

解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。

【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。

在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。

在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。

发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。

带电粒子在圆形有界磁场中运动的两个重要结论莫尔定律和牛顿定律是描述带电粒子在圆形有界磁场中运动的两个重要结论，他们是理解电磁学的重要关联，正是由它们的联合作用才有了良好的物理现象。

首先，莫尔定律申明了微粒子在圆形有界磁场中运动的轨迹及磁场中粒子具有持续平衡状态。

从表面上看，粒子在曲线上定时变化，每次完成弧形循环，时期性地回到原来地方。

非常规趜势，莫尔定律把运动周期视为运动圆定律，由磁链间距决定，即只要有磁场存在，就会存在周期性运动。

从物理学角度上来说，由莫尔定律可以观测出，带电粒子在受到磁场作用的情况下，它的运动可以被划分成给定的部分，越是向磁场中心旋转，给粒子的加速度就越大，给到粒子的力就越大，使其旋转速度更快，可以比两个出发时间相同的粒子，得到更多的运动平衡状态，获得更多的速度。

因此，这一定律不仅可以应用于带电粒子的运动，还可以应用于旋转体系中的直线运动。

其次，牛顿定律研究了带电粒子在圆形有界磁场中运动的动量守恒。

从观测上看，穿越磁场时粒子受到一个恒定的力，这种力在物体运动过程中是恒定的，它描述了受磁场作用的带电粒子在运动过程中运动规律，说明由力磁场所使得的动量具有守恒性质。

这一定律可以用来分析带电粒子在受磁场作用的情况下非定向运动的物理效应，计算出恒定力，牛顿第二定律所描述的情形，它用力和加速度关系描述了圆磁场中由磁力诱导的粒子运动过程。

因此，莫尔定律和牛顿定律对描述带电粒子在圆形有界磁场中的运动具极其重要的意义，他们的联合作用能产生多种物理现象，深刻地改善了电磁学研究。

莫尔定律指出，受磁场作用的粒子具有周期性的运动状态，通过改变磁链间距来改变其运动速度；牛顿定律提出，受磁场作用的粒子具有动量守恒性质，计算出粒子运动过程中所受力的大小，从而产生更为优雅的物理现象。

最终，这两个重要的定律所承载的丰厚理论赋予科学家们一份重要的探索、研究、思考与创新的力量，为具体技术实现提供了依据。