高中一年级数学期末考试题

高一年级数学期末测试试卷数学试题一、 单选题1．若集合{}2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，则a 的取值范围是（ ）．A ．(]9,0,8⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．90,8⎛⎤⎥⎝⎦2．①0∈∅，①{}∅∈∅，①{}0∅=，①满足{}1,2A ⊆ {}1,2,3,4的集合A 的个数是4个，以上叙述正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.则p 为假命题的充分不必要条件是（ ）A ．1a >-B ．1a <-C ．1a ≥-D ．1a ≤-5．已知正数x 、y 满足22933x y xy ++=，则3x y +的最大值为（ ）A ．1 BC ．2 D6．已知函数()2211,2,21x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪-⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,2--B ．[)3,0-C ．(],2-∞-D ．(],0-∞7．若1sin cos 3x x +=，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos x x -的值为（ ）A ．BC ．D ．138．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，对于()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()1221210x f x x f x x x ->-，()216f =，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00f =，则不等式()80f x x ->的解集为（ ）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．1,00,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭（） C ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,02,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 二、多选题9．（多选）{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的可能值为（ ） A ．13- B ．13 C ．0 D ．12- 10．下列推理正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b >D ．若a b c >>，则a c b c a b a c-->-- 11．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4B ．()12x f x x +=+图象关于点()2,1-成中心对称C ．函数1y x =的单调递减区间是()(),00,∞-+∞D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1 12．若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则实数m 的值可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 三、填空题13．函数()221log 5428xy x x =+-+-的定义域_____ 14．已知π1cos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．16．设函数()23y g x =-+是奇函数，函数()132x f x x -=+的图像与()g x 的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于_________ 四、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求R ()P Q ⋂；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．若函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x =． (1)求a 、b 的值；(2)若不等式()220x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围；19．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a > 且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos +tan ααα-的值；(2)求()()()()3πsin πcos 2tan 3πcos 2πsin ααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-+-+-的值.20．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)求x 关于t 的函数；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同实根，求实数a 的取值.22．已知函数2()1|1|f x x k x =---，k ①R ．(1)若()y f x =为偶函数，求k 的值；(2)若()y f x =有且仅有一个零点，求k 的取值范围；(3)求()y f x =在区间[0,2]上的最大值．。

★启用前秘密★拉萨市第二高级中学2022-2023学年度第一学期期末测试高 一 年级 数学 试卷命题人： 时间： 120 分钟 满分： 150分 得分：一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝（）A. {0，－1}B. {1}C. {0}D. {－1，1}【答案】B 【解析】【分析】利用集合之间的交集运算即得结果.【详解】因为集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，所以M ∩N ＝{1}.故选：B.【点睛】本题考查了集合之间的交集运算，属于简单题.2. 命题的否定为（ ）2“R,10”x x x ∀∈++>A.B.2R,10x x x ∀∈++≤2R,10x x ∀∉++≤C.D.2000R,10x x x ∃∈++≤2000R,10x x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】利用特称量词对全称命题进行否定.【详解】因为利用特称量词对全称命题进行否定，所以命题的否定为“2“R,10”x x x ∀∈++>”.2000R,10x x x ∃∈++≤故选：C 3. 函数）()f x =A. B. C.D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()(),33,-∞+∞ ()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由，即可求得函数的定义域.230x -≥()f x 【详解】由，即，230x -≥32x ≥所以函数的定义域为.()f x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：A.4. 若，则下列不等式中不正确的是（ ）110a b <<A. B. C. D. a b ab +<2b aa b+>2ab b>22a b<【答案】C 【解析】【分析】，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A ：，，所以110a b <<0b a <<0a b +<0ab >成立；B ：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C ：a b ab +<0b a <<0,0b aa b >>且，根据可乘性可知结果；D ：，根据乘方性可判断结果.b a <0b <0b a <<【详解】A：由题意，不等式，可得，11a b <<0b a <<则，，所以成立，所以A 是正确的；0a b +<0ab >a b ab +<B ：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以0b a <<0,0b aa b >>2b a a b +≥=a b ¹成立，所以B 是正确的；2b aa b +>C ：由且，根据不等式的性质，可得，所以C 不正确；b a <0b <2ab b <D ：由，可得，所以D 是正确的，0b a <<22a b <故选C.【点睛】本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.5. 不等式的解集是（ ）2320x x --≥A.B.213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C. D. 213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：232(32)(1)0x x x x --=+-≥解得：.213x x ≤-≥或故选：C.6. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈(14,2k α+=A. B. C. D. 121322【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.1k =α【详解】因为函数为幂函数，所以，则，()f x 1k =()f x x α=又因为的图象经过点，所以，得，()f x (14,2142α=12α=-所以.11122k α+=-=故选：A 7. 函数的图象如图所示，则（ ）()f xA. 函数在上单调递增()f x []1,2-B. 函数在上单调递减()f x []1,2-C. 函数在上单调递减()f x []1,4-D. 函数在上单调递增()f x []2,4【答案】A 【解析】【分析】根据函数图像分析直接得解.【详解】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的，则函数在上是单调递增的；图像[]1,2-()f x []1,2-在上从左到右是“下降”的，则函数在上是单调递减的.[]2,4()f x []2,4故选：A.8. 函数的值域是（ ）2222x y x -=+A. ， B. C. ， D. (1-1](1,1)-[1-1](2,2)-【答案】A 【解析】【分析】把已知函数解析式变形，由 可得的范围，进一步求得函数值域.222x ≥+212x +【详解】因为，2222222422412x x y x x x --+==-=-++++，，222x +≥ 210221x +∴<≤则，24220x +<≤24121x -++∴-<≤1所以函数的值域是2222x y x -=+(]1,1-故选：A.9. 下列函数是奇函数且在上是减函数的是（）[0,)+∞A.B. C. D.1()f x x=()||f x x =-3()f x x =-2()f x x =-【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可；【详解】解：对于A ：定义域为，故A 错误；1()f x x ={}|0x x ≠对于B ：，所以，故为偶函数，故B 错误；()||f x x =-()||||()f x x x f x -=--=-=()||f x x =-对于C ：为奇函数，且在上单调递减，故C 正确；3()f x x =-R 对于D ：为偶函数，故D 错误；2()f x x =-故选：C10. 下列转化结果错误的是（）A. 化成弧度是B. 化成弧度是60 π3150-76-C. 化成度是D. 化成度是10π3-600- π1215【答案】B 【解析】【分析】利用角度与弧度的互化逐项判断可得出合适的选项.【详解】，，，ππ60601803=⨯= π5π1501501806-=-⨯=- 10π1018060033-=-⨯=-.π1180151212=⨯= 故选：B.11. 化简的结果是（ ）()()sin 2cos 633sin cos 22παπααπαπ---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B. 1C. D. 21-2-【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.【详解】原式()()sin cos sin 2cos 222ααπππαπα-⋅-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin cos sin cos 22ααππαα-⋅=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.sin cos sin cos 1cos sin sin cos 22ααααππαααα-⋅-⋅===-⋅⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B12. 若，，，则、、的大小关系为（ ）2log 3a =33b -=31log 2c =a b c A. B. C. D. b a c >>b c a>>a c b>>a b c>>【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法判断可得出结论.【详解】因为，，，故.22log 3log 21a =>=31327b -==331log log 102c =<=a b c >>故选：D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．直接写出最简结果．）13. 设函数，则_____()34,00,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩()()3f f -=【答案】5【解析】【分析】由函数的解析式由内到外可计算出的值.()f x ()()3ff -【详解】由题意可得.()()()030345f f f -==+=故答案为：.514. 化简________43251log 5log 88-⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭【答案】13【解析】【分析】利用指数的运算性质以及换底公式化简可得结果.【详解】原式.()433ln 53ln 2216313ln 2ln 5--=-⋅=-=故答案为：.1315. 若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径为________452π【答案】4【解析】【分析】将扇形的圆心角化为弧度，利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径长.【详解】设该扇形的半径为，，该扇形的面积为，解得.r π454=21π2π24S r =⨯⨯=4r =故答案为：.416. 已知，都是正实数，且，则的最小值为___________.x y 2x y xy +=xy 【答案】8【解析】【分析】由，即可求解.2xy x y =+≥0≥【详解】由，都是正实数，且，x y 2x y xy +=可得，2xy x y =+≥0≥≥8xy ≥当且仅当时，即时，等号成立，2x y =4,2x y ==所以的最小值为.xy 8故答案为：.8三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．要求写出必要的计算或证明过程，按主要考查步骤给分．）17. 计算下列各式的值：（1）；2013112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）.7log 2325log lg 25lg 47log 5log 4++-+⋅【答案】（1） 112（2）114【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：原式.11134122=-+-=【小问2详解】解：原式.()343ln 52ln 2311log 3lg 2542222ln 2ln 544=+⨯-+⋅=+-+=18. 已知集合．{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭（1）当时，求；0a =A B ⋂（2）若，求的取值范围．A B ⋂=∅a 【答案】（1） 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）[)3,2,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可.0a ={}|21B x x =-<<B =∅B ≠∅【小问1详解】由题知，，{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭当时，，0a ={}|21B x x =-<<所以.1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】由题知，{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭因为，A B ⋂=∅所以当时，解得，满足题意；B =∅3221,a a -≥+3a ≥当时，或，B ≠∅32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得，或，34a ≤-23a ≤<综上所述，的取值范围为，a [)3,2,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 19. （1）已知，为第三象限角，求的值；3cos 5α=-αsin α（2）已知，计算的值.tan 3α=4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+【答案】（1）；（2）.4sin 5α=-57【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得的值；sin α（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为为第三象限角，则；α4sin 5α==-（2）.4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯20. 已知为二次函数，且满足：对称轴为，．()y f x =1x =(2)3,(3)0f f =-=（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；()f x ()y f x =（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．|()|y f x =|()|yf x =【答案】（1）,顶点坐标为. 2()23f x x x =--()1,4-（2）图象见解析，函数的增区间为：，函数的减区间为：.[][)1,1,3,-+∞(][],1,1,3-∞-【解析】【分析】(1)根据已知条件列出方程组即可求解；(2)作出函数图象可求解.【小问1详解】设函数为，2()f x ax bx c =++所以解得，所以，12423930b x a a b c a b c ⎧=-=⎪⎪++=-⎨⎪++=⎪⎩123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩2()23f x x x =--所以，所以顶点坐标为.(1)4f =-()1,4-【小问2详解】图象如图所示，函数的增区间为：，函数的减区间为：.[][)1,1,3,-+∞(][],1,1,3-∞-21. 已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1.（1）求函数f (x )的定义域；（2）若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值.【答案】（1）()3,1-（2【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于0求解定义域；（2）根据函数单调性求最小值，列出方程，求出a 的值.【小问1详解】要使函数有意义，则有,解得：，所以函数的定义域为.1030x x ->⎧⎨+>⎩31x -<<()3,1-【小问2详解】函数可化为，因为，所()()()()()22log 13log 23log 14a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦()3,1x ∈-以.()20144x <-++≤因为，所以，01a <<()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦即，由，得，所以.()min log 4a f x =log 44a =-44a -=144a -==22. 已知函数,其中为非零实数, ,.()bf x ax x =-,a b 1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()724f =（1）判断函数的奇偶性,并求的值；,a b （2）用定义证明在上是增函数.()f x ()0,∞+【答案】（1）；（2）证明见解析.11,2a b ==【解析】【分析】(1)由奇函数的定义可得函数为奇函数,由已知条件列方程组可解得答案;(2)利用取值,作差,变形,判号,下结论五个步骤可证在上是增函数.()f x ()0,∞+【详解】（1）函数定义域为,关于原点对称， ()(),00,-∞⋃+∞由,()()()b b f x a x ax f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭ 得函数为奇函数，由,()117,2224f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得,11172,22224a b a b -=--=解得；11,2a b ==(2).由(1)得,任取,且,则()12f x x x =-()12,0,x x ∈+∞12x x <()()()()1212121212122112111122222x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12121()12x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为,且,()12,0,x x ∈+∞12x x <所以,所以,即，121102x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是增函数.()f x ()0,∞+【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了用定义证明函数的单调性,掌握函数奇偶性和单调性的定义是解题关键.属于基础题.。

襄州第一高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学解析版一，单选题1.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为则4:30()0ααπ<≤( )α=A.B. C. D. 2π4π8π16π答案B 解：由图可知，. 故选B ．1284παπ=⨯=2.已知，若，则的化简结果是( )()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin sin f f x α--A. B. C. D.2tan α-2tan α2cos α-2cos α答案A .解：，若，()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()cos cos sin sin 2tan 1sin 1sin f f x αααααα---==+=--+3.已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0π-则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎛⎤ ⎥⎝⎦答案A 解：函数，当时,所以()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0x π∈- ，因为在上恰有3条对称轴，3个对称中心，333x πππωπω-+<+<()f x (),0π-所以. 故选A.5171033263πππωπω-≤-+<-⇒<≤4.若函数的定义域为（ ）()f x =+()21f x -A.B. C. D. ()0,2[)(]2,00,2-⋃[]2,2-[]0,2答案C 解：由,解得，则()f x =+3010x x -≥⎧⎨+≥⎩13x -≤≤中，令 , 解得 , 则函数的定义域为()21f x -2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -,故选C.[]2,2-5.若函数在上有最小值（为常数）()(32log 1f x ax b x =++(),0-∞5-,a b 则函数在上（ ）()f x ()0,+∞A.有最大值4 B.有最大值7 C.有最大值5 D.有最小值5答案B 解：考虑函数,定义域为R,()(32log gx ax b x =++()(32log g x ax bx -=-+-，(()3322log log ax b ax b x g x =-+=--+=-所以是奇函数，()(32log g x ax b x=++函数在上有最小值-5，()(32log 1f x ax b x =+++(),0-∞则在上有最小值，()(32log g x ax b x =++(),0-∞根据奇函数的性质得：在上有最大值6，()(32log g x ax b x =++()0,+∞所以在上有最大值7.故选：B.()(32log 1f x ax b x =+++()0,+∞6.定义:正割，余割.已知为正实数，且1sec cos αα=1csc sin αα=m 对任意的实数均成立，则的最小值为22csc tan 15m x x ⋅+≥,2x x k k Z ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭m A.1 B.4C.8D.9答案D 解：由已知得，即．因为222sin 15sin cos m x x x +≥422sin 15sin cos x m x x ≥-，所以，则,2x k k Zππ≠+∈(]2cos 0,1x ∈()()224242222221cos sin 12cos cos 15sin 151cos 1515cos cos cos cos x x x x x x x x x x--+-=--=--422221cos 11515cos 21716cos 179cos cos x x x x x +⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当时等号成立，故m≥9．故选：D ．21cos 4x =7.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，sin tan sec 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，cos cot csc 经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若1sec cos αα=1csc sin αα=，且，则( )()0,απ∈111sec csc 5αα+=tan α=A.B.A.B. C.或 D.不存在34-43-34-43-答案B 解：由，得，又,111sec csc 5αα+=1sin cos 5αα+=22sin cos 1αα+=，()0,απ∈联立解得（舍）或，∴．故选B ．3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin 4tan cos 3ααα==-8.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是x 20x x m ++=()1,2m A.B. C. D. []6,2--()6,2--(][),62,-∞-⋃-+∞()(),62,-∞-⋃-+∞答案B 解：因为在上单调递增，且的图象是连续不断的， 要使关于()f x ()1,2()f x 的方程在区间内有实根必有f （1）=1+1+m ＜0且f （2）x 20x x m ++=()1,2=4+2+m ＞0，解得-6＜m ＜-2．故选：B ．9.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设()f x R ()1f x -()1f x -，则（）()21f -=()2f =A.-D.-B.1C.2D.-2答案A 解:因为为奇函数,所以=,所以的图象关于点(1,0)对()1f x -()1f x -()1f x --()f x 称. 因为为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即f(-1-x)=f(-1+x), 所以f(x)的图象()1f x -关于直线x=-1对称. 则有f(-2)=f(0)=-f(2)=1,即f(2)=-1. 故选A. 10.定义在上的函数满足，，且当R ()f x ()()4f x f x =-()()0f x f x +-=时，，则方程所有的根之和为（ ）[]0,2x ∈()3538f x x x =+()240f x x -+=A.44 B.40C.36D.32 答案A 解：因为，①所以的对称轴为x=2，因为()()4f x f x =-()f x ，②所以为奇函数，由②可得f （x ）=-f （-x ），由①可得-f （-()()0f x f x +-=()f x x ）=f （4-x ），令t=-x, 所以-f （t ）=f （4+t ），所以f （8+t ）=-f （4+t ）=-[-f （t ）]=f （t ），所以函数的周期为T=8，又当x∈[0，2]时,，作出()f x ()3538f x x x =+的函数图象如下：()f x方程所有的根为方的根，函数与函数()240f x x -+=()()142f x x =-()f x 都过点（4，0），且关于（4，0）对称，所以方程所有的()122y x =-()240f x x -+=根的和为5×8+4=44，故选：A ．根据题意可得f （x ）的对称轴为x=2，为奇函数，()f x 进而可得的周期，作出函数的图像，方程所有的根为方程()f x ()f x ()240f x x -+=的根，函数与函数都过点（4，0），且关于（4，0）()()142f x x =-()f x ()122y x =-对称，由对称性，即可得出答案．11.已知函数，则实数根的个数为( )ln ,0()1,0xx x f x e x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()22f x f x += A. B. C. D.答案A 解：作出f(x)的图象：若，则f(x)=-2或f(x)=1，由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，()()22f x f x +=y=f(x)与y=1有2个交点，故实数根的个数为2，故选A.()()22f x f x +=二，多选题12（多选）.已知正实数，满足，则（ ）,x y 450x y xy ++-=A. 的最大值为1 B. 的最小值为4xy 4x y +C. 的最小值为1 D.的最x y +()()2241x y +++小值为18答案AB 解：因为，，可得450x y xy ++-=4x y xy xy ++≥+，所以，解得，当且仅当250+-≤)510+≤01xy <≤时取等号，即的最大值为1，故A 正确；4x y =xy 因为，所以()211445444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++==++⋅≤++ ⎪⎝⎭,解得, 当且仅当x=4y 时，取等号，即x+4y()()24164800x y x y +++-≥44x y +≥的最小值为4，故B 正确；由可解得，所以450x y xy ++-=941x y =-+，当且仅当取等号，即915511x y y y +=++-≥-=+911y y =++,故C 错误；,2,1y x ==-()()()()222299411211811x y y y y y ⎛⎫+++=++≥⋅+= ⎪++⎝⎭当且仅当，取等号，即故D 错误；故选：AB ．911y y =++2,1y x ==-13（多选）.下列命题正确的是( )A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角2πC. 是第三象限的角D.钝角是第二象限角2019o答案CD 解：A ．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A 错误，B ．，但不是锐角，故B 错误， C.2019°=5×360°+219°，∵219°是第62ππα=-<α三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C 正确， D ．因为钝角大于90°小于180°，即钝角是第二象限角，故D 正确.14（多选）.以下式子符号为正号的有（）A.B.()tan 485sin 447oo-5411sincos tan 456πππC.D.()tan188cos 55oo -2913costan 662sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭答案ACD 解：A.因为是第二象限角，故tan485°<0，485360125o o o=+A,因为是第四象限角，故sin （－447°） <0，所以tan485°447720273o-=-+ sin （－447°）>0，故A 正确；B,因为是第三象限角，所以,因为是第二象限角，所以；因54π5sin 04π<45π4cos 05π<为是第四象限角所以，所以,故B 错误；116π11tan 06π<5sin 4π4cos 5π11tan 06π<C.因为是第三象限角，故，因为是第四象限角，故，188otan1880o>55o-()cos 550o ->故，故C 正确； D.因为是第二象限角，所以()tan1880cos 55oo>-295466πππ=+，因为是第四象限角，所以，因为是第29cos 06π<13266πππ-=--13tan 06π-<23π二象限角，所以，所以，故正确. 故选ACD.2sin03π>2913costan 6602sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭>15.（多选）已知，，则（ ）()0,θπ∈1sin cos 5θθ+=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=答案：ABD解：∵,∴两边平方得：,，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+⋅=12sin cos 25θθ∴=-与异号,又∵,∴θ∈，∴，∴sin θ∴cos θ()0,θπ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭sin cos θθ>,∴，又∵，∴()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=7sin cos 5θθ-=1sin cos 5θθ+=,，故选ABD.4sin 5θ=3cos 5θ=-4tan 3θ=-16.在平面直角坐标系中，点，，xoy ()1cos ,sin P αα2cos ,sin 33P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）3cos ,sin 66P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.线段与的长均为1 B.线段的长为11OP 3OP 23P PC.当时，点关于轴对称 D.当时，点关于轴对称3πα=12,PP y 1312πα=13,PP x 答案ACD解：由题意可得，同理可得，21OP ==31OP =故A 正确；由题意得，由勾股定理得，故B 错误；当23362P OP πππ∠=+=23P P =时，即，即，点3πα=1cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛ ⎝222cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛- ⎝关于轴对称，故C 正确；当时，，12,P P y 1312πα=31313cos ,sin 126126P ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，即3cos ,sin 1212P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭11313cos ,sin 1212P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos ,sin 1212P ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故点关于轴对称，故D 正确. 故选:ACD.13,P P x 17.函数的图象可能是（ ）()()af x x a R x =-∈A. B. C. D.答案ACD 解：①当a=0时,,选项A 符合；()f x x=当时0a ≠(),0,0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分,()af x x x =+当x<0时,单调递减,选项B 不符合，选项D 符合，故D 有可能；()af x x x =-+③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时,()a f x x x =+()a a f x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭其中（x ＜0）为对勾函数第三象限的一部分，()af x x x -=+则x ＜0时的图象位于第二象限, 选项C 符合；可知选项B 中图象不是()a f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数f(x)的图象.18（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数的图象关于点对称tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.函数是最小正周期为的周期函数sin y x=πC. 为第二象限的角，且，则.θcos tan θθ>sin cos θθ>D.函数的最小值为2cos sin y x x =+1-答案AD 解：对于A ：函数的图象关于点对称，故A 正确；tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对于B ：函数=，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；sin y x =sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩对于C ：由为第二象限的角,得,由,得,故tan sin θθ>cos tan θθ>sin cos θθ<C 错误;对于D ：函数当时，22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =-函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD ．19（多选）.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍()f x [],a b [],ka kb k 跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”[],a b [],a b [],a b ()f x 下列结论正确的是( )A.若为的“跟随区间”，则[]1,b ()222f x x x =-+2b =B.函数存在“跟随区间”()11f x x =+C.若函数“跟随区间”，则()f x m =1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数存在“3倍跟随区间”()212f x x x=-+答案AD 解：对于A ，若为的跟随区间，[]1,b ()222f x x x =-+因为在区间上单调递增, 故函数在区间的值域为()222f x x x =-+[]1,b ()f x []1,b .根据题意有，解得，因为，故21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦222b b b -+=12b b ==或12b b >=或A 正确；对于B ，由题意，因为函数在区间上均单调递减，()11f x x =+()(),0,0,-∞+∞故若存在跟随区间，则或，()11f x x =+[],a b 0a b <<0a b <<则有，即，得，与或矛盾，1111a b b a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩11ab b ab a =+⎧⎨=+⎩a b =0a b <<0a b <<故函数不存在跟随区间，B 不正确；()11f x x =+对于C ，若函数存在跟随区间，因为为减函数，()f x m =-[],a b()f x m =故由跟随区间的定义可知 ,，b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩a b <即，()()()11a b a b a b-=+-+=-因为，易得，ab <1=01≤<≤所以，(1a m m =-=-即，同理可得，10am +-=10b m +-=转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，20t t m --=[]0,1故，解得，故C 不正确；1400m m +>⎧⎨-≥⎩1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦对于D ，若存在“3倍跟随区间”, 则可设定义域为,值域为()212f x x x =-+[],a b, 当时,易得在区间上单调递增，[]3,3a b 1a b <≤()212f x x x =-+[],a b 此时易得a,b 为方程的两根，解得x=0或x=-4，2132x x x-+=故存在定义域[-4，0]，使得的值域为[-12,0]，故D 正确. 故选AD.()212f x x x=-+三，填空题20.已知，且，则____.答案：()1sin 533o α-=27090o o α-<<-()sin 37oα+=解：，又，所以()()()sin 37sin 9053cos 53o oo ααα⎡⎤+=--=-⎣⎦27090α-<<-,又，所以，所以14353323o α<-< ()1sin 5303o α-=>14353180o α<-< 为负值，所以。

高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）{}{}1,2,3,2A B x N x ==∈≤∣A B ⋃=A. B. C. D.{}2,3{}0,1,2,3{}1,2{}1,2,32.命题“”的否定是（ ）0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭A. B.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭C. D.0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）3π6πB. C. D.13π23π43π4.，不等式恒成立，则的取值范围为（）x R ∀∈2410ax x +-<a A.B.或4a <-4a <-0a =C.D.4a ≤-40a -<<5.已知，则（ ）0.50.5e ,ln5,log e a b c -===A.B.c a b <<c b a <<C.D.b a c <<a b c <<6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()f x R ()()4f x f x =+()11f -=-（）()()20202021f f +=A. B.0 C.1D.21-7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+,,a b c ,,a b c ）A.B.c b a <<b a c <<C.D.a c b <<c a b <<8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ()()sin f x A x ωϕ=+）A.B.122y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21y f x =+C.D.122x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）()0,∞+A. B.21y x =+3y x =C. D.23y x =3xy -=10.若，则下列不等式正确的是（ ）110a b <<A. B.a b <a b<C. D.a b ab +<2b a a b +>11.若函数，则下列选项正确的是（ ）()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.最小正周期是πB.图象关于点对称,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.在区间上单调递增7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.图象关于直线对称12x π=12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令x ∈R []x x []y x =，以下结论正确的是（ ）()[]22f x x x =-A.()1.10.8f -=B.为偶函数()f x C.最小正周期为()f x 12D.的值域为()f x []0,1第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）5log 25+=14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.（1），若则12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >（2）()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两xOy Ox ,αβP Q 点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.,P Q 34,55αβ+16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则()2log ,04,2cos ,482x x f x t R x x π⎧<<⎪=∃∈⎨≤≤⎪⎩()f x t =1234,,,x x x x 的取值范围是__________；的取值范围是__________.1234x x x x 1234x x x x +++四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10.0分）求值：（1）22log 33582lg2lg22+--（2）251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18.（本小题12.0分）已知全集，集合，集合.U R ={}2120A x x x =--≤∣{}11B x m x m =-≤≤+∣（1）当时，求；4m =()U A B ⋃ （2）若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 19.已知函数的部分图象如图.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，()f x 6π得到函数的图象，当时，求值域.()g x ,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 20.（本小题12.0分）已知函数()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.()1,052f παα=-<<sin cos ,sin cos αααα⋅-21.（本小题12.0分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要500m 500m ⨯建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.S 22.（本小题12.0分）已知函数.()1ln1x f x x -=+（1）求证：是奇函数；()f x （2）若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为(),1,αβ∞∈+αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m 高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题参考答案）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求.B A B ⋃【详解】因为，所以.{}{}1,2,3,0,1,2A B =={}0,1,2,3A B ⋃=故选：B2.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“”为全称命题，0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭按照改量词否结论的法则，所以否定为：，0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭故选：D3.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.326ππ=12233ππ⋅⋅=故选：B4.【答案】A【解析】【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】，不等式恒成立，x R ∀∈2410ax x +-<当时，显然不恒成立，0a =所以，解得：.0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩4a <-故选：A.5.【答案】A【解析】【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.【详解】因为，0.500.50.50e e 1,ln5lne <1,log e log 10a b c -<===>==<=所以，c a b <<故选：A.6.【答案】C【解析】【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.()()4f x f x =+【详解】是奇函数，，()f x ()()()00,111f f f ∴==--=又是周期函数，周期为4.()()()4,f x f x f x =+∴.()()()()2020202101011f f f f ∴+=+=+=故选：C.7.【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.【详解】函数的零点转化为与()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+e ,ln ,sin x y y x y x ===的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，y x =-,,a b c 在坐标系中画出与的图象如图：e ,ln ,sin x y y x y x ===y x =-可知，0,0,0a b c <>=满足.a cb <<故选：C.8.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把()1y f x =+的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，()1y f x =-12所以如图的图象所对应的解析式为.()21y f x =+故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.【详解】对于A ：22()11y x x =-+=+函数是偶函数，在上是增函数，故A 正确；∴21y x =+()0,∞+对于：B 33()y x x =-=- 函数是奇函数，故错误；∴3y x =B 对于：C 2233()y x x=-= 是偶函数，在上是增函数，故C 正确；23y x ∴=()0,∞+对于：D 33x x y ---== 是偶函数，在上是减函数，故错误.3xy -∴=()0,∞+D 故选：AC10.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于，则，故错误；110a b <<0b a <<a b <正确；正确；，正确0a b ab +<<a b <2222,2a b a b ab b a b a ab ab a b ++=>=∴+>故选：BC D.11.【答案】BC【解析】【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,A 2π令，2,3246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈当时，，所以图象关于点对称，正确；2k =3x π=,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 因为，解得，当时，，所2,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭1k =7,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以在区间上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B C.12.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反A B 1.1x =-例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的C ()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ()f x 102x ≤<()f x 值域即可.【详解】对于A ，，故A 正确.()[]1.1 2.2 2.2 2.230.8f -=---=-+=对于，取，则，而，B 1.1x =-()1.10.8f -=()[]1.1 2.2 2.2 2.220.2f =-=-=故，所以函数不偶函数，故B 错误.()()1.1 1.1f f -≠-()f x 对于，则，故C 正确.C [][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，D C ()f x 12要求的值域，只需求时的值域即可.()f x 102x ≤<()f x 当时，则，0x =()[]0000f =-=当时，，102x <<()[]()222020,1f x x x x x =-=-=∈故当时，则有，故函数的值域为，故错误.102x ≤<()01f x ≤<()f x [)0,1D 故选：A C.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.【答案】6【解析】【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.，5log 25426+=+=故答案为：614.【解析】【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >()f x R 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=()f x 【详解】令，()2x f x =则为上增函数，满足条件（1）.()2x f x =R 又()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++==⨯=故()()()1212f x x f x f x +=即成立.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=故答案为：等均满足题意()()()(2,3,4x x x f x f x f x ===)15.【答案】1【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开3443sin ,cos ,sin ,cos 5555ααββ====()sin αβ+求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别Ox ,αβ,P Q ,P Q 为34,55所以是锐角，可得，3sin ,5αα=4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，βQ 45所以是锐角，可得，4sin ,5ββ=3cos 5β=所以，()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.αβ+故答案为：1.16.【答案】①.②.()32,354⎝⎭【解析】【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把()f x 12,x x 34,x x 和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.1234x x x x +++1234x x x x 【详解】做出函数的图像如下：()2log ,042cos ,482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；()f x (]0,1()0;f x []1,4在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.()f x []4,82-若方程有4个不同的解：，则()f x t =1234,,,x x x x 02t <<不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<<是方程的解，则，即；12,x x 2log (04)x t x =<<2122log log x x =-121x x =是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.34,x x ()2cos 482x t x π=≤≤3412x x +=故，()()212343433312636x x x x x x x x x ==-=--+由得即345x <<()233263635x <--+<12343235x x x x <<1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当时，单调递减，1114x <<()112m x x x =++则1116514124x x <++<故答案为：①；②()32,354⎝⎭四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解：；()()22log 33582lg 2lg243lg5lg22lg27lg5lg27162+--=+---=-+=-=（2）解：251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭sin 4cos 3tan 3634ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11sin cos tan 1063422πππ=+-=+-=18.解：（1）集合，{}34A x x =-≤≤∣当时，或，4m ={}35,{3U B x x B x x =≤≤=<∣∣ 5}x >所以或；(){4U A B x x ⋃=≤∣ 5}x >（2）由题可知或，{3U A x x =<-∣ 4}x >由可得或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或，4m <-5m >故的取值范围为或.m {4mm <-∣5}m >19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，()f x 2-0A >2A =周期，则，452,,03123T πππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2ω=从而，代入点，得，()()2sin 2f x x ϕ=+5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭5sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，即，52,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=-+∈又，则.2πϕ<3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()f x 故可得；2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象6π()g x 故可得；()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,,,sin 66366x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-∴-∈--∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 的值域为.()2sin 2,6x g x π⎛⎫⎡⎤-∈∴ ⎪⎣⎦⎝⎭2⎡⎤⎣⎦20.解（1）()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos cos cos tan ααααααα-=+⋅-，sin cos αα=+故；()sin cos f ααα=+（2）由，()1sin cos 5f ααα=+=平方可得，221sin 2sin cos cos 25αααα++=即.242sin cos 25αα⋅=-所以，12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，2πα-<<sin 0,cos 0αα<>所以，sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-21.解：（1）由已知，其定义域是.30003000,xy y x =∴=()6,500，()()()46210S x a x a x a=-+-=-，150026,332y a y a x +=∴=-=- ，其定义域是.()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6,500（2），15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =()506,500x =∈此时，.max 50,60,2430x y S ===答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m,60m x y ==22.（1）证明：由函数，可得，()1lg 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭101x x ->+即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.101x x -<+11x -<<()1,1-再根据，可得是奇函数.()()11lg lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭()f x （2）由（1）知，其定义域为.()1ln 1x f x x -=+()(),11,∞∞--⋃+.因为在上为增函数，()2ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()211u x x =-+()1,∞+在上为增函数，当，时，()f x ()1,∞+[]3,5x ∈()ln2ln2ln3f x -≤≤-对任意都有成立，，即，[]3,5x ∈()3f x t >-ln23t ->-3ln2t <-的取值范围是.t (),3ln2∞--（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,∞+又因为函数在上的值域为.()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩所以1,121,12m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程的两实根，,αβ112x m mx x -=-+问题等价于放程在上有两个不等实根，211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,∞+令，对称轴()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则，即解得.()2011124Δ14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩0,20,522,9m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<。

高一年级数学试卷期末带参考答案作为知识分子，不应该也不会排斥团队协作和团队精神，但他在团队里，是有一个独立之人格，自由之思想的人。

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一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.)1.若直线x=1的倾斜角为α，则α=()A.0°B.45°C.90°D.不存在2.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台3.过点P(a，5)作圆(x+2)2+(y-1)2=4的切线，切线长为，则a等于()A.-1B.-2C.-3D.04.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.若直线与圆有公共点，则()A.B.C.D.6.若直线l1：ax+(1-a)y=3，与l2：(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a的值为()A.-3B.1C.0或-D.1或-37.已知满足，则直线定点()A.B.C.D.8.各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A.32B.24C.20D.169.过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条10.直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5+)?，则旋转体的体积为()A.2?B.?C.?D.?11.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点B(4,0)重合.若此时点与点重合，则的值为()A.B.C.D.12.如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，，则函数的图象大致是()选择题答题卡题号123456789101112答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2022-2023学年广东省深圳市（集团）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>2ln 20xx +>A ．，B ．，0x ∀>2ln 20xx +<0x ∀>2ln 20xx +≤C ．，D ．，0x ∃>2ln 20xx +≤0x ∃>2ln 20xx +<【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，0x ∀>2ln 20xx +>它的否定是特称命题：，，0x ∃>2ln 20xx +≤故选：C2．已知集合，则（ ）{}121log ,,2,02x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭∣∣A B = A ．B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣{01}<<∣yy C ．D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣∅【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和值域求解.【详解】因为，所以，所以，12x >11221log log 12y x =<={}1A y y =<∣因为所以，且，0x <0221x y =<=20x>所以，{}1B y y =<<∣0所以.A B = {01}<<∣yy 故选:B.3．函数的图象大致是（ ）()()233ln x x f x x -=+A．B ．C．D．【答案】C【分析】由题可得函数为偶函数，再利用，即得.102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】∵，定义域为，()()233ln x x f x x -=+()(),00,∞-+∞ 又，()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+∴函数为偶函数，故AD 错误；()()233ln x x f x x -=+又，故B 错误.211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝故选：C.4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大760mmHg 气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，P mmHg h m 760ehkP -=e 是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，k 500m 700mmHg 1000m 歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的16D 1500m （ ）倍.A ．B ．C ．D ．0.670.921.091.5【答案】C【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，，10001760e k P -=15002760e kP -=则有，50012e kP P =又因为，所以，500700760e k-=500760e 1.09700k =≈故选:C.5．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，[]y x =其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数[]R,x x ∈x ][][2.12,33, 1.52⎡⎤==-=-⎣⎦0x 的零点，则（ ）()lg 5f x x x =+-[]0x =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，且，，()lg 5f x x x =+-()0,∞+()4lg 410f =-<()5lg 50f =>则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.()04,5x ∈()00f x =[]04x =故选：B.6．已知，则（ ）1sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2325-2325725-725【答案】B【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.sin 2sin 262t ππα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，故，，6t πα=-1sin 5t =6tπα=-故.223sin 2sin 2cos 212sin 6225t t t ππα⎛⎫⎛⎫+=-==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B7．函数的部分图象如图所示.若，且()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()12,0,2πx x ∈，则的值为（ ）()()12(0)f x f x a a ==<12x x +A ．B ．C ．D ．π32π34π38π3【答案】D【分析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、()y f x =11ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线对称，进而得出.22ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2x =12x x +【详解】由图象可知， ，即，则，311ππ3π4632T =-=2πT =2π1T ω==此时，，()()2sin f x x ϕ=+由于，，，ππ2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<ππ32ϕ+=所以，即.π6ϕ=()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且，12,(0,2π)x x ∈()()12(0)f x f x a a ==<由图像可知，，12323662x x +++=⨯=ππππ则.128π3x x +=故选：D.8．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则R ()f x ()()2f x f x -=-+20x -≤≤()f x （ ）A ．()37π1tan 2023log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()37π1tan log 2023242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()317πlog 2023tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()317πlog tan 2023224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=又，所以，()(2)f x f x -=-+()(2)f x f x =-+所以，即是周期为4的函数，()()4f x f x =+()f x 则.(2023)(50641)(1)(1)f f f f =⨯-=-=因为，π7ππ4243<<所以，.7π1tan24<<()()3331log log 2log 22f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭30log 21<<因为为偶函数，且当时，单调递增，()f x 20x -≤≤()f x 所以当时，单调递减，故.02x ≤≤()f x 37π1tan (2023)log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =3y x=24y x =+2log y x=【答案】CD【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，函数为偶函数，在上不单调，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ，函数为奇函数，不正确；3y x =对于C ，是偶函数，且在上为增函数，正确；24y x =+()0,∞+对于D ，函数的定义域为，，函数为偶函数，当时，{|0}x x ≠()()22log log f x x x f x -=-==0x >为增函数，满足条件，2log y x=故选：CD ．10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）sin(23y x π=+sin y x =A ．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度23πB ．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度126πC ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)3π12D ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)6π12【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左12平移个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．6π（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵3π12坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．已知为锐角，角的终边上有一点，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆心的θα()sin ,cos M θθ-单位圆的交点为N ，则（ ）A ．若，则()0,2a π∈2παθ=+B ．劣弧的长度为MN 2πθ+C ．劣弧所对的扇形的面积为是MN OMN 2αD ．sin sin 1αθ+>【答案】ABD【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A ：()sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2222ππππθθθθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故，故A 正确；cos ,sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2παθ=+B ：劣弧的长度为，故B 正确；MN 1=22ππθθ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭C ：只有当时，扇形的面积为，故C 不正确；02απ<<OMN 1122S αα=⨯⨯=D ：，sin sin sin sin sin cos 2παθθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭∵为锐角，故．故D 正确.θ()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 1θθθθθθθθ+=++>⇒+>故选：ABD12．已知，则下列不等关系一定正确的是（ ）10a b >>>A ．B ．()log 2b ab <111a a +>+C ．D ．11a b b a->-3ln28b a ab>-【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；A 对，根据基本不等式即可判断；B 对，取，代入计算即可判断.C 11,42b a ==对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得D 32ln 32ln a ba b +>+2ln x y x =+到答案.【详解】对，因为，且，则，所以A log ()log log log 1b b b b ab a b a =+=+10a b >>>log log 1b b a b <=，故选项正确；log ()log 12b b ab a =+<A对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正B 11111111a a a a +=++->-=++B 确；对，取，则，故选项错误；C 11,42b a ==1171174,22244a b b a -=-=--=-=-C 对，问题等价于，易知函数在上是D 33ln 3ln 222ln 32ln b a a b a b a b ->-⇔+>+2ln x y x =+()0,∞+增函数，而，则成立，故选项正确.30a b >>32ln 32ln a ba b +>+D 故选：.ABD 三、填空题13．__________.ln 224216log log e 39-+=【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.ln 224222221624231log log e log log 2log 2log 21213933342⎛⎫⎪-+=-+=⨯+=+=-+⎝=⎭故答案为：1.14．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.15__________.1cos80-=【答案】4-【分析】先用诱导公式转化，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再cos8010sin =使用二倍角公式即可得到结果.【详解】.()sin sin sin 210301122041cos801010cos1sin s 22in 00--====-=故答案为：.4-四、双空题16．已知函数，则的最小正周期为__________，不等式的()()1cos cos 2f x x x =+()f x ()()12f f x >解集为__________.【答案】 2πR【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解.【详解】由题意可知：当时，函数；cos 0x ≥()cos f x x =当时，函数，作出函数图象，如图所示：cos 0x <()0f x=结合图形可知：函数的最小正周期为；()f x 2π令，所以，(),[0,1]f x t t =∈()()[]1cos cos cos cos1,12f t t t t =+=∈因为函数在上单调递减，所以，()f t π[0,3π1()cos1cos 32f t ≥>=则不等式的解集为，()()12f f x >R 故答案为：；.2πR 五、解答题17．已知．()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+(1)化简,并求的值;()f θπ3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若,且,求的值．()0,πθ∈()1225f θ=-cos sin θθ-【答案】(1)()sin cos f θθθ=(2)75-【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;()f θπ3(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断θsin cos θθsin cos θθ()0,πθ∈sin ,cos θθ正负,对平方再开方,代入即可得所求.cos sin θθ-cos sin θθ-sin cos θθ【详解】（1）解:由题知()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+()sin sin tan θθθ-⋅-=,sin cos θθ=;πππsin cos 333f ⎛⎫∴=⋅=⎪⎝⎭（2）,,()1225f θ=-()0,πθ∈,且,12sin cos 25θθ∴=-sin 0,cos 0θθ><cos sin 0θθ∴-<cos sin θθ∴-===,75=-故.7cos sin 5θθ-=-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，()A B A=R A B ⋂=∅A B A = 并求解下列问题：已知集合，若__________，求实数的取值范围.{}11123,14A x a x a B x x ⎧⎫=-≤≤+=<-⎨⎬-⎩⎭∣∣a 【答案】答案见解析【分析】根据所选的条件，①可以推出是的子集；②，两个集合没有()A B A=R A B R A B ⋂=∅公共元素；③可以推出.利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，A B A = A B ⊆分别求解即可．【详解】解：由解得，所以，.1114x <--74x -<<()7,4B =-若选择①：，则是的子集，,()A B A=R A B R {}123A x a x a =-≤≤+∣，][(),74,B =-∞-⋃+∞R 当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，或,解得，4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可得，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择②：，A B ⋂=∅当时，即，即时，满足题意；A =∅123a a ->+4a <-当时，或，解得.4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可知，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择③：，则，A B A = A B ⊆当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，，解得；4a ≥-17234a a ->-⎧⎨+<⎩142a -≤<综上可知，实数的取值范围是.a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．已知函数（且）.()()()log log a a f x x a a x =++-0a >1a ≠(1)判断函的奇偶性，并说明理由；()f x (2)若，且，求的取值范围.3a =()()1f x f x >-x 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.()f x [)0,3【详解】（1）函数的定义域为.()()()log log a a f x x a a x =++-(),a a -因为，所以，()()()log log a a f x x a a x -=-+++()()f x f x -=所以函数为偶函数.()f x （2）当时，定义域为，所以有：.①.3a =()()()log 3log 3a a f x x x =++-()3,3-33x -<<⋯⋯②.313x -<-<⋯⋯由①知函数为偶函数，所以可化为：.()f x ()()1f x f x >-()()1f x f x >-()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =++-=-因为为增函数，在上递减，3log y t =29t x =-[)0,3所以函数在上递减，所以.③.()f x [)0,31x x <-⋯由①②③解得：的取值范围为.x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭20．设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近2()sin cos f x x x x ωωω-()y f x =的对称轴的距离为．4π(1)求在上的单调区间；()f x [,0]2π-(2)若，且，求sin2x 0的值．03()5f x =0[0,]3x π∈【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；[,212ππ--[,0]12π-.【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；()f x ()πcos 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω（2）由题可得，，再利用差角公式即求.0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-，1π2sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，π4又，所以，因此，0ω>2ππ424ω=⨯1ω=∴，()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，[,0]2x π∈-π5π2[,]666x π+∈-∴由，得，函数单调递增，52[,0]66x ππ+∈-[,]212x ππ∈--由，得，函数单调递减，2[0,]66x ππ+∈[,0]12x π∈-所以函数单调增区间为，单调减区间为.()f x [,]212ππ--[,0]12π-（2）∵，且， 03()5f x =0[0,]3x π∈∴，0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，0ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴00001sin 2sin 22cos 266626x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.413525=-⨯=21．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.22．已知函数，，与互为反函数．()2x f x =()245h x x x m =-+()x ϕ()f x (1)求的解析式；()x ϕ(2)若函数在区间内有最小值，求实数m 的取值范围；()()y h x ϕ=()32,2m m -+(3)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦数a 的取值范围．【答案】(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等m 式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，()y g x =()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，230t at a +++=()0,2230t at a +++=且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范()0,2[)2,+∞围．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.()2x f x =()()2log 0x x x ϕ=>（2）函数在区间内有最小值，()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+()32,2m m -+∴在内先减后增，且，()245h x x x m =-+()32,2m m -+()min 0h x >∴，∴．4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）∵，∴，∴，0x >()4440,411x x x =-∈++()2g x <∵g (x )在时单调递增，且g =0,2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭0x >13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴的图象如下：()y g x =因为有三个不同的实数解，()()230g x a g x a +++=设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对()g x t =()y g x =0t =2t ≥t x 于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.02t <<t x 则有两个根，且一个在上，一个根为0；230t at a +++=()0,2或有两个根，且一个在上，一个在上.230t at a +++=()0,2[)2,+∞①有两个根，且一个在上，一个根为0，230t at a +++=()0,2∴一个根为0，解得，此时，3a =-22330t at a t t +++=-=另一根，舍去；()30,2t =∉②有两个根，且一个在上，一个在上，230t at a +++=()0,2[)2,+∞令，()23k t t at a =+++（ⅰ）当一个根在上，一个在上，()0,2()2,+∞则∴∴.()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩733a -<<-（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．()0,2()20k =73a =-此时的两根为，，满足题意．272033t t -+=()110,23t =∈22t =综上，a 的取值范围为．73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化()y g x =为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一230t at a +++=个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论.()0,2[)2,+∞。

衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数 学考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角终边相同的角是（）20-︒A ．B ．C ．D ．300-︒280-︒320︒340︒2．不等式的解集是（）2320x x --≥A ．B ．C ．D ．213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或3．“”是“”的（）1x >11x <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数的零点所在的一个区间是（）()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()3,2--()2,1--()1,0-()0,15．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大()xf x a =()f x 为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象()g x ()g x 2恰好与函数的图象重合，则a 的值是（）()f xA ．B ．CD ．32236．函数（，）的部分图象如图所示，则 （）()()2sin f x x ωϕ=+0ω>2πϕ<()f π=A ．B ．CD 7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围1()ax f x x a -=-(2,)+∞a 是（）A ．，，B ．(-∞1)(1-⋃)∞+(1,1)-C ．，，D ．，，(-∞1)(1-⋃2](-∞1)(1-⋃2)8．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为()2022a=2223b =c a b =A ．B ．C ．D ．c a b >>b a c >>a c b >>a b c>>二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（ ）A ．若a >b ，则B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <12211a bc c >++C ．若a >b >0，m >0，则D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd m m a b <10．下列各式中，值为的是（ ）12A ．B ．C ．D5πsin62sin 45122-21011．已知函数，，则（ ）()1212xxf x -=+())lg g x x =-A ．函数为偶函数B ．函数为奇函数()f x ()g x C ．函数在区间上的最大值与最小值之和为0()()()F x f x g x =+[]1,1-D ．设，则的解集为()()()F x f x g x =+()()210F a F a +--<()1,+∞12．已知函数，则（ ）()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的最小正周期为|()|y f x =πB ．直线是图象的一条对称轴58x π=()y f x =C.是图象的一个对称中心3(,0)8π()y f x =D ．若时，在区间上单调，则的取值范围是或0ω>()f x ω,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω10,8⎛⎤⎥⎝⎦15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______.（写()()tan()03f x x πωω=+≠2πω出一个即可）.14．已知函数，若，则_____________.()sin 1f x a x bx =++()12f -=()1f =15． 已知:{} ,max , .a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，(){}1max 2,42x f x x -=--x ()f x t=则实数的取值范围是．16.设函数，若对于任意实数，在区间上()()()2sin 10f x x ωϕω=+->ϕ()f x 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是ω四、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知f （α）＝．2sin ()cos(2)tan()sin()tan(3)παπαπαπααπ-⋅-⋅-+-+⋅-+（1）化简f （α）；（2）若α＝，求f （α）的值．313π-18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x ∈R |≥}，集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}．a ∈R 22log x 2log 2x （）（1）求集合A ；（2）若B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数，，且该函数的图象经过点，.()bf x ax x =+,a b R ∈()1,0-32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求a ，b 的值；（2）已知直线与x 轴交于点T ，且与函数的图像只有一个公共点.求()1y kx m k =+≠()f x 的最大值.（其中O 为坐标原点）OT20．（本小题满分12分）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车60km/h 每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：Q wh x km/hx0104060Q142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数Q x 模型供选择：①；②；．3211()250Q x x x cx =-+22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()300log aQ x x b =+(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），060x ≤≤并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶，高速上行驶50km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度300km Q 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，x x km/h [80,120]x ∈且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足N wh x km/h ）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤总耗电量最少，最少总耗电量为多少？21．（本小题满分12分）已知，.sin cos x x t +=t ⎡∈⎣(1)当且是第四象限角时，求的值；12t =x 33sin cos x x -(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（x ()sin cos sin cos 1x x a x x -++=a ）()3322()a b a b a ab b -=-++22．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足()f x D a 1x D ∈2x D ∈，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.()122x f x a +=()f x a ()f x (1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：()2x f x =(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；()sin()(0)6g x x πωω=+>[0,1]x ∈ω(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.2()23h x tx x =++[0,2]x ∈衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数 学参考答案：1．D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，，20-︒20360k -︒+︒Z k ∈当时，这个角为，1k =340︒只有选项D 满足，其他选项不满足.Z k ∈故选：D.2．C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：232(32)(1)0x x x x --=+-≥解得：.213x x ≤-≥或故选：C.3．A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，，，11x <10xx -<(1)0x x ∴-<(1)0x x ∴->或，0x ∴<1x >当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；1x >0x <1x >1x >11x <当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.0x <1x >1x >1x >11x <所以“”是“”的充分不必要条件.1x >11x <故选：A 4．B【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．()f x ()2,1--故选：B 5．D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的a 等式，进而可求得实数的值.a 【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数()3xg x a =()g x 2，()23x f x a -=又因为，所以，，整理可得，()xf x a =23x x a a -=23a =因为且，解得0a >1a ≠a =故选：D.6．A【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出()f x ()f x ω5,212π⎛⎫⎪⎝⎭值，则函数的解析式可求，取可得的值.ϕ()f x x π=()f π【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.()f x 521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22T πω==又，则，5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ则，，则，，5262k ϕπ=π+π+Z k ∈23k πϕπ=-Z k ∈，则，，则，22ππϕ-<<0k =3πϕ=-()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭求函数解析式的方法：（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ7．C【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范21()a f x a x a -=+-a 围.【详解】解：根据题意，函数，221()11()ax a x a a a f x ax a x a x a --+--===+---若在区间上单调递减，必有，()f x (2,)+∞2102a a ⎧->⎨⎩ 解可得：或，即的取值范围为，，，1a <-12a < a (-∞1)(1-⋃2]故选：C ．8．D【详解】分别对，，两边取对数，得，，2022a =2223b =c a b =20log 22a =22log 23b =．log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅由基本不等式，得:，()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，()2lg 22lg 20lg 230-⋅>即，所以．0a b ->1a b >>又，所以.log log 1a a c b a =<=a b c >>故选：D ．9．AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.【详解】对于A ，因c 2+1>0，于是有>0，而a >b ，由不等式性质得，A 211c +2211a bc c >++正确；对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误；对于C ，因为a >b >0，所以，又因为m >0，所以，C 正确；11a b <m m a b <对于D ，且，而，即ac >bd 不一定成立，D 错误.12->-23->-(1)(2)(2)(3)-⋅-<--故选：AC10．ABD【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，；5πππ1sinsin πsin 6662⎛⎫=-==⎪⎝⎭对于B 选项，；221sin 452==对于C 选项，122-==对于D.()121018030302=+=== 故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案【详解】对于A ：，定义域为，，()1212x x f x -=+R ()()12121212x xx xf x f x -----==-=-++则为奇函数，故A 错误；()f x 对于B ：，定义域为，())lgg x x=R ，()()))()lglgg x x x g x -=-=-=-则为奇函数，故B 正确；()g x 对于C ：，，都为奇函数，()()()F x f x g x =+()f x ()g x 则为奇函数，()()()F x f x g x =+在区间上的最大值与最小值互为相反数，()()()F x f x g x =+[]1,1-必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；()F x []1,1-对于D ：，则在上为减函数，()1221221122121x x x x xf x ⎛⎫-+-==-=- ⎪+++⎝⎭()f x R在上为减函数，())lg g x x ==()g x R 则在上为减函数，()()()F x f x g x =+R 若即，()()210F a F a +--<()()21F a F a <+则必有，解得，21a a >+1a >即的解集为，故D 正确；()()210F a F a +--<()1,+∞故选：BCD 12．BCD【详解】因为函数的最小正周期为，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ==而函数周期为，故A 错误；|()|y f x =2π当时，，58x π=553()sin 2sin(18842f ππππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭所以直线是图象的一条对称轴，故B 正确；58x π=()y f x =故C 正确38x π=33()sin 2sin()0884f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭时，在区间上单调，0ω>()sin(24f x x πωω=+,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即，2,2444x πππωωπωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦所以或04242πωπππωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩423242ππωπππωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得或，故D 正确.108ω<≤1548ω≤≤故选：BCD.【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．13．2或-2 （写一个即可）14. 015．24t <<【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将()f x ()f x 方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令，解得，1242x x -=--20x x x ==，根据，得，{}max a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，作出函数的图象如图所示，()f x 由方程有3个不等的根，()0f x t -=得函数图象与直线有3个不同的交点，()y f x =y t =由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，24t <<()y f x =y t =所以t 的取值范围为.24t <<故答案为：24t <<16.：.1643ω≤<【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根t x ωϕ=+1sin 2t =sin y t =12y =据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.ω【详解】令，则()0f x =()1sin 2x ωϕ+=令，则t x ωϕ=+1sin 2t =则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t ，使得，sin y t =3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦1sin 2t =求的取值范围.ω作出和的图像，观察交点个数，sin y t =12y =可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，1sin 2t =223ππ+由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：.1643ω≤<【点睛】研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令），转化为研究t x ωϕ=+的图像和性质较为方便.sin y t =17、解：（1）f （a ）＝＝＝sin α•cos α…5分（2）∵α＝﹣＝﹣6×，∴f （﹣）＝cos （﹣）sin （﹣）＝cos （﹣6×）sin （﹣6×）＝cossin＝＝﹣…10分18、解：（1）根据题意，集合A ＝{x ∈R |2log 2x ≥log 2（2x ）}，即，则，得x ≥2，则集合A ＝{x ∈R |x ≥2}，（2）∁R A ＝{x ∈R |x ＜2}，又集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}，①当a ＝1时，（x ﹣1）2＜0，则无解，故B ＝∅，满足B ⊆∁R A ，②当a ＞1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得1＜x ＜a ，若B ⊆∁R A ，则a ≤2，得1＜a ≤2，③当a ＜1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得a ＜x ＜1，显然满足B ⊆∁R A ，综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．19．（Ⅰ）; （Ⅱ）1.11a b =⎧⎨=-⎩【分析】（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;,a b （Ⅱ）设,则直线方程可以写成, 与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得()1y f x x x ==-y 22114t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值1，进而得到的最大值.2t OT 【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;03222a b b a --=⎧⎪⎨+=⎪⎩11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，并整理得()1y f x x x ==-y ()2110k x ktx --+=由已知得判别式,()22410k t k --=22114,t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，取得最大值1，所以.112k =2t maxmax 1OT t ==20.【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，3()300log a Q x x b =+0x =对于②，当时，，又，22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10x =1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭所以，故不符合题意，故选①，1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭3211()250Q x x x cx=-+由表中的数据可得，，解得3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=160c =∴．（不需要说明理由，写对解析式即可）321()216050Q x x x x =-+（2）解：高速上行驶，所用时间为，300km 300hx 则所耗电量为，()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭由对勾函数的性质可知，在上单调递增，()f x [80,120]∴，min 100()(80)60080300045750wh80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭国道上行驶，所用时间为，50km 50hx 则所耗电量为，32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭∵，∴当时，，060x ≤≤50x =min ()(50)5500wh g x g ==∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，80km/h 50km/h 该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为．45750550051250wh +=21．(1)(2)[)1,+∞【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差sin cos x x sin cos x x -公式可求得所求代数式的值；（2）由已知可得出，，分、211022t at -+-=t ⎡∈⎣0=t 0t <≤时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不0=t 0t <≤112a t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.a 【详解】（1）解：因为，即，则，12t =1sin cos 2x x +=()21sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=即，3sin cos 8x x =-所以.()27sin cos 12sin cos 4x x x x -=-=因为是第四象限角，则，，所以，所以x sin 0x <cos 0x >sin cos 0x x -<sin cos x x -=所以()()33223sin cos sin cos sin sin cos cos 18x x x x x x x x ⎛⎫-=-++=-= ⎪⎝⎭（2）解：由，可得，()2sin cos 12sin cos x x x x+=+()21sin cos 12x x t =-则方程可化为，.()sin cos sin cos 1x x a x x -++=211022t at -+-=t ⎡∈⎣①当时，，显然方程无解；0=t 12-≠②当时，方程等价于.0t ≠211022t at -+-=112at t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，当且仅当时，等号成立，0t <≤111122t t ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭1t =又，10,t t t →+→+∞故，1112a t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭所以要使得关于的方程有实数根，则.x sin cos (sin cos )1x x a x x -++=1a ≥故的取值范围是.a [)1,+∞22．(1)不是，理由见解析；(2)；5[,)6π+∞(3).12-【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值()2xf x =2()f x 12y a x =-域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此2()g x [0,1]12y a x =-[0,1]推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借2()h x [0,2]12y a x =-[0,2]助a 值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R ，则存在，对于，()2x f x =()2xf x =R a ∈1x ∀∈R 存在，有，2R x ∈2122x x a+=即，依题意，函数在R 上的值域应包含函数在R 上的值2122x a x =-22()2x f x =12y a x =-域，而当时，值域是，当时，的值域是R ，显然不2R x ∈2()f x (0,)+∞1R x ∈12y a x =-(0,)+∞包含R ，所以函数不是 “自均值函数”.()2xf x =(2)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,1]x ∀∈2[0,1]x ∈12()2x g x a +=，21sin()26x a x πω+=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,1]x ∈12y a x =-[21,2]a a -22()sin(6g x x πω=+2[0,1]x ∈包含，[21,2]a a -当时，而，则，2[0,1]x ∈0ω>2666x πππωω≤+≤+若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间62ππω+≤2min 1()2g x =2()1g x ≤2()g x 12长度为1，不符合题意，[21,2]a a -于是得，，要在的值域包含，62ππω+>2max()1g x =22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈[21,2]a a -则在的最小值小于等于0，又时，递减，22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈23[,]622x πππω+∈2()g x 且，()0π=g 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在6πωπ+≥56πω≥12a =12y a x =-[0,1]2()g x 的值域，2[0,1]x ∈所以的取值范围是.ω5[,)6π+∞(3)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,2]x ∀∈2[0,2]x ∈12()2x h x a +=，2221232tx x a x ++=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,2]x ∈12y a x =-[22,2]a a -2222()23h x tx x =++2[0,2]x ∈包含，并且有唯一的a 值，[22,2]a a -当时，在单调递增，在的值域是，0t ≥2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，此时a 的值不唯一，不符合[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+要求，当时，函数的对称轴为，0t <2222()23h x tx x =++21x t =-当，即时，在单调递增，在的值域是，12t -≥102t -≤<2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，要a 的值唯一，当且仅当[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+，即，则，57222t =+15,22t a =-=12t =-当，即时，，，，102t <-<21t <-2max 11()()3h x h t t =-=-2min ()min{(0),(2)}h x h h =(0)3h =，(2)47h t =+由且得：，此时a 的值不唯一，不符合要求，1[22,2][3,3]a a t -⊆-112t -≤<-531222a t ≤≤-由且得，，要a 的值唯一，当且仅当1[22,2][47,3a a t t -⊆+-1t <-9312222t a t +≤≤-，此时；9312222t t +=-t =a =综上得：或，12t =-t =所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是2()23h x tx x =++[0,2]x ∈12-【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x 值域的子集.()g x。

2021-2022学年新疆生产建设兵团高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则集合＝（ ）{}2|430M x x x =-+≥{}2log 1N x x =≤M N ⋂A ．B ．C ．D ．(,1]-∞(]0,1[1,2](],0-∞【答案】B【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M 、N ，再由集合的交集运算可得选项．【详解】解：由得，解得或，所以集合2430x x -+≥()()130x x --≥1x ≤3x ≥，{}(][)2|43013M x x x =-+≥=-∞+∞ ，，由得，解得，所以集合，2log 1x ≤22log log 2x ≤02x <≤{}(]2|log 10,2N x x =≤=所以，(]01M N = ，故选：B ．2．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ）A ．B ．13y x =5xy =C ．D ．2log y x=1y x-=【答案】A【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意；13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意；5xy =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.1y x -=故选：A.3．已知则（ ）ln ,1(),1xx x f x e x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩((2))f f =A ．B ．2C ．D ．()l n ln22e ln2【答案】B【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以ln ,1(),1xx x f x e x ≥⎧=⎨<⎩()2ln 21f =<()ln 2((2))ln 22f f f e ===故选：B 4．已知，，且，，则（ ）3cos()5αβ-=5sin 13β=-(0)2πα∈，(0)2πβ∈-，sin α=A ．B ．C ．D ．6365-3365-33656365【答案】C【分析】根据角的范围算出，，再根据展开计算即可．sin()αβ-cos βsin sin[()]ααββ=-+【详解】∵，，∴，(0)2πα∈，(0)2πβ∈-，(0)αβπ-∈，又，，3cos()5αβ-=5sin 13β=-∴，，4sin()5αβ-==12cos 13β==则．4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin ()51351365ααββαββαββ=-+=-⋅+-⋅=⨯+⨯-=故选：C.5．“”是“为锐角”的（ ）cos 0A >A A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必A 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >cos 0A >A 要条件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条3,22A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >A cos 0A >A 件.故“”是“为锐角”必要不充分条件.cos 0A >A 故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.6．已知角是锐角，若与的终边相同，则的所有取值之和为（ ）α15αααA ．B ．C ．D ．3π74π75π76π7【答案】D【分析】根据题意，结合终边相同的角的关系，即可求解.【详解】由题意，知，，可得，，又由是锐角，可得或152πk αα-=k ∈Z π7k α=k ∈Z απ7α=或，则的所有取值之和为.2π73π7απ2π3π6π7777++=故选：D.7．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，θx (4sin ,cos )P θθ3(,2πθπ∈则( )tan θ=AB ．CD ．1213【答案】B【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.【详解】由题意知，故，又，2cos 11tan tan 4sin 4tan 4θθθθθ==⇒=1tan 2θ=±3(,)2πθπ∈∴.1tan 2θ=故选：B8．若，则（ ）1sin 221cos 2sin 2θθθ-=--tan θ=A ．-3B ．C ．D ．313-13【答案】B【解析】先利用二倍角公式化简，即可得到，进而求得.1sin 221cos 2sin 2θθθ-=--cos 3sin θθ=-tan θ【详解】解：，1sin 221cos 2sin 2θθθ-=-- 利用二倍角公式展开得：，222sin 2sin cos cos 22sin 2sin cos θθθθθθθ-+=-即，2(sin cos )22sin (sin cos )θθθθθ-=-即，sin cos 22sin θθθ-=即，3sin cos 0θθ+=即，cos 3sin θθ=-.sin sin 1tan cos 3sin 3θθθθθ∴===--故选：B.二、多选题9．以下说法正确的有（ ）A ．B ．C ．D．tan 600︒=()sin 225-︒=cos135︒=tan 752︒=【答案】ACD【分析】根据诱导公式判断ABC ，根据两角和的正切公式判断D.【详解】对于A ，A 正确；()tan 600tan 603180tan 60︒=︒+⨯︒=︒=对于B ，，故B 错误；()()()sin 225sin 45180sin 45sin 45-︒=-︒-︒=--︒=︒=对于C ，C 正确；()cos135cos 18045cos 45︒=︒-︒=-︒=对于D ，，故D 正确；()tan 30tan 45tan 75tan 304521tan 30tan 45︒+︒︒=︒+︒====-︒⨯︒故选：ACD10．下列结论正确的是（ ）A ．是第三象限角76π-B ．角的终边在直线上，则=αy x =α()4k k Z ππ+∈C ．若角的终边过点，则α()3,4P -3cos 5α=-D ．若角为锐角，则角为钝角α2α【答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A 选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B 选项的正误；利用三角函数的定义可判断C 选项的正误；利用特殊值法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A 错；75266πππ-=- 56π76π-对于B 选项，根据终边相同角的表示可知角的终边在直线上，αy x =则=，B 对；α()4k k Z ππ+∈对于C 选项，由三角函数的定义可得，C 对；3cos 5α==-对于D 选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D 错.6πα=α23πα=2α故选：BC.11．对于函数，x ∈R ，则（ ）()sin cos f x x x =A ．f (x )的最大值为1B ．直线为其对称轴34x π=-C ．f (x )在上单调递增D ．点为其对称中心[0,]2π(,0)2π【答案】BD【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再逐一分析各选项中的条件判断作答.()f x 【详解】依题意，，的最大值为，A 错误；1()sin cos sin 22f x x x x ==()f x 12当时，，则直线为图象的对称轴，B 正确；34x π=-3131()sin()4222f ππ-=-=34x π=-()f x 当，即时，由得，即在上单调递增，02x π≤≤02x ≤≤π022x π≤≤04x π≤≤()f x [0,]4π由得，即在上单调递减，C 错误；22x ππ≤≤42ππx ≤≤[,42ππ因，则点为其对称中心，D 正确．()02f π=(,0)2π故选：BD12．下列各式中值为的是（ ）12A ．B ．212cos 75-sin135cos15cos45cos75-C D ．tan20tan25tan20tan25++【答案】BC【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B 选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C 选项；利用两角和的正切公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，()212cos 75cos150cos 18030cos30-=-=--==对于B 选项，()()sin135cos15cos45cos75sin 18045cos15cos45cos 9015-=---；()1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302=-=-== 对于C 选项，，()cos10cos 9080sin 80sin10=-=>=；sin 35cos3512sin 35cos352====对于D 选项，因为，()tan 20tan 25tan 45tan 202511tan 20tan 25+=+==-所以，.tan20tan25tan20tan251tan20tan25tan20tan251++=-+=故选：BC.三、填空题13．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.3π2【答案】6π【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，αr 2r =2114322rπαα==⋅6πα=故答案为: 6π14．函数的定义域为______.2cos )y x =【答案】6π11π|2π2π,Z 6xk x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【分析】解余弦不等式.cos x <即2cos 0x >cos x <∴，1122,66k x k k ππππ+<<+∈Z ∴函数的定义域为。

2022—2023 学年度（高一年级）第一学期期末考试 数学 学科试题命题人：石雪峰审题人：廖金龙说明：1.全卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生必须按要求填写自己的姓名、学号、班级等信息.3.客观题、主观题答案均填写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1. 已知集合，集合，则（）{}2430A x Z x x =∈-+≤{}0,2,4B =A B ⋃=A. B. {}2{}0,1,3C.D.{}0,1,2,3{}0,1,2,3,4【答案】D 【解析】【分析】先根据基本不等式的解法求出集合，然后根据集合并集的运算法则求解.A 【详解】解：，{}{}24301,2,3A x Z x x =∈-+≤= {}0,2,4B =∴{}0,1,2,3,4A B = 故选：D ．2. 已知命题：，，则命题的否定是（ ）p x ∃∈R 20x +≤p A. ， B. ，x ∃∈R 20x +>x ∀∈R 20x +≤C. ， D. ，x ∀∈R 20x +>x ∃∈R 20x +≥【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定改写规则可得答案.【详解】因命题：，，则其否定为：.p x ∃∈R 20x +≤20R，x x ∀∈+>故选：C3. 设，，则,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5α=()tan -=p aA. B. C. D. 3434-4343-【答案】A 【解析】【分析】由平方关系得出，再结合诱导公式以及商数关系得出答案.cos α【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.4. 方程的解为，若，则3log 3x x +=0x 0(,1),x n n n N ∈+∈n =A. B. C. D. 0123【答案】C 【解析】【详解】令，()3log 3f x x x =+-∵,.()()311320,22log 20f f =-=-<=-+<()3 3log 310f ==>∴函数在区间上有零点．()f x ()2,3∴．选C ．2n =5. 已知函数，，则的值为()533f x ax bx cx =-+-()37f -=()3f A .13B. C. 7D. 13-7-【答案】B 【解析】【详解】试题解析：设，函数为奇函数()53()3g x f x ax bx cx=+=-+∴()()()(3)(3)33330313g g f f f +-=++-+=⇒=-考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性解题6. 函数在单调递增，求a 的取值范围（）()()2ln 3f x x ax =--()1,+∞A. B. C. D. 2a ≤2a <2a ≤-2a <-【答案】C 【解析】【分析】分析单调性和定义域可得，解不等式组即得解.11220a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩【详解】解：令，二次函数抛物线的对称轴方程为，()23t x x ax =--12x a =由复合函数的单调性可知，.112a ≤又在上恒成立，所以，即，230x ax -->()1,+∞130a --≥20a --≥所以，解可得，．11220a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩2a ≤-故选：C 7. 已知，，则的大小关系为（ ）50.56,2a log b log ==0.20.5c =,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b<c<a c<a<b【答案】C 【解析】【分析】易知，，，根据的范围即可比较出结果.1a >0b <01c <<,,a b c 【详解】解：易知，，，所以.561a log =>0.520b log =<0.200.51c <=<b<c<a 故选C.【点睛】本题考查指数、对数大小的比较，找中间值是比较大小常用的一种方法，属于基础题.8. 如图所示的韦恩图中是非空集合，定义集合A*B 为阴影部分表示的集合．若,A B ,则A*B （）{{},,|,3,0x x y R A x y B y y x ∈=====A. B. {}|02x x <<{}|12x x <≤C.D.{}|012x x x ≤≤≥或{}012x x x ≤≤或【答案】D 【解析】【详解】{{}|[0,2],|3,0(1,)x A x y B y y x =====>=+∞A*B ，选D.={}012x x x ≤≤或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.有错误选项得0分，对而不全得2分）9. 下列函数中，满足的是（ ）(2)2()f x f x =A. B. ()|2|f x x =()f x x =C.D. ()f x =()||f x x x =-【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可.【详解】解：对于A 选项，，，，所以A 正确；()2f x x=()24f x x=2()4f x x=对于B 选项，，满足，所以B 正确；()f x x =()22()f x f x =对于C 选项，，，，所以C 不正确；()f x =()2f x =2()f x =()22()f x f x =对于D 选项，，，，所以D 正确；()f x x x=-()222fx x x=-2()22f x x x=-故选：ABD .10. 下列计算正确的是（）A. B.tan151tan151︒+=︒-44cos 22.5sin 22.5︒-︒=C.D. sin15sin 45sin 75︒︒︒=tan 37tan 2337tan 231︒+︒︒︒=【答案】ABC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.【详解】因为A 正确；tan151tan15tan 45tan 60tan1511tan15tan 45︒+︒+︒=-=-︒=︒--︒︒B 正确；()()442222cos 22.5sin 22.5cos 22.5sin 22.5cos 22.5sin 22.5cos 45︒-︒=︒+︒︒-︒=︒=C 正确；1sin15sin 45sin 75sin15cos15sin 45sin 30sin 452︒︒︒=︒︒︒=︒︒=因为，()tan 37tan 23tan 60tan 37231tan 37tan 23︒+︒︒=︒+︒==-︒︒所以，故D 错误．tan 37tan 23tan 37tan 23︒+︒+︒︒=故选：ABC11. 设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ）A. a ＋b 有最小值2＋B. a ＋b有最大值2＋C. ab有最小值3＋ D. ab有最大值1＋【答案】AC 【解析】【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤，ab －1＝a ＋ba ＋b >2、ab >1，应用一元二2()2a b +次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值.【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a＋b >2，解得2()2a b +a ＋b ≥2＋，∴a ＋b 有最小值2＋，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b(当且仅当a ＝b>1时取等号)，即ab －－1≥0且ab >1，解ab ≥3＋，1≥∴ab 有最小值3＋，知C 正确，D 错误.故选：AC.12. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的()f x x ()()0f x f x +-=任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x “理想函数”的是（ ）A.B.()2f x x =()3f x x =-C.D.()1f x x x=-()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩【答案】BD 【解析】【分析】满足（1）可得，是奇函数，满足（2）可得，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函()f x ()f x 数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果.【详解】由（1）对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇x ()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x 函数；由（2）对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()()1212x x f x f x <⎧⎨>⎩，则在定义域内是减函数；()()1212x x f x f x >⎧⎨<⎩()f x 对于A ：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”；()2f x x =()()()22f x x x f x -=-==()2f x x =对于B ：由得，所以是奇函数，又在上()3f x x =-()()()33f x x x f x -=--==-()3f x x =-3y x =R 是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”；()3f x x =-R 对于C ：由得，所以是奇函数；又()1f x x x =-()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭()1f x x x =-在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和y x =1y x =(),0∞-()0,∞+()1f x x x =-(),0∞-上都是增函数，故不是“理想函数”；()0,∞+对于D ：，，所以是奇函数；()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩()||()f x x x f x -==-()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以()f x (,0)-∞(0,)+∞0x =在上是减函数，所以是“理想函数”.()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩R 故选：BD.【点睛】思路点睛：求解函数新定义问题时，一般根据函数的新定义，结合函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性等），确定新定义下的函数的性质，即可求解.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.____________23log (log 9)=【答案】1.【解析】【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.【详解】依题意，原式.()2232log log 3log 21===故答案为：1【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.14. 函数（且）的图象必过定点，则定点坐标为_______.1()2x f x a +=+0a >1a ≠【答案】(1,3)-【解析】【分析】由可得当时，，可得答案.01a ==1x -11(1)21+2=3f a -+-=+=【详解】由有当时，.1a ==1x -011x aa +==所以当时，=1x -11(1)21+2=3f a -+-=+=所以恒有，即得图像必过点()f x (1)3f -=()f x ()13-，故答案为：()13-，【点睛】本题考查指数函数的图像性质，属于基础题.15. 已知，则______.sin cos 1sin cos 2αααα-=+tan α=【答案】3【解析】【分析】利用同角的三角函数关系，结合正余弦齐次式法求值，即得答案.【详解】由可得，sin cos 1sin cos 2αααα-=+cos 0α≠故，解得，sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++tan 3α=故答案为：316. 已知函数，若且，则的取值范围为___________.()lg f x x=0a b <<()()=f a f b 2+a b 【答案】()3,+∞【解析】【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值()f x ()101b a a =<<2+a b 范围.【详解】画出的图象如图：()lg f x x=∵，且，0a b <<()()=f a f b ∴且，，lg lg =a b01a <<1b >∴，即，∴，，lg lg a b -=1ab =22=+=+y a b a a ()0,1a ∈由图象得在上为减函数，2y a a =+()0,1∴，123>+=y ∴的取值范围是.2+a b ()3,+∞故答案为：.()3,+∞四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18到22题每题12分，共70分.）17. 求值：（1）()()22sin 120cos180tan 45cos 330sin 210︒︒︒︒︒++--+-（2）13788⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】（1）12（2）π【解析】【分析】(1)利用诱导公式即可求解；(2)根据指数幂的性质即可求解.【小问1详解】()()22sin 120cos180tan 45cos 330sin 210︒︒︒︒︒++--+-22s 611sin 0cos 30in 30︒︒︒+-+-=221112=-+-+12=【小问2详解】13788⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1331(2)3π=++-12π3=++-π=18. 已知，．{}|13A x x =-<≤{}|1B x m x m =<<+（1）当时，求；1m =A B ⋃（2）若，求实数m 的取值范围．R B A ⊆ 【答案】（1）；(]1,3-（2）﹒(][),23,∞∞--⋃+【解析】【分析】(1)求出B 即可，求A 与B 并集即可；(2)求出，由列出关于m 的不等式组，解出m 即可﹒R A R B A ⊆ 【小问1详解】，；()1,2B =(]1,3A B ⋃=-【小问2详解】∵，∴．1m m +>B ≠∅(](),13,R A ∞∞=--⋃+ ∵，R B A ⊆ ∴或，故m 的取值范围为：﹒11m +≤-3m ≥(][),23,∞∞--⋃+19. 已知.1sin cos 5αα+=-（1）求的值.sin cos αα⋅（2）若，求的值.2απ<<π11sin cos αα-【答案】（1）；（2）.1225-3512【解析】【分析】（1）把平方即得解；1sin cos 5αα+=-（2）求出，即得解.cos sin αα-【详解】解：（1），21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+∴.12sin cos 25αα=-（2），11cos sin sin cos sin cos αααααα--=∵，21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-=⎪⎝⎭又∵，∴，，，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α<sin 0α>cos sin 0αα-<∴，7cos sin 5αα-=-∴原式.7355121225-==-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.cos sin αα-α20.已知函数.2()cos 2cos 1f x x x x =+-（1）求在区间的最小值；()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间.()f x 6π()y g x =()g x 【答案】（1）-1；（2），.,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】(1)根据正余弦的倍角公式、辅助角公式化简，确定它在内的最值，即可求得最小值；(2)根据()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦图象的平移得到，由于为增函数，根据复合函数的单调性及余弦函数的性质有()2cos 2g x x =2y x =在上单调递减，即可求得递减区间()g x 222k x k πππ≤≤+【详解】（1）解：，()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当时， ，有0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72666x πππ≤+≤12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴当时，在区间的最小值为-1.2x π=()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由题意知：()6g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，()2sin 22sin 22cos 2662g x x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，解得，.222k x k πππ≤≤+Z k ∈2k x k πππ≤≤+Z k ∈因此，函数的单调递减区间为，()g x ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈【点睛】本题考查了三角函数，根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式，并求区间最值，由函数图象平移得到新函数解析式，结合复合函数的单调性求单调区间21. 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数(g)y μ(h)t OA AB （，k ，a 是常数）的图象，且．t y k a =⋅1,0t a ≥>(1,8),(7,1)A B（1）写出服药后每毫升血液中含药量y 关于时间t 的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保2(g)μ持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多3h 少？（精确到）g μ0.1g μ【答案】（1）()8,(01),1t t t y t ≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）上午11：00服药 （3）4.7g μ【解析】【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.【小问1详解】当时，；01t ≤<8y t =当时，把代入（，k ，a 是常数），得，解得，1t ≥(1,8)(7,1)A B 、ty k a =⋅1,0t a ≥>781ka ka =⎧⎨=⎩a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩故()8,(01),1t t t y t ≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩【小问2详解】设第一次服药后最迟过t 小时服第二次药，则，解得：，即第一次服药后后服12tt ≥⎧⎪⎨=⎪⎩5t =5h 第二次药，也即上午11：00服药；【小问3详解】第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：3h 81y g ==每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：324y gμ==4 4.7g μ+≈故该病人每毫升血液中的含药量为4.7g μ22. 设函数；()()()lg f x x m m R =+∈（1）当时，解不等式；2m =11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）若，且在闭区间上有实数解，求实数的范围；()01f =()xf x λ=+[]2,3λ（3）如果函数的图象过点，且不等式对任意均成立，求实数()f x ()98,2()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦n N ∈的取值集合．x 【答案】（1） （2） （3），，1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1lg12,lg132⎡--⎢⎣32222,22n n k k ππππ⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭N k ∈n N∈【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；（2）根据可得的解析式，由分离变量可得，()01f =()f x ()x f x λ=+()lg 10xx λ=+-令，它在闭区间上的值域即为的范围；()()lg 10xF x x =+-[]2,3λ（3）函数的图象过点，求的解析式，可得，则不等式()f x ()98,2()f x ()()lg 2f x x =+转化为，求解，又∵，即，，讨论()cos 2lg 2n f x ⎡⎤<⎣⎦()()lg 2cos 212nx g +<x 20x +>2x >-n N ∈的范围可得答案．k 【详解】解：函数；()()()lg f x x m m R =+∈（1）当时，，2m =()()lg 2f x x =+那么：不等式；即，11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭1lg 2lg10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭可得：，且，1210x +>120x +>解得：，108x <<∴不等式的解集为；1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）∵，可得，()01f =10m =∴，()()lg 10f x x =+，即在闭区间上有实数解，()xf x λ=+()lg 10xx λ+=+[]2,3可得，()lg 10xx λ=+-令，求在闭区间上的值域，()()lg 10x F x x =+-[]2,3根据指数和对数的性质可知：是增函数，()F x ∴在闭区间上的值域为，()Fx []2,31lg12,lg132⎡-⎢⎣故得实数的范围是；λ1lg12,lg132⎡-⎢⎣（3）∵函数的图象过点，()f x ()98,2则有：，()2lg 98m =+∴，2m =故，()()lg 2f x x =+那么：不等式转化为，()cos 2lg 2n f x ⎡⎤<⎣⎦()()lg 2cos 212nx g +<即，()()2cos 20cos 20n n x x ⎧+>⎪⎨<⎪⎩∴，，322222n x k k ππππ+<<+n N ∈解得：，，3222222nn k k x ππππ++<<n N ∈又∵，即，20x +>2x >-∴，，2222nk ππ+≥-n N ∈解得：，14k ≥-∵，Z k ∈∴，0k ≥故得任意均成立，实数的取值集合为，，．n N ∈x 32222,22n n k k ππππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭N k ∈n N ∈【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用，考查推理能力与计算能力，属于难题．。

秦安县2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（每题5分，共60分）1．已知集合M ＝{x|﹣2＜x ＜5}，N ＝{x|﹣3≤x ≤3}，则M ∪N ＝（ ）A ．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4} B ．{﹣1，0，1，2，3} C ．[﹣3，5） D ．（﹣2，3]2已知集合A= {2,3,5,7} ,B={1,3,5,7,9}，则A ∩B= ( )A.{1,2} B.{3,5,7} C.{1,3,5,7,9} D.{1,2,3,5,7,9 }3．若实数a ，b 满足a+b=1，则ab 的最大值为（ ）A.2B.1C.D.12144,已知a=b=，c=则的大小关系是（ ）ln 0.3，3.031⎪⎭⎫ ⎝⎛(12)0.3A. a<c<bB. b<a<cC. a<b<cD. b<c<a5,函数y=定义域为（ ）log 0.5xA.,B.C. D.[21)∞+]∞+ ⎝⎛，21[)∞+，1](10，6.若α是第二象限角，则180°+α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7,下列角中，与角终边相同的角是（）3πA. B. C.D.65-π35-π34π32π8.已知函数(x)=，则()=（ ）f x 3f a1A.0B.C.aB. C.a C.a D.3aa19设a ，b 是非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．＜B ．＜C ．＜ D ．＜2a 2b 2ab b a 221ab ba 21ab ba 10.下列函数是偶函数的是（ ）A.B. C. D.x y =33x y =xy 1=xy =11.不等式的解集是（）82>x A. B. C. D.()2222-，)(()∞+⋃∞，，2222--()24,24-)(()∞+∞，，2424-- 12.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（ ）A. 45B. 46C. 48D. 50二、填空题（本题共4道小题,共20分）13．若。